角平分线定理
角平分线定理结论
角平分线定理结论
角平分线定理是指：在一个三角形中，从一个角的顶点引出一条
线段，将这个角分成两个相等的角，则这条线段称为该角的角平分线。
该定理的结论是：在一个三角形中，两条边上所作的角的平分线
相交于该三角形内部的一点，并且这个点到三角形三个顶点的距离相等。
这个结论可以用一些几何证明方法来证明，最常用的方法是通过
相似三角形和对应角的等于来证明。
具体来说，我们可以将三角形划分成两个相似三角形，其中一个
三角形的角平分线将另一个相似三角形的两个角平分线分成两个等角。
通过对应角的等于可得，这两个相似三角形的对应线段长度相等，即
这三条角平分线交于一点。
此外，因为三角形内角和为180度，这个点与三个顶点的连线可
以构成三个以交点为顶点的等角三角形，因此这个点到三角形三个顶
点的距离相等。
三角形的角平分线定理
三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是数学中的一个基本定理，可以用于解决与角平分线相关的问题。
本文将介绍角平分线的定义、角平分线定理以及相关的推论和应用。
一、角平分线的定义在一个三角形ABC中，如果从顶点A引出一条射线AD，使其把∠BAC分成两个相等的角，则称AD为∠BAC的角平分线。
二、角平分线定理角平分线定理指出，如果在一个三角形的两个角上分别作角平分线，那么这两条平分线所交的点与三角形的另外一条边所在的点连成的线段长度相等。
具体来说，假设在三角形ABC中，角BAD和角CAD的平分线交边BC于点D和点E，那么有以下结论：1. BD/DC = BA/AC （角平分线定理的一个重要推论）由角平分线定理推论可知，如果AD是∠BAC的角平分线，那么BD/DC = BA/AC。
这是因为根据相似三角形的性质，通过角平分线定理的证明，可以得出BD/DC = BA/AC。
2. ∠BAD = ∠CAD这是角平分线定义的要求，即角BAD和角CAD被角平分线平分，所以它们本身相等。
三、角平分线定理的应用角平分线定理在解决各种与角平分线相关的问题中起到重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 求角平分线的长度已知三角形的两边长和夹角时，可以利用角平分线定理求出角平分线的长度。
根据角平分线定理，只需要用已知边长之比即可求得平分线长度的比值。
2. 证明两个三角形相似当两个三角形的两个对应角被角平分线分成相等的两部分时，可以利用角平分线定理证明这两个三角形相似。
根据角平分线定理的推论可知，当两条角平分线分别通过两个三角形的两个对应角时，这两个三角形的边长之比也成比例。
3. 求证三角形的内心、重心和外心根据角平分线定理，通过三角形的三个顶点引角平分线，这三条角平分线的交点即为三角形的内心。
此外，角平分线定理还可用于求解三角形的重心和外心。
总结：角平分线定理是数学中的一个重要定理，可以解决与角平分线相关的问题。
通过理解角平分线的定义、角平分线定理以及相关的推论和应用，我们可以更好地应用这个定理解决各种与三角形的角平分线有关的问题。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定义:从一个角顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角角平分线。
■三角卷角平分线定义：三角形顶点到其内角角平分线交对边点连一条线段，叫三角形角平分线。
【注】三角形角平分线不是角平分线，是线段。
角平分线是射线。
B■拓展：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等！（即内心）。
■定理1:在角平分线上任意一点到这个角两边距离相等。
■逆定理：在一个角内部（包括顶点），且到这个角两边距离相等点在这个角角平分线上。
■定理2：三角形一个角平分线分对边所成两条线段及这个角两邻边对应成比例，如：在AABC 中，BD 平分ZABC,则AD： DC二AB： BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为Z\ABC角平分线，求证AB / AC=MB / MC己知和证明1图证明：方法1:(面积法)SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM,SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM,AS A ABM： SAACM=AB:AC乂△ ABM和△ ACM是等高三角形，面积比等于底比,证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC=MB / MC方法2（相似形）过C作CN II AB交AM延长线于N则厶ABM^ANCM・•・ AB/NC=BM/CM又可证明ZCAN=ZANC/. AC=CN・•・ AB / AC=MB / MC证明3图方法3 （相似形）过M作MN II AB交AC于N则厶ABC^ANMC,・•・ AB/AC二MN/NC, AN/NC二BM/MC 又可证明ZCAM=ZAMN・・・AN=MN・•・ AB/AC=AN/NC・•・ AB / AC=MB / MCA方法4 （正弦定理）作三角形外接圆，AM交圆于D,由正弦定理，得,AD证明4图AB/sinZ BMA=BM/ sinZBAM,A AC/sinZ CMA 二CM/ sinZCAM又ZBAM二ZCAM, ZBMA+ZAMC=180°sinZBAM^sinZCAM, sinZBMA^sinZAMC,/. AB / AC=MB / MC。
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。
另一个就是斯库顿定理。
斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。
推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。
角平分线比例定理
角平分线比例定理
角平分线比例定理是：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线定理1：是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2：是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定理是高中数学中的重要定理之一。
它描述了角平分线与三角形内部的关系。
在本文中，我们将简要介绍角平分线定理的定义、证明和应用。
角平分线定理是指：在一个三角形中，如果一条线段从一个顶点出发，将对角线平分成两条相等的线段，那么这条线段就是该角的平分线。
证明角平分线定理的一个常用方法是通过角的对等性。
我们可以假设在三角形ABC中，角BAD的平分线CE将角BAD平分成两个相等的角，即∠CAE≅∠EAD。
我们需要证明线段CE平分了角BAC。
首先，我们延长线段CE，使其与边BC相交于点F。
根据三角形内角和定理，可知∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°。
由于∠CAE≅∠EAD，所以∠CAF≅∠EAF。
将这个结论代入上述等式中得到∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAF+∠BAC+∠BFA=180°。
通过对等性，我们还可以得出∠EAD≅∠EAF。
将这一事实代入上述等式得到∠EAD+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAD+∠BAC+∠BAD=180°。
由于∠BAC+∠BAD=180°（三角形内角和定理），可得∠EAD+∠BAD=∠EAD+∠BAC+∠BAD。
根据等式两边的角相等性，我们可以得出∠EAD=∠EAD+∠BAC，进一步得出∠BAC=0°。
这说明线段CE平分了角BAC，从而证明了角平分线定理。
角平分线定理的应用非常广泛。
在几何证明中，我们常常可以利用角平分线定理来证明一些关于三角形的性质。
例如，利用角平分线定理可以证明等腰三角形的底角相等，证明三角形内角平分线交于一点等。
此外，在解题中角平分线定理也经常被使用。
根据角平分线定理，我们可以推导出一些重要的性质，如外接角平分线定理和内接角平分线定理。
这些性质可以帮助我们解决各种与角平分线有关的问题，例如求证两条角平分线垂直相交、求证两条角平分线平行等。
总结一下，角平分线定理是一条非常重要的几何定理，它描述了角平分线与三角形内部的关系。
角平分线的性质(8月9日)
角平分线的性质与判定1.角平分线性质定理：已知：如图，点P 在AOB ∠的平分线上，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 求证：PD PE = 证明：角平分线性质的符号语言： P 在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ∴PD PE =总结：该定理为我们提供了证明两条垂线段 的一个新思路．注 ：在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可例1：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ．求证：BE=CF ．例2：如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点；(2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．ABCDE P O ABCDEP O练1：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。
连接EF ，交AD 于点G 。
说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。
2. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC.求证AB=AC.C2.判定定理（即角平分线性质定理的逆定理）：已知：点P 在AOB ∠的 ，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ，且PD PE =求证：点P 在AOB ∠的平分线上。
证明：即：在一个角的内部， 的点，在这个角的角平分线上。
总结：该定理为我们提供了证明两个角 的一个新思路。
角平分线判定的符号语言：PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 且PD PE =∴P 在AOB ∠的平分线上 （或写成OP 是AOB ∠的平分线）ABCDE P O ABCD E PO例3：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P 。
求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
C例4：PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P 。
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• 3.过P折OA边的垂线，得到新的折痕PD
• 4.将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E
交流展示
• 1.角是轴对称图形吗？ • 2.角的对称轴是？
1.角是轴对称图形 2.角的对称轴是角平分线所在的直线
交流展示：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
2.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且
PB=PC，D是AP上一点。
求证： ∠BDP= ∠CDP
A
D
B
C
P
角平分线的判定定理：到角两边 距离相等的点在角的平分线上。
训练反馈：
2：下列两图中，能表示角的平分线上的一点P 到角的边上的距离的是（ ）
M
N
P
P
A
A
训练反馈：
3.判断：（ × ）
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
B
A
D
C
训练反馈：
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
角的平分线
本节学习目标
• 1.掌握角平分线性质定理并学会应用. • 2.掌握角平分线判定定理并学会应用.
自主学习
• 线段是轴对称图形吗？ • 它有几条对称轴？ • 什么线段的垂直平分线？ • 线段垂直平分线的性质？
自主学习
• 角是轴对称图形吗？
• 1.在一张纸上折一个∠AOB，沿角的两边将 纸剪下，将这个角对折，使角的两边重合。
求证: PD=PE
A 证明：∵OC平分∠AOB
D
∴∠1=∠2
C 又∵PD⊥OA,PE⊥OB
1
P
∴∠PDO=∠PEO=90°
2
在ΔOPD和ΔOPE中
O
E B ∵ ∠1=∠2
∠PDO=∠PEO
OP=OP(公共边)
∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)
∴PD=PE
归纳总结：
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
BD = CD
，(
角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。
)
（×）
A
B
D
C
训练反馈：
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC， DE⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 角的平分线上的点到角的两）
√
边的距离相等。
B
A D
C
训练反馈：
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分 线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。
上，BD=DF. 求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
∴ CD＝DE (角平分线的性质) A 在Ｒt△FCD和Rt△BED中
DF=DB （已证）
CD=DE （已知）
F
E
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CD
B
∴ CF=DE（全等三角形对应边相等）
拓展延伸：
用符号语言表示为：
A∵Βιβλιοθήκη 1= ∠2DPD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
1
O
2
P
B E
训练反馈：
A
12
1.填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(__角___D__平_C___=分__D__线_E____上____的__点___到__角__的___两__边__的__距_C__离__相__等D_____) B
证明：∵∠C=90°（已知） ∴DC⊥AC（垂直的定义）
A
又∵AD是∠CAB的角平分线，
1
2
E
DE⊥AB（已知）
∴CD=DE（角平分线上的点
到角的两边的距离相等）
C
D
B
又∵BC=8，BD=5
∴CD=BC－BD=8－5=3
∴DE=3
拓展延伸
1.如图，△ABC中，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC