代数余子式
余子式与代数余子式的定义
余子式与代数余子式的定义余子式与代数余子式的定义一、什么是余子式与代数余子式余子式和代数余子式是矩阵理论中常见的概念，它们与行列式密切相关。
我们来明确一下余子式和代数余子式的定义。
余子式：对于一个n阶矩阵A，若去掉其中的第i行和第j列后得到的（n-1）阶矩阵记作A(i, j)，则A(i, j)的行列式称为矩阵A的余子式，记作M(i, j)。
代数余子式：对于一个n阶矩阵A，矩阵A的任一元素a(i, j)与其对应的余子式M(i, j)的乘积记作A(i, j)，即A(i, j) = a(i, j)·M(i, j)。
其中，正负号由元素的位置(i, j)决定，根据“剪切法则”确定。
总结起来，余子式就是一个矩阵中去掉某行某列后得到的子矩阵的行列式，而代数余子式则是某个元素与其对应的余子式的乘积。
二、深入探讨余子式与代数余子式的性质与作用接下来，我们将从深度和广度两个维度分别探讨余子式和代数余子式的性质与作用。
1. 深度探讨：余子式的性质和作用余子式在矩阵理论和线性代数中有着重要的地位和作用，具体表现在以下几个方面：1.1. 行列式的计算：余子式是行列式计算中的关键环节。
通过递归地计算余子式，可以得到行列式的值。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，我们可以选择任意一行或一列，计算该行（列）中每个元素与其对应的余子式的乘积，并按照正负号相加得到行列式的值。
1.2. 矩阵的逆与伴随矩阵：通过余子式的概念，可以定义矩阵的逆和伴随矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，其逆矩阵A^(-1)的第i行第j列的元素可以表示为A^(-1)(i, j) = M(j, i) / |A|，其中M(j, i)为A的余子式，|A|为A的行列式。
1.3. 特殊矩阵的性质：余子式在研究特殊矩阵的性质时发挥了重要作用。
如果一个方阵A的所有余子式都为零，则A必定是奇异矩阵，即不可逆；又如，一个上（下）三角矩阵A的对角线上所有元素的余子式都为1，则A是一个单位上（下）三角矩阵。
代数余子式和余子式的区别
代数余子式和余子式的区别代数余子式和余子式的区别在于：首先，要理解“余”这个字。
它是相对于“代数余子式”而言的，所谓“代数余子式”就是指：把一个含有字母或者符号作为因子而写出来的代数式，从形式上看，它具有如下特点：除了有左右两边的项之外，还包括中间的项；当然，也必须考虑到它们都是整式。
另外，把每一项分开的时候，必须遵守“同字母或者数字”不能省略，而且每一项本身都不能带有字母，否则会影响到运算。
比方说，如果遇到2×3，我们直接把最后一项“×”去掉就行了，但如果遇到2×4，那么只需在前面加上2，不用任何改变，以免发生错误。
余子式表示法就是把代数余子式中各项分开写成字母或者符号，并且规定最高次项的字母在前，如果没有字母，必须用数字，并且一般情况下不允许单独使用符号，这样做就避免了书写上的混乱现象。
通常我们使用乘法来简便地计算乘积，但我们在学习数学的过程中经常会碰到利用幂的指数关系进行计算，也即在指数中使用乘法公式来简化运算。
这里涉及到两种代数余子式，即用数字和字母组合起来的代数余子式和以字母为幂的代数余子式，下面重点介绍用数字和字母组合起来的代数余子式，当然，字母为幂的代数余子式我们也要掌握。
在有些题目里，不管求的结果是什么，有一条件是肯定的，那就是无论怎样的复杂运算，其实质都是要满足某些性质，通俗的讲就是为了得到更多的积而使问题简化。
那么为了满足这个条件，我们自然应该知道怎样正确的使用代数余子式。
根据欧几里德几何的原理，设a，b∈R，将 r^(a- b)称为代数余子式，将 a=- b^(a+ b)称为余子式，那么余子式 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）*（ a- b）。
余子式的种类很多，一般人们提到余子式主要想到的是余子式的乘积，其实只要稍微扩展一下，我们就可以应用到很多其他方面，例如除式、根式等等。
还有，就是你看到题目里的余子式可以分成乘积形式，和字母形式。
如 x^2+ y^2=1（ x=0， y=1）那么当然就是 a+ b=- a+ b=-（ a+ b）/ x* y 了。
余子式和代数余子式的关系
余子式和代数余子式的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小伙伴——余子式和代数余子式。
听到这些词，可能会让人想起高深的公式和繁琐的计算，感觉有点“晕乎乎”的。
不过，别担心，咱们慢慢来，把这两个家伙捋顺，弄懂它们的关系。
1.1 余子式是什么首先，余子式，这名字听起来有点拗口，但其实就是一个很有趣的概念。
当我们在讨论矩阵的时候，余子式就像是小小的剪刀，能够把矩阵的一部分剪下来，剩下的就是余子式的“家族成员”。
简单来说，给定一个矩阵，取掉某一行和某一列后，剩下的部分就形成了这个余子式。
1.2 代数余子式的角色接下来，代数余子式就更有意思了。
它不仅是一个余子式，还带上了一个符号的标签，类似于给自己的名字加个“前缀”。
这个符号取决于被删除的行和列的位置，有点像是给每个代数余子式贴个身份证。
要是你把第一行第一列去掉，结果的符号是正的；但要是你去掉了第二行第一列，结果的符号就变成负的。
是不是觉得这有点像游戏的规则？2. 二者的关系好了，既然我们都认识了这两位朋友，接下来就是看他们之间的关系了。
余子式和代数余子式就像是兄弟，但一个是“白衣天使”，一个是“战斗机”。
余子式可以独立存在，但代数余子式一定要依附于余子式，带上自己的符号。
换句话说，所有的代数余子式都是余子式，但不是所有的余子式都是代数余子式。
这就好比你可以吃冰淇淋，但不一定每次都能加巧克力酱。
2.1 在矩阵中的应用说到应用，余子式和代数余子式在行列式的计算中简直是无处不在。
比如，行列式的展开就需要用到这些小家伙。
你想象一下，行列式就像一个大蛋糕，而余子式和代数余子式就是从蛋糕上切下来的小块，搭配得当才能吃出好味道。
2.2 实例解析我们来个简单的例子。
假设有一个2x2的矩阵，A = a, b, c, d。
对于这个矩阵，余子式就是去掉一行一列后剩下的元素。
假如我们去掉第一行第一列，余子式就是d；而代数余子式同样是d，但要注意它的符号！因为没有删除奇数行和奇数列，符号就是正的。
余子式与代数余子式
例如 D
a 21 0 a 41
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a11
a 24 0 a 44
a12 a14
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a 41
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
1010
第二章 行列式
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann 把D的第i行依次与第i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0 ij
证明
D D1 D2 .
2 2
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
第二章 行列式
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11 0 设为 D1 p11 pkk ; pk 1 pkk
a42
a 44
9 9
第二章 行列式
证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
A11 1
11
又
从而
M 11 M 11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
0 2 4 2 1
4 1 3 2
6 2 12.
© 2009, Henan Polytechnic University §6 行列式按一行（列）展开
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
代数余子式：Cij = (-1)^(i+j)Bij
代数余子式矩阵：
行列式：矩阵A任意一行(列)的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和，比如：
d = A11C11 + A12C12 + ... + A1jC1j + ... + A1nC1n
伴随矩阵：代数余子式矩阵C的转置矩阵： 逆矩阵：E为行列式的倒数乘以伴随矩阵，即：
E = 1/d元剩下的元不改变原来的顺序所构成的n1阶矩阵的行列式称为元aij的余子式
线性代数中的余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵、逆矩阵
设有n×n矩阵A：
则Aij的余子式Bij为：划去Aij所在的第i行与第j列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶矩阵的行列式称为元Aij的余子式：
余子式与代数余子式的关系
余子式与代数余子式的关系余子式和代数余子式都是矩阵的重要概念，它们经常出现在线性代数的教学内容中。
余子式是指在一个矩阵中划去某行某列之后所形成的子矩阵的行列式，而代数余子式是余子式乘以$(-1)^{i+j}$的结果，其中$i$和$j$是余子式所在的行和列的下标。
余子式和代数余子式在矩阵的处理和计算过程中起着非常重要的作用，它们的关系也非常密切。
假设$A=(a_{ij})$是一个$n\times n$的矩阵，$M_{ij}$表示在矩阵$A$中去掉第$i$行和第$j$列所得到的子矩阵，即$$M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots &a_{1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots &a_{i+1,n}\\\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots\\a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots &a_{n,n}\end{vmatrix}$$则$M_{ij}$称为$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$A_{ij}$或$A(i,j)$。
可以看出，余子式是一个$n-1\times n-1$的矩阵的行列式，因此余子式的值可以通过行列式计算公式来求得。
代数余子式定义
代数余子式定义
代数余子式是一种矩阵中与行列式有关的重要概念。
代数余子式的定义是：对于一个n阶方阵A，它的(i,j)元素的代数余子式是A
的伴随矩阵Adj(A)的(j,i)元素。
具体来说，代数余子式的计算方法是：设A是一个n阶方阵，对于它的任意一个元素a(i,j)，可求出它的代数余子式A(i,j)。
具体的计算方法是：先将a(i,j)从A中删除，得到一个n-1阶的子阵B，然后求出B的行列式det(B)，最后乘以(-1)^(i+j)得到A(i,j)。
代数余子式在矩阵的理论和运算中有着广泛的应用。
它与行列式、逆矩阵、矩阵的秩等概念密切相关。
在实际应用中，代数余子式可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆、证明矩阵的行列式等等。
- 1 -。
余子式和代数余子式的转换
余子式和代数余子式的转换余子式和代数余子式是线性代数中常见的两个概念，它们经常出现在矩阵的求逆过程中。
在学习线性代数的过程中，我们常常会遇到需要将一个矩阵的余子式转化成代数余子式，或者反过来。
下面，我们就来详细地介绍一下如何进行这样的转化。
1. 什么是余子式首先，我们需要知道什么是余子式。
对于一个矩阵$A$，其中第$i$行第$j$列的元素为$a_{ij}$，那么我们将$a_{ij}$所在的行和列分别去掉，得到的新矩阵为$A_{ij}$，这个新矩阵的行数和列数均比原矩阵少$1$。
那么，$A_{ij}$的行列式就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式，记作$M_{ij}$，即：$$M_{ij}=(-1)^{i+j}det A_{ij}$$2. 什么是代数余子式接下来，我们来了解一下什么是代数余子式。
在同一个矩阵$A$中，与$i$和$j$异号的余子式的和就是矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式，记作$A_{ij}$，即：$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$所以，我们可以将代数余子式看成余子式的一种特殊形式，它们的计算方式也很相似。
3. 怎么将余子式转化成代数余子式那么，如何将矩阵$A$的余子式转化成代数余子式呢？我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的余子式$M_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
如果是偶数，那么代数余子式$A_{ij}$就等于$M_{ij}$；如果是奇数，$A_{ij}$就等于$-M_{ij}$。
（3）将$A_{ij}$填入矩阵$B$的第$i$行第$j$列，得到矩阵$B$。
4. 怎么将代数余子式转化成余子式反之，如果我们需要将矩阵$A$的代数余子式转化成余子式，我们需要按照以下步骤来进行操作：（1）首先，将矩阵$A$的第$i$行第$j$列的代数余子式$A_{ij}$求出来。
（2）判断$i+j$的奇偶性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
思考题
设n阶行列式
1 1 Dn = 1 ⋮ 1 2 2 0 ⋮ 0 3 0 3 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ n 0 0 ⋮ n
a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann
1+1
即有 D = a11 M 11 . 又 从而
A11 = (− 1)
M 11 = M 11 ,
D = a11 A11 .
在证一般情形, 在证一般情形 此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ aij ⋯ aij ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋮
1 = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) x2 ⋮
n x2 −2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 −2 ⋯ xn −2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
∴ Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) =
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
阶行列式， 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 外都为零， 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积， 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． a11 a12 a13 a14 例如 D =
⋯ ann ⋯ 0 ⋮
+ = (− 1)i j ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = (− 1)i + j aij Mij . D ⋮ ⋮ ⋮
anj
⋯
an, j −1
⋯
ann
二、行列式按行（列）展开法则 行列式按行（
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元 定理３ 行列式等于它的任一行（ 素与其对应的代数余子式乘积之和， 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
⋮ D= 0 ⋮
⋮ ⋯ aij aij ⋮ ⋯
⋮ 0 ⋮ ⋯ ann
中的余子式 M ij .
an1 ⋯ anj
aij aij
⋮ ⋮ anj
故得
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
于是有 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n = aij M ij ,
⋯ a n , j −1 0 aij ⋯ aij ⋮ ⋮
例1
3 1 −1 2 3 −4 −5 1 D= 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 5 1 −1 1 c1 + (− 2 )c3 − 11 1 3 −1 c4 + c 3 0 0 1 0 0 −5 −5 3
5
1
1
= ( −1) 3+ 3 − 11 1 − 1 −5 −5 0
r2 + r1
5
1
1
n≥ i > j ≥ 2
∏ ( xi − x j )
n ≥ i > j ≥1
∏ ( x i − x j ).
行列式任一行（ 的元素与另一行（ 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a in A jn = 0 , i ≠ j .
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 + A12 + ⋯ + A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11 + A12 + ⋯ + A1n = 1 ⋮ 1
1 2 0 ⋮ 0
1 0 3 ⋮ 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯
1 0 n 1 0 = n! 1 − ∑ . j j=2 ⋮ n
a i −1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ anj
aij a
⋮ 元素 a ij 在行列式 a i −1, j ⋮ a nj
⋯
0 ⋮
⋯
0 ⋮
⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1 ,n 中的 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
余子式仍然是 a ij 在 a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a23 a33 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
= a11 (a22a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a21a32 − a22a31 )
行展开， 证 把行列式 D = det(a ij ) 按第 j 行展开，有
a 11 ⋮ a i1 = ⋮ a j1 ⋮ a n1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n ⋮ a in ⋮ , a jn ⋮ a nn
a j 1 A j 1 + ⋯ + a jn A jn
把 a jk 换成 a ik ( k = 1,⋯, n), 可得
( i ≠ j ).
同理 a1i A1 j + a 2 i A2 j + ⋯ + a ni Anj = 0, ( i ≠ j ).
关于代数余子式的重要性质
D ,当 i = j , ∑ aki Akj = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
n
D ,当 i = j , ∑ aik Ajk = Dδ ij = 0 ,当 i ≠ j; k =1
a14 a 34 a 44
D=
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
1+ 2
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44 ,
a21 a23 M 12 = a31 a33 a41 a43
a24 a34 , a44
再把D的第j列依次与第j − 1列, 第j − 2列, 第1列对调,
aij ⋯ 0 ⋯ 0 ij ⋮ ⋮ ⋮ i −1 j −1 D = ( − 1) ⋅ ( − 1) a i − 1 , j ⋯ a i − 1 , j − 1 ⋯ a i − 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ anj ⋯ an , j −1 ⋯ ann
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯ + a in Ain
证
a11 ⋯ a12 ⋯
(i = 1,2,⋯, n )
⋯ ⋯ a1n ⋯
D = ai1 + 0 + ⋯+ 0 0 + ai 2 + ⋯+ 0 ⋯ 0 + ⋯+ 0 + ain ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 an2 ⋯ ann
n
1 ,当 i = j， 其中 δ ij = 0 ,当 i ≠ j .
−3 −5 3 例３ 计算行列式 D = 0 − 1 0 7 7 2
解
按第一行展开， 按第一行展开，得
−1 0 0 0 0 −1 D = −3 +5 +3 7 2 7 2 7 7
= 27.
例４ 计算行列式
5 3 −1 2 1 7 2 5 D= 0 −2 3 1 0 −4 −1 4 0 2 3 5
aij aij ⋮ ⋮ anj aij a ⋮ = ( − 1)
i+ j
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
(− 1)i + j − 2 ai −1, j ⋯ ai −1, j −1 ⋯ ai −1,n =
⋯ ⋯ a n , j −1 0 ⋮ ⋮ ⋯ a n , j −1 ⋯ ⋯ ⋯ ann 0 ⋮ ⋮ ann
−6 2 0 −5 −5 0
= ( −1)
1+ 3
−6 2 −8 2 = = 40. 0 −5 −5 −5
例2
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 证明范德蒙德
1 x1 1 x2
2 x2
⋯ ⋯ ⋯
1
2 x n = ∏ ( x i − x j ). n ≥ i > j ≥1 ⋮
xn
2 Dn = x 1 ⋮ n x1 −1
n x 2 − 2 ( x 2 − x1 )
1 x 3 − x1 x 3 ( x 3 − x1 ) ⋮
⋯ ⋯ ⋯
1 x n − x1 x n ( x n − x1 ) ⋮
n n x 3 − 2 ( x 3 − x1 ) ⋯ x n − 2 ( x n − x1 )
列展开， 提出， 按第1列展开，并把每列的公 因子 ( x i − x1 ) 提出， 就有
an1 ⋯ anj ⋯ ann 把D的第i行依次与第 i − 1行, 第i − 2行, 第1行对调, 0 ⋯ aij aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮
得 D = ( − 1)
i −1
a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j ⋯ a i −1 , n ⋮ a n1 ⋯ ⋮ anj ⋯ ⋮ ann