高一数学复习考点知识与题型专题讲解6---利用结构相同构造函数

高一数学复习考点知识与题型专题讲解
专题06 利用结构相同构造函数
【方法精讲】
1. 能够识别出、或适当变形后得到已知中出现的“两个变量”，然后利用同构，构造出一个函数，最后利用函数的性质解题；
2. 构造函数的策略是：左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造函数妥当.
【典型例题】
例1 已知0m n >>，0a >且1a ≠，设=m m A a a -+，=n n B a a -+，试比较A ，B 的
大小.
【分析】思路一：作差、作商是大小比较的常用方法；思路二：注意到A ，B 的结构完全相同，故也可构造函数，利用函数的单调性解决.
【解法一】（作差法）
()()()1=m n m n m n m m n n
m n m n m n a a a a a A B a a a a a a a a +--++----+--=--=. ① 当1a >时，
∵0m n >>，∴m n a a >，即0m n a a ->；∴1m n a +>，即10m n a +->. 故0A B ->，即A B >.
② 当01a <<时，
∵0m n >>，∴m n a a <，即0m n a a -<；∴1m n a +<，即10m n a +-<. 故0A B ->，即A B >.
综上，A B >.
【解法二】（作商法）()221=1m n m m m n n n a a A a a B a a a ---++=++，讨论方法同上（略）.
【解法二】（构造函数）
设()=x x f x a a -+，易知()f x 是偶函数，再根据对称性，不妨设1a >，下面讨论当1a >，[0,)x ∈+∞时函数()=x x f x a a -+的单调性.
令(1x a t t =≥），则1
()=f t t t
+，易知()f t 在[1,)t ∈+∞单增 由复合函数单调性知：函数()=x x f x a a -+在[0,)x ∈+∞单增，
∵0m n >>，∴()()f m f n >，即A B >.
点评：
进入高中数学学习之后，在幂函数、指数函数、对数函数的学习过程中，为了比较幂值的大小，同底的构造指数函数、同指的构造幂函数，对数值大小比较也如此.究其实质，都是找到数式中的“结构”相同之处，将变数视为“变量”，从而构造出函数.这是我们首次接触利用构造函数，然后利用函数的单调性解题，应与好好把握、体会数学之精妙神奇！
例2 （2020·新课标卷Ⅱ文数·
12）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<
【答案】A
【分析】将已知2233x y x y ---<-按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形，
然后逆用函数的单调性.
【解析】由2233x y x y ---<-移项变形为2323x x y y ---<-
设()23x x f x -=-
因为2x 、3x --单增，易知()f x 是定义在R 上的增函数，故由2323x x y y ---<-，可得x y <，所以011,y x y x ->⇒-+> 从而ln(1)0y x -+>，故选A ．
【巩固练习】
1.（2020·新课标Ⅰ理数·
12）若242log 42log a b a b +=+，则（ ） A. 2a b > B. 2a b < C. 2a b > D. 2a b < 2.若22ln ln()x y x y -->-- （其中0x >），则（ ）
A ．0y x ->
B ．0x y ->
C ．0x y +>
D ．0x y +<
3.（2012·辽宁竞赛）不等式的解集是______________.
4.已知实数a ，b ∈(0，2)，且满足2244242
a b a b b --=--，则a ＋b 的值为_______． 5.已知函数，，则t 的取值范围是 ．
3381050(1)1
x x x x +-->++()33x x f x -=-3313
(12log )(3log 1)log f t f t t -+-
≥
【答案与提示】
1. 【答案】B
【分析】方程中出现两个变量，往“一边一个变量，左右结构相同”方向变形，这里右化左.
因为2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b b b b b +=+=+=+-，所以原方程即为2222log 2log 21a b a b +=+-，设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.
【解析】∵2222442242log 2log 2log 2log 21b b b b b b b b +=+=+=+-
∴2222log 2log 21a b a b +=+-，故2222log 2log 2a b a b +<+
设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，
所以()(2)f a f b <，所以2a b <.
2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=2
22222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，
当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >
当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选B.
2.【答案】D
【解析】由22ln ln()x y x y -->--移项变形为2ln 2ln()x y x y -->--
设()2ln x f x x -=- （0x >）
易知()f x 是定义在（0，+∞）上的减函数，
2ln 2ln()x y x y -->--即()()f x f y >-，可得x y <-，故0x y +<．
3.【答案】 【解析】原不等式可化为： {}
21x x x <-<<或-13
3225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭
构造函数，
因为3x 、5x 均单增，故在上单增
所以，解之得 所以原不等式解集是.
4. 【答案】2
【分析】将2244242
a b a b b --=--化为：2222(2)2a b a b -+=-+，设()22x f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，由
()()2f a f b =-，得a ＋b 的值. 【解析】由2244242
a b a b b --=--，化简为：22222(2)a b a b -+=+-，即2222(2)2a b a b -+=-+，
设()22x
f x x =+，则()f x 在()0,2上递增，因为a ，b ∈(0，2)，所以2-b ∈(0，2)， 且()()2f a f b =-，所以2a b =-，即2a b +=.
5.【答案】[1,)+∞
【分析】这里 可以发现
13333
log log (2log 1)(3log 1)t t t t =-=---,将移项变形为
3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥+--，易知是奇函数，
33(12log )(2log 1)t f t f --=+，故进一步变形为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-，此时,得到一个“左右形式相当，
一边一个变量”的不等式，令()()F x f x x =+，问题转化为33(3log 1)(2log 1)t t F F -≥-，
只需研究()()F x f x x =+的单调性，逆用该函数的单调性即可.
【解析】∵
13333
log log (12log )(3log 1)t t t t =-=---- ∴可变形为：
3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(12log )t t f t f t -+-≥---
3()5f x x x =+()f x R 21
x x >+21x x <-<<或-1{}21x x x <-<<或-13313(12log )(3log 1)log f t f t t
-+-≥()33x x f x -=-3313
(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥
∵是奇函数 ∴33(12log )(2log 1)t
f t f --=- ∴3333(3lo
g 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+- 令()()33x x F x f x x x -=+=-+，
因为3x 、3x --、x 均单增，所以()F x 单增 ∴333log 12log 1t t -≥-，即3log 0t
≥，解之得1t ≥ 所以t 的取值范围是[1,)+∞． ()33x x f x -=-。