全国高中物理竞赛复赛试题及答案

全国高中物理竞赛复赛试题及答案第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷一、（15分）给定一个半径为R的均匀带电球体a，球心为O。

已知球表面处的电势为U=1000V，取无限远处的电势为零。

一个动能为2000eV的质子b以与O O平行的方向射向a。

设b与O O线之间的垂直距离为l，求l的最大值，使得质子b能够与带电球体a的表面相碰。

再将质子换成电子，求l的最大值。

二、（15分）一个U形管包含两支管A、B和水平管C，它们都是由内径均匀的细玻璃管制成的。

三部分的截面积分别为SA=1.0×10^-2 cm^2，SB=3.0×10^-2 cm^2，SC=2.0×10^-2cm^2.在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭。

当温度为t1=27℃时，空气柱长为l=30cm，C中气柱两侧的水银柱长分别为a=2.0cm和b=3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h=12cm。

大气压强保持为p=76cmHg不变。

不考虑温度变化时管和水银的热膨胀。

试求气柱中空气温度缓慢升高到t=97℃时空气的体积。

三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。

其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A 和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放。

只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。

设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小。

这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。

若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？已知M=20m，地球半径R=6400km。

假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。

四、(20分)一个半径为R、折射率为n的玻璃半球放在空气中，平表面中央半径为h的区域被涂黑。

一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面。

Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴。

通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标。

V V，（2）其中p和V分别表示气柱中的空气的初始压强和体积，h表示水银柱的高度，V表示水银柱下方空气的体积。

根据理想气体状态方程，可得pV nRT，（3）其中n为气体的摩尔数，R为气体常数，T为气体的温度。

将式（1）和式（2）代入式（3）中，得到p h)(V V)=nRT，（4）展开式（4），并忽略V与V的乘积，得到pV hV p V=nRT，（5）将式（3）代入式（5）中，得到pV hV p V=pV，（6）化简得到V=Vh/p，（7）代入数据可得V=0.76cm3。

故答案为0.76cm3.在温度为300K时，气柱中的空气的压强和体积分别为p 和V。

水银柱的高度为h，水银柱下方空气的体积为ΔV。

根据理想气体状态方程pV=nRT，代入(p+h)(V-ΔV)=nRT中，可得ΔV=Vh/p。

代入数据计算得ΔV=0.76cm3，即为所求答案。

2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。

假设温度升高到T2时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增加Δh = bS/C。

3）由此造成气柱中空气体积的增加量为ΔV' = XXX。

4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应该增加Δh，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增加量为ΔV'' = ΔhSA。

5）因此，当温度为T2时，空气的体积和压强分别为V2 = V1 + ΔV' + ΔV'' 和p2 = p1 + Δh。

根据状态方程p1V1/T1 = p2V2/T2，代入数据可得T2 = 347.7K，这个值小于题目给定的最终温度T = 273 + t = 370K，因此温度将继续升高。

从此时起，气柱中的空气作等压变化。

当温度达到T时，气柱体积为V = T1V2/T2.代入数据可得V = 0.72cm3.评分标准：本题15分。

得分标准为：式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。

参考解答：在通道内，距地心O为r的物体受到地球的引力可以表示为F = GM'm/(2r)，其中M'是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量。

如果以ρ表示地球的密度，那么这部分地球的质量可以表示为M' = 4/3πr^3ρ。

因此，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为F = πGρmr^2.作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力大小为f = Fsinθ，其中θ为r与通道的中垂线OC间的夹角，力的方向指向通道的中点C。

在地面上，物体的重力可以表示为mg = GMm/R^2，其中M是地球的质量。

由以上各式可以求得f = mgx/R，其中x为物体位置到通道中点C的距离。

因此，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为k = mg/R。

物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为T = 2πR/g。

取x = 0处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x = h2处的速度为v，则根据能量守恒，有1/2 mv^2 = k(R - h2)^2/2.本文是一篇物理题的解答，讲述了如何计算物体在通道中的运动轨迹。

文章中存在格式错误和段落不清晰的问题，需要进行修改和改写。

修改后的文章如下：本文讲述了如何计算物体在通道中的运动轨迹。

式中h表示地心到通道的距离。

解以上有关各式，得到式（11）：2v2R h2g（11）R可以看出，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。

设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。

碰撞前，两物体速度的大小都是v，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有式（12）和式（13）：Mv mv MV mv，（12）2Mv mv MV2mv2（13）解式（12）和式（13），得到式（14）：3M mv v（14）M m质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有式（15）：2k(R h2)mu2mv2（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得式（16）：2h28M(M m)Ru g（16）R(M m)2u的方向沿着通道。

根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有式（17）：Mmu2G2m（17）RR由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到式（18）：7M210Mm m218）2M(M m)已知M=20m，则得到式（19）：h0.925R5920km（19）评分标准：本题20分。

解答中的式子和推导过程都非常清晰明了，让人容易理解。

把式（5）中应舍弃的解去掉，令$h\to 0$，则$x$处应为玻璃半球在光轴$Ox$上的傍轴焦点，由上式R=\frac{n(n\pm 1)}{(n-1)(n+1)(n^2-1)}$$由图可知，应有$x>R$，故式（5）中应排除$\pm$号中的负号，所以$x$应表示为x=\frac{n^2R^2-h^2+nR^2-n^2h^2}{n^2-1}\quad (6)$$上式给出$x$随$h$变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有$h\geq h$，其中折射光线与$Ox$轴交点最远处的坐标为x=\frac{2n^2R^2-h+nR^2-n^2h^2}{n^2-1}\quad (7)$$在轴上$x>x$处，无光线通过。

随$h$增大，球面上入射角$i$增大，当$i$大于临界角$i_C$时，即会发生全反射，没有折射光线。

与临界角$i_C$相应的光线有h_C=R\sin i_C=R\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$$这光线的折射线与轴线的交点处于x_C=\frac{nR}{n-1}\quad (8)$$在轴$Ox$上$R<x<x_C$处没有折射光线通过。

由以上分析可知，在轴$Ox$上玻璃半球以右$x_C\leqx\leq x_C$的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。

$x$与$x_C$就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示。

评分标准：本题20分。

求得式（7）并指出在$Ox$轴上$x>x_C$处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在$Ox$轴上$x<x_C$处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出$Ox$上有光线段的位置，给4分。

五、参考解答放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。

圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。

平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。

现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为$N_1$，水平摩擦力为$F_1$；圆柱B受墙面的正压力为$N_2$，竖直摩擦力为$F_2$，圆柱A受圆柱B的正压力为$N_3$，切向摩擦力为$F_3$；圆柱B受圆柱A的正压力为$N_3'$，切向摩擦力为$F_3'$，如图复解20-5所示。

各力以图示方向为正方向。

已知圆柱A与地面的摩擦系数$\mu_1=0.20$，两圆柱间的摩擦系数$\mu_3=0.30$。

设圆柱B与墙面的摩擦系数为$\mu_2$，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为$\varphi$。

设两圆柱的质量均为$M$，为了求出$N_1$、$N_2$、$N_3$以及为保持平衡所需的$F_1$、$F_2$、$F_3$之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱A：$Mg-N_1+N_3\sin\varphi+F_3\cos\varphi=0$（1）F_1-N_3\cos\varphi+F_3\sin\varphi=0$（2）圆柱B：$N_2-Mg-N_3'\sin\varphi-F_3'\cos\varphi=0$（3）F_2-N_3'\cos\varphi-F_3'\sin\varphi=0$（4）两圆柱的切向摩擦力$F_3$和$F_3'$的方向未知，需要分别考虑两种情况。

本文讲述了两个圆柱在地面和墙面上的平衡问题。

根据受力分析，得到了N1、N2、N3和F的联立方程，并解出了平衡时需要的力的大小。

但是，F1、F2、F3三个力是否能够达到所需的数值F，取决于摩擦系数的大小。

如果其中一个力不能达到所需的F值，那么就会发生滑动而不能保持平衡。