必修4角的概念的推广1
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数》本章总览
第四章 三角函数
网络体系总览
考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。
高中数学_1.1.1 角的概念的推广教学设计学情分析教材分析课后反思
人教B版高中数学教科书必修4《角的概念的推广》教学设计【教材内容和学生情况分析】本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。
树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。
通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。
【教学目标】1.体会任意角的概念的形成过程；知道象限角的概念；能初步判断出一个角所在的象限。
2. 通过布置课前任务，培养学生搜集、处理信息的能力；通过教学，培养学生的观察分析能力；通过动手作图，让学生体会数形结合的思想，提高学生的动手能力；3.通过生活实例的应用，学生感悟数学的在生活中的广泛应用性；在任意角的相关概念形成过程中，培养学生用运动变化的观点来审视事物；【教学重点、难点】教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。
教学难点：终边相同的角的表示。
【教学过程】一、问题情境（多媒体）：1．师：回忆：初中学过的角是如何定义的？生：展示课前预习结果。
共同复习初中角的定义：有公共端点的两条射线所围成的图形。
师：这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是0°≤α≤360°，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。
设计意图：检测学生课前自学情况，巩固初中所学的角的知识。
师：初中学过哪些角？它们的大小、范围是多少？生：共同回答。
二、导入新课（多媒体）：观看动画，动画中有角产生吗？这些角还是0-360°？师：生活中是否很多实例会不在范围0°≤α≤360°内呢？生：观看动画。
【数学】1.2《角的概念的推广》课件(北师大版必修4)
小结： 1.任意角 任意角 的概念 2.象限角 象限角
正角：射线按逆时针方向旋 正角： 转形成的角 负角： 负角：射线按顺时针方向 旋转形成的角 零角： 零角：射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于 轴的非负半轴 始边重合于X轴的非负半轴 始边重合于
终边落在第几象限就是第几象限角
与α终边相同的角的一般形式为 终边相同的角的一般形式为 α＋K · 3600，K ∈ Z ＋ 注:（1） K ∈ Z （ ） （2） α 是任意角 ）
（3）K·360°与α 之间是“+”号，如 之间是“ 号 ） ° K·360°-30 °，应看成 应看成K·360 °+（-30 ° ） ° （ （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 ）终边相同的角不一定相等， 边一定相同，终边相同的角有无数多个， 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍 相差 °
写出终边落在Y 例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形 900 +K ·3600 y
1800
+K·
3600
o
x 或3600＋K ·3600 +K· 3600
00 +K
· 3600
2700
例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为 终边落在ｙ S1={β| β=900+K·3600,K∈Z} | ∈Z} ={β| β=900+2K·1800,K∈Z} ∈ ={β| β=900+1800 的偶数倍 数倍} 终边落在ｙ 终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=2700+K·3600,K∈Z} ∈ ={β| β=900+1800+2K·1800,K∈Z} ∈ ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} （ ） ∈ ={β| β=900+1800 的奇数倍 数倍}
[高中数学必修4]第一章 基本初等函数(Ⅱ)
![[高中数学必修4]第一章 基本初等函数(Ⅱ)](https://img.taocdn.com/s3/m/4e7716b679563c1ec4da718c.png)
22
２
必修四
用公式α =l求圆心角时，应注意其结果是圆心角的弧度数.这个公式在物理学上计算角
r
速度时经常用到，因此要熟练掌握它及其变形后的另外两种形式：l=α ²r 和 r= l（α ≠0）.
α
运用这两个变形公式时，如果已知的角以度为单位，则应先把它化成弧度后再计算.可以
看出，这些公式各有各的用处.
切线上，其位置不随 的变化而变化；从图中可以看出，当 的终边在 y 轴上时，角 的
正切不存在；我们规定三角函数线的正方向与 x 轴（或 y 轴）正方向相同.
3. 同角三角函数的基本关系式
（1）基本关系
平方关系： sin2 cos2 1. 商数关系： sin tan .
cos 公式变形： cos tan sin；sin cos .
2
减区间是
(
2k , 3
2k )(k
Z)
.
2
2
８
必修四
对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果 周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小
高中数学 1.1.1 角的概念的推广配套课件 新人教B版必修4
2．过程与方法
易 错
法
易
分 析
借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解
误 辨
析
教 任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题．
学
当
方
案
3．情感、态度与价值观
堂 双
设
基
计
(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力．
达 标
课
前 自
(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会 课
易 错 易 误 辨 析
当 堂 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
【提示】 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．
堂
互
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 必修4
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学 方
平面内任意一个角都可以通过移动，使角的 顶点 与坐标
当 堂
案
双
设 计
原点重合，角的 始边与 x 轴正半轴重合，这时角的 终边在
基 达
标
课 前
第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
《角的概念的推广》——说课稿
《角的概念的推广》——说课稿work Information Technology Company.2020YEAR《角的概念的推广》——说课稿惠安中学王辉各位评委、老师：大家好!今天我说课的课题是高一必修4第一章第二节《角的概念的推广》。
我现就教材研究，教学方法，学情学法，教学程序，板书设计，教材设计六个方面进行说明，恳请在座的各位专家,同仁批评指正。
一、说教材研究1．教材内容：本节课的主要内容是角的概念的推广，主要是运用运动观点来定义角，即用角的始边和终边及旋转方向来定义任意角.从而来完善初中角的定义。
2．地位和作用：本节内容是高中数学三角函数这一大章的第一节，是在学了集合和函数之后的又一重要章节,是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数，也是对集合与函数的知识的又一渗透.所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。
为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。
3．教学目标：知识教学点：⑴.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
⑵.掌握所有与α角终边相同角的集合(包括α角)的表示方法。
⑶.体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
能力培养点：⑴.借助实物演示、绘制图形等手段，让学生充分体会数与形结合对探究数学问题的作用。
⑵.在老师引导、及时评价下，同学之间的互相评价下，学生积极探究知识的形成过程。
德育渗透点：⑴.通过本节的学习，体验生活中处处有数学，培养学习数学的兴趣。
⑵.体会数形结合思想，学会运用运动变化的观点认识事物.⑶.通过课堂上的学生自评、互评，教师评价，逐渐形成独立思考、合作交流、自我反思的学习精神，敢于坚持正确观点，勇于修正错误的品质。
4．重点与难点：教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.教学难点：终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示二、说教学方法本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过实例教具展示，在教师的带领下，学生发现就概念、方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性较强的新课.三、说学情学法(1)分类法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。
人教版高中数学必修4全册
(2k+<<2k+
3
2
,
kZ)
第四象限角:
(2k+
3
2
<<2k+2,
kZ
或
2k-
2
<<2k,
kZ
)
②轴线角
x 轴的非负半轴: =k360º(2k)(kZ);
x 轴的非正半轴: =k360º+180º(2k+)(kZ);
y
轴的非负半轴:
=k360º+90º(2k+
2
)(kZ);
y 轴的非正半轴: =k360º+270º(2k+ 32) 或
（1） 2
（2）
3
评析： 在解选择题或填空题时，
如求角所在象限，也可以不讨论k的
几种情况，如图所示利用图形来判断.
四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。
B r
Or A
B
2r
Or A
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可
以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的
度数和弧度数. 在书写时注意不要同时
2
2
则α角属于(C ) A.第－象限; B.第二象限;
2
C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度 1 20 360 480
60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角
知识网络结构
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
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1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。
B 顶 点 o 终边
A 始边
2．生活中很多实例会不在范围[00 ,3600 ]
体操运动员转体720º，跳水运动员向内、 向外转体1080º 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？
属相相 同的人 终边相 终边相 同的角 同的角
小结：
2 . 终边与 角ａ相同的角
ａ＋K· 3600，K∈Z
3：在0到360度内找与已知角终边相 同的角，方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：角度除以3600，商是 负数，它的绝对值应比被除数为其相 反数时相应的商大1，以便使余数为正 值。 4：判断一个角是第几象限角，方法是： 所给角ａ改写成ａ0+k · 3600 ( K∈Z,00≤ａ0＜3600)的形式，ａ0在第 几象限ａ就是第几象限角
x
与300终边相同的角的一般形式为300＋K· 3600，K ∈ Z
0 1 2 1 2
… …
特殊 突 破 难 点
45 30 k 360 (k Z ) { | k 360 , k Z }
问题6：你能不能写出与角 终边相同的角的集合？ 一般
与ａ终边相同的角的一般形式为 ａ＋K ·3600，K ∈ Z 注 :（ 1 ） K ∈ Z （2） a 是任意角
作业：课本习题1.2
2、3
这些例子所提到的角不仅不在范围 [00 ,3600 ] 中，而且方向不同，有必要 将角的概念推广到任意角，想想用什么 办法才能推广到任意角？
运动
一，角的概念的推广
逆时针
顺时针 定义：
任 意 角
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转时形成的角
注： 1：角的正负由旋转方向决定 2：角可以任意大小，绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定
)
三 终边相同角 的表示
-3300
3900
y 300
o
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600 300+3x3600 , 300－3x3600
…, …,
判断正误，如果错，请说明理由.
1. 179 角是第二象限的角．（
2. 90角是第三象限的角．（
3.小于 90的角一定是锐角．（
） ） ） ） ）
4.钝角一定是第二象限的角．（ 5.终边相同的角一定相等．（ 6.若角 k 360 45 (k Z ) 则角 与 45 角的终边相同.(
1
按角的生成过程 按角的生成过程 性别
正角 男 负角 女 零角 零角 角 角 各象限的角 各象限的角 有职业者
置于坐标系中 置于社会中 置于坐标系中
第一象限的角 教师 第三象限的角 第四象限的角
第三象限的角 工人
… 界限角 无职业者 界限角
终边在x轴正半轴上的角 终边在x轴负半轴上的角 终边在y轴正半轴上的角 终边在y轴负半轴上的角
1．若角 k 360 45
(k Z )
则角 是第
四
象限的角．
2.选择题 与 330 角终边相同的角为( A )
A. 30
B. 390 C. 330
D. 45
你判断两个角的 终边是否相同的 方法是什么呢？
3.北京时间2010年6月4日，跳水世界杯在男子3米板决赛 中，中国选手何冲夺冠的最后一跳是“向前翻腾两周半转 体三周屈体”以546.55分夺得冠军，他也成为世界杯该项 目首位卫冕的中国人。 20分 “向前翻腾两周半”， 问：何冲旋转了多少度？ 逆时针旋 转哦！
所以与-120 °角终边相同的角是240 °角， 它是第三象限角。
（2）640°=360°+280°
所以与640°角终边相同的角是280°角， 它是第四象限角。 （3）-950°12’ = -3×360°+129°48' 所以与-950°12’ 角终边相同的角是 129°48 ’ 角，它是第二象限角。
例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。
终边落在坐标轴上的情形
900 +K y
· 3600
1800
+K·3600
o
x 或3600＋K · 3600 +K·3600
00 +K
·3600
2700
例3：写出与下列各角终边相同的角的集s， 并把S中 适合不等式-3600≤ ＜7200 的元素 写出来 （1） 600 （2）-210 （3）363014’
二 象限角 轴线角
终边
y o
终边
x 始边 终边
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
要点 1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。 例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
（3）K· 360°与a 之间是“+”号，如 K· 360°-30 °，应看成K· 360 °+（-30 ° ） （4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360°的整数倍
四 巩固深化 发展思维
例1、在0到360度范围内，找出与下列各 角终边相同的角，并判断它是哪个象限 的角？ （1）-120°（2）640 °（3） -950 ° 12' 解（1）-120°=-360 °+240 °