微细观尺度下欧拉梁的力学模型及有限元分析
压电型Euler—Bernoulli梁的有限元分析方法
压电型Euler—Bernoulli梁的有限元分析方法
孙成疆;张陵
【期刊名称】《工程力学》
【年(卷),期】1998()A01
【摘要】本文运用微分方程等效积分形式导出的虚位移原理和智能压电材料的压电效应提出了一种表面粘贴有ＰＶＤＦ压电薄膜的Ｅｕｌｅｒ－Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁单元模型；由有限单元法给出了运动微分方程，通过数值计算，将所得结果与有关文献进行了对比分析和研究。
【总页数】5页(P444-448)
【关键词】智能;压电材料;有限元;等效积分;E-B梁;振动控制
【作者】孙成疆;张陵
【作者单位】西安建筑科技大学;西安交通大学工程力学系
【正文语种】中文
【中图分类】TM22;TB123
【相关文献】
1.基于模态应变能法功能梯度Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁模型对损伤识别的影响分析 [J], 岳世燕;杨真真;谢峰;黄立新
2.Bernoulli-Euler梁振动的人工神经元网络控制方法 [J], 杨济臣;侯志强;王校锋
3.含裂纹功能梯度Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁的屈曲载荷计算与分析[J], 魏东;刘应华
4.粘贴压电层Euler-Bernoulli梁的过曲屈分析 [J], 邵乾宏;李清禄
5.Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁计算I字型钢简支梁固有频率的临界长细比探讨 [J], 刘玉丽;刘海波
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《基于三维细观模型的混凝土损伤力学行为研究》范文
《基于三维细观模型的混凝土损伤力学行为研究》篇一一、引言混凝土作为建筑结构的主要材料，其力学性能的研究对于保障建筑安全具有重要意义。
混凝土损伤力学行为的研究是该领域的重要方向之一，而基于三维细观模型的混凝土损伤力学行为研究更是近年来研究的热点。
本文旨在通过建立三维细观模型，研究混凝土在受外力作用下的损伤力学行为，为混凝土结构的强度、耐久性和安全性的评估提供理论依据。
二、混凝土三维细观模型的建立为了更好地研究混凝土损伤力学行为，首先需要建立精确的三维细观模型。
该模型应包括混凝土内部的骨料、砂浆和孔隙等细观结构。
目前，随着计算机技术的不断发展，数字图像处理技术和有限元分析方法为建立混凝土三维细观模型提供了可能。
在建立模型时，需要收集混凝土试样的微观图像，如骨料形状、大小及分布等。
然后利用数字图像处理技术对图像进行处理，提取出骨料、砂浆和孔隙等细观结构的几何信息。
接着，采用有限元分析方法，将提取出的几何信息转化为三维细观模型。
在建模过程中，还需考虑混凝土的孔隙率、骨料含量和骨料粒径等因素对模型的影响。
三、混凝土损伤力学行为的研究在建立了精确的三维细观模型后，可以通过有限元分析方法研究混凝土在受外力作用下的损伤力学行为。
具体而言，可以模拟混凝土在单轴、双轴或多轴应力状态下的受力过程，观察混凝土内部的应力分布、裂纹扩展等情况。
此外，还可以通过改变模型的孔隙率、骨料含量和骨料粒径等因素，研究这些因素对混凝土损伤力学行为的影响。
在研究过程中，需要关注混凝土的损伤演化过程。
混凝土的损伤包括微观裂纹的萌生、扩展和贯通等过程，这些过程都会导致混凝土的力学性能发生变化。
因此，需要采用合适的损伤本构模型来描述混凝土的损伤演化过程。
四、结果与讨论通过有限元分析，可以得到混凝土在受外力作用下的应力分布、裂纹扩展等情况。
同时，还可以得到混凝土在不同孔隙率、骨料含量和骨料粒径等因素下的损伤演化规律。
这些结果可以为混凝土结构的强度、耐久性和安全性的评估提供理论依据。
欧拉梁方程有限差分
欧拉梁方程有限差分欧拉梁方程是物理学和工程学中最基本的物理模型之一，可以用来解释许多现象，比如传播、振动、热传导等等。
这一方程也是日常生活中最普遍的物理模型，比如人们会在摆动秋千或滑板时用到它。
欧拉梁方程有限差分法是一种用来求解欧拉梁方程的数值求解方法，它利用近似的微分方程来把欧拉梁方程的复杂的数学模型简化成数值的形式。
有限差分法是一种有效的、简单的和快速的数值求解方法，它可以在不花费太多时间和金钱的情况下解决复杂的算法问题。
欧拉梁方程的有限差分法主要由以下几个步骤组成：首先，将欧拉梁方程写成一个多元微分方程；然后，采用有限差分法将其转化成离散形式；最后，利用特定的算法解决离散形式的多元微分方程。
这样，就可以得到所有欧拉梁方程的解，而不需要计算原始的欧拉梁方程。
有限差分法的优势在于可以快速准确的解决欧拉梁方程，而且也可以用于计算实际问题。
有限差分法可以给出精确度较高的结果，而且它可以在不耗费太多计算时间的情况下解决绝大部分欧拉梁方程问题。
有限差分法也可以用来求解不可解析的方程，这样可以节省大量的计算时间。
有限差分法对于计算欧拉梁方程提供了一种简单高效的方法，可以用来解决复杂的物理模型问题。
它的算法简单，执行效率高，准确度高，可以用来求解任何复杂的欧拉梁方程问题。
有限差分法的应用还可以延伸到物理学和力学的其他领域，例如地质动力学、流体力学等。
总之，欧拉梁方程有限差分法是一种使用近似的微分方程来求解欧拉梁方程的数值求解方法，可以用来解决欧拉梁方程以及其他物理模型的问题，这种方法具有简单高效、计算时间少、准确等特点，也可以用来求解不可解析的方程，因此有限差分法对于计算欧拉梁方程具有重要的应用价值。
微尺度机械结构的动力学建模与仿真研究
微尺度机械结构的动力学建模与仿真研究近年来，随着微纳技术的快速发展，微尺度机械结构在各个领域中逐渐得到应用。
微尺度机械结构是指尺寸在微米级别，具有特定形状和功能的微型装置。
为了研究和优化这些微尺度机械结构的动力学特性，动力学建模与仿真成为了必不可少的工具。
动力学建模是将物理现象和力学原理抽象成数学模型的过程。
在微尺度机械结构的动力学建模中，需要考虑微观特性对其运动和行为的影响。
例如，微小尺度下的摩擦力、表面张力、粘附力等，都对微尺度机械结构的运动产生显著影响。
因此，在建模过程中，需要考虑这些微尺度特性以及它们对结构行为的影响。
一种常用的微尺度机械结构动力学建模方法是通过拉格朗日力学原理建立动力学方程。
拉格朗日力学是一种以广义坐标和拉格朗日函数为基础的力学理论。
应用拉格朗日力学原理可以将微尺度机械结构的运动方程表示为二阶微分方程，并且可以通过数值方法进行求解。
由于微尺度机械结构通常具有复杂的几何形状和材料特性，因此，拉格朗日力学原理可以很好地适用于微尺度机械结构的动力学建模。
在动力学建模完成后，仿真研究成为了分析微尺度机械结构动力学行为的重要手段。
仿真研究通过求解动力学方程，可以得到微尺度机械结构的运动轨迹、变形情况以及受力分布等信息。
这些信息对于理解和优化微尺度机械结构的性能至关重要。
通过仿真研究，我们可以探索微尺度机械结构在不同工况下的动力学响应，发现潜在的问题，并提出改进方案。
要进行有效的仿真研究，需要选取合适的数值方法。
常用的数值方法包括有限元方法、边界元方法、多体系统动力学方法等。
这些数值方法各有优势和适用范围，在微尺度机械结构的仿真研究中，应根据具体问题的特点和要求选择合适的数值方法。
此外，数值仿真的准确性和可靠性也需要考虑，对于微尺度机械结构的仿真研究，一些微尺度特性可能会引起数值模拟的误差，因此需要谨慎处理。
除了数值仿真，实验验证也是评估动力学建模效果的重要手段。
通过搭建实验装置，可以采集微尺度机械结构的动态数据，并与仿真结果进行对比。
欧拉伯努利梁的应变能
欧拉伯努利梁的应变能一、引言在力学领域中，欧拉伯努利梁被广泛应用于弯曲、剪切和拉伸等问题的研究。
应变能是衡量物体变形能力的重要指标，本文将从人类的视角出发，探寻欧拉伯努利梁的应变能。
二、欧拉伯努利梁的基本原理欧拉伯努利梁是一种假设，它认为梁材料在受力时只发生弯曲变形，而忽略了剪切变形。
这一假设使得梁的受力分析变得简单，并且可以通过应变能的计算来描述梁的弯曲变形能力。
三、应变能的概念应变能是指物体由于受力而发生变形时所具有的能量。
在欧拉伯努利梁中，应变能可以分为弯曲应变能和拉伸应变能两部分。
1. 弯曲应变能当梁受到弯曲力矩作用时，梁的上表面会发生拉伸变形，而下表面会发生压缩变形。
这种变形会导致内部应力的产生，从而存储弯曲应变能。
弯曲应变能可通过梁的几何形状、材料特性和受力情况来计算。
2. 拉伸应变能当梁受到拉力作用时，梁的横截面会发生拉伸变形，这种变形同样会导致内部应力的产生，从而存储拉伸应变能。
拉伸应变能的计算需要考虑梁的长度、材料特性和受力情况。
四、应变能的应用领域欧拉伯努利梁的应变能在工程领域中有着广泛的应用。
例如在桥梁设计中，通过计算桥梁的应变能，可以评估桥梁的结构稳定性和安全性。
在建筑设计中，应变能也被用于评估建筑材料的强度和性能。
五、结论通过探寻欧拉伯努利梁的应变能，我们了解到应变能是衡量梁材料变形能力的重要指标。
应变能的计算可以帮助工程师评估结构的稳定性和安全性，为设计提供依据。
在工程实践中，我们需要综合考虑梁的几何形状、材料特性和受力情况，准确计算应变能，以保证结构的稳定性和可靠性。
通过以上描述，我们希望读者能够深入了解欧拉伯努利梁的应变能，并在实际工程中应用这一概念，为社会的发展贡献自己的力量。
2019年申请考核制博士资格审核表
5.《基于修正偶应力和高阶剪切理论的变截面微梁的自由振动》计算力学学报（已录用）
报考单位：土木工程与力学学院力学系考生姓名：杨万里身份证后六位：03411X
已发表，第二作者.
[2]SL Cheng, SY Du, XS Yan, Q Guo and YJ Xin. Experimental study and numerical simulation of clapboard lead damper. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science. 1, 7, 2016, DOI: 05621339
学籍在线验证已毕业
职称1
教授
硕士学校名称
燕山大学
姓名2
程树良
硕士学籍验证码
4167
单位2
燕山大学
硕士学位认证编号
应届硕士
职称2
副教授
英语水平
CET-6 479
资格审查总分
87
学术成果及链接：
1]程树良,严雪松,杜顺禹,辛亚军,李慧剑.铝蜂窝-铅复合阻尼器的试验研究[J].实验力学,2016,02:209-216.
87
学术成果及链接：
《水下中空结构物内爆试验方法研究》，振动与冲击，（已录用），第一作者。
报考单位：土木工程与力学学院力考生姓名：黄治新身份证后六位：200573
2017年申请考核制博士资格审核表
报名资格
推荐人
本科学校名称
武汉理工大学
混凝土材料微观力学性能的计算模型及验证方法研究
混凝土材料微观力学性能的计算模型及验证方法研究混凝土是一种常见的建筑材料，具有良好的强度和耐久性。
然而，混凝土的力学性能受到多种因素的影响，如水泥的成分、骨料的种类和比例、配合比等。
为了更好地了解混凝土的微观力学性能，研究人员提出了计算模型和验证方法。
混凝土的微观力学性能主要包括抗压强度、抗拉强度和抗剪强度。
这些性能与混凝土内部的微观结构和力学行为密切相关。
因此，研究人员通过计算模型和验证方法来分析混凝土的微观力学性能。
一种常用的计算模型是离散元法。
离散元法将混凝土看作是由离散的颗粒组成的，通过模拟颗粒之间的相互作用来计算混凝土的力学性能。
这种方法可以考虑混凝土的非线性行为和破坏过程，但计算复杂度较高。
另一种计算模型是有限元法。
有限元法将混凝土划分为许多小的单元，通过求解每个单元的力学方程来计算整个结构的力学性能。
这种方法可以考虑混凝土的各向异性和非线性行为，但需要对混凝土的材料参数和边界条件进行准确的描述。
为了验证计算模型的准确性，研究人员通常会进行实验。
实验可以通过加载混凝土试件来测量其力学性能，如应力-应变曲线、破坏强度等。
同时，还可以使用显微镜等仪器观察混凝土的微观结构和破坏机制。
除了实验验证，还可以通过对比计算结果和现有理论模型来验证计算模型的准确性。
例如，可以将计算结果与弹性理论、塑性理论等进行对比，以评估计算模型的适用性。
在研究混凝土的微观力学性能时，还需要考虑材料的非均匀性和随机性。
混凝土的材料参数和结构参数往往存在一定的变异性，这会对计算结果产生影响。
因此，研究人员还需要开展统计分析，以评估计算结果的可靠性和精确度。
综上所述，混凝土材料微观力学性能的计算模型和验证方法是研究人员关注的重点。
通过离散元法和有限元法等计算模型，可以分析混凝土的微观力学性能。
通过实验验证和对比现有理论模型，可以评估计算模型的准确性。
此外，还需要考虑材料的非均匀性和随机性，开展统计分析以评估计算结果的可靠性。
微尺度流体力学问题数值模拟方法
微尺度流体力学问题数值模拟方法微尺度流体力学是研究微小尺度下的流体行为和性质的一门学科。
在微尺度下，介观和纳米尺度下的流体物理现象开始发挥作用，如毛细效应、界面张力和界面流动等。
提供一个准确且高效的数值模拟方法对于理解和预测微尺度流体力学问题至关重要。
本文将介绍几种常用的微尺度流体力学问题数值模拟方法。
首先，格子Boltzmann方法是一种适用于多孔介质流动和微通道流动的数值模拟方法。
该方法基于玻尔兹曼方程，通过对流体分子在离散速度空间上的概率密度函数进行模拟，来计算流体的宏观性质。
格子Boltzmann方法通过将流体分为网格单元，模拟从一个时间步到另一个时间步的碰撞和分布函数的传播。
该方法具有高效、精确和可扩展性的优点，适用于微通道中复杂的流动和传热问题。
其次，分子动力学方法也是一种常用的微尺度流体力学数值模拟方法。
该方法通过对流体分子的运动进行直接模拟，来研究微尺度下的流体行为。
分子动力学方法将流体系统建模为一组相互作用的粒子，并通过求解牛顿运动方程来模拟流体分子的动力学行为。
该方法可以模拟流体的微观行为，并能捕捉到一些重要的纳米尺度效应，如界面张力和毛细效应等。
分子动力学方法可以提供详细的流体结构和动力学信息，但计算成本较高。
第三，无尺度方法是近年来发展起来的一种用于微尺度流体力学数值模拟的方法。
无尺度方法将流体行为建模为微观和宏观尺度的相互作用，通过数值计算来模拟微尺度流体的行为。
无尺度方法是基于连续介质力学和分子动力学的方法，结合了二者的优点。
该方法通过引入无量纲参数来简化模拟，并利用尺度分析来确定重要的物理效应。
无尺度方法可以在较低的计算成本下模拟微尺度下的流体行为，是一种高效且准确的数值模拟方法。
此外，在微尺度流体力学中，还有一些其他的数值模拟方法，如边界元方法、有限元方法和有限差分方法等。
这些方法在不同的问题和条件下具有不同的适用性。
边界元方法适用于具有复杂几何形状的问题，有限元方法适用于高精度和复杂耦合的场景，有限差分方法适用于粗粒度模拟和大规模并行计算。
EulerBernoullibeamtheroy（欧拉伯努利梁理论与有限元计算）
Euler-Bernoulli beam一、理论部分Euler-Bernoulli beam 假设()()'000u u yv v v x u u x ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.1)由(1.1)式可得'''00xx yy xy u yv εεγ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩ (1.2)虚位移原理 0int ext P P δδ+=(1.3) 其中d d ext P f u V T u S δδδ=+⎰⎰(1.4)()()()/2/20/2''''''/20''''''eee int h l xxxxh h l h l P dVb dxdyb E u yv u y v dxdy EAu u EIv v dxδσδεσδεδδδδ--=-=-=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰令12e x l ξ+=，e l 为单元长度，则上式成为()1''''''012eint l P EAu uEIv v d δδδξ-=-+⎰(1.5)单元节点位移取为 {}()''01110222,,,,,Tq u v v u v v = (1.6)令{}(){}{}(){}01212340000u u u N N q v N N N N q = 0 0 ⎧⎪⎨= ⎪⎩ (1.7)其中形函数121212u u N N ξξ-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ (1.8)()()()()()()()()2122232411241181124118e e N l N N l N ξξξξξξξξ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎨⎪=+-⎪⎪⎪=+-+⎩(1.9)分别对式(1.7)、(1.8)求一阶和两阶导数得'1'21212u u N N ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (1.10)''1''2''3''4323144323144e eN N l N N l ξξξξ⎧=⎪⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎪⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩(1.11)由2ex l ξ∂=∂，可得 '2ui ui eN N x l ∂=∂ (1.12) 222'''''22i ii i i e N N N N N x x xx x x l ξξ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.13)将(1.6)、(1.11)式代入(1.4)式，可得{}()'11''12'12''1''2''''''''1234''3''4002000000000u Tint u u e u N P q EA N N d l N N N EI N N N N N N δδξ-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ +0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(){}3112e d q l ξ-⎫⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎰ (1.14)刚度矩阵e e eu v K K K =+ (1.15)()0'11''12'12002000000u eu u u e u N K EA N N d l N ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.16)()''13''120''''''''12341''3''40200v e N N K EI N N N N d l N N ξ- ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎛⎫ ⎪=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎰(1.17)二、算例本文所举算例为悬臂梁端部受竖向载荷P ，挠度理论曲线为2326Pl P y x x EI EI=-+ 具体数据如下：0.02b m =，0.05h m =，1l m =，82.110EA N =⨯，424.37510EI N m =⨯⋅，10P kN =P划分10个单元，11个结点。
混凝土静态力学性能的细观力学方法述评
混凝土静态力学性能的细观力学方法述评一、本文概述混凝土，作为一种广泛应用于建筑、桥梁、道路等工程领域的重要材料，其静态力学性能的研究对于工程的安全性和耐久性具有至关重要的意义。
随着材料科学的深入发展，细观力学方法作为一种新兴的研究手段，为混凝土的静态力学性能研究提供了新的视角和工具。
本文旨在全面述评混凝土静态力学性能的细观力学方法，以期促进该领域研究的深入和拓展。
本文首先将对细观力学方法的基本概念和研究范畴进行阐述，明确其在混凝土静态力学性能研究中的应用价值和意义。
随后，将综述目前国内外在混凝土细观力学研究方面的主要成果和进展，包括细观结构表征、细观力学模型建立、细观参数识别等方面。
在此基础上，本文将重点分析细观力学方法在混凝土静态力学性能预测、优化设计及耐久性评估等方面的实际应用，并探讨其存在的问题和挑战。
本文将对细观力学方法在混凝土静态力学性能研究中的未来发展趋势进行展望，以期为推动该领域的研究进展提供有益的参考和借鉴。
二、细观力学方法概述细观力学，作为力学的一个分支，主要关注材料内部微观结构与宏观力学行为之间的关系。
在混凝土静态力学性能的研究中，细观力学方法的应用显得尤为重要，因为它能够揭示混凝土内部复杂的多相结构对其宏观力学行为的影响。
细观力学方法主要包括微观力学模型、数值模拟和细观实验技术等手段。
微观力学模型是细观力学方法的核心，它通过建立材料的微观结构与宏观性能之间的定量关系，来预测和解释材料的宏观力学行为。
在混凝土中，这些模型通常考虑骨料、砂浆基体和界面过渡区等细观组分的力学特性，以及它们之间的相互作用。
常见的微观力学模型包括代表体元模型、复合材料模型、格子模型等。
数值模拟是细观力学方法的重要工具，它通过对材料的细观结构进行数值化描述，来模拟材料的力学行为。
在混凝土中，数值模拟可以重现混凝土的破坏过程，揭示其破坏机理，以及预测其力学性能。
常用的数值模拟方法包括有限元法、离散元法、格子玻尔兹曼方法等。
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微细观尺度下欧拉梁的力学模型及有限元分析贺丹;陈博;杨万里【摘要】A model of micro Euler beam containing only one internal material length scale parameter and ap-plieing to arbitrary boundary conditions was proposed based on the modified couple stress theory. Equilibri-um differential equation of micro Euler beam was deduced using the Hamiltonˊs principle,of which the form was similar to the classical model. The only difference was an additional term in bending rigidity associated with material length scale parameter. The equation could be used directly to analyze and explain multi-scale problems. Therefore,a strategy reducing modulus was proposed to solve the problems such as bending,vibra-tion and buckling of micro beams by classical beam elements. The numerical results show that the bending rigidity of the Euler beam in a micro scale is higher than that in a macro scale,indicating that model presen-ted in this paper can capture the scale effects. It is found that the geometric size is a significant factor of the scale effects.%基于修正偶应力理论建立了仅含一个尺度参数且适用于各种边界条件的微尺度欧拉梁模型。
基于哈密顿原理推导了微尺度欧拉梁的平衡微分方程，该方程与经典梁的平衡微分方程具有相似的形式，只是在弯曲刚度中多了一项与尺度效应有关的项，可直接用于分析和解释多尺度问题。
提出了一种模量折算策略，从而利用经典梁单元即可完成对微细观尺度下的梁的弯曲、动力和稳定问题的求解。
算例结果表明，在微细观尺度下梁结构将表现出比宏观状态下更强的抗弯刚度，即本文模型能捕捉到尺度效应。
进一步的研究则指出，几何尺寸的大小是尺度效应的决定性因素。
【期刊名称】《沈阳航空航天大学学报》【年(卷),期】2016(033)004【总页数】5页(P25-29)【关键词】修正偶应力理论;尺度效应;有限元;微尺度梁【作者】贺丹;陈博;杨万里【作者单位】沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳110136;沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳110136;沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳110136【正文语种】中文【中图分类】TU311近年来，微尺度下的尺度效应受到了广泛的关注，众多微尺度实验[1-6]证明，当构件的尺寸处于微/纳米量级时，试件的刚度和强度大于宏观尺寸下的刚度和强度，这种现象被称为尺度效应。
在微尺度领域，由于尺度效应的存在使得传统的连续介质力学不再适用，因此人们发展了偶应力理论[7-13]和应变梯度理论等微极弹性理论来唯象地描述这种现象，其中偶应力理论相比应变梯度理论具有较少的特征尺度参数，因而更适合工程应用。
Yang和Chong等人[11]提出的修正偶应力理论将特征尺度参数降为一个。
基于修正偶应力理论，科研工作者建立了一系列微尺度板/梁模型[14-21 ]，并分析了其尺度效应。
Park和Gao等人首先建立了欧拉梁的弯曲模型，并基于修正偶应力理论给出了微尺度欧拉悬臂梁弯曲的解析解[19]。
另外，Park和Gao建立的微尺度欧拉悬臂梁模型捕捉到了弯曲的尺度效应，即与经典梁模型的挠度差随着梁厚度的减小而增大，这与实验结果吻合。
尽管上述文章基于修正偶应力理论建立了微尺度欧拉梁模型且很好地分析了其微观特性，但其分析求解过程受边界条件的限制，不适合工程应用。
本文基于Yang和Chong[11]等人提出的仅包含一个特征尺度参数的修正偶应力理论建立了适用于任何边界条件的微尺度欧拉梁模型。
基于哈密顿原理推导了微尺度欧拉梁的平衡微分方程，发现其与经典梁的平衡微分方程一致；故通过一次简单的模量折算采用有限元经典梁单元简单、有效地求解了平衡微分方程，非常适合工程应用。
算例结果表明，本文悬臂边界条件下弯曲挠度的有限元结果与已有的文献相吻合，从而验证了本文方法的精度和可靠性，故进一步分析了不同边界条件下欧拉微梁弯曲挠度、自振频率和屈曲载荷的尺度效应。
本文的有限元法亦可扩展应用于分析微尺度Kirchhoff板模型的微观特性。
1.1 修正偶应力理论修正偶应力理论由Yang[11]等提出，该理论中应变张量和曲率张量定义为εij=(ui,j+uj,i/2)，χij=(ωi,j+ωj,i)/2基于修正偶应力理论，微尺度下的本构方程可表示为σij =λεkkδij+2Gεij，mij=2l2Gχij1.2 欧拉梁的基本方程欧拉梁模型的位移场函数可表示为将式(3)代入式(1)，则非零的应变和曲率分量可表示为将式(4)代入本构方程(2)，则非零的应力和偶应力力矩分量为基于修正偶应力理论，欧拉微梁的应变能可表示成将式(4)、(5)代入式(6)，则欧拉微梁的应变能可表示为微梁的哈密顿原理表达如下将式(7)和式(9)代入(10)，可得梁的平衡方程本文基于微尺度梁模型的微分方程与经典梁模型的微分方程一致，通过模量折算采用经典梁单元分析了微尺度模型的微观特性，这种方法简单、方便，非常适合工程应用。
由式(12)可知，经典梁模型的刚度仅由EI贡献；而由式(11)可知，欧拉微梁模型的刚度主要由EI和l2GA两项贡献，其中第一项为经典刚度，第二项是由尺度效应引起的增强项。
模量折算策略即将由尺度效应引起的增强项折算到经典刚度中,模量折算公式可表示为算例中我们首先检验了本文有限元法在弯曲分析中的精度，之后通过若干算例研究了各种边界条件下弯曲挠度、自振频率和屈曲载荷的尺度效应。
为方便表达梁两端的边界条件，用C表示固支，F表示自由端，H表示简支。
梁的初始几何参数和材料参数如表1所示。
经模量折算后，由Radioss中的经典梁单元求解了算例中的弯曲挠度、自振频率和屈曲载荷。
4.1 精度验证本节基于有限元法计算了微尺度各向同性欧拉梁在悬臂边界条件且末端受集中载荷的挠度值，并与文献结果进行了对比，验证其精度和收敛性。
对比结果如表2所示，其中挠度值无量纲化为=w/h，fw=1N。
由表2可知，仅采用1个经典梁单元计算的结果就与文献解高度吻合，故而证明了本文采用的分析方法的正确性。
4.2 不同边界条件下微尺度梁的弯曲分析本节给出了不同边界条件下受均布载荷的微尺度梁的弯曲挠度。
采用了5个经典梁单元，弯曲挠度无量纲化为=103w/h，且fw=1N/m。
图2给出了不同边界条件下微尺度梁的弯曲挠度。
由图2可知，基于修正偶应力理论(l≠0)的微尺度梁的最大挠度随尺度参数的增加而减小，且均小于经典理论(l=0)的结果，这说明本文的弯曲模型捕捉到了尺度效应。
另外，在同一尺度参数下，悬臂边界条件下的挠度远大于其它3种边界条件，因为悬臂边界条件下刚度最小。
4.3 不同边界条件下微尺度梁的振动和稳定分析本节基于有限元法，采用5个经典梁单元计算了欧拉微梁不同边界条件下的基频和屈曲载荷，其中基频无量纲化为，失稳临界载荷无量纲化为F=FcrL2/EI。
不同边界条件下的基频和屈曲载荷如表3所示。
图3和图4给出了不同尺度参数下微尺度梁固支边界条件下的基频和屈曲载荷，横轴表示尺度参数，纵轴表示无量纲化后的基频和屈曲载荷。
由图3和图4可知，微尺度梁的基频和屈曲载荷随尺度参数的增加而增加，且均大于经典理论的结果。
而经典理论下的解是一个常数，不随尺度参数的变化而变化，这种现象同样存在于其它边界条件，这说明本文的振动和稳定模型能捕捉到尺度效应。
另外，由表3可知，悬臂边界条件下的基频和屈曲载荷远小于其它3种边界条件，因为悬臂边界条件下其刚度最小。
本文基于修正偶应力理论建立了适用于任意边界条件的微尺度欧拉梁模型，非常适合工程应用。
基于哈密顿原理推导了微尺度欧拉梁的平衡微分方程，其与经典梁的平衡微分方程具有相似的形式，仅在弯曲刚度中增加了与尺度效应有关的增强项；故本文提出模量折算策略，采用经典梁单元分析了微尺度欧拉梁弯曲挠度、基频和屈曲载荷的尺度效应。
微尺度各向同性欧拉悬臂梁的弯曲挠度的有限元结果与现有文献的数值解吻合良好，证明了本文方法的合理性及精确性。
算例结果表明，微细观尺度下梁结构将表现出比宏观状态下更强的抗弯刚度，即本文模型能捕捉到尺度效应，且当梁的几何尺寸与材料尺度参数越接近时材料尺度效应越明显；而当梁的几何尺寸远大于材料尺度参数时，材料的尺度效应消失，这说明材料的几何尺寸是影响尺度效应的决定性因素。
进一步研究发现，梁模型弯曲挠度在悬臂边界条件下远大于其它边界条件，基频和屈曲载荷远小于其它边界条件。