绝对值不等式的证明与应用

2 2 2 2
即证 ab ab . 而 ab ab 显然成立．
从而证得 a b a b a b .
定理探索
还有别的证法吗？ 由 a a a 与 b b b ， 得 a b a b a b .
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆
3 b 求证 x 2 y 3 z .
xa 2M
,0 y b
，
求证 xy ab . 证明： xy
ab xy ya ya ab y x a a y b
2M a 2a .
y xa a yb M
用 x a a x a 可得什么结论？
a b a b.
定理探索
能用已学过得的 a b a b
证明 a b a b 吗？ 可以 a 表示为 a a b b .
a a b b a b b .
即a b a b . 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 a b ab a b .
怎么证明你的结论呢？
定理探索
用分析法，要证
2
ab a b
2
，
只要证 a b a b . 即证 ab ab . 而ab ab 显然成立， 故 a b a b.
那么怎么证 a b a b ？ 同样可用分析法，
定理探索
当 a b 0 时，显然成立， 当 a b 0 时，要证 a b a b . 只要证 a 2 a b b a 2 ab b ，
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
a a b 0 . ab a b ， b b
当 a 0 时，有：x a x a x a
2 2
或 x a .
定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差， 我们猜想：
a b a b a b.
a n l 1,
1

1 ar
.
Aa
2
求证 a n l 1 .

, Bb
，求证：
① A B a b ； ② A B a b .
2
3．求证 x
1 x
2
x
0
.
小结
1．定理 a b a b a b . 把 a 、
用定理 a b a b a b 及其推论． 3．对 a b a b ab 0，
a b a b ab 0 要特别重视.
作业
1．若 x a m , y a n ，则不列不等式 一定成立的是（ ）．
A． x y 2 m C． x y n m B． x y 2 n D． x 值的有关概念， 请说出绝对值是怎样定义的？
a a 0 ; a 当 a R 时，则有： 0 a 0 ; a a 0 .
那么 a 与 a 及 a 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当 a 0时，a a , a a ； 当 a 0时， a a a ； 当 a 0时， a a a . 综上可知： a a a .
这就是定理的一个推论，由于定理中
对 a , b 没有特殊要求，如果用 b 代换 b 会有什么结果？
推论
a b a b a b，
用 b 代 b 得 a b a b a b ，
即 a b a b a b. 这就是定理的推论 2 . a b a b 成立的充要条件是什么？
推论
由于定理中对 a , b 两个实数的绝对值， 那么三个实数和的绝对值呢？ n n N 个实数和的绝对值呢？ 亦成立 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3
a1 a 2 a n a1 a 2 a n
n n N
b 、a b 看作是三角形三边，很象三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样
理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可 以推广到比较复数的模长，并有其几何意义， 有时也称其为“三角形不等式”.
小结
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝 对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可 平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需
例题
例3 求证
ab 1 a b a 1 a b 1 b
.
1 1
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 a b 0 时，左边
1 1 a b 1 a b 1 a b b 1 a b
ab 1




a 1 a

b 1 b
.
练习
1．①已知 x r 0 , a 0 ，求证 ax ②已知 2．已知
a b a b a b 2 ab
2 2
a 2 ab b
2
2
ab ab ab 0
那么 a b a b 成立的充要条件是什么？ ab 0 .
例题
例1 已知 x 例2 已知

, y

, z
9
，

2a , y 0 , M
2．设 a , b 为满足ab 0 的实数，那么（ ）．
A．a b a b C．a b a b B． a b a b D． a b a b
作业
3．能使不等式
n n 1 1 1 5
成立的正整数 n 的
值是__________.
4．求证： （1） a b a b 2 a ；
（2） a b a b 2 b . 5．已知 f a f b a b ，
求证 f x 1 x 2 .