经典：角平分线的性质定理及其逆定理课件

用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
A
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:
O B
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1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB于点E、D
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为 半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C
3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. A
E
C
O
DB
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1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，
在这个角平分线上。
3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
M D
A P
E
B
C FN
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2、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
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小结 拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
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填空：
A
基本应用 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__∠__1＝__∠__2__
12
小测1：
.已知:如图,∠C=900,∠B=300,
AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD＝2CD.
A
E
B
D
C
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（小测2）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E 求证：点P在∠MNO的平分线上
M
F
D P
O
N
E
14
三.尺规作图 角平分线的作法
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
9
1: 已知：如图所示：PA，PC分别是⊿ABC外角∠MAC与 ∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F
求证： 点P在∠MBN的平分线上
角平分线的性质定理 及其逆定理
1
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上 结论：这个点到角的两边的距离相等 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. A
求证：PD=PE.
D
3P
Ｃ
O
12
4
B
E
2
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
例2:如图，设△ABC的角
D
平分线BM，CN相交于点
N
P F P，你能证明点P在∠BAC
M
的平分线上吗？
B

C
证明:过点P分别作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥AB，
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个人观点供参考，欢迎讨论
逆定理:在一个角的内部，到一个角的 两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB, 且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 (或OP是∠AOB的平分线）
A D
P
O
C
E B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
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总结归纳
(1)如果CD＝4cm，AC的长 A
(2)求证:AB＝AC＋CD.
E
C
D
B
5
定理的逆命题该怎么说？
逆定理：在一个角的内部，且 到角的两边距离相
等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，
PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上
A
D
P O
E B
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二.角平分线性质定理的逆定理
用符号语言表示为：
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
O
A
D
P
1
2
B
E
3
例1: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点， EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能 得到哪些结论？为什么？
B
A
E
C
4
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.