勾股定理拓展提高题

勾 股 定 理 拓 展 提

1、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ,高为6cm ① 如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 那么所用细线最短需要 ___________ cm

② 如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B, 那么所用细线最短需要 ___________ cm

2、如图1,每个小正方形的边长为 1, A B C 是小正方形的顶点，则/ ABC 的度数

图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 示）.A 如果大正方形的面积是 2

长直角边为b ,那么a b 的值为（

B,

4、 如图3丿数轴上 上有三个正方形 a , b, c ，若a, c 的面积分别为 A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为_ 沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为

5和11,则b 的面积

6、 2002

4― B 图 5

6「召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方 8月在北

13,小正方形的面积是 1,直角三角形的较短直角边为

a ,较

图1

线I 3、 如图4, 5、

(A ) 13 (B ) 19 (C ) 25 (D ) 169

7、已知△ ABC 的三边长满足 a b 10,ab

18 , c 8，则为

三角形

8、 如图，铁路上A, B 两点相距25km, C,D 为两村庄， CB=10km 现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站 等，则E 站应建在离 A 站多少km 处？

9、 已知D DAL AB 于 A, CBLAB 于 B ,已知 DA=15km

E ,使得C, D 两村到E 站的距离相

正方形 ABCD 的边长为1,正方形 ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于ABCD

2

。求：b a 的值。

AF=b,且S 正方形EFGH 腰直角三角形中

AB=AC 点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB AC 边上的点, 且DE 丄DF 。

B EF 2

（2）若 BE=12,CF=5,试求 勾股定律逆定理应用 考点一 证

明三角形是直角三角形

DEF 的面积。

例1、已知：如图，在厶ABC 中，CD 是AB 边上的高,

AE=a 10、在等 A E

(1)说明：BE 2 CF 2

A

C

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

△ ABC 的形状.

解：T a 2c 2— b 2c 2=a 4— b 4, (A) /• c 2(a 2— b 2)=(a 2+b 2)(a 2 — b 2), (B) /• c 2=a 2+b 2, (C) /•△

ABC

是直角三角形.

问：①上述解题，过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号 ____________ ; ②错误的原因是 r ______________ ； ③本题的正确结论是 _________ . 例2.学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中 ，三边满足a 2 b 2 c 2,或许其

他的三角形三边也有这样的关系”

.让我们来做一个实验！

且 CD 2=AD ・BD.

求证：△ ABC 是直角三角形.

针对训练： 1、已知：在厶 ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足

a 2+

b 2+

c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ ABC 的形状.

2（如图）在正方形 ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且 EC= 4 BC ，

求证：EFA=90 .

3、如图，已知：在△ ABC 中，C=90 , M 是BC 的中点, 于 D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.

4、如图，长方形 ABCD 中, AD=8cm,CD=4cm.

⑴若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时 PA=PC?

⑵在⑴中,当点P 在点P /时，有P'A P'C , Q 是AB

15

边上的一个动点，若AQ 时，QP'与P'C 垂直

4

A

什么?

考点二运用勾股定理的逆定理进行计算

例、如图，等腰△ ABC 中，底边BC = 20 , D 为AB 上一点. 求厶ABC 的周长。

B

针对训练: 1、 BC=6 , CD=5 , 求：四边形 3•已知：如图, ,CD = 16, BD = 12,

•已知：如图，四边形 ABCD , AD // BC , AB=4 , AD=3.

ABCD 的面积.

DE=m,BC=n, EBC 与 DCB 互余，求 BD 2+CD 2.

例1•阅读下列解题过程：已知

a 、

b 、

c ABC 的三边，且满足

a 2c 2-

b 2

c 2=a 4— b 4,试判断

D

（1）画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是

a _______ mm；

b ______ mm 较长的一条边长

c __________ m m

比较a2b2________ c2（填写“〉” ，“v” ,或“=”）；

（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是

a _______ m m

b _________ mm 较长的一条边长

c __________ m m

2 2 2

比较a b _______ c （填写“〉”，“v”，或“=”）；

（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：

2 2 2

⑷对你猜想a b与c的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

例3•如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海•上午9时50 分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意•反走私艇A通知反走私艇B:A和C 两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里•反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

针对训练：1 观察下列各式：32+ 42= 52; 82+ 62= 102; 152+ 82= 172; 242+ 102= 262…，你有

没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式

子.

2、如图所示，有一块塑料模板ABCD长为10叫宽为4叫将你手中足够大的直角三角

板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若

不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一

直角边PF与DC的延

长线交于点Q与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.