角平分线的性质定理
直角三角形角平分线的性质
直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。
直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。
下面将介绍直角三角形角平分线的性质。
1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。
这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。
2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。
这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。
也就是说，两个角的度数加起来等于90度。
(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。
这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。
3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。
这个点被称为直角三角形的外心。
5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。
例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。
总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。
这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。
角的平分线的性质(2)
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
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求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NP
FM
B
E
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线 CE相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
角平分线的性质定理及判定定理
流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。
3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。
4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在 ．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是 （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。
另一个就是斯库顿定理。
斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。
推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。
角平分线性质的原理
角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。
这个性质可以通过几何推理证明。
假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。
证明如下：首先，连接AC。
假设∠BAD = ∠DAC = x。
由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。
根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。
所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。
角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。
连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。
根据性质一，AD = CD。
又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。
由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。
进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。
由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。
整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。
这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。
性质三：角的内切线平分角的大小。
内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。
证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。
角平分线的性质定理
以上是我对本节课的理解，不足 之处，请各位老师批评指正，谢谢您 给予的指导！
数学学院 金发权
事物的辩证思维方法。
b、培养学生探究问题的兴趣，体会知识点之间的紧密联系。
一、教材分析 3、教学重难点
重点：角平分线的性质定理及其运用。 难点：学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，
所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形， 结果相当于重新证明了一次定理。
二、教法学法
在新课程环境下，教学过程是师生交 往、共同发展的互动过程，教师要注意引 导学生质疑、观察、探究，使学生在实践 中学习。根据学生的实际情况，结合本节 的教材的特点我采用 “启发探究式”的 教学方法。让学生在观察、比较、分析、 概括等活动中，不断地探索和创新 ，充分 发挥他们的主观能动性，最大限度的发挥 他们的创造力，让学生成为课堂的主人。
11.3角的平分线的性质
第一课时
云南师范大学
数学学院
金发权
★如何用尺规作角的平分线？
A O B
如何用尺规作角的平分线
已知： ∠AOB 求作： ∠AOB的角平分线.
A
作法：
M １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧， 交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． O ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2 ＭＮ的 长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交Ｃ． ３．作射线OC．OC即为∠AOB的角平分 线。 N B C
例1 已知：如下图，△ABC的角平分线BM、CN 相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE（角平分线的性质定理） A 同理 PE=PF. D F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P到边AB、BC、 B C CA的距离相等 E
八年级数学角平分线的性质
√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
F M
B
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练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
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八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
用符号语言表示为： ∵OP是∠AOB的角平分线 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
1 2Biblioteka D P E B∴PD=PE.
交换定理的条件和结论得到的命题为：
′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A D 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分 O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上.
B
思 考 分 析
角平分线判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点，在 这个角的平分线上.
A
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
O
D P C E
B
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和判定定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
证明两角相等的方法：
１．同角（或等角）的余角（补角）相等．
２．平行线的性质
３．对顶角相等．
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角 ６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
• １．全等三角形的对应边相等． • ２．角平分线的性质定理 • ３．等角对等边 • ４．等腰三角形的三线合一 • ５.垂直平分线的性质定理
八年级数学角平分线的性质
√
互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
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练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
； 211小说
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他买五六级魔晶,那不知道要亏多少了. "行,这钱您收好,我走了,别送哈,以后有时间一定再来照顾你の生意."青年喜笑颜开,拿起五枚魔晶走出店门. 青年刚出店铺,店门口一名白衣少女快速の靠了过来,低声说道："哥,买好了吗?" 不错,两人正是白重炙兄妹.见妹妹询问,白重炙点了点 头,像做贼一样,左右看了看,也低声说道："好了,回去再说." 两人快速の走动,离开了牛栏街,从白家堡小门拐进自家小院. "嘿嘿,今天买了五枚魔晶,每枚比昨天还便宜了十晶币." 进了房间,白重炙把魔晶丢在桌子上,喝了口水笑着说道,似乎对于今天の战绩很满意. "哥哥,好厉害,快把 小白召唤出来,给它吃吧."夜轻语拿起一枚魔晶,开心笑了起来,对她来说,这世界没什么让她开心の事,只要哥哥开心她就什么都开心. "恩,小白出来吃饭了."白重炙点了点头,召唤战智小白. 一道白色气流从白重炙胸口溢出,慢慢凝结,最后变成巴掌大の战智小白.小白好像
八年级数学角平分线的性质
例3：已知：如图△ ABC的角平分线BM、CN相交于点
O。 求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点O作OD、OE、OF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F。 ∵ 点O在△ABC的角平 分线BM上（已知） ∴ OD=OE（角 平分线上的点到 角的两边距离相 等） 同理 OE=OF ∴ OD=OE=OF 即点O到边AB、BC、CA的距离相等。 N D O A
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互逆定理：
如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它 也是一个定理。这两个定 理叫做互逆定理。其中一 个叫做另一个的逆定理。
例2：下列说法正确吗？如不正确试举反例
（1）每个命题都有逆命题； （2）一个定理的逆命题一定是真命题；
（3）每个定理都有逆定理；
（4）一个真命题的逆命题一定是真命题； （5）如果两个有理数相等，那么它们的 绝对值相等。此命题的逆命题为假命题
互 逆 命 题 到这个角的两边的距离相等
结论 题设
定理2： 到角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上
结论
互逆命题
在两个命题中，如果第1个命题 的题设是第2个命题的结论，而第1 个命题的结论又是第2个命题的题设， 那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。
例1：说出下列命题的逆命题
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练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
； / 设计师
nqx37kop
熘土豆丝嘛，也是咱娘最拿手的厨艺哇！”耿英瞪了弟弟一眼，说：“你奇怪什么啊？难道说俺们这些年在南边儿吃过这些菜吗？”耿 直忽然明白了，说：“可不是耶！江南没有土豆啊？”尚武说：“听也不曾听说过呢！”耿老爹说：“这土豆其实很好种的，估计江南 也应该能种！你走的时候带一些回去哇，试着种种！”尚武说：“唔，好好好，如果真能种得成，那可就太好啦！”大家一边吃饭，一 边继续聊着。耿正看到小妹妹耿兰一直拘谨地坐在那里默默地吃饭，就站起来探手给她的碗里夹一块儿红烧肉，亲切地说：“兰兰，这 是爹、大哥、二哥和姐姐啊，你怎么不跟俺们说话呢？”看到耿兰红着脸不敢抬头看大哥的样子，耿直摇着头说：“唉，兰兰啊，你忘 记了吗？咱爹带哥哥姐姐和俺走之前，你可是二哥的小尾巴呢！二哥在南边，像想娘一样想你„„”想起来离家一年之后的那个八月十 五夜里耿直哭着睡去的情景，耿老爹、耿正、耿英和耿直都声噎了„„郭氏赶快说：“兰儿，你成天跟娘念叨爹和哥哥姐姐们，这会儿 他们就在你的眼前儿了，你倒是叫啊！爹、大哥、二哥和姐姐想听呢！”耿兰怯怯地低着头小声儿说：“俺很想叫呢，可俺就是„„” 耿英含泪轻轻地推一推妹妹，小声说：“这是咱爹！你快叫啊！”耿兰慢慢地抬起头来，又怯怯地扭过头望着身旁慈祥的爹爹正眼含热 泪，满怀歉意和期待地看着自己„„她嗫嚅着，终于轻轻地叫了一声：“爹！”“哎！”耿老爹高兴地答应着，一串眼泪噗噜噜滚落下 来。他顾不上抬手擦去眼泪，就低头在耿兰的额头上轻轻亲了一下。看到妹妹转回头来看着哥哥耿正迟疑着，耿英又含泪低声儿催促她： “快叫大哥啊！”耿兰又轻轻地叫了一声：“大哥！”“哎！”耿正高兴地答应着，又往小妹妹的碗里夹了一大块烤鸭！急性子耿直等 不及了，说：“小尾巴，俺呢？”“二哥！”“哎！”耿直高兴地跳起来，满桌子寻找着说：“二哥看看俺的小尾巴最爱吃什么？”耿 英擦一把眼泪，笑着说：“行了哇小直子，你小尾巴的碗里好吃的多着呢，你就免了哇！”耿直也笑了，把胳膊搭在尚武的肩膀上，歪 着头说：“那二哥就送你一个更大的礼物，叫三哥！”“三哥！”“哎！”尚武答应着，赶快站起身来给耿兰施礼！耿英忍不住笑出声 来，说：“俺说三弟啊，你在咱家门口已经给妹妹施过礼了，哪来的那么多礼节啊！快坐下吃饭哇！”尚武笑着坐下了。“姐 姐！”“哎！”耿英大声答应着抱住妹妹，在她的脸颊上“吧”地亲了一大口！郭氏擦去满脸的泪水，高兴地说：“好啦，俺们的兰儿 好不容易叫出口了！”说罢了，又转身招呼旁边桌上都停止了吃饭的董、耿两家人，高兴地说：“大家伙儿都快吃，这顿俺们等了快十 年的‘团圆面’，咱们可一定要吃
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小结：
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
逆定理：到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上 2、性质与判定定理的应用。
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
想一想，你会证明吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1PBiblioteka 2∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
O
EB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上 （ ）
G M
H
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
宁强三中 徐健
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
探究角平分线的性质
实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第 一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，得出结论PD=PE
即：角平分线线上的点到角的两边距离相等。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等A ．
∵点P是∠AOB平分线上的一点 D
且PD⊥OA，PE⊥OB
P
∴（P角D平=分PE线上的点到角的两边的O距离相等）E B
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
随堂练习
× 判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
逆定理： 到角的两边的距离相等的点在
这个角的平分线上
例1： 已知：如图，△ABC的角平 分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距 离相等.
A
D F
N PM
B
E
C
例2：如图，已知△ABC的外角∠CBD 和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M