浙江省杭州市2019学年第二学期高三年级教学质量检测数学试题含答案(2020.5)
2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷 2020.5
一、选择题
1.设集合A={|x y =(){|1},B x y ln x ==+则A∩B=( )
()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----
2.设M 为不等式10
10
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )
()()()0,22,00,2.(20)A B C D --
3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A 76
B ．54
C ． 43
D ．53
4,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )
A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件
5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21
B.28
C.35
D.56
6.函数1
(41
x
y e x =
--其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )
7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i 次,设抛掷次数为随机变量,1,2.i i ξ=若n 1=3n 2=5,则( )
()()()()()()()12122112.(),.,A E E D D B E D E D ξξξξξξξξ<<＜＜＜ ()()()()()()()()()121212212.,).,,C E E D D D E D D E D ξξξξξξξξξ><>> 8.已知函数()sin()(0)
cos(),(0)
x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则ab 的值可能是( )
.,33A a b π
π
=
=
2.,36B a b ππ=
=
25.,.,3636C b D a b ππππ
====
9.设a,b,c 为非零不共线向量,若|(1)||()a tc t b a c t R -+--∈则(
()().A a b a c +⊥-()().*B a b b c +⊥ ()().C a c a b -⊥+()().D a c b c -⊥+
()
*113
10.{}.44
n n n a a n a N +=
-∈数列满足若存在实数c.使不等式a 2n <c<a 2n-1 对任意n ∈N *恒成立,当11a =时,c=( ) A ．16B ．14 C ．13 D ．12
11.设复数1,,)1z a i bi b z
a i i
R =-=+∈+且
（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6
112.x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲
13.设双曲线()22
22,10,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点
且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲
14.在ABC 中,若()22,22
A
sin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,
_____AC
A AB
== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种
17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为
(),,M a b 则(),M a b 的最小值为 ▲
18.已知函数()21,0222
f x sin x x s ωωω=
+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间
2)若 1.3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
求()f x 的最小正周期T 的最大值
19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形
.AB AB CD AD ⊥AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点
(1)求证:平面EAC ⊥PBC;
(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为3
,求直线PA 与平 面EAC 所成角的正弦值
20.(本题满分15分)已知数列{}
n a 的各项均为正数,a 1=14，b n ,{}n b 是等差数列,
其前n 项和为26,81.n S S b =⋅ (1)求数列{a n }的通项公式
()()()3
1212123
(2)111,,n
n n n n
c c c a a a a a a a T c c =--⋅⋅-=
+++
若对任意的正整数n,都有4aT n <c 恒成立,求实数a 的取值范围
21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p =>上一点，过点
()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点(AB 两点异于M),记直线AM,BM 的料率分别为k 1,,,,k 2 (1)求k 1k 2的值
(2)记,BMD AMD 的面积分别为S 1,S 2,当[]11,2,k
∈
求
1
2
S S 的取值范围
22.(本题满分15分)已知函数()()()ln ,0.x a f x e x a x -=-+其中0,a > (1)若a=l.求证:()0.f x > (2)若不等式()21ln 2f x x a ++
-对0x ≥恒成立,试求a 的取值范围。
浙江省天域全国名校协作体2024届高三下学期二模数学试题含答案
2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题（答案在最后）命题学校：考生须知：1.本卷共5页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2.抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A.112B.16C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3.在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A.212 B.74C.214D.72【答案】C 【解析】【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =所以ABC 的面积为1224=，111A B C△的面积为122⨯=，设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π33sin 322AD AB =⨯==，1111π3sin 332A D AB =⨯==，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO ，DE === ∴三棱台的高为∴三棱台的体积为121(344V =++=．故选：C ．4.628log 3x ⎛⎝⎭展开式的常数项为（）A.512B.512-C.136D.136-【答案】A 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为()()(66212316868C log 3C log 3rr r r r r rr T x x---+⎛=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎝⎭，令1230r -=，解得4r =，所以常数项为()(242445686231115C log 3C log 3log 215323612T ⎛⎫=⋅⋅=⋅⨯=⨯=⎪⎝⎭.故选：A.5.已知()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=（）A.16-B.13-C.16D.13【答案】B 【解析】【分析】根据余弦两角和公式将()cos αβγ++展开成角αβ+与γ的两角和形式与α与βγ+的两角和形式，建立等式关系结合已知等式即可得结论.【详解】因为()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，又()()()cos cos cos sin sin αβγαβγαβγ++=+-+，所以()()cos cos sin sin αβγαβγ+-+()()cos cos sin sin αβγαβγ=+-+，因为()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=，则()()sin sin sin sin αβγαβγ+-+=()()1cos cos cos cos 3αβγαβγ+-+=-.故选：B.6.为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A.1.4B.1.45C.1.5D.1.55【答案】B 【解析】【分析】利用分层随机抽样的均值与方差公式即可解决.【详解】由题意可得，该校学生每天学习时间的均值为40601008910200200200x =⨯+⨯+⨯9.3=，该校学生每天学习时间的方差为()22400.589.3200s ⎡⎤=⨯+-⎣⎦()2600.899.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦()21001109.3200⎡⎤+⨯+-⎣⎦ 1.45=.故选：B7.已知函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∈+∞且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若2155n a f n n ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，*n ∈N ，则1232024a a a a ++++= （）A.253385f ⎛⎫⎪⎝⎭B.253380f ⎛⎫⎪⎝⎭C.253765f ⎛⎫⎪⎝⎭D.253760f ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭将21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再用裂项相消法求1232024a a a a ++++ 的值.【详解】∵函数()f x 满足对任意的(),1,x y ∞∈+且x y <都有111x y f f f xy x y ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴令2,3x n y n =+=+，则()()()()2231112355n n x y xy n n n n +-+-==--++++，∴21115523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1232024111111344520262027a a a a f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113202725332027132027760f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：2111.5523n a f f f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A.sin ver AM θ=B.csc PS θ=C.cot BS θ=D.sec NBθ=【答案】C 【解析】【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知sin =MP θ，cos OM θ=，tan =AT θ，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得OMP OAT SBO PNO V :V :V :V ，对于A ，因为1cos 1OM MA θ-=-=，即sin ver MA θ=，故A 错误；对于B ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，11csc sin BO OS OS MP MP OPθθ=====，故B 错误；对于C ，11cot tan tan BS OSBθθ===∠，故C 正确；对于D ，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得11sec cos OA OTOT OM OM OPθθ=====，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，则下列说法正确的是（）A.1//AD 平面BEFB.1B C ⊥平面BEFC.异面直线11B D 与EF 所成角为60°D.平面BEF 截正方体所得截面为等腰梯形【答案】ACD 【解析】【分析】于A ，连接1AD ，利用三角形中位线证得1//AD EF ，结合线面平行判定定理即可判断A ；对于B ，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，设正方体棱长为2，根据线段长度结合勾股定理判断QE 与BE 是否垂直，即判断1B C 与BE 是否垂直，从而可判断B ；对于C ，连接11,AD B A ，根据正方体的面对角线性质，即可得异面直线11B D 与EF 所成角的大小，从而判断C ；对于D ，连接111,,AD BC C F ，确定截面完整图形为四边形1BEFC ，再计算其四边长度与位置关系，即可判断D.【详解】对于A ，如图，连接1AD ，因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//AD EF ，又1AD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1//AD 平面BEF ，故A 正确；对于B ，如图，取1AA 中点Q ，连接1,,A D QE QB ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//AB CD A B CD =，所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//BC AD ，又,QE 分别为1AA ，1A D 中点，则1//QE A D ，故1//B C QE ，设正方体棱长为2，则BE BQ QE ======，故222QE BE BQ +≠，所以QE 不垂直于BE ，故1B C 不垂直于BE ，又BE ⊂平面BEF ，所以1B C 不垂直平面BEF ，故B 错误；对于C ，如图，连接11,AD B A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111AB B D AD ==，即11AB D 为正三角形，又因为E ，F 分别为棱AD 和1DD 的中点，所以1//EF AD ，故异面直线11B D 与EF 所成角即为1160B D A ∠=︒，故C 正确；对于D ，如图，连接111,,AD BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111,//C D AB C D AB =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，又1//EF AD ，所以1//EF BC ，所以1,,,B E F C 四点共面，故平面BEF 截正方体所得截面为四边形1BEFC ，设正方体棱长为2，则112BE C F ====所以11,C F BE EF BC =≠，又1//EF BC ，故截面为四边形1BEFC 为等腰梯形，故D 正确.故选：ACD.10.已知正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为自然数，则满足0x y za b b c c a++>---恒成立的x ，y ，z 可以是（）A.1x =，1y =，4z =B.1x =，2y =，5z =C.2x =，2y =，7z =D.1x =，3y =，9z =【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到2x y a b b c a c+≥---，进而得到只需2z >即可，再依次判断四个选项即可.【详解】要满足0x y z a b b c c a ++>---，只需满足x y za b b c a c+>---，其中正实数a ，b ，c ，且a b c >>，x ，y ，z 为正数，()()a b b c x y x y a b b c a c a b b c -+-⎛⎫+=+ ⎪-----⎝⎭()()()()()()b c x a b y x y a c a b a c a c b c a c--=+++------x y a c a c≥++--2x ya c a c a c+=+=---，当且仅当()()()()()()b c x a b y a b a c a c b c --=----，即()()22b c x a b y -=-时，等号成立，观察各选项，故只需2z a ca c+>--，故只需2z >即可，A 选项，1x =，1y =，4z =时，24=，A 错误；B 选项，1x =，2y =，5z =时，235=+，B 正确；C 选项，2x =，2y =，7z =时，287=>，C 正确；D 选项，1x =，3y =，9z =时，249=+，D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222:1039x y C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A.b =B.[]4,6AB ∈C.离心率2e =D.若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=【答案】AB 【解析】【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得b ，由椭圆性质可得[]4,6AB ∈，且离心率33e =，联立直线和椭圆方程可知当OA OB ⊥，方程无解，因此D 错误.【详解】如下图所示：易知3a =，由椭圆定义可知22412AB AF BF a ++==，因为228AF BF +≤恒成立，所以4AB ≥，当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，AB 最小，所以2min 24b AB a==，解得b =，所以A 正确；当AB 为长轴时，AB 最大，此时26AB a ==，所以[]4,6AB ∈，即B 正确；可得椭圆方程为22:196x y C +=，易知c ==3c e a ==，即C 错误；因为()1F ，可设直线l的方程为x my =()()1122,,,A x y B x y ，联立22196x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2223120m y +--=，因此12122212,2323y y y y m m +==-++；若OA OB ⊥，可得0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以()()21212130m y y y y +-++=；整理得2610m +=，此时方程无解，因此D 错误.故选：AB非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为__________.【答案】45°（或π4）【解析】【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.【详解】根据题意，()1,1OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB ⋅∴==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，又0,πOA OB ≤≤ ，所以向量OA 与OB 的夹角为π4.故答案为：o 45（或π4）.13.将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为__________.【答案】255-##【解析】【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：255-14.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O 的一段圆弧E ，且弧E 所对的圆心角为4π5.设圆C 的圆心C 在点O 与弧E 中点的连线所在直线上.若存在圆C 满足：弧E 上存在四点满足过这四点作圆O 的切线，这四条切线与圆C 也相切，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离的取值范围为__________.（参考数据：2π1cos54=）【答案】(【解析】【分析】设弧E 的中点为M ，根据圆与圆相离，确定两圆的外公切线与内公切线，确定圆O 的位置，分析可得弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离.【详解】如图，设弧E 的中点为M ，弧E 所对的圆心角为4π5，圆O 的半径1OM =，在弧E 上取两点,A B ，则4π5AOB ∠≤，分别过点,A B 作圆O 的切线，并交直线OM 于点D ，当过点,A B 的切线刚好是圆O 与圆C 的外公切线时，劣弧AB 上一定还存在点,S T ，使过点,S T 的切线为两圆的内公切线，则圆C 的圆心C 只能在线段MD 上，且不包括端点，过点C ，分别向,AD BD 作垂线，垂足为,R P ，则CR 即为圆C 的半径，设线段OC 交圆C 于点N ，则弧E 上的点与圆C 上的点的最短距离即为线段MN 的长度.在Rt AOD中，12πcos 51cos cos 254OAOA OAOD AOB AOD ==≤==∠∠，则11011MN OC OM CN OC CR OD =--=--<--=-=即弧E 上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为(.故答案为：(.【点睛】结论点睛：本题考查了根据两圆位置关系求距离的范围的问题.可按如下结论求解：相离的两个圆（圆心分别为1O 和2O ,半径分别为R 和r ）上的两个动点之间的距离L 的最小值是两圆心之间的距离减去两圆的半径，最大值是两圆心之间的距离加上两圆的半径，即min 12max 12,L O O R r L O O R r =--=++.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,4,1,0,2,0,,A B A B C因此111112),(1,2),(0,3)AB A B A C ==-=-,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB A C ⋅=得111AB AC ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由111111B C A B A C ===得111111cosC A B C A B ∠=∠=，所以1C D =，故111sin 13C D C AD AC ∠==.因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取(n = ，所以111sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB所成的角的正弦值是13.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线AB，所以d =1sin 13d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C AC ===，所以2221111111111111cos 25A B B C AC A B C A B B C +-∠==-⋅，因此11115sin 5A B C ∠=．于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故139sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sinC AA ∠=，所以由三正弦定理得11139sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠==．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB 的一个法向量．结合三余弦定理得1139sin cos ,cos cos 13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉=．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB所成的角．易得CE =，CG =，因此39sin 13CG CEG CE ∠===．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AA C C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin 13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．16.欧拉函数()()*Nn n ϕ∈的函数值等于所有不超过正整数n 且与n 互素的正整数的个数，例如：()11ϕ=，()42ϕ=，()84ϕ=，数列{}n a 满足()()*2N n n a n ϕ=∈.（1）求1a ，2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记()222log 1nnn na b a =-，求数列{}n b 的前n 和n S .【答案】（1）11a =，22a =，34a =，12n n a -=（2）()620625254n nn S +=-+⨯-【解析】【分析】（1）根据题意理解可求1a ，2a ，3a ，结合与2n 互素的个数可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意可知()121a ϕ==，()242a ϕ==，()384a ϕ==，由题意可知，正偶数与2n 不互素，所有正奇数与2n 互素，比2n 小的正奇数有12n -个，所以()122nn n a ϕ-==；【小问2详解】由（1）知()122nn n a ϕ-==，所以()221222nn n a ϕ-==，所以()()()()()21222212log log 2211112142244nn nn n n n n n n a b n n a --⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭，12n n S b b b =+++ ，所以()()12111112646424444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()2311111126464244444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-++-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②所以①－②得()12151111244244444n n n S n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++---⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111641144212414n n n -+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+⨯--⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()()1111111320614225441054n n n n n -++⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-+----⨯-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⎢⎥⎣⎦，所以()620625254n nn S +=-+⨯-.17.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22132x y -=（2）证明见解析，()-【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 的方程组求出22,a b 得解；（2）设直线1l的方程为(y k x =+，可得2l的方程(1y x k=-+，分别与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点,M N 的坐标，表示直线MN 的方程，令0y =求得x 是定值.【小问1详解】设双曲线C 的两渐近线方程分别为by x a=，b y x a =-，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc --+⨯==，由题意可得：22222229465941a b c b a a b ⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y -=.【小问2详解】设直线1l的方程为(y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l的方程(1y x k=-，联立方程得(22132y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消y 得()2222231560k x x k ----=，0∆>成立，所以212235223M x x x k +==-，(22523M M y k x k=+=-，所以点M 坐标为2223525,2323k k ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭，联立方程得(221132y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以342223N x x x k +==-，(2123N N y x k k -=-=-，所以点N坐标为22,2323k k ⎛⎫- ⎪ ⎪--⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x --=--，则当0y =时，222222222323232325252323M N N M N M x y x y k k k k x y y k k -⋅-⋅-==----，所以直线MN恒过定点，定点坐标为()-.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点,M N 的坐标，再得到直线MN 的方程，最后令0y =即可得到其定点坐标.18.定义{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知函数(){}3max ln ,41f x x x mx =-+-，其中R m ∈.（1）当5m =时，求过原点的切线方程；（2）若函数()f x 只有一个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）e 0x y -=或20x y -=（2）3m <或5m >【解析】【分析】（1）当5m =时，求出()f x ，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；（2）对m 分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出m 的取值范围.【小问1详解】由题意知()f x 定义域()0,∞+，当5m =时，()333451,451ln ln ,451ln x x x x x f x x x x x ⎧-+--+-≥=⎨-+-<⎩，令()3451g x x x =-+-，()21250012g x x x '=-+>⇒<<，()g x ⇒在0,12⎛ ⎝⎭单调递增，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()10g =，令()ln h x x =，则在()0,∞+单调递增，而()()101f h ==，又13416g ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 144h ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭，而()01g =-，所以当104x <<时，()()>g x h x ，当114x ≤<时，()()0g x h x >>，所以当01x <<时，()()f x g x =，当1x ≥时，()()f x h x =，所以()3451,01ln ,1x x x f x x x ⎧-+-<<=⎨≥⎩，所以()f x 在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，在,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减.（ⅰ）当01x <<时，()2125f x x '=-+，设切点()3000,451M x x x -+-，则此切线方程为()()230000125451y x x x xx =-+--+-，又此切线过原点，所以()()23000001250451x x x x =-+--+-，解得012x =，即此时切线方程是20x y -=；（ⅱ）当1x ≥时，()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点为()00,ln x x ，此时切线方程()0001ln y x x x x =-+，又此切线过原点，所以()000100ln x x x =-+，解得0e x =，所以此时切线方程e 0x y -=，综上所述，所求切线方程是：e 0x y -=或20x y -=；【小问2详解】（ⅰ）当5m =时，由（1）知，()f x在0,12⎛ ⎝⎭和()1,+∞单调递增，,112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，且()01f =，130416f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10f =，此时()f x 有两个零点；（ⅱ）当5m >时，当01x <<时，3345141x x x mx -+-<-+-，由（1）知：()3451g x x x =-+-在0,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭递增，12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递减，且()10g =，所以60,12x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x >，而()01f =-，所以()f x在0,12⎛ ⎪⎝⎭只有一个零点，,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭没有零点；（ⅲ）当05m <<时，341y x mx =-+-，此时2120y x m '=-+>得012x <<<，由（1）知，当1x ≥时，()ln f x x =只有一个零点1x =，要保证()f x 只有一个零点，只需要当01x <<时，()341f x x mx =-+-没有零点，34110901f m ⎧⎛⎛⎪=-+-=-< ⎪⎝⎝⎨⎪<<⎪⎩，得03m <<；（ⅳ）当0m ≤时，当()0,x ∈+∞时，()3410g x x mx =-+-<，此时()f x 只有一个零点1x =，综上，()f x 只有一个零点时，3m <或5m >.【点睛】关键点点睛：通过对m 的分类讨论，得出()f x 解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求m 的范围，解题过程较繁琐.19.甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.（1）若3n =，12p =，求甲获胜的概率；（2）若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i = ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i = 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值 1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i = 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ==== ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值 2p 作为参数p 的一个估计值.求 2p .题目12345678910得分100﹣111﹣1000题目11121314151617181920得分﹣1011﹣100010表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.【答案】（1）539864（2）①135p =；② 235p =【解析】【分析】（1）根据甲抢到题目数，分类讨论利用条件概率和全概率公式求解.（2）①由公式计算的数学期望与观测值的均值x 相等，可求出p 的估计值 1p ；②由概率()L p 的表达式，利用导数求取最大值时时p 的取值.【小问1详解】记甲获胜为事件A ，甲抢到3道题为事件3A ，甲抢到2道题为事件2A ，甲抢到1道题为事件1A ，甲抢到0道题为事件0A ，则()331128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()322313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()311313C 28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()301128P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，而()322331111|C 12222P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()212211117|C 11222312P A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1122211222|21233332333P A A ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3210321220|C 33327P A A ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()()()()()()()33221100||||P A P A P A A P A P A A P A P A A P A P A A =+++1137321205398281283827864=⋅+⋅+⋅+⋅=.【小问2详解】①()12i p P X ==，()102i P X ==，()112i p P X -=-=，所以()11211012222i p p p E X --=⨯+⨯-⨯=；因为()()1111111212122n n ni i i i i i p p E X E X E X E X n n n n n ===--⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，由表中数据可知110x =，所以1211210p -=， 135p =.②因为()1,2,,20i X i = 取值相互独立，所以()()()()()1122202011222020,,,L p P X x X x X x P X x P X x P X x ======== ()()()6104610411101222i i i p p P X P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⨯=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()10546310531111135322222222222p p p p p p p L p ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；令()0L p '=得35p =，又01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '>，()L p 单调递增；当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0L p '<，()L p 单调递减；即当35p =时()L p 取到最大值，从而235p =.【点睛】方法点睛：正确提取题干中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
浙江省杭州市2019学年第二学期高三年级教学质量检测数学试题含答案(2020.5)
16.函数 ye x4x 1( 其中 e 为自然对数的底数 )的图象可能是 (2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试卷 2020.5一、选择题1.设集合 A=x|y 4 x 2 B {x|y ln x 1},则 A ∩B=( )A. 2,2B. 2.2C. 1,2D. 1.2x y 1 02.设 M 为不等式所表示的平面区域 ,则位于 M 内的点是 ()x y 1 0A 0,2B 2,0C 0, 2 D.(20)3. 某空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( )4,n a 3n 是”函数 f x |x 1| |x a| x R 的最小值等于 2”的()A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件5.在我国古代数学著作 《详解九章算法》 中,记载着如图所示的一张数表 ,表中除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数之和 ,如:6=3+3则这个表格中第 8行第6个 数是 ( ) A.21 B.28 C.35 D.565D 4C 5B7.抛掷一枚质地均匀的硬币 ,若出现正面朝上则停止抛掷 ,至多抛掷 n i 次,设抛掷次数为随机变量 i ,i 1,2.若 n 1=3n 2=5,则()A.E( 1) E, 2 <D 1 <D 2B.E 1 E 2 ,D 1 <D 2C.E 1 E 2 ,D 1 D 2 )D.E 1 E 2 ,D 2 ,D 1 D 28.已知函数 f xsin(x a)(x 0) 是偶函数,则 ab 的值可能是 ( ) cos(x b),(x 0)2A.a ,bB.a ,b 3 3 3 6C. ,bD.a 2 ,b 53 6 3 69.设 a,b,c 为非零不共线向量 ,若|a tc (1 t)b ⋯|a c|(t R) 则(1 1 1 1A ． 6B ． 4C ．3D ．2A. a b a cB. a bb*c C. a c a b D. a cbc10.数列｛a n ｝满足a n4a n 13 3n N * . 若存在实数 c.使不等式 a 2n <c<a 2n-1 4对任意 n ∈N *恒成立,当 a 1 1 时,c=()11. 设复数z a i且z 1 b（i a,b R, i为虚数单位）则ab= ▲ |z|= ▲1i612. x 1的的展开式的所有二次项系数和为▲ 常数项为▲x2213. 设双曲线, x2y21 a 0,b 0 的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点ab且2|PF1| 3|PF2|若F1PF2 60 ,则该双曲线的离心率为▲ 渐近线方程为▲14. 在VABC中,若2sin2 A 3sin A,sin B C 2cosBsinC .2则 A _____ , AC _______AB15.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若S2厔4, S4 16,则a3的最大值是▲16. 安排ABCDEF 共6 名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者 A 安排照顾老人甲,志愿者 B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有▲ 种17. 已知函数 f x |x3a| |3x b| a,b R .当x 0,2 ., f x 的最大值为M a,b ,则M a,b 的最小值为▲18.已知函数 f x 12sin x 3cos 2 2x 23, 0(1)若 ω=1.求 f x 的单调递增区间 2)若 f1. 求 f x 的最小正周期 T 的最大值319. 如图 ,在四棱锥 P=ABCD 中,PC ⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形AB AD.ABPCD AB=2AD=2CD=2 ，E 是 PB 上的点 (1)求证 :平面 EAC ⊥ PBC;(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E 的余弦值为 36 ,求直线 PA 与平20. (本题满分 15分)已知数列 {a n } 的各项均为正数 其前 n 项和为 S n ,b 2 S 6 81. (1)求数列{a n } 的通项公式(2)c n1 a 1 1 a 21 a n,T na1a23L n , 若对任意的正整数 n,都有c 1 c 2 c 3c n4aT n <c 恒成立 ,求实数 a 的取值范围21. (本题满分 15分)如图,已知 M(1,2)为抛物线 C:y 2 2px p 0 上一点，过点 D 2, 2 的直线与抛物线 C 交于 AB 两点 (AB 两点异于 M),记直线 AM,BM 的料 率分面 EAC 所成角的正弦值,{b n } 是等差数列别为k1,,,,k2(1)求k1k2 的值(2)记VAMD ,VBMD 的面积分别为S1,S2,当k1 1,2 ,L求S1的取值范围22. (本题满分15 分)已知函数f x e x a ln x a , x⋯0 . 其中 a 0,(1)若a=l.求证: f x 0.(2)若不等式f x ⋯2x a 1 1 ln2 对x 0恒成立,试求a的取值范围玄三伐辛•箒I « CA 4 «)2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试題琴考答案及评分标准三.解(本大贮共5小越，共74分>18.⑴出QMI 时./(x)≡-sinx÷ >∕3cos ,- - — =-sinx÷-八 2 2 2 222A∏--Z≤1≤2jtπ÷-l ▲奁 Z6 6听以/COtfJ 单调递培区间是［”兀一｛・2心! + 2LkZ ・••••・•7分6 6(II)由 /(Λ)=丄Sinm÷ 73cos 2 — -—=丄Sinfar÷ -Λ>S ^X =si ∣Xm ÷-)・ 2 2 2 22 3因为所以sin<∙, I ÷ — = 2皿 + 亍∙ Λ e Z .乂因为函数/⑴的最小J ：JBJuT =—•且e>()∙ 所以^ω=⅛j. 7•的艮人伯为"・-k 选擇If ：本大题共10小込 毎小通4分•共40分.在每小題绘出的四个选项中・只有一项是符合題目要求的.非选择题部分(共110分)二 填空本大範共7小⅛L 多空贮毎憩6分，≡≥½⅜S4分.共％分. "・ 一6,√ΠT I2・ M∙ 2014. I15・916・ 1817・7U. √7: ⅜≡^√Sr COSx = SIn(X÷-)・2 J19.(I)∣M ¾ FC—平(M ABCD.AC U平(fc ABCD.所以AC丄PC∙因为Λtf=2∙ .4D=CD=L所以AC・BC・4・所以^C2+ΛC J≡A∕F,所以A「丄〃G又BCWG所以AC丄半L⅛ PBC9⅛i为ACC SΛΛFΛC.HrW T-而UC丄半面MU(II)以C为原点•建所示的空何fl：角生标系.则QO, 0. O)VΛh Ir 0). Ba9 -L 0), i殳R0∙ 0. U)(α>0X则Eg -I t S>t CA=(]. L 0). CP=(O. 0. “)∙ C£=(|・一孑≡).IuIW■(】• -I. 0).则m CP≡m G*≡()∙所以炳为J F⅛1MC的法向SLta ∕>≡(-r. .▼• J为TffiMC 的沐向fit•则/I C4=Λ L7=(>∙即j x+p ()• 取Λ=<f t V=-α. :=-2. >!J ∕f=(α. —σ. —2). (,X —y ÷ αz = 0 ・依电岂kσss ∙ ^I=-T⅛Γ7=τ∙解得“=2.所以∕∣=(2. -2. 一2)・设自钱PA与半面UC階或用为次Zl Sintf= ∣c∞<^∙ Λ>l=γ∙ 即直线∕¾ iJTd∏以「所成如的正弦值为耳・……R分20.(本题满分15分)廉(I) VuK｝的公差为几由h∙⅛=81. ^(2+jχi2+15Λ=8l. 即5√7÷14d-19 = 0・⅜m <∕-ι¾<∕--⅛因为敦列g∙｝为⅛l⅞j⅛为正汰加=壽=2•術以dtθ∙听以d≈∖.所以Z>R=Λ+1.所以切=匸寻・... 7分(Λ4 «)(E因为”(T)(T)..(一為)呼号(n+iy 2(π+l)t 術以件∙2∣GY)+G-9+ +(⅛-⅛)∣-⅛⅛Γ以彳、徐式4<⑺VS 化为4α上严C・>lτ4 ZIIB即gαvdi=l+丄+亠恒戚立. n(n*l) n ・1*n血刘川・I ■ • * ,~1 " 1t,洞ifil>t∙n <a÷R所以8α<h BPα≤⅛21. (4题满分15分)(I)柠丽(∣∙ 2)代入拠罚线G y = 2f n方出得P≈2. 所以柚物线力用为Γ-4t.方用为：Λ=∕F<,V+2>+2∙代入枪切线方出,冯V2-Jm—8〃Lg=0・设A(xι9Vi>∙ B(X V2)∙则V∣+y2≡4m. y∣yz=-(8∏ι+8).IIA ii∑2∙^÷^ ∙ 7⅛z^≡ ----- --- ----■---------- -------- ≡ -4.,∙χ>-ι γ-ι γ-ι (r.÷2χy a÷2) r∣y j÷2(y l4yj44)所以4Mi=~4. ••••••8 分(H)由(1)⅛lA∣=τ⅛e∣1∙ 2]∙所以yι+2≡(2∙ 4|.fc≡7⅛∙ EP T⅛⅛=^4* 朋⅛^=^I'∙廿¾=⅛≡∣1∙ 4】)・22. ｛本题洪分15分)(I) fh<i=l∙ ^/(Λ)=e'∙,-lnu+h. t>0,所以⅛7Xn≡e--'--lτ・所以∕w在IQy>)上单WJtm・且∕χo)=;-∣<o. ∕u)=∣>o.&三做竿•活3 A c⅛4 «)所以存在.u∈(0∙ l)t 使∕t%)=O.所以∙^Λ∈(O. ∕W<O. T∙rw(3 +*)时∙βTYQ>O∙所以U∙ ≡∕(⅞) -C rO"1—∣n( tβ +1). (•)^∙-t-¼T=0∙即k沽.网边馭对数.得In(M+ l>=l-χo∙代入(♦)• fi∕C<>mΛ=∕(¼)=^77+^o~ 1 =τ^77^θ∙ ...... 8 分(II)由直恿福e,*w-ln(x÷4∣)>√2x ÷ α + 1 -1 -InZ 对x>3 成立. (O必婪性，将戈=1代入上迩小等式.宙c r--ln< 1 +tf)^√7TT-∣-l∏2.即ln( 1 +α)+ STr3-C1-*-1 - I∏2≤O∙令X(Ol=IlM 1 +α)+√α + 3—严一I —1∏2 ・易知的)在® 4»)上单UIjaiβ∙且S(I)-O.所以UVaWl.(Ii)下iff1⅜O<a≤l B*j∙ e x*d-ln(.r+tθ^√ir + a + 1 — 1 —In2 对J^O 戚立. 即证l∏(τ+a)+√2x + a ÷≤ I + >∏2.因为O<aWl∙所以ln(Λ+a)+√2χ + a ÷ 1 — c^*,j≤ln(Λ +1)+√Zx + 2—c**i.⅛ ∕XΛ>=ltv+l>+√2x + 2—e fβ,.÷÷⅛T-^,∙显然⅛t<)ft(o. +工)上型调递瞇・IiΛυ)=o.所以Λ<nit[()∙ 1)丄单眦⑥fi∙ ffl∣∙ +巧上单询迪裱•故ΛU)WΛ(l)∙l+ta2∙不尊式得1£・由(I)和(ii> 可⅛1 OVaWl. ...... 7⅞«(Λ4 «)。
浙江省杭州市2022-2023学年高三上学期教学质量检测(一模)地理含答案
2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测地理试题卷考生须知：1.本卷分选择题1、选择题、非选择题三部分。
满分100分，考试时间90分钟。
2.答题前，在答题卡上填写学校、班级、姓名、考号，贴好条形码，并仔细阅读注意事项。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效。
考试结束，只需上交答题卡。
一、选择题I（本大题共20小题，每小题2分，共40分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）图1为土壤剖面的各层特点描述，图2为某同学依据所学知识绘制的土壤发育阶段序列。
1.甲层为A.淀积层B.淋溶层C.母质层D.腐殖质层2.影响丙、丁两层形成的主要因素有①成土母质②气候③地形④生物A.①②B.①③C.②③D.②④2022年8月，都阳湖露出了湖底的草洲和河道，水位已减少到枯水期的标准，比往年提前了一百多天，出现“汛期反枯”现象。
图为都阳湖水域面积变化对比图。
完成3、4题。
3.获取并制作鄱阳湖水域面积对比图分别运用了A.VR+GISB.RS+GISC.GNSS+RSD.GIS+GNSS4.2022年鄱阳湖“汛期反枯”的主要原因是①副高偏强且维持时间长②登陆我国的台风偏少③鄱阳湖湖水大量补给长江④2022年为厄尔尼诺年A.①②B.①③C.②③D.①④“洋垃圾”问题一直困扰着菲律宾，许多进口的没有回收再利用价值的洋垃圾被倒进海洋。
2013年到2014年间，加拿大向菲律宾出口了103个集装箱的“可回收塑料”，其中69个集装箱装有大量电子产品垃圾和厨房垃圾等。
完成5、6题。
5.加拿大出口大量垃圾至菲律宾，主要是因为加拿大A.垃圾治理技术水平低B.环境污染更严重C.垃圾处理经济成本高D.市场监管较宽松6.垃圾倒入海洋造成的主要影响是A.陆地面积减小B.海水盐度、密度、温度上升C.改变潮汐流向D.有害物积聚于海洋生物体内图为亚洲某区域略图。
完成7、8题。
7.关于图中陆地水体的描述，正确的是A.乌伦古河为外流河B.斋桑泊为咸水湖C.额尔齐斯河夏汛为主D.乌伦古湖为淡水湖8.聚落是指人类从事生产生活活动而聚居的场所。
人大附中2019-2020年高三第二次教学质量检测理科数学
人大附中2019-2020年高三年级教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02.集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．33.已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y -> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +>4.函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是5.o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )A. B. C.12- D.126.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.-7.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.1308.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ） A.1b =r B.a b ⊥r r C.1a b ⋅=r r D.()4C a b +⊥B u u u r r r 9.圆2228130xy x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） A.43- B.34- D.210.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．1311.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．1012.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向 右平移_______个单位长度得到．14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x = 在点(1,3)-处的切线方程是_______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2019-2020年高三第二次模拟考试数学试题
2019-2020年高三第二次模拟考试数学试题全卷满分为150分，完成时间为120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上。
） 1、设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =< 则 （ ）（A ） M N ⋂=∅ （B ） M N M =⋂ （C ） M N M ⋃= （D ） M N ⋃=∅2、某校高中共有900名学生，高一年级300名，高二年级200名，高三年级400名，现采用分层抽样的方法抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） （A ） 15 ，10 ，20 (B ） 15 ，15 ，15 （C ） 10 ，5 ，30 （D ） 15 ，5 ，253、已知,,αβγ为平面，命题p ：若,βα⊥βγ⊥则//αγ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则βα//．对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ） （A ）命题“p 且q”为真 （B ）命题“p 或q ⌝”为假 （C ）命题“p 或q”为假（D ）命题“p ⌝”且“q ⌝”为假4、函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为 （ ） （A ）3 （B ）0 （C ）-1 （D ）-25、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为 （ ）（A ）3 （B ）23（C ）4 （D ） 13 6、（理）设随机变量 ξ服从正态分布(2,9)N ，若 (1)(1)P c P c ξξ>+=<-，则c = ( )（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4（文）设3log 2=a ，6log 4=b ，9log 8=c ，则下列关系中正确的是 （ ）（A ） b c a >> （B ）c b a >> （C ）a b c >> （D ）b a c >> 7、函数1xy a =+(01)a <<的反函数图象大致是 （ ）8、设,x y 满足约束条件242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22222t x y x y =++-+的最小值为 （ ）（A ）（B ）95（C ） 2 （D ） 3(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ( ) (A) 24 (B) 28 (C) 14 (D) 4810、（理科）数列{}n a 中，2221(1)n n a n n +=+ ， 12n n S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ， 则lim n n S →∞=（ ） （A ）2 （B ）12 （C ）1 （D ）23（文科）在等差数列 1,4,7,⋅⋅⋅⋅⋅⋅中 ， 6028是它的 （ ） （A ）第2008项 （B ）第2009项（C ）第2010项 （D ）第2011项11、（理科）复数2()(1)m i mi +⋅+是实数，则实数m = （ ） （A ） 1 （B ）1- （C（D）（文科）抛物线 2y ax =的准线方程为 1y =，则 a 的值为 （ ）（A ）14 （B ） 14- （C ） 4（D ） 4-12、双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) (A) (1,3)（B ）[)3,+∞ (C) (3,+∞)(D) (]1,3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上。
2019-2020年高三第二次调研考试数学文试题 含答案(可打印修改)
2019-2020年高三第二次调研考试数学文试题 含答案本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟.注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回.4. 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．正棱锥的侧面积公式：，是底面周长，是斜高.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={2，4}，B=，则集合A ．{0,4,5,2}B ．{0,4,5}C ．{2,4,5}D ．{1,3,5}2．已知为虚数单位，则=（ ）A -B －1CD 13．设，则这四个数的大小关系是( )0.320.30.3log 2,log 3,2,0.3a b c d ====A ． B . C. D.4．若方程表示双曲线，则k 的取值范围是（）A. B. C. D. 或5.某几何体的三视图如图所示（俯视图是正方形，正视图和左视图是两个全等等腰三角形）根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12 6.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( )A.＝1.23x ＋4B.＝1.23x ＋5C ．＝1.23x ＋0.08D ．＝0.08x ＋1.237. 设不等式组表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩点的距离大于的概率是（ ）A ． B ． C ．D ．8. 中，角、、所以的边为、、， 若，，面积，则（ ）A. B. C. D.9．设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是（ ）A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．18.(本小题满分14分）如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．19.(本小题满分14分）椭圆的离心率为，两焦点分别为，点M是椭圆C上一点，的周长为16，设线段MO（O为坐标原点）与圆交于点N，且线段MN长度的最小值为.（1）求椭圆C以及圆O的方程；（2）当点在椭圆C上运动时，判断直线与圆O的位置关系.20.(本小题满分14分）已知函数.（1）判断奇偶性, 并求出函数的单调区间；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.21.(本小题满分14分）设等差数列的公差，等比数列公比为，且，，（1）求等比数列的公比的值；（2）将数列，中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列，是否存在正整数（其中）使得和都构成等差数列？若存在，求出一组的值；若不存在，请说明理由.韶关市xx高三年级第一次调研（期末）测试数学试题(文科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．DCBAB CDDCA二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11. 12.13. （2分），（3分）14.15. 内切三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分12分)函数()的部分图像如右所示.（1）求函数的解析式；（2）设，且，求的值解：（1）∵由图可知：函数的最大值为，………2分且∴，最小正周期………………………………………………………4分∴故函数的解析式为. …………………………………6分（2），………………………………………………………8分∴，∵，∴，…………………………………………………………10分∴ …………………………………………………………………12分17．(本题满分12分)高一（1）班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求高一（1）班参加校生物竞赛人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的学生中任选两人进行某项研究，求至少有一人分数在之间的概率．解.（1）分数在之间的频数为，频率为，高一（1）班参加校生物竞赛人数为．………2分所以分数在之间的频数为………4分频率分布直方图中间的矩形的高为．………6分（2）设至少有一人分数在之间为事件A将之间的人编号为，之间的人编号为，在之间的任取两人的基本事件为：，，，，，. 共个，，，，，，，………………………………………………………………………………………………..9分其中，至少有一个在之间的基本事件有个……………………………………10分根据古典概型概率计算公式，得………………………………………11分答：至少有一人分数在之间的概率………………………………………12分18.(本小题满分14分）如图，如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，C是⊙上一点，且，．(1) 求证：；(2) 求证：；（3）当时，求三棱锥的体积．[网]16.如图所示，一个带正电的粒子沿x轴正向射人匀强磁场中，它所受到的洛伦兹力方向．沿Y轴正向，则磁场方向A.一定沿z轴正向B.一定沿z轴负向．C.一定在xOy平面内D．一定在xoz平面内，[来二、双项选题（共9个小题，每题6分，共54分。
精校Word解析版---2019-2020学年高三年级阶段性监测试卷数学试题
绝密★启用前2019-2020学年高三年级阶段性监测数学试卷本试卷共4页，共 150分，考试时间120分钟.一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}aA 3,1=，{}b a B ,=，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31B A ，则=B AA ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,1B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31,1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-31,1,1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31,1,b2. 若实数x y >，则A ．y x 5.05.0log log >B ．y x >C ．2x xy > D ．22x y >3.设随机变量~(,7)X N μ，若)4()2(>=<X P X P ，则A ．3,7DX μ==B ．6,DX μ==C ．3,DX μ==D ．6,7DX μ==4.设x ∈R ，则“1<2x ”是“0<lg x ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设0,1x y x y >>+=，若1()ya x=，1()log xyb xy =，1log yc x = ，则实数,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c b a <<6.设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中真命题是A.若l ⊥β，则α⊥βB.若l ⊥m ，则α⊥βC.若αβ⊥，则l ⊥mD.若α∥β，则l ∥m 7.函数()(33)lg ||xxf x x -=+⋅的图象大致为8. 已知一组数据点11,x y （），22,x y （），33,x y （），77,(,)x y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24yx =-+，若数据1237,,,x x x x 的平均数为1，则7=1=i i y ∑A ．2B ． 11 C.12 D ．149.用平面α截一个球，所得的截面面积为π，若α到该球球心的距离为1，则球的体积为 A.38πB. 328πC. π28D. 332π10.在x y 3=，x y 3log =，2x y =，xy 1=这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11.某地某所高中 2019 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2019年的高考升学情况，得到如下柱图：2016年高考数据统计 2019年高考数据统计则下列结论正确的是A. 与 2016 年相比，2019 年一本达线人数有所增加B. 与 2016 年相比，2019 年二本达线人数增加了0.5 倍C. 与 2016年相比，2019 年艺体达线人数相同D. 与 2016 年相比，2019 年不上线的人数有所增加12.已知空间中两条直线,a b 所成的角为50。
精华解析：浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(原卷版)
2022学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1.设集合{}*2N 4A x x x=∈≤，{B x y ==，则RA B = ð（）A.[]0,3 B.[]1,3 C.{}1,2 D.{}1,2,32.设复数z 满足(1i)2i z +=-+（i 是虚数单位），则z =（）A.2B.54C.52D.3.在数列{}n a 中，“数列{}n a 是等比数列”是“2213a a a =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量()1,3a =，2b = ，且a b -= ()()2a b a b +⋅-= （）A.1B.14C.D.5.某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A.相关系数r 变小B.决定系数2R 变小C.残差平方和变大D.解释变量x 与预报变量y 的相关性变强6.已知1a >，1b >，且2log log 4=b a ，则ab 的最小值为（）A.4B.8C.16D.327.如图，点A 、B 、C 、M 、N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足．．．直线//MN 平面ABC 的是（）A. B.C.D.8.已知()sin()f x x ωφ=+(0)>ω满足()14f π=，503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且()f x 在5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A.127 B.1817C.617D.3017二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线1y kx =+与圆C ：()2229x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的长度可能．．等于（）A.2B.3C.4D.510.已知函数()f x （x ∈R ）是奇函数，()()2f x f x +=-且()12f =，()f x '是()f x 的导函数，则（）A.()20232f = B.()f x '的一个周期是4C.()f x '是偶函数D.()11f '=11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A.事件1A ，2A 为互斥事件B.事件B ，C 为独立事件C.()25P B =D.()234P C A =12.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O ，2O 为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体CDEF 的体积的取值范围为(]0,32C.平面DEF 截得球的截面面积最小值为45πD.若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在nx⎛ ⎝的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为___________14.已知sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=，则224cos 2cos 2αβ-=______．15.费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y-=，O 为坐标原点，l 是点3,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =______．16.已知函数2()e 2e 2x x f x x =-+在点()()00,P x f x 处的切线方程为l ：()y g x =，若对任意x ∈R ，都有()()0()()0x x f x g x --≥成立，则0x =______．四、解答题17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 02A CB ++=．（1）求角B 的大小；（2）若:3:5a c =，且AC 边上的高为14，求ABC 的周长．18.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，2325a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，1n a n n b b ++=，求数列{}2n b 的前n 项和n S ．19.在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒.（1）求证：AC SB ⊥；（2）若2,AB SC ==，求平面SAC 与平面SBC 夹角的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．21.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，2t X -，1t X -，t X ，1t X +，…，那么1t X +时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态t X ，即()()1211,,,t t t t t t P X X X X P X X +--+⋅⋅⋅=．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为()*N ,A A A B ∈<，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n 元（0n B ≤≤，N n ∈）时，最终输光的概率为．．．．．．．．()P n ，请回答下列问题：（1）请直接写出()0P 与()P B 的数值．（2）证明(){}P n 是一个等差数列，并写出公差d ．（3）当100A =时，分别计算200B =，1000B =时，()P A 的数值，并结合实际，解释当B →∞时，()P A 的统计含义．22.已知函数()e (R)xaf x a x=-∈．（1）讨论函数()f x 零点个数；（2）若()ln f x a x a >-恒成立，求a 的取值范围．第7页/共7页。
【2020年数学高考】2017-2020学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学试卷.doc
2017-2020学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷 2020.04.23考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卷． 选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1． 已知集合 A ＝{x | x ＞1}， B ＝{x | x ＜2}，则 A ∩B ＝（ ） A ． { x | 1＜x ＜2} B ． {x | x ＞1} C ． {x | x ＞2} D ． {x | x ≥1}2．设 a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R （ i 是虚数单位），则 a ＝（ ） A ． 3 B ． －3 C ．13 D ． －133． 二项式512)xx -（的展开式中 x 3项的系数是（ ） A ． 80 B ． 48 C ． －40 D ． －804．设圆 C 1： x 2＋y 2＝1 与 C 2： (x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则圆 C 1与 C 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含5． 若实数 x ， y 满足约束条件 2x+3y-90x-2y-10≥⎧⎨≤⎩，设 z ＝x ＋2y ，则（ ）A ． z ≤．0≤z ≤5 C ． 3≤z ≤5 D ．z ≥56．设 a ＞b ＞0， e 为自然对数的底数． 若 a b ＝b a ，则（ ） A ． ab ＝e 2 B ． ab ＝21eC ． ab ＞e 2D ． ab ＜e 2 7． 已知 0＜a ＜1，随机变量 ξ 的分布列如下：当 a 增大时，（ ）A ． E (ξ)增大， D (ξ)增大B ． E (ξ)减小， D (ξ)增大C ． E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小， D (ξ)减小 8．已知 a ＞0 且 a ≠1，则函数 f (x )＝(x －a )2ln x （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值9． 记 M 的最大值和最小值分别为 M max 和 M min ． 若平面向量 a ， b ， c 满足| a |＝| b |＝a •b＝c •(a ＋2b －2c )＝2． 则（ ）A ． |a －c |max ＝2 B ． |a ＋c |max ＝2C ． |a －c |minD ． |a ＋c |min 10． 已知三棱锥 S －ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA ＜SB ＜SC ，平面 SBC ， SCA ， SAB 与 平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ） A ． α1＜α2 B ． α1＞α2 C ． α2＜α3 D ． α2＞α3 非选择题部分（共 110 分）二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）11．双曲线222x y -= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝______，a 5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤14，|f(x)＋1－x2|≤34，则f(1)＝．17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC 的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f (x )＝2lnxx x（Ⅰ）求函数f (x )的导函数f ′(x )；（Ⅱ）证明：f (x )e 为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A （点A 不与原点O 重合）作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心（三条中线的交点），直线CG 交y 轴于点D ．（Ⅰ）设A (x 0，x 02)（x 0≠0），求直线AB 的方程； （Ⅱ）求|OB||OD|的值．22．（本题满分15分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋nca （c ＞0，n ∈N *）， （Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1； （Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m 时，()n m mca n m a a -+≤ （ⅱ）．n a2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．y = 12．3；162 13．143π；6(6+π 14．－14 15．3216．3417．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)． 18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x ＋74π)＝cos(x －34π)，所以 f (x )＝2sin(x ＋74π)＝－2sin(x ＋34π)．所以函数f (x )的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分（Ⅱ）因为f (－x )＝2sin(x －34π)，所以单调递减区间为(54π＋2k π，94π＋2k π)（k ∈Z）．…………14分19．（本题满分15分） （Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ．…………7分（Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角． 设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BCMD ＝2DC ＝DC ′＝2，AD在Rt△C ′MD 中，222222)(2MC C D MD ''=-=-＝9－设AF ＝x ，在Rt△C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2， 即 4－x 2＝(9－－(x －1)2， 解得，x ＝2，即AF ＝2． 所以 C ′F ＝故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '． …………15分20．（本题满分15分）（I ）221(21)ln ()()x x xf x x x +-+'=+．…………6分ABC′D M F （第19题）（Ⅱ）设111()ln ln 21242x g x x x x x +=-=+-++， 则函数g (x )在(0,)+∞单调递减，且0g >，(e)0g <，所以存在0x ∈，使g (x 0)＝0，即0001ln 021x x x +-=+， 所以 x 0＋1－(2x 0＋1)ln x 0＝0，所以 f ′(x )＝0，且f (x )在区间(0，x 0)单调递增，区间(x 0，＋∞)单调递减． 所以 f (x )≤f (x 0)＝00ln (1)x x x +＝001(21)x x <+． …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为 y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′0|x x =＝2x 0．所以直线AB 的方程y －x 0＝2x 0(x －x 0)，即 y ＝2x 0x －20x ．…………6分（Ⅱ）由题意得，点B 的纵坐标y B ＝－20x ，所以AB 中点坐标为0(,0)2x ． 设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋12x 0． 由021,2x my x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，联立得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋2014x ＝0．因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2． 由韦达定理，得y 1＋y 2＝4y 2＝021mx m -，y 1y 2＝3220224x y m =．所以220042(1)1612mx x m m -=，解得 mx 0＝3-±所以点D 的纵坐标y D＝202x m -=，故||||6||BDy OB OD y ==． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c ＞0，所以 a n ＋1＝a n ＋nca ＞a n （n ∈N *）， 下面用数学归纳法证明a n ≥1． ①当n ＝1时，a 1＝1≥1； ②假设当n ＝k 时，a k ≥1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋kca ＞a k ≥1． 所以，当n ∈N *时，a n ≥1． 所以 a n ＋1＞a n ≥1．…………5分（Ⅱ）（ⅰ）当n ≥m 时，a n ≥a m ，所以 a n ＋1＝a n ＋n c a ≤a n ＋mca ， 所以 a n ＋1－a n ≤m c a ，累加得 a n －a m ≤mc a (n －m )， 所以 ()n m mca n m a a -+≤． …………9分（ⅱ）若12c >，当282(21)c m c ->-时， 21822()1221(21)m c c a c c c ->--=--，所以12m c c a <-． 所以当n m ≥时，1()1()2n m mcc n a n m a a ---+≤≤．所以当112m m mcm a a n c c a +->--时，1()1()2m m cc n n m a a -->-+，矛盾．所以 12c ≤．因为 222222125224n nn n nc a a c a c c a a +=+++++≤≤，所以n a …………15分。
浙江省杭州市2023届高三上学期教学质量检测数学试题含解析
2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}210,lg 0A x x B x x =-<=≤∣∣，则A B ⋃=（）A.{01}x x <<∣B.{01}xx <≤∣C.{11}xx -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,A B ,根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得{}{}210{|11},lg 0{|01}A xx x x B x x x x =-<=-<<=≤=<≤∣∣，故{|11}A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2.若复数4i1iz =+（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.【详解】因为()()()4i 1i 4i 22i 1i 1i 1i z -===+++-，则||z ==.故选：C ．3.已知1tan 2α=-，则sin 22cos24cos24sin 2αααα+=-（）A.114B.114-C.52D.52-【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】2222221sin 22cos22sin cos 2cos 2sin tan 1tan 1474cos24sin 24cos 4sin 8sin cos 22tan 4tan 142αααααααααααααααα++-+-====-----.故选：A ．4.已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式()2log g x x >的解集是（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】作出函数()g x 与2log y x =的图象，数形结合可得出不等式()2log g x x >的解集.【详解】根据图中信息作出函数()g x 、2log y x =的图象如下图所示：因为()01f =，则()21g =，且2log 21=，由图可知，不等式()2log g x x >的解集为()0,2.故选：C.5.已知非零向量,a b的夹角的余弦值为15，且(3)(2)a b a b +⊥- ，则||||a b =（）A.1B.23C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于||||a b、的齐次方程，即可进一步求得||||a b 的值.【详解】1cos ,5a b <>= 由(3)(2)a b a b +⊥-得2222(3)(2)253230a b a b a ab b a a b b+⋅-=+-=+-=.∴2230a ab b ⎛⎫⎪+-= ⎪⎝⎭，令0at b=> ，∴2230t t +-=，解得1at b ==或32-（舍去）.故选：A.6.冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为22．A.①③B.③④C.②③D.②④【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，41x =，123567117x x x x x x ++++++<，所以1235676x x x x x x +++++<，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，且12356701x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤，所以1234567,,,,,,x x x x x x x 都不超过5，②正确.对于④，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，123456727x x x x x x x ++++++=，123456714x x x x x x x ++++++=，()()()()()()()22222221234567222222227x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，()()()()()()()22222221234567222222214x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，若自然数x 大于5，则()2216x -≥，矛盾，所以123567,,,,,x x x x x x 都不超过5，④正确.综上所述，正确的为②④.故选:D7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（）A.10x ±-=B.10x y ±-=C.220x y ±-= D.210x y ±-=【分析】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，根据4||||5DE AB =求出r ，进而得到M 点横坐标；再设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，由韦达定理得到k 与M 横坐标的关系，进而求出k ．【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==，故||1MN r =-，所以8||5DE r ==，即21650250r r -+=，解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k++==，解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=．故选：C ．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．8.若过点(,)a b 可以作曲线1(0)y x x x=->的两条切线，则（）A.0b a >> B.1a b a a >>- C.10a b aa<-<< D.10a b a a-<<<【答案】B 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，结合导数法有000|x y bk y x a-='=-，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.【详解】设切点为()00,x y ，则00x >，∴211(0)y x x '=+>，则0002000111x b y b x k x x ax a---=+==--，化简得：200()20a b x x a --+=①，则44()a a b ∆=--，∵过点(,)a b 可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴()202Δ00a b aa b -⎧->⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪>-⎪⎩，∴1a b a a >>-.故选：B ．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x ．下列命题中正确的是（）A.()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B.()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x，最小值为0D.()f x【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项A,由()0f x ≥，知()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，可验证选项B ,通过单调性，即可求得最大值和最小值.【详解】对于选项A ，由(3)()f x f x -=，得()f x 的对称轴为直线32x =，因此()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项BCD ，因为2()0,()3f x f x ≥=+，函数()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，而2()y f x =在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32x =时，()f x ；当0x =或3时，()f x 取到最小值故选：ABD.10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B.()1522P A B =C.()25P B = D.()245|8P A B =【答案】BD 【解析】【分析】由题设求出()i P A 、(|)i P B A (1,2,3)i =，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，根据()(),()i i P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性.【详解】由题意11()2P A =，21()5P A =，33()10P A =，先1A 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则15(|)11P B A =，先2A 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则24(|)11P B A =，先3A 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则34(|)11P B A =，所以1115()(|)()22P A B P B A P A ==，B 正确；2224()(|)()55P A B P B A P A ==，3336()(|)()55P A B P B A P A ==，()1122339(|)()(|)()(|)()22P B A P A P B A P A P B B A A P P ++==，C 错误；则11()()()P A P B P A B ≠，22()()()P A P B P A B ≠，33()()()P A P B P A B ≠，A 错误；()2222()(|)()|()(845)P A B P B A P A P A B P B P B ⋂===，D 正确.故选：BD11.若函数()π1sin 2(0)62f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在区间0,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则（）A.存在ω，使得函数()f x 为奇函数B.函数()f x 的最大值为12C.ω的取值范围为(0,4]D.存在4个不同的ω，使得函数()f x 的图象关于直线π2x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】对A 选项，计算()f x -，得到其与()f x -的关系即可判断，对B 选项，根据正弦函数的值域即可求出()f x 的最大值，对C 选项，根据()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得到不等式组ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ，解出即可，对D 选项，令πππ2π,Z 262m m ω⨯+=+∈，解出ω，再结合C 选项ω范围则可得到ω的值.【详解】解：()π1sin 262f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为R ，()()π1π1sin 2sin 26262f x x x f x ωω⎛⎫⎛⎫-=-+-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，则不存在ω，使得函数()f x 为奇函数，故A 错误;由π1sin 216x ω⎛⎫-+⎪⎝⎭ ，得31()22f x - ，则()f x 的最大值为12，故B 正确;由于()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ,Z k ∈解第一个不等式得13k ≤，Z k ∈ ,故max 0k =，解二式得244k ω≤+，故4ω≤，又0ω>，所以04ω< ，故C 正确;令πππ2π262m ω⨯+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，Z m ∈，由04ω< 知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D 选项的判断，根据()f x 的某个单调增区间，则其整体应该在ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，即应该是后者的子集，再结合0ω>，从而得到关键的不等式组，解出ω范围，而D 选项我们采取代入法，将π2x =代入则内部整体应等于对称轴通项即ππ2x k =+，Z k ∈再结合ω范围，则得到所有ω取值.12.已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A.函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由()()1f x f x -+=可判断；对B ，根据函数单调递增可求解；对CD ，根据()f x 的性质画出函数图象，表示出直线AD 的方程，根据,B C 均在直线AD 上方建立不等关系可得.【详解】对A ，()()3313113133113x x xx x x xf x f x ---+=+=+=++++ ，∴函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B ，31()11313x x xf x ==-++ 在R 上单调递增，且()102f =，则1(1)2f x ->化为()(1)0f x f ->，则10x ->，解得1x >，故不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >，故B 正确；对CD ，30x >，则可得101113x<-<+，且()f x 关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，在R 上单调递增，可得()f x 函数图象如下：,B C 均在直线AD 上方，其中直线AD 的方程为()23231122f x x y x x x +-=++，则可得()()2322231122f x x f x x x x +->++，()()2333231122f x x f x x x x +->++，所以()()()()()232323232323231111122222f x x f x x f x f x x x f x x x x x x +-+-+>+++=++++，()()()23111f x x f x f x +=-=- ，()()()231112f x f x f x ∴+>-+，即()()()12332f x f x f x ++>，故C 错误，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()241(12)xx ++的展开式中3x 的系数为_______________.【答案】40【解析】【分析】利用4(12)x +的展开式的通项，令x 的指数等于3和1，即得展开式中3x 的系数.【详解】因为4(12)x +的展开式的通项()14422C C rrr r r r T x x +==，令3r =和1r =，可得3x 的系数为331442C 2C 842440+=⨯+⨯=.故答案为：40.14.将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-##5π24-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知双曲线2221y x a-=，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．【答案】213⎭【解析】【分析】设出切线方程，联立双曲线方程消元得一元二次方程，则两条切线等价于Δ0=有两个不等实根，即可进一步列判别式不等式求得参数范围，从而求得离心率的取值范围.【详解】设切线方程为(22)y k x -=-代入2221y x a-=得()222224(1)4(1)0a k x k k x k a -+----=，易得k a ≠±，由2203840k k a ∆=⇒-++=，由题意此方程有两个不等的实根，故()22146412403a a ∆=-+>⇒<，则22713c a =+<，所以13c e =<，即13e <<，又k a =±代入223840k k a -++=得1a =±，所以e =，故离心率e 的取值范围为3⎫⎪⎭．故答案为：213⎫⎪⎭．16.已知不等式()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1e e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知得出()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，而在0a >，1x >上10x a ->，()ln 10x ->，可得1a >，将()1ln ln 1x a a x ->-化为()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅，令()e x f x x =，根据导数得出其单调性，则()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅可化为()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，即可根据单调性得出ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，根据导数得出()()1e 1eg x g ≤+=，即可得出1ee a >，即可得出答案.【详解】()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，0a > ，1x >，10x a -∴>，()ln 10x ->，则要满足()1ln ln 1x aa x ->-，则ln 0a >，即1a >，()1ln ln 1x a a x ->-化为：()()1ln ln e ln 1x a a x ->-，两边乘1x -得：()()()()()()1ln ln 11ln e1ln 1ln 1ex ax x a x x x ---⋅>--=-⋅，令()e x f x x =，则()e e x xf x x ='+，令()e e 0xxf x x =+>'，解得1x >-，则()e xf x x =在()1,-+∞上单调递增，不等式()()ln ln10,1x a a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，即1x >时，()()()()1ln ln 11ln e ln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅恒成立，则()()()()1ln ln 11ln eln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅可化为：()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，当1x >，1a >时，(1)ln 0x a ->，()ln 10x ->，则根据单调性可得()()1ln ln 1x a x ->-，则ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，则()()()21ln 11x g x x --'=-，令()0g x '>，解得e 1x <+，即()ln(1)1x x g x -=-在()1,e 1+上单调递增，令()0g x '<，解得e 1x >+，即()ln(1)1x x g x -=-在()e 1,∞++上单调递减，则()()1e 1e g x g ≤+=，则1ln ea >，即1e e a >，10ee e 1>= ，综上1ee a >，故答案为1ee ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】(1)由数列{}1n S +是公比为2的等比数列，写出通项公式，用1(2)n n n a s s n -=-≥求得通项公式.(2)考查用错位相减法求和,写出n T ，n qT ，两式错位作差，化简.【小问1详解】()11112n n S a -+=+⋅，①2n ≥时，()211112n n S a --+=+⋅，②①-②()()21222n n a a n -⇒=+⋅≥，∵{}n a 为等比数列∴211111221aa a a a +=⇒=⇒=∴12n n a -=【小问2详解】12n n na n -=⋅，∴()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，①()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，②①-②得，2112222n nn T n --=++++-⋅ ()()112221212112n n n n n n n n ⋅-=-⋅=--⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）2,6]+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【小问1详解】在ABC 中，()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得222b ac ac =+-，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0B π<<，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，3B π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3a cb A C B π====，则,a A c C ==，而23A C π+=，令,33A C ππθθ=+=-，在锐角ABC 中，032032ππθππθ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得66ππθ-<<，cos 12θ<≤，于是得(sin sin 2sin cos 4cos 24333a c πππθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎤+=++-==∈ ⎪ ⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎦，则26a b c +<++≤，所以ABC周长的取值范围是2,6]+.19.已知函数()f x 满足()2()31f x f x x =-+-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程2()1f x k x x =--恰有四个不同的实根，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()1f x x =+（2）10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）构造等式()2()31f x f x x -=--，即可解得()f x 的解析式；（2）对k 的符号分类讨论，其中0k >时，由参变分离可得11(1)31x k x =++-+恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.【小问1详解】由题意得：()2()31f x f x x -=--，∴()2[2()31]31f x f x x x =--+-，解得()1f x x =+；【小问2详解】i.当0k <时，明显无解；ii.当0k =时，|1|0x +=只有一个实根，不符合条件；iii.当0k >时，2111(1)311x x x k x x --==++-++恰有四个不相等的实根.∴11(1)31x x k ++=++与11(1)31x x k++=-+共有四个不相等的实根.∴132132k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得15k >或101k <<，∴105k <<或1k >，∴实数k 的取值范围是10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为()10n n *∈N，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得24.040K≈.男生女生合计了解6n不了解5n合计10n 10n（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）20n =，有95%的把握；（2）①2021；②()112E X =.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可解得正整数n 的值，结合临界值表可得出结论；（2）①分析可知这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：22⨯列联表如下表所示：男生女生合计了解6n 5n 11n 不了解4n 5n9n 合计10n10n20n()2220654520 4.040101011999n n n n n n K n n n n⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，N n *∈ ，可得20n =，()2 3.8410.05P K ≥= ，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；【小问2详解】解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421-=-=；②由题意可知11~10,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111110202E X =⨯=.21.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为32，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点(,2)(0)T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若TMN △的面积为TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）t =±【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；（2）分别联立直线TM 、直线TN 与椭圆的方程，解出E F 、坐标，即可写出直线EF 方程，判断定点；（3）设EF 交y 轴与P ，由TMN TMNTEF TMN FPN PEMS S S S S S =-+△△△△△△得到关于t 的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.【小问1详解】由题意可得2221,MN b b ==⇒=由椭圆的离心率为2可得22223144b e a a =-=⇒=，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】由题意知直线TM 的方程为1x y t =+，直线TN 的方程为31x y t=-．由22141x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．同理，2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以()()()()()()2222222243222236814416192436443636424824436364EFt k t t t t t t t t t t t t t t t t t t -===+----+--++-+++++++()()()2222121212161612t t ttt t -+-=-=-+，所以直线EF 的方程为：222241284164t t t y x t t t --⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即21210162t x y t -+-=，所以，直线EF 过定点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问3详解】设EF 交y 轴与P ，则2218||2||||364TEF TMN FPN PEM t t S S S S t t t =-+=-+++△△△△．因为||TMNS t =△，所以424222401441641114424144324TMN TEF S t t k S t t t t++===+≤+++++△．当且仅当22144t t=，即t =±时，等号成立．所以当t =±时，k 取得最大值43．【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。