第六章 运输问题和指派问题
第六讲+运输、指派与转运问题
需求约束条件
波士顿分销售中心需要量： x11 + x21 + x31= 芝加哥分销售中心需要量： x12 + x22 + x32= 圣.路易斯分销售中心需要量： x13 + x23 + x33= 莱克星顿分销售中心需要量： x14 + x24 + x34=
6000
4000
用决策变量写出目标函数
从克利夫兰运输货物的成本： 3x11＋2x12＋7x13 + 6x14 从贝德福德运输货物德成本： 7x21＋5x22＋2x23 + 3x24 从约克运输货物德成本： 2x31＋5x32＋4x33 + 5x34
这些公式的总和为我们提供了福斯特发电厂运输总成本的目 标函数。
同样,路线的最小量也可以得到说明。例如： x22≥2000，这一条件保证了我们可以在最优解中 继续维持先前承诺的至少2000单位的贝德福德—芝 加哥路线的交货订单。
不可接受的路线
构建从每一个起点到终点的路线并不都是可能的。 去除网络图中相关的弧和线性规划模型中相关的变 量。
运输问题的一般线性规划模型
实践——海军陆战队的调遣
美国海军陆战队已经建立了一个网络模型，以备在世 界危机或者战争中用来调遣军官。这个问题要解决的 就是尽可能快地把每个军官指派到合适的位臵（职位 指派）。 起点节点或者供应节点代表现有的军官，目标节点或 者需求节点代表的是职位。实际执行时有40000个军官 和25000个职位。如果所有军官-职位的连接弧都是可 行的，那么这个运输问题就有1亿条弧。为了减小问题 的规模，相似条件的军官可以汇集成一个供应节点， 相似的职位可以汇集成一个需求节点。用这个方法将 不可行的弧删除，海军陆战队在10秒钟之内就通过一 台个人电脑解决了包含27000个军官和10000个工作职 位的指派问题。
运输问题和指派问题
4、运输问题和指派问题案例1：P&T公司的配送问题家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：–三个食品厂，四个分销仓库面临的问题：运输成本不断攀升目前的运输策略：–首先考虑最偏远的厂，先将其产品充分满足距它最近的仓库，再运至次之的仓库；–再考虑最偏远的仓库，优先从距其最近的工厂进货；–距离居中的工厂用于补充不足的部分。
问题：如何改进运输策略以降低成本？CANNERY 1BellinghamCANNERY 2EugeneWAREHOUSE 1 Sacramento WAREHOUSE 2Salt Lake CityWAREHOUSE 3Rapid CityWAREHOUSE 4AlbuquerqueCANNERY 3Albert Lea最偏远的厂最偏远的仓库300合计100Albert Lea 125Eugene 75Bellingham 产量（车）工厂Albert Lea5Eugene 75Bellingham 工厂SacramentoFrom\To运费995Albert Lea352Eugene $464Bellingham 工厂Sacramento From\To 总运费：Total shipping cost = 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690)运输问题的基本术语P&T 公司问题罐头罐头厂仓库罐头厂的产量各仓库的需求量每车运费Ì运输问题是物流中的一个重要问题，即如何以尽可能小的成本把货物从一系列出发地（如工厂、仓库）运输到一系列目的地（如仓库、顾客）。
需求假设：–每个出发地都有一个固定的供应量，且所有供应量均须配送到目的地；–每个目的地都有一个固定的需求量，且所有需求量均须被满足可行解特征：–运输问题有可行解，当且仅当供应量总和等于需求量总和（供求平衡） 成本假设：–从任一出发地到任一目的地的配送成本与所配送的货物量成正比，即配送成本等于单位配送成本乘以配送量供应量、需求量和单位成本提供了运输问题所需的一切数据整数解：–运输问题通常以运送的车数作为计量单位，因此其解一般为整数整数解性质：只要运输问题的供应量和需求量都是整数，任何有可行解的运输问题必然有使所有决策变量都是整数的最优解。
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
Chapter06-运输问题和指派问题
The P&T Co. Transportation Problem
运输问题模型参数表(供应 量、需求量和单位成本)
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 20
Spreadsheet Formulation
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 21
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 5
P&T Company Distribution Problem
CANNERY 1 Bellingham
罐头厂1-贝林翰
CANNERY 2 Eugene
罐头厂2-尤基尼
WAREHOUSE 3 Rapid City
仓库3-赖皮特城
CANNERY 3 Albert Lea
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 2
Table of Contents (主要内容)
Variants of Transportation Problems: Nifty (Section 6.3)(运输问题的变形：耐芙 迪公司问题) Applications of Transportation Problems: Metro Water (Section 6.4)(运输问题的应 用：米德罗水管站问题) Applications of Transportation Problems: Northern Airplane (Section 6.4)(运输问题 的应用：北方飞机制造公司问题)
贝林翰先满足萨克拉门托， 剩余的运送到盐湖城 艾尔贝先满足奥尔巴古， 剩余的运送到赖皮特 尤基尼满足剩余需求
管理运筹(运输问题和指派问题)
实验四 运输问题和指派问题求解习题4.6习题1某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足： （1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
123412341234min z 7379265116425A A A A B B B B C C C C x x x x x x x x x x x x =+++++++++++123412341234333111222444312223331234123min z 7379265116425480272204323200s..0222560A A A A B B B B C C C C A B C A B C A B C A B C C B A B C A B C A A A A B B B B x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t x x x x x x xx x x x x x x x =+++++++++++++≥++≥++≥++≥≥=++=+++++≤+++()412344007500,,;1,2,3,4C C C C ij x x x x x i A B C J ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≤⎪⎪+++≤⎪≥==⎪⎩案例4某市的菜篮子工程某市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况，分别在A 、B 和C 设三个收购点，再由收购点分送到全市的8个菜市场。
按常年情况，A 、B 、C 三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位：100kg ），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失见表 C －1。
从收购点至各菜市场的距离见表 C －2，设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/(100kg.100m)。
运输问题与指派问题
4 20 5
10
1.13 1.15
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发 动机的计划,使制造和存储的总成本达到最小。
例 产品分配计划
求佳产品公司决定使用三个有生产余力 的工厂进行四种新产品的生产制造。就 哪个工厂生产哪种产品做决策,使总成本 达到最小。
公司的产品数据
单位成本
能力 产品
工厂 1 2 3
4. 运输问题：在满足供应节点的供应量约束和 需求节点的需求量约束的条件下，为了使运输 成本最低，如何安排运输。
二、运输问题的分类
1、供需均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和等于所有需求点 的 需求量之和的运输问题。
2、供需非均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和不等于所有需求点 的需求量之和的运输问题。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
线性规划模型为：
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32
运输问题与指派问题讲义(PPT 40页)
§3 Transportation Network 运输问题的网 络表示
销地
供应量
产地
B1
B2
B3
B3
ai
A1
6
7
5
3
25
A2
8
4
2
7
10
A2
5
9
10
16
15
需求量 bj
13
21
9
7
Transportation Network 运输问题的网络表示
sources
运价
Destinations 需求地
Warehouses
Destinations目的地
Output from a cannery
Supply from a source运出量
Allocation to a warehouse
Demand at a destination需求量
Shipping cost per truckload from a Cost per unit distributed from a
Eugene
125 truckloads
Salt Lake City
Albert Lea
100 truckloads
Rapid City
Total
300 truckloads
Albuquerque
Total
总产量=总的需求量=300车，产销平衡
分配量Allocation 80 truckloads 65 truckloads 70 truckloads 85 truckloads 300 truckloads
运输模型
例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，
《数据、模型与决策》第6节：运输、转运与指派问题
第6章运输、转运与指派问题第6章运输、转运与指派问题6.1 运输问题6.1.1 运输模型6.1.2 QM for Windows求解6.2 转运问题6.2.1 转运模型6.3 指派问题6.3.1 指派模型6.3.2 QM for Windows求解6.3.3 课本后的练习题本章节主要介绍三种特殊的线性规划模型——运输问题、转运问题和指派问题，这些问题都属于一大类线性规划问题，即网络流问题。
由于这些问题是线性规划的常见应用之一，所以我们专门用一章来研究这些问题。
6.1 运输问题在社会经济生活中，经常会碰到大宗物资的调运问题。
如煤，钢铁、木材、粮食等，在全国有若干生产基地，根据已有的交通网络，制定调运方案，将这些物资运到各个消费地点，这样调运的目的，不仅是要把这些物资供给各地消费，而且我们也希望调运的费用最省，这类问题就是所谓的运输问题。
6.1.1 运输模型运输模型适用于具有如下特征的一类问题：1. 一种产品以尽可能低的成本从多个产地运输到多个目的地2. 每一产地可以供应固定数量的产品，并且每一目的地有固定的的产品需求量例1：小麦种植于中西部，储存于位于以下3个不同城市的谷物仓库：堪萨斯，奥马哈，和得梅因。
这3个谷物仓库供应3个分别位于芝加哥、圣路易斯、和辛辛那提的面粉厂。
采用火车将谷物运输至面粉厂，每一火车车皮最多可装载1吨小麦。
每个谷物仓库每月向面粉厂供应小麦的最大量如下表所示：谷物仓库供应量（吨）1.堪萨斯1502.奥马哈1753.得梅因275总计600每个面粉厂每月的小麦需求量如下表所示：较大的一方取不到等号，如需求量较大，则需求不一定都被满足；供给较大，则不一定都供给完。
对于含限制性通行的情况，即该路径不含通过量（不定义该参数 or 大M法）6.1.2 QM for Windows求解选中“Transportation”模块，设置流量来源和目的地；输入供给量和需求量，以及供给点和需求点之间的运输成本；6.2 转运问题转运问题是运输模型的扩展形式，它包含了产地和目的地之间的之间转运节点。
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表6.15 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点以及它们的主要优势 备选地点 主要优势 1.靠近加州的油田 2.可以从阿拉斯加的油田取得原油 3.十分靠近旧金山配送中心 1.靠近得克萨斯油田 2.可以从中东进口原油 3.靠近公司总部 1.较低的运营成本 2.处于配送中心的中央地域 3.已经有了穿过密西西比河的输油 途径
表6.6
求佳产品公司问题中的数据 单位成本（美元） 产品： 1 41 40 37 20 2 27 29 30 30 3 28 — 27 30 4 24 23 21 40 75 75 45 生产能力
工厂 1 2 3 要求的产量
现在管理者需要决定的是在哪个工厂里生产哪种产品， 才能使总成本最低。（注意：在不止一个工厂里生产同样 的一种产品是允许的。）
表6.1 P＆T公司的运输数据表（单位：车）
罐头加工厂 贝林翰 尤基尼 艾尔贝· 李
合 表6.2 计
产 量
75 125 100 300
仓 库 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 合 计
分配量
80 65 70 85 300
P＆T公司的单位卡车的运输成本（单位：美元） 仓 库 从 至 萨克拉门托 盐湖城 赖皮特城 奥尔巴古 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685
划分学生入学区域
米德尔城学区(Middletown School District)开办了第三 所中学，需要为每一所学校重新划定这个城市内的服务区域。 在初步计划中，这个城市被分成了拥有大致相同数量人 口的9个区域。表6.12给出了每一所学校与每一个区域之间 的近似距离。最右一列给出了明年每一个区域的高中学生数 量（这些数字在未来几年之内估计会有缓慢的增长）。最下 面两行表示了每一所学校所能够安排的最少和最多的学生数 量。 学区管理者认为划分入学区域界限的适当目标是要使学 生到学校的平均路程最短。在这个初步的计划之中，他们要 确定为了实现这一目标每一个区域内有多少学生要安排到每 一所学校中，同时又要满足表6.12最后两行规定的约束条件。
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发动机的计划， 使制造和存储的总成本达到最小。
表6.11
北方飞机制造公司的最优生产进度安排
月 份 1(RT) 2 (RT) 3 (RT) 3 (OT) 4 (RT)
产量 20 10 25 10 5
安装量 10 15 25 0 20
储存量 10 5 5 10 0
464 352 995
80
513 416 682
65
654 690 388
70
867 791 685
85
75 125 100
各种运输问题变体的建模
例1：指定工厂生产产品
求佳产品公司决定使用三个有生产余力的工厂进行四种 新产品的生产制造。每单位产品需要等量的工作，所以工厂 的有效生产能力以每天生产的任意种产品的数量来衡量。这 些数据在表6.6最右边一列给出。最后一行给出了要求的产品 生产率（每天生产 的产品数量），以满足计划的销售量。每 一家工厂都可以制造这些产品，除了工厂2不能生产产品3以 外。然而，每种产品在不同工厂中的单位成本是有差异的。 如表6.6所示。
表6.14
特塞格公司目前设施的所在地
设施种类 油田
所处的位置
1.有几个在得克萨斯州 2.有几个在加利福尼亚 3.有几个在阿拉斯加州 1.在路易斯安那州的新奥尔良附近 2.在南卡罗莱纳州的查尔斯顿附近 3.在华盛顿州的西雅图附近 1.在宾夕法尼亚州的匹兹堡 2.在佐治亚州的亚特兰大 3.在密苏里州的堪萨斯城 4.在加利福尼亚州的旧金山
案例研究：特塞格公司的选址问题
特塞格公司（Texago Corporation）是一家设 在美国本土的大型一体化石油公司。这家公司大部 分的石油在公司自己的油田中生产，所需的其他部 分从中东地区进口。公司拥有大型配送网络，把石 油运送到公司的炼油厂，然后再把石油产品从炼油 厂运送到公司的配送中心。这些设施的所在地如表 6.14所示。
表6.9
米德罗水管站的水资源数据 每立方英尺的成本（美元） 布都 劳斯戴维斯 圣歌 豪利格拉斯
可供应量
科伦坡河 160 塞克隆河 140 卡路里河 190 需求 2
130 130 200
5
220 190 230
4
170 150 —
1.5
5 6 5
（百万立 方英尺）
由于总供应量大于总需求量，所以 管理者需要确定从 每一条河流中应该引入多少水，以及从每条河流中引入多少 水到每一个城市。这个问题的目标就是要在满足每一个城市 用水需求的前提下使得供水的成本最小。
运输问题和 指派问题
运输问题
案例研究：P&T公司的配送问题
P&T公司是一家由家族经营的小公司。它收购生菜并在 三个食品罐头厂（贝林翰、尤基尼、艾尔贝· ）中把它们 李 加工成为罐头，再用卡车把这些罐头食品运送到美国西部的 四个分销仓库（萨克拉门托 、盐湖城 、赖皮特城 、奥尔巴 古 ），然后再卖出去。 对于即将来临的收获季节，每一个罐头厂的产量都进行 了估计，并且每一个仓库都从罐头总供应量中分到了一定的 比例，这些数据如表6.1所示，试问要制定怎样一个运输计划， 才能使总运输成本最小？
表6.8
顾
耐芙迪公司问题中的数据
客 1 单位利润（美元） 2 42 18 59 3000 9000 3 46 32 51 2000 6000 4 53 48 35 0 8000 8000 5000 7000 产 量
工厂 1 2 3
最小采购量 要求采购量
55 37 29 7000 7000
营销经理现在需要确定的是需要向每一位顾客供应的产 品的数量（考虑这些最小量）以及每一个工厂向每一位顾客 供应多少单位的货物才能使利润最大化。
可转化为运输问题，如表6.7所示。 表6.7 运输问题的变形：求佳产品公司问题的数据
目的地（产品）
1 出发地（工厂） 1 2 3 需求量
单位成本（美元）
2 3 4
供应量
41 40 37 20
27 29 30 30
28 — 27 30
24 23 21 40
75 75 45
例2：选择顾客
耐芙迪公司在3个工厂中专门生产一种产品。这种产品有 着优良的品质，所以现在公司接到了许多的订单，产品供不 应求。 在未来的4个月中，有四个处于国内不同区域的潜在顾客 （批发商）很有可能大量订购。顾客1是公司最好的顾客，所 以它的全部订购量都应该满足；顾客2和顾客3也是公司很重 要的顾客，所以营销经理认为作为最低限度至少要满足他们 订单的1/3；对于顾客4，销售经理认为并不需要进行特殊考 虑，所以不想向这位顾客供应货物。这样就有足够的货物满 足最少数量。 每一种工厂— 顾客组合的单位利润如表6.8所示。最右 边的一列中给出了下个月中每个工厂生产的单位数（总量为 20000）；最后一行显示了顾客订购量（总量为30000）； 倒数第二行给出了基于上面营销经理的决策的最少供应量 （总量为12000）。
表6.10 北方飞机制造公司问题的生产进度安排数据
单位生产成本 计划 最大产量 月 单位存储成 （百万美元） 安装 本（美元） 份 量 正常时间 加班时间 正常时间 加班时间 1 2 3 4 10 15 25 20 20 30 25 5 10 15 10 10 1.08 1.11 1.10 1.13 1.10 1.12 1.11 1.15 15000 15000 15000
通过这些能源来源来满足能源需求的单位成本 如表6.13所示。管理层想要达到的目标是使得满足 这些能源需求的成本最小。 表6.13 源丰公司问题中的成本数据 能源需求 能源来源 电能 天然气 太阳能加热 单位成本（美元）
电能 400 — —
水加热 500 600 300
建筑物内取暖 600 500 400
炼油厂
配送中心
特塞格公司正在持续增加其几种主要产品的市 场占有率。因此管理层决定建立一个新的炼油厂来 增加公司的产量，同时增加从中东地区进口石油的 数量。接下来所要作出的决策就是确定在什么地方 建设新的炼油厂。 管理层决定成立一个特别工作小组来专门研究 在什么地点建造这个新的炼油厂的问题。经过大量 的研究，特别工作组确定了三个非常有潜力和吸引 力的备选地点。这些地点以及每一个地点的主要优 势如表6.15所示。
运输问题变形的一些其他应用
分配自然资源
米德罗水管站（Metro Water District）是一个主管着广 阔地域的水资源分配的机构。由于这个地域十分干燥，所 以这个机构需要从外地引水。这些引入的水来自于科伦坡、 塞克隆以及卡路里河这三条河流。引入这些水后，这个机 构把水卖给这个地区的用户。它的主要客户是布都、劳斯 戴维斯、圣歌以及豪利格拉斯等城市的供水部门。 除了从卡路里河引入的水不能供给豪利格拉斯之外， 从这三条河流之中引入的水都可以供给这四个城市。对于 每一个从水源到城市的可能的组合，每立方英尺的成本在 表6.9中给出。 如果以100万立方英尺为单位的话，这个表的最后一 行列出了在未来一年中每一个城市的用水需求量（总量为 12.5）。最后一行中列出了每一年从每一条河流中可能引 入的水量（总量为16）。
靠近加州的洛杉矶
靠近德州的加尔维斯敦
靠近密苏里州的圣路易斯
收集必要的数据
表6.16 特塞格公司的生产数据 炼油厂 新奥尔良 查尔斯顿 西雅图 新的炼油厂 总 量 每年所需原油量 （百万桶） 100 60 80 120 360 油 田 得克萨斯州 加利福尼亚 阿拉斯加州 总 量 每年原油产量 （百万桶） 80 60 100 240
表6.12
米德尔学区问题的数据 距离学校的距离（英里） 学校 1 2 3 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.2 1.4 0.5 1.2 0.9 1.1 2.7 1.8 1.5 1200 1800 1.9 1.3 1.8 0.3 0.7 1.6 0.7 1.2 1.7 1100 1700 2.5 1.7 1.1 2.0 1.0 0.6 1.5 0.8 0.7 1000 1500