高中数学经典例题错题详解

高中数学经典例题错题

详解

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（）

M N

A M N

B

M N

C

M N

D

映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）

映射与函数的区别与联系：

函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。

映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B 的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射

方向性

上题答案应选 C

【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素

【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为

（2 +1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A 中的对应元素为1

【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B

的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A 到集合B的映射共有 n m 个；集合B到集合A的映射共有 m n个，所以答案为23=9；32=8

【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（）

A、f(x) ﹥0

B、f(x) ﹤0

C、f(x)·f(-x)≤0

D、f(x)-f(-x) ﹥0

奇函数性质：

1、图象关于原点对称；?

2、满足f(-x) = - f(x)?；

3、关于原点对称的区间上单调性一致；?

4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；?

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

偶函数性质：

1、图象关于y轴对称；?

2、满足f(-x) = f(x)?；

3、关于原点对称的区间上单调性相反；?

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有

f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

基本性质：

唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有

x，f(x)=0)。

通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x2。

两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。

两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。

两个偶函数的乘积为一个偶函数。

两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。

两个偶函数的商为一个偶函数。

两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。

一个偶函数的导数为一个奇函数。

一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数

【分析】f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，

当X﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A正确，B错误；

f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C错误；

f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误

【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=

x

x

-+11，求：（1）f(5)的值；

（2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式

【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】

（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=）（）（5--15-1+=—3

2

（2）当x ≤0时，f(x)=0 可求x ，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x ，

即当x ≤0时，x

x

-+11=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，

x=±1

（3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=

)(1)(1x x ---+=x

x

+-11

【例6】 若f(x)=e x

+ae -x

为偶函数，则f(x-1)＜e

e 1

2+的解集为（ ）

A.（2，+∞）

B.（0,2）

C.（-∞，2）

D.（-∞，0）∪（2，+∞）

【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用

【分析及解答】

根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可 ∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x = f(x)= e x +ae -x ，∴a=1， ∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，

则由f(x-1)＜e

e 1

2+=e+e 1， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B

正确

【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键

【例7】 函数f(x)=2

1x

b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21

)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0

【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析及解答】

（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，

由f(21)=52，所以2

)2

1(121+a

=52，得出a=1，所以f(x)= 2

1x x + （2） 根据函数单调性的定义即可证明

任取-1 ＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=

2

1

11x x +—

2

2

21x x +=

)

1)(1()1)((2

22

12121x x x x x x ++--

因为-1 ＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2) ＜0，

得出f(x 1) ＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数

（3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到

定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)

在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○1， 因为-1 ＜2x-1＜1○2，-1 ＜x ＜1○3，联立○1○2○3得 0 ＜ x ＜3

1

，所以解不等式f(2x-1)+

f(x) ＜0的解集为（0，3

1

）

【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。

【例8】 定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等式x f(x) ＜0的解集为（ ）

【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用

【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出f(x)草图，根据图像可解不等式。

解：∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）上也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0 作出f(x)的草图，如图所示：

由图像得：x f(x) ＜0??????0)(0x f x 或?????0)(0

x f x ?0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0，

∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪

（0，3）

【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。

【例9】 已知f （x+1）的定义域为[-2,3]，则f （2x+1）的定义域为（ ）

抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求f （x ）的定义域：利用a ＜x ＜b ，求得g （x ）的范围就是f （x ）的定义域；（2）函数y=f （x ）的定义域是（a ，b ），求y=f[g(x)]的定义域：利用a ＜g(x)＜b ，求得x 的范围就是y=f[g(x)]的定义域。 【考点】 函数定义域极其求法

【分析及解答】 由f （x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f （x ）的定义域，再由2x+1在函数f （x ）的定义域内求解x 的取值集合，得到函数f （2x+1）的定义域。

解：由f （x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4

?0≤x ≤2

5

∴ f （2x+1）的定义域是[0，2

5

]，故选A

【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数f[g(x)]的定义域是（a ，b ），求函数f （x ）的定义域，就是求x ∈（a ，b ）内的g(x)的值域；给出函数f （x ）的定义域是（a ，b ），只需由a ＜g(x) ＜b ，求解x 的取值集合即可。

【例10】 已知函数f(x)=x 7+ax 5+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ）

A. -15

B. 15 【考点】 函数的值；奇函数

【分析及解答】 令g(x)= x 7+ax 5+bx ，则g(-3)=

【例15】已知函数f(x)=x 2

+ax+3，（1）当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；（2）当x ∈[-2,2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围 解（2）函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a ／2，依题意得

①当-a ／2≤-2时，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-2)=4-2a+3≥a ，无解 ②当-2＜-a ／2＜2，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(-a ／2)≥a ，得-4＜a ≤2 ③当-a ／2≥2时，当x ∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a 即：f(2)=4+2a+3≥a ，得-7≤a ≤-4

综上所述得：-7≤a ≤2 解法2：

【例16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）

A. y=3

9x 2--x 与y=x+3 B. y=12-x 与y=x-1

C. y=x 0

(x ≠0)与y=1（x ≠0） D. y=2x+1（x ∈Z ）与y=2x-1（x ∈Z ）

解：A. y=3

9

2--x x =x+3（x ≠3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；

解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应表值（下表）和图象

15、函数bx ax x f +=2

)( （a ≠0）满足f(-3)=2，则f （3）的值为（ ）

16、函数14--)(2

+=x x x f （-3≦x ≦3）的值域是（ ） 解:14--)(2

+=x x x f =—（x+2）2

+5 （-3≦x ≦3）

当x=-2时，函数最大值为5，当x=3时函数有最小值为-20

17、偶函数f(x)的定义域[-5,5]，其在[0,5]的图象如图所示，则f(x)的解集为（ ）

本题考查偶函数的性质，函数的单调性及应用和不等式的解法，数形结合思想. 当时，函数图像如图，由图知：只有当

时，函数

的图像在x

轴上方，即时，因为函数

收偶函数，偶函数的图像关于y 轴

对称，所以时，函数

的图像在x 轴上方时，只有

则不等

式

的解集为

故选D

18、如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]行单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）≦-3 ≧-3 ≦5 ≧5

19、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a ，b ，总有

b

a b f a f --)

()(>0成

立，则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加，后减少 D.函数)(x f 是先减少，后增加

解：利用函数单调性定义，在定义域上任取x 1，x 2∈R ，且x 1

b

a b f a f --)

()(>0

所以f(a)-f(b)<0，所以)(x f 在R 上是增函数。

20、对于定义域R 上的函数f(x)，有下列命题：（1）若f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上时减函数；（2）若f(x)满足f(-2)=f （2），则函数f(x)不是奇函数；（3）若函数f(x)在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞）也是减函数，则f(x)在R 上也是减函数；（4）若f(x)满足f （-2）=f(2)，则函数f(x)不是偶函数；其中正确的是_____________________

由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A(0,1)?；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B(-1/3,2/3)?；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C(-1/4,1/2).?由图像容易看出：

1）x ＜-1/3时，三直线的最大值是y=-2x,所以在此时f(x)=-2x;? 2)-1/3≤x ≤0时，三直线的最大值是y=x+1,所以此时的f(x)=x+1;? 3)x ＞0时，三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的f(x)=2x+1.? 所以f(x)?=-2x ；(x ＜-1/3)?,x+1；(-1/3≤x ≤0)?,2x+1.?(x ＞0)?

1)考察函数的图像（由射线—线段—射线组成的折线）可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.

31、已知函数f(x)=x 2

+ax+3，（1）当X ∈R 时，f(x)≧a 恒成立，求a 的取值范围；（2）当X ∈[-2,2]时，f(x)≧a 恒成立，求a 的取值范围；（3）若对一切a ∈[-3，3]，不等式f （x ）≥a 恒成立，那么实数x 的取值范围是什么

1）f （x ）≥a 即x 2+ax+3-a ≥0，要使x ∈R 时，x 2+ax+3-a ≥0恒成立， 应有△=a 2-4（3-a ）≤0，即a 2+4a-12≤0，解得-6≤a ≤2；

（2）当x ∈[-2，2]时，令g （x ）=x 2+ax+3-a ，当x ∈[-2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，

转化为g （x ）min ≥a ， 分以下三种情况讨论：

①当-a/2≤-2，即a ≥4时，g （x ）在[-2，2]上是增函数，

∴g （x ）在[-2，2]上的最小值为g （-2）=7-3a ，∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解

②当-a/2≥-2，即a ≤4时，g （x ）在[-2，2]上是递减函数，

∴g （x ）在[-2，2]上的最小值为g （2）=7+a ，

∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4

③当-2

在[-2，2]上的最小值为34

)2(2

2+--

=a a a g ?

7≤a ≤2；

（3）不等式f （x ）≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令h(a)=(x-1)a+x 2+3，要使h(a)

≥0在[-3,3]上恒成立，只需???≥≥-0)3(0)3(h h 即???≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或

x ≤-3