子式和代数余子式
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
余子式与代数余子式
2424
第二章 行列式
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
Байду номын сангаас
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
得 D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
an1 anj ann
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
1111
第二章 行列式
例
a x1 a
a Dn
a x2
a a .
a
a a xn
解 依第n列把 Dn 拆成两个行列式之和
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
44
第二章 行列式
例 计算
12300 21000
D 1 0 1 0 0.
§6 行列式按一行（列）展开 © 2009, Henan Polytechnic University
子式与代数余子式_2022年学习资料
证：（只对行证）1.先假定D的第1行的元素除a:-外全为零，即：-02-2n-0n2-要证：-D=a1A1 =a1-11+1M11=a1M11-§3.4子式与代数余子式
033-也就是说：D=a11-子式的每项-0n2-都可写作：1aa.a,其中j2j3…jn是n-1个数码,3n的一个排列.注意项1与元素a,的乘积：-2aaaa.该乘积的元素位于D的不同行与-不同列上，是D的一 -§3.4子式与代数余子式
例3例1中的4阶行列式D的元素a,的代数余子-式：-02-04-A23=（-12+3M23=-M23=-3-032-下面考察一个特殊情形：-阶行列式某行（列）的元素最多有一不为-零的情形.-§3.4子式与代数余 式
定理3.4.1若在一个行列式-00-中，第行（或第列）的元素除a,外全为零，则：-D=aiAi-这个行列式 于4，与其代数余子式的乘积，-§3.4子式与代数余子式
定理3.42行列式D等于它任一行（列）的所-有元素与它们对应的代数余子式的乘积-之和.也就是说：-行列式有 行或依列的展开式：-3D=a1A1+a2A2++anAmi=1,2,,n-（4D=a1A1y+a2yA2+ +anAi=1,2…,n.-在证明之前，先注意以下事实：-§3.4子式与代数余子式
等式右边个行列式的每一个，除了第行外，其-余的对应行都相同.-'.每个行列式的第行的元素的代数余子式-与D 第行对应元素的代数余子式相同，-由T3.4.1,得到3式，-↓下页定理3.4.3在某种意义下与上一定理是平 的.-§3.4子式与代数余子式
定理3.4.3行列式-的某一行（列的-元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于-零，就是说： ⑤aA1+0242++44n=0i-6a1,A1+a2A2++anwA=0S≠-§3.4子式与代数余子式
一、余子式、代数余子式
练习：
a 0 0 0 a 0 1. 计算行列式 Dn 0 0 a 1 0 0
1 0 0 . a
a1 b 2. 设 D 1 c1 d1
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
f f , 求 A11 A21 A31 A41 . f f
答案： 1. a n a n2
2014-9-28
数学科学学院 李本星
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n11
a1n a2 n
an1,1 an1,2 0 0
an1,n1 an1,n 0 1
a11 a12 a11 a12 a11 a12
a1,n1 a1,n1 a1,n1
2014-9-28
数学科学学院 李本星
称 Aij
( ai a j ) 1 j i n
注： 范德蒙行列式 Dn 0 a1 , a2
2014-9-28
an 中，至少两个相等．
数学科学学院 李本星
例3.证明：
a11 a1k 0 0 a1k b11 akk br 1 b1r brr
a11 ak 1 akk 0 0 c11 c1k b11 b1r a k1 cr 1 crk br 1 brr
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
ain Ain aik Aik
k 1
n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
anj Anj akj Akj
k 1
n
2014-9-28
数学科学学院 李本星
推论
称之为元素 a ij 的余子式,记作 M ij ．
1-2余子式与代数余子式
a nn
把 a jk 换成 a ik ( k 1,, n), 可得
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a1 n a in , a in
第i 行 第 j行
相同
当 i j 时,
a n1
a nn
ai 1 A j1 ai 2 A j 2 ain A jn 0,
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
思考题
设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
n
1 ,当 i j， 其中 ij 0 ,当 i j .
3 5 3
例３ 计算行列式 D 0 7 解 按第一行展开，得
D 3 1 0 7 2 5 0 0 7 2
1 0 7 2
3
0 1 7 7
27.
5 1
例４ 计算行列式
3 7
1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0
(i j ).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij 0 ,当 i j; k 1
n
D ,当 i j , aik Ajk D ij 0 , 当 i j; k 1
1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
余子式和代数余子式的转换
余子式和代数余子式的转换余子式和代数余子式是线性代数中常见的两个概念，它们经常出现在矩阵的求逆过程中。
在学习线性代数的过程中，我们常常会遇到需要将一个矩阵的余子式转化成代数余子式，或者反过来。
下面，我们就来详细地介绍一下如何进行这样的转化。
1. 什么是余子式首先，我们需要知道什么是余子式。
对于一个矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素为$a_{ij}$，那么我们将$a_{ij}$所在的行和列分别去掉，得到的新矩阵为$A_{ij}$，这个新矩阵的行数和列数均比原矩阵少$1$。
那么，$A_{ij}$的行列式就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$M_{ij}$，即：$$M_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$$2. 什么是代数余子式接下来，我们来了解一下什么是代数余子式。
在同一个矩阵$A$中，与$i$和$j$异号的余子式的和就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式，记作$A_{ij}$，即：$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$所以，我们可以将代数余子式看成余子式的一种特殊形式，它们的计算方式也很相似。
3. 怎么将余子式转化成代数余子式那么，如何将矩阵$A$的余子式转化成代数余子式呢？我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式$M_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
如果是偶数，那么代数余子式$A_{ij}$就等于$M_{ij}$；如果是奇数，$A_{ij}$就等于$-M_{ij}$。
（3）将$A_{ij}$填入矩阵$B$的第$i$行第$j$列，得到矩阵$B$。
4. 怎么将代数余子式转化成余子式反之，如果我们需要将矩阵$A$的代数余子式转化成余子式，我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式$A_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
余子式与代数余子式
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11.
在证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,第1行对调, 0 aaiijj 0
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
a11 a12 a13 a14 例如 D a21 a22 a23 a24
an1 anj ann
aiij 0 0
于是有 ai1, j ai1, j1 ai1,n aij Mij ,
故得
anj aaiijj
an, j1 0
ann 0
D 1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
aij 0 0
元素aij在行列式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
a11
a22 a32
a23 a33
一、余子式与代数余子式.
证 把行列式D按第 j 行展开,
第 i行
b1 Aj1 b2 Aj 2
bn ann
bn Aj n
第 j行
10
例 证明范德蒙行列式 1 1 1 x1 x2 x3 2 2 2 x2 x3 Dn x1
1 xn
A44 (1)44 M44 M44 .
4
引理 如果n阶行列式第i 行所有元素除ai j外都为零，
那末行列式等于ai j与它的代数余子式的乘积,D=ai j Ai j． 例如
D
a11 a 21 0 a 41
a12 a 22 0 a 42
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24
a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a44
1 2
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
A12 (1)
M12 M12
a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , a31 a32 a33
a12
0
a11
D
a1n
0 ai n
ai1 0 0 0 ai 2 0 an1 an 2
ann
6
a11 a12
ai 1 0
a1n
0
a11 a12
0
a1n
0 ...
ai 2
an1 an2
a11 a12
... 0 0
ann
a1n
an1 an2
ann
ai n ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
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3.4 子式和代数余子式 行列开的依行依列展开教学目的：1. 掌握计算行列 式的能力2. 通过一些比较典型的例题分析和习题训练,掌握行列式计算中的一些技巧 教学内容:1. 子式和余子式: 定义1 在一n 阶行列式D 中任意取定k 行k 列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D 的一个k 阶子式. 例1 在四阶行列式D=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a中，取定第二行和第三行，第一列和第四列，那么位于这些行列的相交处的元素就构成D 的一个二阶子式M=34312421a a a a定义2 n(n>1)阶行列式D=nnnjn in ij i n j a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111 的某一元素ij a 余子式ijM指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的n-1阶子式.例2 例子的四阶行列式的元素23M = 444241343231141211a a a a a a a a a定义 3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ijM 附以符号ji +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式.元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示:ij A =j i +-)1(ijM.例3 例1中的四阶行列式D 的元素23a 的余子式是23M=2332)1(M+-=-23M=- 444241343231141211a a a a a a a a a现在先看一个特殊的情形，就是一个n 阶行列式的某一行（列）的元素最多有一个不是零的情形。
定理3.4.1若在一个n 阶行列式D= nnnjn in ij i nj a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯111111中，第I 行（或第j 列）的元素除a ij 外都是零，那么这个行列式等于a ij 与它代数余子式A ij的乘积：D= a ij A ij证 我们只对行来证明这个定理。
1）先假定D 的第一行的元素除a ij 外都是零。
这时D=nnn n n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21222211100我们要证明， D=a 11A 11= a 11（-1）11+M 11= a 11M 11，也就是说，D= a 11nnn n n n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯323333222322（1）子式M 11的每一项都可以写作a 22j a 33j ……a n nj ，此处j 2，j 3，…，j n 是2，3，…n 这n-1个数码的一个排列。
我们看项（1）与元素a 11的乘积a 11 a 22j a 33j ……a n nj ，这一乘积的元素位在D 的不同的行与不同的列上，因此它是D 的一项。
反过来，由于行列式D 的每一项都含有第一列的一 个元素，而第一行的元素除a 11外都零，因此D 的每一项都可以写成（2）的形式，这就是说，D 的每一项都是a 11与它的子式M 11的某一项的乘积，因此D 与a 11M 11有相同的项，乘积（2）在D 的符号是（-1）21j （πnj ⋯）=（-1）2j （πnj ⋯）另一方面，乘积（2）在a 11M 11中的符号就是（1）在M 11中的符号。
乘积（1）的元素既然位在D 的第2，3，…，n 行与第j 2，j 3，…j n 列，因此它位在M 11的第1，2，…，n-1行与j 2-1，j 3-1，…，j n -1列，所以（1）在M 11中的符号应该是（-1）)1(2-j （π)1(-⋯nj ）。
显然，л（j 2…j n ）=л（（j 2-1）…（j n -1））。
这样，乘积这（2）在a 11M 11中的符号与D 中的符号一致。
所以D= a 11M 11现在我们来看一般的情形。
设D=nnj n njj n n j n j j j a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+-1,1,1111,111,1110000我们变动行列式D 的行列，使a ij 位于第一行与第一列，并且保持a ij 的余子式不变。
为了达到这一目的，我们把D 的第I 行依次与第I-1，I-2，…2，1行变换，这样，一共经过了I-1次交换两行步骤，我们就把D 的第I 行换到第一行的位置。
然后在把第j 列依次与j-1，j-2，…，2，1列交换，一共经过j-1次交换两列的步骤，a ij 就被换到第一行与第一列的位置上，这时，D 变为下面形式的行列式：D 1=nnj n j n n njr i j i j i i j i n i j i j i i j i n j j j ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ............................................................................................................0...00 (01),1,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,111,11,1111+-+++-+++-+-----++1D 是由D 经过(i-1)+(j-1)次换行换列的步骤而得到的.由命题3.3.3,交换行列式的两行或两列,行列式改变符号.因此 D=)1()1()1(-+--j i 1D =ji +-)1(1D .在1D 中,ija 位在第一行与第一列,并且第一行的其余元素都是零;由1),D=ij a nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+-+++-++-+----+-1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111 =ij a ijM因此D=ji +-)1(1D =ji +-)1(ij a ijM=ij a j i +-)1(ijM=ij a ijA .这样,定理得到证明.定理 3.4.2 行列式D 等于它任意一行(列)的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和.换句话说,行列式有依行或依列的展开式:D=inin i i i i A a A a A a ⋯++2211(I=1,2,…，n)， （ 3） D=⋯++j j j j A a A a 2211njnj A a (j=1,2,…，n)。
（4）在证明这一定理这前，我们先注意以下事实： 设1D = nnn n in i i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211 ，2D = nnn n in i i n a a a b b b a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211是两个N 阶行列式，在这两个行列式中除去第I 行外，其余的相应行都不得相同。
那么，1D 的第I 行的对应元素有相同的代数余子式。
事实上，ija 的子式是划去1D 的第I 行第J 列后所得的N-1阶行列式。
由于1D 与2D 只有第I 行不同，所以划去这两个行列式的第I 行和第J列，我们得到同一的行列式。
因此ija 与ijb 的子式相同，而它们的代数余子式也相同。
显然对列来说，也有同样的事实。
现在我们来证明定理3.4.2.我们只对行来证明,换句话说,只证明公式(3).公式(4)的证明是完全类似的.先把行列式D 写成以下形式:D= nnn n ini i n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯++⋯+⋯+⋯++++⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212111211000000也就是说,D 的第I 行的每一元素写成N 项的和.根据命题3.3.9,D 等于个行列式的和:D=nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2111121100 +nnn n i n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2121121100+…+ nnn n in n a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯211121100 .在这N 个行列式的每一个中,除了第I 行外,其余的行都不得与D的相应行相同。
因此，每一行列式的第i 行的元素代数余子式与D 的第i 行的对应元素的代数余子式相同。
这样，由定理3.4.1，in i i i i Aa A a A a D +++= 2211 以下定理在某种意义下和定理3.4.2平行。
定理3.4.3 行列式nnn n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D21212111211=的某一行（列）的元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。
换句话说：),(02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ （5）).(02211t s A a A a A a nt ns t s ts ≠=+++ （6）证 我们只证明等式（5）。
看行列式)(.)(21212111211j i a a a a a a a a a a a a D nnn n jn j j in i i n= 1D 的第i 行与第j 行完全相同，所以01=D 。
另一方面，1D 与D 仅有第j 行不同，因此1D 的第j 行的元素的代数余子式与D 的第j 行的对应元素的代数余子式相同。
把1D 依第j 行展开，得jnin j i j i A a A a A a D +++= 22111 因而2211=+++jn in j i j i A a A a A a例4 计算四阶行列式335111243152113------=D在这个行列式里，第三行已有一个元素是零。
由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得3550100131111115-----=D根据定理3.4.1551111115)1(133-----⨯=+D 把所得三阶行列式的第一行加到第二行，得.405526)1(105502611531=----⨯=---+所以D=40。
例5 计算阶行列式123211000000000100001a x a a a a x x x x n n n n +---=∆---按第一列展开，得()1000001000111000000000100001112321----++---=∆+---xx xa a x a a a a x x x x xn n n n n n这里的第一个1-n 阶行列式和n ∆有相同的形式，把它记作1-∆n ；第二个1-n 阶行列式等于()11--n 。