等差数列的性质
等差数列的性质
教学内容【知识结构】1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=[或=n a d m n a m )(-+]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn --4.等差中项：定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+【例题精讲】例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，判断数列{a n }是否是等差数列？ 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数∴{a n }是等差数列解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结1. 等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d a d nd n N =+-=-+∈； 首项:1a ；公差: d ；末项:n a .推广：d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d m n --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中,A B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为21n +的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5. 等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）中项公式法：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）通项公式法：数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）前n 项和公式法：数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中,A B 是常数）。
6. 等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． 7. 考点提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列常用性质
合作探究：问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2ba A +=反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n的数列的图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n ma a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )例1在等差数列{na }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n是不是一个与n 无关的常数。
等差数列掌握等差数列的概念与性质
等差数列掌握等差数列的概念与性质等差数列是数学中的重要概念，它在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
本文将介绍等差数列的概念与性质，并探讨其在数学和实际应用中的重要性。
一、等差数列的概念等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。
换句话说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则根据等差数列的定义，可得该数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列中的第n个数。
二、等差数列的性质1. 公差的性质：等差数列的公差d是常数，它决定了数列中每两个相邻项之间的差值。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来求解数列中任意一项的数值。
通项公式可以通过观察数列中的规律来得到，也可以通过公式推导得到。
3. 首项与末项：等差数列的首项和末项可以利用通项公式求解。
首项即为数列中的第一个数，末项即为数列中的最后一个数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式进行计算。
求和公式可以用来计算数列中任意一段连续项的和。
5. 数列的性质：等差数列具有数学性质，比如对称性、递推性等。
这些性质在解决实际问题时常常起到重要的作用。
三、等差数列的重要性等差数列在数学中有着广泛的应用，尤其是在代数学和数学分析中。
它不仅是数学理论的重要基础，也是其他数学分支的重要工具。
同时，等差数列也有广泛的实际应用。
在自然科学、工程技术、经济管理等领域中，等差数列常常被用来描述一些周期性的变化规律。
比如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体在等时间间隔内的位移变化；在经济学中，等差数列可以用来描述某种资源的消耗或增长规律。
此外，等差数列还可以在求解一些实际问题时起到重要的作用。
比如，在工程规划过程中，通过分析等差数列可得到一些有用的结论，从而为决策提供科学依据。
综上所述，等差数列的概念与性质在数学和实际问题中都具有重要的作用。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
等差数列的性质
必须一样多
(5)a 3 a 4 a5 4a 3
a1 an a2 an1 a3 an2 ak ank1
例1.
已知数列{an}是等差数列，且a1 2,它的前五项和为20， 求a3
S2n1 2n 1 an
例题分析 例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
等差数列的性质三 1) 等差数列{an}的子数列也成等差数列。
K1,k2,k3,…,kn成等差数列
ak1 ,ak2 ,ak3 ,L ,akn 成等差数列
等差数列的下标成等差数列，则下标所对的 项也成等差数列。
如 a1、a4、a7 L ;a2、a5、a8 L ;a3、a6、a9 L ;
成等差数列。
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数列,若m n p q(m, n, p, q N *),
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质二
“若下标和相等，则对应项的和相等”
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+， 且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断： (1)a 3 a5 a1 a7
可推广到三项， 四项等
(2)a 1 a 4 a6 a3 a8
注意：等式两
(3)a 1 a5 a6 a 2 a3 a7 边作和的项数
(4)a 3 a 4 a5 3a 4
a8＝a1＋7d＝5
⇒a1＝19， ⇒ d＝－2 an＝19＋(n－1)×(－2)，
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
等差数列的性质与求和
等差数列的性质与求和等差数列是数学中的重要概念之一，它的性质和求和公式在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，探讨其求和公式的推导，并结合实例进行说明。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n为项数根据等差数列的性质，我们可以得出以下几个重要的结论：1. 第n项与首项的关系第n项可以通过首项与公差相乘再加上n-1乘以公差来求得。
2. 公差与项数的关系项数n可以通过首项与第n项的差值再除以公差加1来求得。
3. 项数与和的关系项数n与等差数列的和Sn之间存在如下关系：Sn = (a + an) × n / 2这个公式是等差数列求和的基本公式，可以通过将首项与尾项相加再乘以项数的一半得到。
通过以上性质，我们可以更好地理解等差数列的规律，并在解决问题时运用这些性质。
二、等差数列求和公式的推导为了得到等差数列求和的公式，我们可以利用数列的性质和一些数学推导。
设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，数列的和为Sn。
首先，我们可以通过数列的性质得到：Sn = (a + an) × n / 2将an替换为a + (n-1)d得到：Sn = (a + (a + (n-1)d)) × n / 2化简后得：Sn = (2a + (n-1)d) × n / 2进一步化简可得：Sn = (2a + (n-1)d) × (n/2)Sn = (2a × n + (n-1)d × n) / 2Sn = (2an + dn^2 - dn) / 2Sn = an + dn^2/2 - dn/2注意到等差数列的首项为a，最后一项为an，将其替换进去得：Sn = a + (n-1)d + dn^2/2 - dn/2Sn = a + dn(n-1)/2这就是等差数列求和的公式。
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3.2等差数列的性质
教学目标：
1、掌握等差中项的概念和应用。
2、理解等差数列的简单性质。
3、理解和掌握等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-以及其推导过程。
教学重难点：
1、 等差中项的应用。
2、 等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-的推导及应用。
3、 等差数列其他性质的推究。
内容分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数列的性质。
教学过程：
1、 复习回顾：
等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示。
等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，（n=1、2、3……）
{}n a 是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列{}{}()212n n a a -还是等差
数列，公差是2d 。
新课讲授：
ⅰ思考题目：在x 、y 之间插入一个数A ，使得x 、A 、y 成等差数列，问A 与x 、y 之间有何关
系。
（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分析推导过程）
评讲及过程分析： A —x=y —A ………………（根据等差数列的定义）
2A=x+y
A=x 2
y + 归纳：若x 、A 、y 成等差数列，则A=
x 2y +。
提问 反过来若A=x 2
y +，是否能推倒出若x 、A 、y 成等差数列？ （先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A —x=y —A ，则x 、A 、y 成等差数列。
总结：x 、A 、y 成等差数列⇔ A=
x 2y +（充要条件） 定义：若x 、A 、y 成等差数列，则A 叫做x 、y 的等差中项。
拓展提问：
①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？
（中间项×2=两端项之和）
②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗?
（对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项
对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项）
例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？
分析讲解：设这3个数分别是x 、y 、z ，由9、x 、y 、z 、17成等差数列，等差数列中下标为
奇数的项也成等差数列，则
y=917132+=，x=9y 9131122++==，z=y 1713171522
++== ⅱ提问：等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，求n a ，若不知1a ，已知2a 是否可以求n a ？
34a a 、呢？（讨论思考）
解答分析：思路一
()11n a a n d =+- ()11n a a n d =+- ()11n a a n d =+-
=()12a d n d ++-（） = ()123a d n d ++-（） =()134a d n d ++-（） =()22a n d +- =()33a n d +- =()44a n d +- 观察：所求项的下标=已知项的下标+d 的系数
才想：是否可以一般化为()n m a a n m d =+- （请同学们思考，请同学回答）
讲评分析：()11n a a n d =+-① ()m 1m 1a a d =+-②
①-②得： ()()n 1111m a a a n d a m d -=+----=()m n d -
所以()n m a a n m d =+-（当m=1时，即为通项公式）
思路二：1231,m m n a a a a a a -、、成等差数列，将121m a a a -、去掉，余下的m n a a ，n-m+1
项仍为等差数列，则m a 为新的等差数列的首项，公差d 不变，由通项公式有
()()11n m m a a n m d a n m d =+-+-=+-；
问：n 、m 的大小有规定吗？
① n>m 时，从推导过程看成立；
② n=m 时，成立；
③ n<m 时，可将m n a a 和的位置调换：()m n a a m n d =+-，移项得：
()n m a a n m d =+-
总结：()n m a a n m d =+-成立，只需满足m +∈、n 即可。
例：等差数列中，183295,123,199n a a a ===，求n.。
（让学生思考解答）
首先确立函数的方程，由
()n m a a n m d =+- 有
()3218321812395142a a d d d =+-⇒=+⇒=
()()181821999521870n a a n n n =+-⨯⇒=+⨯-⇒=
归纳：两次运用了()n m a a n m d =+-
ⅲ 提问：从等差数列中取4项，下标分别为：n ,m ,k ,l 且n+m=k+l ，则相应的项,,,n m k l a a a a 有
什么关系？（请学生思考解答）
分析讲评：()11n a a n d =+-① ()m 1m 1a a d =+-②
()k 11a a k d =+-③ ()11l a a l d =+-④
①+②得 ()122n m a a a n m d +=++-
③+④得 ()122k l a a a k l d +=++-
由n+m=k+l 得()()112222a n m d a k l d ++-=++-
n m k l a a a a +=+
当k=l 时n+m=2k 2n m k a a a +=，k a 为n m a a 、的等差中项。
例 34567450a a a a a ++++=，问 28a a +=？（学生思考回答）
分析讲评： 374655290a a a a a a +=+=⇒=
则2852180a a a +==
巩固练习：
（1）已知3912912a a a ==，求
（2）{}n a 是等差数列，已知1649127a a a a +==问求
（3）3个数成等差数列，他们的和为18，平方和为116，求这3个数。
课堂小结：
（1）若x 、A 、y 成等差数列，则A 叫做x 、y 的等差中项，且满足
x 、A 、y 成等差数列⇔ A=x 2
y +（充要条件） （2）取等差数列中下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列还是等差数列，公差
是2d
(3) 等差数列通项公式的一般形式:()n m a a n m d =+-( m +∈、n )
（4）取等差数列中的4项，,,,n m k l a a a a ，若n+m=k+l ，则n m k l a a a a +=+
课后作业：
课本第115页，第3、10、11题。