非参数统计学讲义(第五章)相关与回归
非参数统计课件
什么是假设 检验？
假设检验用来判断 一个统计假设在给 定数据下是否成立。
非参数假设 检验的基本 思想
非参数假设检验不
依赖于总体参数的
具体分布。
U检验
U检验是一种常见的 非参数假设检验方 法。
KolmogorovSmirnov检验
KolmogorovSmirnov检验用来检 验样本是否符合给 定分布。
什么是核密度估计？
核密度估计是一种估计概率密度函数
概率密度函数和密度函数的区
2
的非参数方法。
别
概率密度函数是连续随机变量的密度
函数，而密度函数是离散随机变量的
3
高斯核密度估计
密度函数。
高斯核密度估计使用高斯核函数来估
计概率密度函数。
交叉验证方法
4
交叉验证方法可以用来选择合适的核 函数带宽。
分析？
回归分析用来建立变量之间的依赖关系。
Nadaraya-Watson核回归
Nadaraya-Watson核回归通过核函数加权来 估计回归函数。
非参数回归分析的基本思想
非参数回归分析不需要对回归函数做具体的 形式假设。
局部加权回归
局部加权回归在核回归的基础上引入了距离 权重来进一步提高估计精度。
非参数统计ppt课件
# 非参数统计PPT课件 ## 简介 - 什么是非参数统计？ - 非参数统计和参数统计的区别
统计分布
什么是统计分布？
统计分布描述随机变量的不确定性和可能性。
常见的统计分布
包括正态分布、二项分布、泊松分布等。
经验分布函数
经验分布函数用样本数据来近似未知总体分布函数。
核密度估计
1
总结
1
统计学相关回归PPT课件
（2）相关分析与回归分析的区别和联系
区别：A、相关关系所研究的变量是对等关系，而 回归分析所研究的变量不是对等关系，分为自变量 和因变量；
B、相关分析对资料的要求是两个变量都必 须是随机变量，而回归分析中自变量是可以控制的 变量（给定的变量），因变量是随机变量。
C、相关分析的目的是研究变量 之间的相关方向、程度以及相关的表现形式是什么； 而回归分析的目的是拟合变量之间的表现形式， （回归方程），并据此进行回归预测。
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2021/5/22
统计学讲义 游士兵
21
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（2）回归模型(the regression model)
一元线性回归模型
多元线性回归模型
介绍
可化为线性回归的曲线回归模型
（3）估计标准误差(standard error of estimate)
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7
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二、相关系数
the correlation coefficient
3
5.0
115
575.0
25.00 13225
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4
3.1
80
9.61
6400
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三、回归模型the regression
model （一）一元线性回归模型的性质 一元线性回归模型是用于分析一个自变量（X）与一个因变量（Y） 之间线性关系的数学方程。其一般形式为： Yc=a+bx 式中：X是自变量， Yc是因变量Y的估计值，又称理论值。
第六章 相关与回归分析
correlation regression analysis
非参数统计学讲义(第五章)相关与回归
非参数统计学讲义主讲：统计系 袁靖第五章 相关和回归§1 引言所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。
换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。
如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X 和文盲率Y 之间的关系等等。
在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。
前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。
相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。
在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量Y 之间的相关性。
)var()var(),cov(),(Y X Y X Y X corr ==ρ1(0.1)对于样本),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 来说，Pearson 相关系数为∑∑∑∑∑∑----=----=222211)()())(()()())((Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r i i i i i i ni i n (0.2)如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是ρ的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是ρ的ML 估计。
为了检验0:0=ρH ，0:1≠ρH ，可以选取统计量)2(~122---=n t r n rt结论：Pearson 相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman 秩相关系数s r 和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。
因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。
§2 两个样本的相关分析一、等级相关等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1ρ度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。
数理统计部分 方差分析与协方差分析 回归方程 非参数统计PPT课件
相应的观测值为x。
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SST
(x i jk x••• ) 2
i jk
SSE
(x i jk x i j• ) 2
i jk
SSA
( x i •• x ••• ) 2
i jk
SSB
( x • j • x ••• ) 2
处理
苗高
1
19, 23, 21, 13
2
21, 24, 27, 20
3
20, 18, 19, 15
4
22, 25, 27, 22
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data ex;do a=1 to 3;do i=1 to 5 ; input x @@; output;end;end; cards; 19 23 21 13 21 24 27 20 20 18 19 15 22 25 27 22 ; proc anova; class a;model x=a; means a/duncan cldiff;run;
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四、双因素协方差分析
• （一）不考虑交互作用的双因素协方差分析
方差来源 平方和 自由 均方和 F值 度
A
QA
r-1 MQA FA
显著性
B
QB
s-1 MQB FB
误差
QE
rs-r-s MQE
总和
QT
rs-2
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data ex;do a=1 to 3 ;do b=1 to 5 ; input x y @ @;output; end; end; cards; 8 2.85 10 4.24 12 3.00 11 4.94 10 2.88 10 3.14 12 4.50 7 2.75 12 5.84 10 4.06 12 3.88 10 3.86 9 2.82 10 4.94 9 2.89 ; proc glm;class a b ;model y=x a b/solution; lsmeans a b/stderr pdiff;run;
统计学相关与回归分析法PPT课件
定量分析
在定性分析的基础上，通过编制相 关表、绘制相关图、计算相关系数
等方法，来判断现象之间相关的方 向、形态及密切程度。
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相关表和相关图
将现象之间的相互关系，用
相关表
表格的形式来反映。
简单 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
分组 相关表
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相关系数 （只研究简单相关系数）
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
线性相关密切程度的统计指标，用r表示
r 2xy
x xy y n
x y
2
2
xx n yy n
x xy y (积差法)
x
2
x
y y2
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令
(
x
x
)(
y
y
)
xy
1 n
x
y
相关系数r的取值范围：-1≤r≤1
r>0 为正相关，r < 0 为负相关； |r|=0 表示不存在线性关系； |r|＝1 表示完全线性相关；
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.3 为微弱相关(基本无关)；
0.3≤ |r| ＜0.5为低度相关； 0.5≤ |r| ＜0.8为显著相关(中度相关) ； 0.8≤ |r| ＜1.0第为22页高/共5度0页 相关(强相关) 。
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
第五章第五章非参数统计非参数统计第一节符号检验和Wilcoxon符号...
第五章非参数统计第五章非参数统计第一节符号检验和Wilcoxon符号秩检验第二节Wilcoxon秩和检验第三节Kruskal-Wallis秩和检验第四节Spearman等级相关分析补：列联表分析非参数统计非正态非数值观测值第一节符号检验和Wilcoxon符号秩检验配对资料符号检验配对资料Wilcoxon符号秩检验符号检验背景：例5-1 素质训练效果配对比较等级数据非正态分布符号检验的计算步骤定义成对数据指定正号或负号的规则;计数正号的个数及负号的个数(如果配对资料的前后没有变化，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小也随之减少);，计算正号个数的概率分布和相应P值样本较小时，应使用二项分布确切概率计算法;样本较大时，常利用二项分布的正态近似。
:0.5H p=例5-1训练可以“提高”身体素质?单侧检验计数正号的个数11，样本量15-1P 值=原假设下“计数正号的个数>=11”的概率，按二项分布B(14,0.5)计算P 值=0.0288<0.05 拒绝原假设利用SAS 软件：先数值化, 再使用univariate （修改程序Chap5_01R, 课本程序对但解释错,光盘程序错）注意：本题单侧检验。
单侧P 值=双侧P 值/20:0.5H p =5.0:1>p H Wilcoxon 符号秩检验例5-2 两种方法的生产时间是否有差异?配对资料数值数据非正态分布符号检验缺点: 丢失了数字大小信息。
Wilcoxon 符号秩检验方法既考虑了正、负号，又利用了差值大小，故效率较符号检验法高（就是说，在固定第一类错误概率α时，犯第二类错误的概率β较小）。
例5-2H0:任务完成时间的两个总体是相同的。
按差值绝对值|D |从秩1开始由小到大排列并给秩R差值为0在排秩中丢弃，样本数目修正遇到相等|D |(tie 结值)，用平均秩符号秩和，W=min (T +,T -)，W 服从Wilcoxon 符号秩分布, W 太小就拒绝H0例5-2: W =5.5<临界值8，拒绝H0∑++=R T ∑−−=R T Wilcoxon 符号秩检验Wilcoxon 符号秩统计量太大的S 值或太小的S 值都是拒绝的依据对于n>20，可用正态检验近似, z 太大或太小就拒绝H0例5-2: z=2.24>临界值1.96 ，拒绝H0(由于本题n=10, 近似法不一定可靠))1,0(~24)12)(1(4)1(N n n n n n T z +++−=+4)1(+−=+n n T S H0平均SAS 实现Chap5_02使用Proc univariate normal本题双侧检验，直接用双侧P 值与α比较符号检验，接受H0 （较保守，倾向接受, 稳妥）符号秩检验，拒绝H0（较中庸）正态性检验通过，所以也可用t 检验，拒绝H0（较激进，倾向拒绝, 效率最高）综合结论：拒绝H0小结：配对样本的检验符号检验：差值不是具体数字；Wilcoxon 符号秩检验：差值是具体数字，但不服从正态分布差值t 检验：差值是具体数字，且服从正态分布第二节Wilcoxon 秩和检验例5-3 机票Cancel 问题检验两个独立样本是否来自相同的总体。
第5讲 非参数检验.ppt
非参数统计检验是一种这样的检验，其模型对于被抽样总体的 参数不规定条件，即非参数检验是不依棘总体分布的统计检验 方法，是指在总体不服从正态分布且分布情况不明时，用来检 验数据资料是否来自同一个总体假设的一类检验方法。
一、单样本非参数检验
单样本非参数统计检验方法可以检验只需抽取一个样本的假设。 该检验是检验某特定样本是否来自于某指定的总体。
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配对资料的符号秩和检验 （Wilcoxon配对法）
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例6-1 某医院对12例患者进行“巩 膜瓣下灼烙角膜咬切术”，手术前后的 视力如表6-1，问手术后视力是否有改 善？
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病人编号 （1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4.1 4.5 4.7 4.0 4.1 5.2 4.1 4.1 4.8
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本例是检验均匀分布的。 Close
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H 0: 20 2 22 /2(n 1 )或 21 /2 2(n 1 ) 也 就 是 P (22 /2(n 1 )) =/ 2 P (2 C lo1 s e/2 2(n 1 ))= /2
二、二项检验 对于任意的两类总体，如果已知其中一类事件所占的比例为P， 那么另一类所占的比例为1-P，
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非参数统计讲义通用课件
假设检验方法
总结词
假设检验方法用于检验一个关于总体 参数的假设是否成立。
详细描述
假设检验方法包括提出假设、构造检 验统计量、确定临界值和做出决策等 步骤。常见的假设检验方法有t检验、 卡方检验、F检验等，用于判断样本数 据是否支持假设。
关联性分析方法
总结词
关联性分析方法用于研究变量之间的相关性。
02
非参数统计方法
描述性统计方法
总结词
描述性统计方法用于收集、整理、描述数据，并从数据中提取有意义的信息。
详细描述
描述性统计方法包括数据的收集、整理、描述和可视化，例如均值、中位数、 众数、标准差等统计量，以及直方图、箱线图等图形化表示。这些方法可以帮 助我们了解数据的分布、中心趋势和离散程度。
非数统计与机器学习算法的结 合将有助于解决复杂的数据分析 问题。
02
与大数据技术的融 合
非参数统计将借助大数据技术处 理海量数据，挖掘数据背后的规 律和模式。
03
与社会科学研究的 互动
非参数统计方法将为社会科学研 究提供更有效的研究工具和方法 。
决策树分析方法
总结词
决策树分析方法是一种基于树形结构的非参 数统计学习方法。
详细描述
决策树分析方法通过递归地将数据集划分为 更小的子集，构建出一棵决策树。决策树的 每个节点表示一个特征属性上的判断条件， 每个分支代表一个可能的属性值，每个叶子 节点表示一个分类结果。决策树分析可以帮 助我们进行分类、预测和特征选择等任务。
非参数统计的发展趋势
多元化发展
非参数统计将不断拓展其应用领域，从传统的医学、生物 、经济领域向金融、环境、社会学等领域延伸。
01
算法优化
随着计算能力的提升，非参数统计的算 法将进一步优化，提高计算效率和准确 性。
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非参数统计学讲义主讲：统计系 袁靖第五章 相关和回归§1 引言所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。
换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。
如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X 和文盲率Y 之间的关系等等。
在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。
前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。
相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。
在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量Y 之间的相关性。
)var()var(),cov(),(Y X Y X Y X corr ==ρ1(0.1)对于样本),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 来说，Pearson 相关系数为∑∑∑∑∑∑----=----=222211)()())(()()())((Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r i i i i i i ni i n (0.2)如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是ρ的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是ρ的ML 估计。
为了检验0:0=ρH ，0:1≠ρH ，可以选取统计量)2(~122---=n t r n rt结论：Pearson 相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman 秩相关系数s r 和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。
因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。
§2 两个样本的相关分析一、等级相关等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1ρ度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。
1．基本方法两个样本X 、Y ，其观察数据可以配对为),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 。
将n x x x ,,,21 排序后评秩，其秩记作U ，与i x 相对应的秩为),,2,1(n i U i =；同样，n y y y ,,,21 排序后评秩，秩记作V ，与i y 相对应的秩为),,2,1(n i V i =。
这样得到的n 对秩),(11V U ，),(22V U ，…，),(n n V U 可能每一对完全相等，也可能不等。
由于每一样本都是n 个数据评秩，因此i U 与i V 的取值都是从1到n 。
X 、Y 的秩可能完全一致，即对于所有的i 来说，有i U ＝i V ，表5—1是完全一致的评秩结果。
X 、Y 的秩可能完全相反，表5—2是完全相反的评秩结果。
如果X 、Y 完全相关，应该对于所有的i 有i U ＝i V ，即i U —i V ＝0。
因此，i U 与i V 之差可以用来度量X 、Y 的相关程度。
定义i i i V U D -=X 的秩 Y 的秩 1 1 2 2 ……n －1 n －1 nn X 的秩 1 n 2 n －1 …… n －1 2 n 1i i i D 可正可负，直接用∑=ni i D 1测度相关，会出现正负i D 抵消，而不能真实反映i U 与i V 差值的大小，所以宜采用∑=ni i D 12，即∑∑==-=ni i i ni i V U D 1212)((0.3)（5.3）式的这个秩差值平方和的大小既受到n 的多少的影响，又受到两组秩不一致程度的影响，因此，采用相对的测量指标有利于说明X 、Y 的相关程度。
因为∑2i D 的最大值反映X 、Y 完全不相关的情况，所以，用（5.3）式除以∑2i D 的最大值，可用来评价X 、Y 之间秩的差值是否与完全不相关时接近。
若实际计算的∑2i D 与X 、Y 完全不相关情况下的∑-2)(i i V U 接近，那么两个样本的相关程度较低，若实际计算的∑2i D 与∑2i D 最大值的比越小，则两个样本的相关程度越高。
∑2i D 的最大值即X 、Y 间完全不相关情况下的秩差值平方和，可以根据表5—2所列的数据计算。
因为这是X 、Y 完全不相关的评秩结果。
∑2i D 的最大值为3/)1(])3()1[(2)1()]1(2[]2)1[()1(2222222-=+-+-=-+--++--+-n n n n n n n n(0.4)（5.4）式的中括号内最后一项，当n 为奇数时是22；n 为偶数时是12。
（5.3）式除以（5.4）式得到)1(33/)1(2222-=-∑∑n n D n n D i i (0.5)（5.5）式的取值从0到1。
根据表5-1中的数据计算（5.5）式值为0，表5-2中的数据计算的（5.5）式值为1，即X 、Y 的秩完全一致时，（5.5）式的值为0，X 、Y 的秩完全不一致时，（5.5）式的值为1。
测度两个样本等级相关程度可以象参数方法一样，定义等级相关系数作为标准。
斯皮尔曼的等级相关系数(Spearman coefficient of rank correlation)是测定两个样本相关强度的重要指标。
其计算公式为)1(6122--=∑n n D R i (0.6)斯皮尔曼相关系数也写为s r ，在有下标注以s 是为表明这个相关系数r 不是积矩相关的简单相关系数，而是等级相关的Spearman 相关系数。
注：①由于（5.6）式与（5.5）式不同，所以，R 的取值从一1到十1，1=R 表明X 、Y 完全相关，R ＝十l 为完全正相关，R ＝一1为完全负相关。
R 越接近于l ，表明相关程度越高，反之，R 越接近于零，表明相关程度越低，R ＝0为完全不相关。
R ＞0为正相关，R ＜0为负相关。
通常认为8.0>R 为相关程度较高。
②Spearman 秩相关系数检验临界值查表可得，P198。
③存在打结时，Spearman 统计量要作相应修正。
④在大样本时，可用正态近似作检验。
)1,0(1N n n r Z s ∞→-=2．应用【例5-1】经济发展水平和卫生水平之间的相关分析对某地区12个街道进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定的标准打分，评定结果如表5—4。
街道号 经济水平卫生水平 街道号 经济水平 卫生水平1 82 86 7 84 80 2 87 78 8 78 773 60 65 9 80 754 98 88 10 94 96 575641185856 89 90 12 68 70序尺度测量的样本进行相关分析，可以采用等级相关系数测定。
必要的计算过程如表5—5所列。
根据（5—6）式可得8881.01119.01)112(123261)1(61222=-=-⨯-=--=∑n n D R i由于R ＝0．888l ＞0．8，所以该地区的经济发展水平和卫生水平存在着正相关关系，相关程度较高，为88．81％。
街道号 经济水平（U ） 卫生水平（V ）D=U-V D 1 6 9 -3 9 2 9 6 3 9 3 1 2 -1 1 4 12 10 2 4 5 3 1 2 4 6 10 11 -1 1 7 7 7 0 0 8 4 5 -1 1 9 5 4 1 1 10 11 12 -1 1 11 8 8 0 0 12 2 3 -1 1 合 计323．同分处理当观察值是评的分数时，可能在同一个样本中出现相同的评分，如成绩都是80等等。
同分的秩仍旧是等于几个同分值应有秩的平均值。
如果同分的比例不大，它们对秩相关系数及的影响可以忽略。
但若同分的比例较大，则计算只时应加入一个校正因子。
对于X 的同分校正因子为12)(3∑∑-='i i u u u ，Y 的同分校正因子为12)(3∑∑-='i i v v v 。
于是斯皮尔曼秩相关系数的计算公式为：v n n u n n v u D n n R i '--'--'+'---=∑12)1(12)1()(66)1(2222 (0.7)式中，u 是X 中同分的观察值数目，v 是Y 中同分的观察值数目。
【例5-2】经济发展水平和卫生水平之间的相关分析某地区对24个区县进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定标准评分，结果如表5—6。
分析：将表5—6的评分转换为秩次，从高往低排序，同分的秩取平均值，结果见表5—7。
根据公式5.6计算8491.01509.01)124(2434761)1(61222=-=-⨯⨯-=--=∑n n D R i由于经济水平和卫生水平的评分中均有同分，应采用校正因子修正。
利用5.7式计算修正的R 为8490.012)575(2416)575(24)1216(2/1)347(6)575(2412)1(12)1()(66)1(2222=-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯='--'--'+'---=∑v n n u n n v u D n n R i对比两个R 值可知，由于同分的观察值数目占观察值总数目的比例不是很大，因而校正后的R 与校正前的R 变化不大。
但是，校正前的只略大于校正后的R ，这说明同分对只的影响虽然很小，但同分的影响是夸大R 值。
因此。
在X 、Y 中至少有一个存在大量同分时，应进行校正。
区县编号X的秩次（U）Y的秩次（V）D=U-V D1 1 14 -13 1692 2.5 3.5 -1 13 2.5 2 0.5 0.254 4 1 3 95 5 5 0 06 6 6 0 07 7 11 -4 168 8 3.5 4.5 20.259 9.5 9 0.5 0.2510 9.5 10 -0.5 0.2511 11 16.5 -5.5 30.2512 12.5 8 4.5 20.2513 12.5 15 -2.5 6.2514 14 7 7 4915 15 12 3 916 16 13 3 917 17 18 -1 118 18 16.5 1.5 2.2519 19 20 -1 120 20 19 1 121 21 21 0 022 22 22 0 023 23 24 -1 124 24 23 1 1 合计347.004．R的显著性检验利用相关系数及其修正的公式计算的R值，是抽自两个总体的样本数据计算的结果，从这一相关系数的大小，可猜测总体的秩相关系数是否与零有显著差异，但是否为真，应进行假设检验。
对R的显著性检验正是为了回答这一问题。
检验可以仅研究两个总体是否存在相关，也可以分别研究相关的方向，即是正相关，还是负相关。
针对研究问题的不同，可以建立不同的假设组。