流体力学：6-粘性流体流动
8/112
粘性伯努力方程
t
rot
grad
2
2
U
p
v
rotrot
rotrot grad
沿着流线或涡线的稳定流动
12
2g
h1
p1
g
2 2
2g
h2
p2
g
h12
9/112
5.6 圆管中稳定不可压缩流动
10/112
定常圆管层流
11/112
定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件 边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
pI
div I
2S)
dt
质量方程
div 0
t
能量方程
d dt
2
2
g div
T div
q
Байду номын сангаас
6/112
5.5 不可压缩粘性流体基本流动性质
7/112
不可压缩粘性流体基本流动性质
粘性流体运动有三个基本性质： (1) 粘性流体运动的有旋性：在不可压缩粘性流体运动中，
除极个别的几个特殊情况外，运动都是有旋的，且涡量 一般在边界上产生；而对理想流体来说，若体积力有势 且流体是正压的，初始时刻运动无旋，则以后各时刻流 体运动都保持无旋；若体力无势，流体是斜压的，则理 想流体中可能产生涡流。 (2) 机械能的耗损性：由式(6.20)耗损函数的表达式可知，由 于粘性应力将一部分体积力和表面力所做的功不可逆地 以热能的形式耗损掉，因此粘性流体运动中总能量是减 少的。 (3) 涡旋的扩散性：由于流动边界处是生产涡旋的地方，涡 旋由强度大的地方向强度小的地方输送直至涡量相等为 止，也即涡旋由流动边界向内部扩散。
2 y 2
(gz
1
p ) / v z
gJ v
1 r
d r dr
d dr
3. 微分方程求原函数
gJr 2 4v
K1 ln
r
K2
代边界条件 gJ R 2 r 2 4v
4. 流场分析
Q
2
R
rdr
gJR 4
0
8v
Q gJR2 max
R 2 8v
2
max
gJR 4v
12 2g
20/112
§4 相似和量纲分析
21/112
§4 相似和量纲分析 概念
定理内容：
在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：f 1,2 ,,m ,,n 0 若有m个基本量纲，则这些变量可以组成 n m 个独立的无量纲量满足：
f 1, 2 ,, nm 0
1/112
5.1 广义牛顿内摩擦定律
2/112
粘性流体本构关系提示
＝?
3/112
粘性流体本构关系—广义牛顿内摩擦定律
＝
＋
＋
T pI 2S
4/112
5.2 Navier-Stokes方程
5/112
Navier-Stokes方程及一般流体方程组
N-S方程
d
g
1
div(T
)
g
1
div(
几何相似 指一个流动系统的几何尺寸与另一个流动系统的几何尺寸对应成
线性比例。几何相似是两个物理过程相似的必要条件，但不是充分条件。
17/112
§4 相似和量纲分析 概念
运动相似 指几何相似的两个流动系统，时空相似点上无量纲速度、加速度
等流动参数相等。运动相似的流场中对应流线是相似的。
18/112
§4 相似和量纲分析 概念
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
有流速
y0 yL
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
0 0
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
h1
p1 g
2 2
2g
h2
p2 g
h12
p12
8vL R2
d x dy
12/112
定常平板平板层流
13/112
定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件
div 0 x y z 0
边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
的、充分发展的等温层流，垂直方向没
t
x y z
x t
动力相似 指两个性质完全相同的几何相似流动中，所有时空相似点上受
力方向相同并且大小成比例。
19/112
§4 相似和量纲分析 概念
量纲分析中常用到如下概念： （1）因次，是指一套用于描述物理量的单位制中相互独立的、不能 互换的基本单位；如长度单位：米，时间单位：秒都是基本单位。 （2）量纲，是指物理量的单位与基本单位之间的关系。一般地，常 用的基本因次有长度、质量、时间；其相应的单位是米、千克和秒。
§4 相似和量纲分析
由于粘性流体微分方程的复杂性，纳维-斯托克斯 （Navier-Stokes）方程只在少数情况下有解析解，通常采 用建模型做实验的方法获得流动现象的信息，例如流速分布、 流型、压降等等。如果要得出精确的定量的实验结果，必须 满足一些相似定律。
16/112
§4 相似和量纲分析 概念
第六章 粘性流体流动
理想流体
自然界中的所有流体都是具有粘性的，粘度不为0的流体称 为粘性流体或者实际流体。但在有些研究中却要引入一种理想化 了的流体—没有粘性的流体，称为无粘流体或理想流体，尽管这 种流体实际上并不存在。
粘性流体
自然界中的各种流体都是粘性流体。由于流体中存在着粘性， 流体运动时要克服摩擦阻力，因此流体的一部分机械能将不可逆 地转化为热能，流动过程呈现出许多复杂现象。本章在介绍粘性 流体的基本运动规律。
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
g dz L
gL
gJ 2 2 v x 2 y 2
x x
y y
z z
0
z
z z
0
gz
1
p v( 2z z x2
2z y 2
2z ) z 2
gz
dH dz
v
2 x2
div 0
t
x t
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
的、充分发展的等温层流，垂直管道轴 线方向没有流速
r 0
rR
0
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
g dz L
gL
z
z z
0
gz
1
p z
v( 2z ) x 2
dH 2 gz dz v y2
0
1
p z
v(
2 z x 2
)
3. 微分方程求原函数
4. 流场分析
代边界条件
R
Q 2 rdr
0
Q R 2
max
p12 d x
dy
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5.4 相似理论和量纲分析
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粘性伯努力方程
t
rot
grad
2
2
U
p
v
rotrot
rotrot grad
沿着流线或涡线的稳定流动
12
2g
h1
p1
g
2 2
2g
h2
p2
g
h12
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5.6 圆管中稳定不可压缩流动
10/112
定常圆管层流
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定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件 边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
pI
div I
2S)
dt
质量方程
div 0
t
能量方程
d dt
2
2
g div
T div
q
Байду номын сангаас
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5.5 不可压缩粘性流体基本流动性质
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不可压缩粘性流体基本流动性质
粘性流体运动有三个基本性质： (1) 粘性流体运动的有旋性：在不可压缩粘性流体运动中，
除极个别的几个特殊情况外，运动都是有旋的，且涡量 一般在边界上产生；而对理想流体来说，若体积力有势 且流体是正压的，初始时刻运动无旋，则以后各时刻流 体运动都保持无旋；若体力无势，流体是斜压的，则理 想流体中可能产生涡流。 (2) 机械能的耗损性：由式(6.20)耗损函数的表达式可知，由 于粘性应力将一部分体积力和表面力所做的功不可逆地 以热能的形式耗损掉，因此粘性流体运动中总能量是减 少的。 (3) 涡旋的扩散性：由于流动边界处是生产涡旋的地方，涡 旋由强度大的地方向强度小的地方输送直至涡量相等为 止，也即涡旋由流动边界向内部扩散。
2 y 2
(gz
1
p ) / v z
gJ v
1 r
d r dr
d dr
3. 微分方程求原函数
gJr 2 4v
K1 ln
r
K2
代边界条件 gJ R 2 r 2 4v
4. 流场分析
Q
2
R
rdr
gJR 4
0
8v
Q gJR2 max
R 2 8v
2
max
gJR 4v
12 2g
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§4 相似和量纲分析
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§4 相似和量纲分析 概念
定理内容：
在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：f 1,2 ,,m ,,n 0 若有m个基本量纲，则这些变量可以组成 n m 个独立的无量纲量满足：
f 1, 2 ,, nm 0
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5.1 广义牛顿内摩擦定律
2/112
粘性流体本构关系提示
＝?
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粘性流体本构关系—广义牛顿内摩擦定律
＝
＋
＋
T pI 2S
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5.2 Navier-Stokes方程
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Navier-Stokes方程及一般流体方程组
N-S方程
d
g
1
div(T
)
g
1
div(
几何相似 指一个流动系统的几何尺寸与另一个流动系统的几何尺寸对应成
线性比例。几何相似是两个物理过程相似的必要条件，但不是充分条件。
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§4 相似和量纲分析 概念
运动相似 指几何相似的两个流动系统，时空相似点上无量纲速度、加速度
等流动参数相等。运动相似的流场中对应流线是相似的。
18/112
§4 相似和量纲分析 概念
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
有流速
y0 yL
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
0 0
z t
x
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y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
h1
p1 g
2 2
2g
h2
p2 g
h12
p12
8vL R2
d x dy
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定常平板平板层流
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定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件
div 0 x y z 0
边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
的、充分发展的等温层流，垂直方向没
t
x y z
x t
动力相似 指两个性质完全相同的几何相似流动中，所有时空相似点上受
力方向相同并且大小成比例。
19/112
§4 相似和量纲分析 概念
量纲分析中常用到如下概念： （1）因次，是指一套用于描述物理量的单位制中相互独立的、不能 互换的基本单位；如长度单位：米，时间单位：秒都是基本单位。 （2）量纲，是指物理量的单位与基本单位之间的关系。一般地，常 用的基本因次有长度、质量、时间；其相应的单位是米、千克和秒。
§4 相似和量纲分析
由于粘性流体微分方程的复杂性，纳维-斯托克斯 （Navier-Stokes）方程只在少数情况下有解析解，通常采 用建模型做实验的方法获得流动现象的信息，例如流速分布、 流型、压降等等。如果要得出精确的定量的实验结果，必须 满足一些相似定律。
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§4 相似和量纲分析 概念
第六章 粘性流体流动
理想流体
自然界中的所有流体都是具有粘性的，粘度不为0的流体称 为粘性流体或者实际流体。但在有些研究中却要引入一种理想化 了的流体—没有粘性的流体，称为无粘流体或理想流体，尽管这 种流体实际上并不存在。
粘性流体
自然界中的各种流体都是粘性流体。由于流体中存在着粘性， 流体运动时要克服摩擦阻力，因此流体的一部分机械能将不可逆 地转化为热能，流动过程呈现出许多复杂现象。本章在介绍粘性 流体的基本运动规律。
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
g dz L
gL
gJ 2 2 v x 2 y 2
x x
y y
z z
0
z
z z
0
gz
1
p v( 2z z x2
2z y 2
2z ) z 2
gz
dH dz
v
2 x2
div 0
t
x t
x
x x
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x y
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x z
gx
1
x x
xy y
xz z
y t
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y x
y
y y
z
y z
gy
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yx x
y y
yz z
的、充分发展的等温层流，垂直管道轴 线方向没有流速
r 0
rR
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z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
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g dz L
gL
z
z z
0
gz
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p z
v( 2z ) x 2
dH 2 gz dz v y2
0
1
p z
v(
2 z x 2
)
3. 微分方程求原函数
4. 流场分析
代边界条件
R
Q 2 rdr
0
Q R 2
max
p12 d x
dy
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5.4 相似理论和量纲分析
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流体力学第六 章11.8
hw hf hj
pw ghw p f p j
上述公式称为能量损失的叠加原理。
第二节 粘性流体的两种流动状态
一、雷诺实验
层流（片流，laminar flow）： 是指流体质点不相互混杂， 流体作有序的成层流动。 湍流（紊流，turbulent flow）：是指局部速度、压 力等力学量在时间和空间中 发生不规则脉动的流体运动。
p p p
vxi vx vx
在实际工程和紊流试验中，所指的流动参数都是时均参数，如时 均速度 u ，时均压强 p 等。 准定常紊流：时均参数不随时间而变化的流动。
二、紊流中的切向应力 普朗特混合长度
在黏性流体紊流流动中，与层流一样，由于流体的黏性，各相 邻流层之间时均速度不同，从而产生摩擦切向应力 。 另外，由于流体质点的无规律运动，在流层之间会引起动量交 换，增加能量损失，从而出现紊流附加切向应力 t
单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 hf 表示 单位体积流体的沿程损失，又称为沿程压强损失，以 pf 表示pf ghf 。 在管道流动中的沿程损失可用下式求得
l V2 hf d 2g
l V2 pf d 2
达西-威斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式
式中 —沿程阻力系数，它与雷诺数和管壁粗糙度有关，是一 个无量纲的系数。
2
2
2 rdr 2
2
3
1 vl 1 dA 2 A Av r0
壁面切应力为
r 2 1 r0 0 r0 p w 2l
r0
4 2 rdr 3
例6-1 水在内径d=100mm的管中流动，速度v=0.5m/s， 水的运动粘度v=1.0×10-6m2/s。试问管中水流的流态。 若管中的流体是油，流速不变，但运动粘度v=31×106m2/s，试问油在管中又呈何种流动状态。
粘性流体的基本概念
合数作为判别流态的准则，对于管流：
Re Vd
Rec' r
Vc'r d
Recr
Vcrd
称为雷诺数，d是管径， 是粘性系数。
上述试验上临界雷诺数和下临界雷诺数. 当 Re> Recr＇ 时为湍流， 当 Re < Recr 时为层流， 当 Recr‘> Re > Recr时，可以是湍流也可以是 层流，工程上多按湍流处理。 圆管中的临界雷诺数为：Recr ＝2300和
在求解运动物体在流体中的阻力，以及涡旋的 扩散、热量的传递等问题时，粘性会起主导作 用不能忽略。
粘性流体力学就是研究在粘性不能忽略情况下 的流体的宏观运动，以及流体和在其中运动的 物体之间相互作用所遵循的规律。
3
2、粘性流体力学的发展
粘性流体力学在理论上的发展首先是纳维（Navier 1827年在欧拉方程中加上了粘性项。
10
差分法求解三维边界层
用差分法求解三维边界层较晚。 Nash. J. F.（1972）用一阶精度的显式差分 求解了机翼三维边界层，Nash. J. F.（1976）， Cebeci. J . et al(1977), Melean J. D. (1977), Tassa A. et al(1982)用隐式差分求解 了三维边界层。 Vatsa V. N (1984)导出了非正交旋转坐标系 中的三维边界层方程，引入了二维Levy－Less变 换，用零方程湍流模型方程封闭，并用分块因子 法求解。Anderson O. L. (1987)计算了叶轮叶片 面三维边界层。
19
现代混沌理论。70年代以来湍流发展的另一个
重要的方面是现代混沌理论（Chaos），从1963年 Lorenz开始，将Navier－Stokes方程简化成三个一 阶常微分方程组成的非线性动力系统。随着参数的 变化它会经历稳定解、周期解、具有间歇性的解和 湍乱无章的混沌解，这正是湍流发展过程和完全发 展了的湍流所具有的特征。
空气动力学粘性流体力学
D=
2 R
∫ (τ π
0
sin θ − ps cos θ )ds ≠ 0
4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.1、
总的结论如下： 总的结论如下： （1）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动 ）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移条件） 有别与理想流体运动的主要标志。 有别与理想流体运动的主要标志。 （2）粘性的存在是产生阻力的主要原因。 ）粘性的存在是产生阻力的主要原因。 （3）边界层的分离必要条件是，流体的粘性和逆压梯度。 ）边界层的分离必要条件是，流体的粘性和逆压梯度。 （4）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡的扩散等问题起主导作 ）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、 用，不能忽略。 不能忽略。
F=µAU/h
（U
h
F） ）
4.1、流体的粘性及其对流动的影响 4.1、
流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设τ表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则 ），
F U τ = =µ A h
µ-----流体的动力粘性系数。（量纲、单位）： 流体的动力粘性系数。（量纲、单位）：[µ]=M/L/T kg/m/s 流体的动力粘性系数。（量纲 ）： Ns/m2=Pa.s；ν =µ/ρ---流体的运动粘性系数。量纲、单位： 流体的运动粘性系数。 ； ρ 流体的运动粘性系数 量纲、单位： [ν ]=L2/T ν m2/s。 。 空气： 空气： 1.461×10-5 × 水： 1.139×10-6 ×
u ( x, y , z , t ) v ( x, y , z , t ) w( x, y, z , t )
点处， 在 M 1 ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z, t ) 点处，速度为
第六章流体力学10.8
第六章流体力学基础基本概念一、流体的粘滞性流体流动时，由于流体与固体壁面的附着力及流体本身的分子运动和内聚力，使各流体层的速度不相等。
在两个相邻流体层之间的接触面上，将产生一对阻碍两层流体相对运动的等值反向的摩擦力，叫做内摩擦力。
流体的粘滞性：流体流动时产生内摩擦力的性质。
二、理想流体与实际流体粘性流体：具有粘性的流体（实际流体）。
理想流体：忽略了粘滞性的流体。
三、流体流动的基本概念1．稳定流动与非稳定流动(1)稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p仅仅是空间坐标()z,的函数，而不x,y随时间变化而变化。
()zu,=,uyx()z,p,=xyp(2)非稳定流动运动流体内任意点的速度u和压力p不仅是空间坐标()z,的函数，也随x,y时间而不同。
()t z,,=u,yxu()t z,,=pp,yx2．迹线与流线(1)迹线流体质点的运动轨迹。
(2)流线流场：流体流动的空间。
流线：是流场中某一瞬间绘出的一条曲线，在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量与该曲线相切。
流线的性质：①稳定流动时，流线形状不随时间而变化；②稳定流动时，同一点的流线始终保持不变，且流线上质点的迹线与流线重合，即流线上的质点沿流线运动；③流线既不会相交，又不能转折，只能是光滑的曲线。
假定某一瞬间有两条流线相交于M点或转折。
M处就该有两个速度矢量，这是不符合流线的定义。
3．流管、微小流速及总流(1)流管在流场中取出一段微小的封闭曲线，过这条曲线上各点引出流线，这些流线族所围成的封闭管状曲面。
(2)微小流束及总流流束：在流管中运动的流体。
微小流束：断面无穷小的流束称为微小流束。
微小流束断面上各点的运动要素相等。
流管内的流体只能在流管内流动，流管外的流体也只能在流管外流动。
伯努利方程一、理想流体的伯努利方程仅在重力作用下作稳定流动的理想流体gu g p Z g u g p Z 2//2//22222111++=++ρρ=常数1Z 和2Z ：过流断面1-1和2-2距基准面0-0的高度，1u 和2u ：断面1-1和2-2的流速，1p 和2p ：断面1-1和2-2的压力，ρ：为流体密度。
工程流体力学粘性流体的一维定常流动
Rec
Vcd
2000
Rec
Vcd
13800
无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动 黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺 数是判别流体流动状态的准则数，即：
当流体流动的雷诺数 ReRec 时，流动状态为层流；当时ReRec ， 则为紊流；当 RceReRec时，流动状态可能是层流，也可能是紊 流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊 流。
应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失h w项，
由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首 先讨论黏性流体流型。
黏性流体的流动存在着两种不同的流型，即层流和紊流，这两种 流动型态由英国物理学家雷诺（Reynolds）在1883年通过他的实 验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水 流，总结说明了这两种流动状态。
p 2 为泵吸水口截面2—2处的绝对压强，其值为
p2pa1 3 30 0.4 05 0
将和值代入上式可得
hg 1330g0.405V 22g2 hw
1 3 30.40500.924
0.5
9 8 0 629.8 0 6
5.5 6 （mH2O）
第二节 黏性流体的两种流动型态
从上节式（6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想
VB
1ddA B4
11504 300
9.53（m/s）
qVV B 4dB 29.5 3 40.125 0.16 （m83/s）
【例6-2】 有一离心水泵装 置如图6-4所示。已知该泵 的输水量 qV 60m3/h，吸 水管内径 d 150mm，吸 水管路的总水头损失
hw 0.5 mH2O，水泵入口 2—2处，真空表读数为 450mmHg，若吸水池的 面积足够大，试求此时泵 的吸水高度 h g 为多少?
粘性流体力学讲解
z
-px
、v、px、p y、pz、f
牛顿第二定律：
x -py
z
M
z
y
py
p y y
y
ma F
x
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p x x
x
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Dv Dt
x
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(p x
p x x
x)
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p y y
y)
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1
p y
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1
p z
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Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt
3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
0
du
dy
yh
dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
《流体力学》第六章_粘性流体绕物体的流动
第四节 平面层流边界层的微分方程
❖ 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量 力，则流动的控制方程N-S方程为：
vx
vx x
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式：
DV F P
Dt
(8-1)
这里 ：
DV V V V
Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
p 2
vr r
p
3
2 r0
cos
( ) r, rr0
(1 vr r
v0 r
v ) v
r
r
3
sin
2 r0
（8-25）
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为：
FD 6 r0 3 d
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
（8－18）
一、蠕动流动的微分方程
●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：
vx v y vz 0 x y z
（8－19）
将式（8－18）依次求
2 x
p
2
、
2 y
p
2
、 2
《工程流体力学》 第六章 管内流动及水力计算
r02
4
d dl
(p
gh)
l
vl max
vl
r0
ro2
4
d dl
(p
gh)
粘性流体在圆管中作层
所以，vl
2020/6/11
ro2 r 2
4
d dl
( p gh)
流流动时，流速的分布为
一旋转抛物面。
12
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
§6.4 圆管中的层流流动
三、平均速度和流量
qV
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m； hw 13m 求： H
2 h1
h2
2
解 ： 由 伯努 利方 程（ 地面 为0位 势）
（H
h1
)
pa
g
0
h2
pa
g
2
22
2g
hw
紊流流动: 1.0
得H
2 2
2g
hw
h2
h1
42 2 9.806
13 0.7 9
5.52
(m)
2020/6/11
4
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
持前种情况下的流速不变，流动又为何状态？
解：（1） v
qV A
4qV d 2
4 0.01 1.27m / 0.12
s
Re vd 1.27 0.1 1.27 105 2000
1106
所以水为紊流状态。
（2）
Re
vd
1.27 0.1
1.14 104
1114
2000
2020/6/11
μt —流 体 的 脉 动 粘 度 ；
第6章 粘性流体层流流动
将傅里叶定律,内能关系式以及牛顿流体的应力 张量表示式全部代入可以得到:
v (ρcT ) v v ∫V t dV + ∫A ρcTv dA ∫A kgrad (T ) dA v v (v o )dV = ∫ pdiv (v )dV + ∫ ΦdV = ∫ T:
2 2 vr 2 v z 1 vθ vr + + 2 + 2 + 2 r r θ z r Φ=μ 2 2 2 v 1 vr 1 v z vθ v z vr r θ + + + + + z r z r r r θ r θ
Re =
vd ρ
μ
=
vd
υ
对应于临界流速的雷诺数成为临界雷诺数.大量的实验表明 虽然管径和流体介质不同时,临界流速不同,但临界雷诺数 基本在一个确定的范围:2000-2300. Re<2000, 层流; Re>2000, 紊流
层流和紊流 层流 流动特性 阻力特性 判断准则 壁面 速度 紊流
互不干扰,各自 互相掺混杂乱无 成层 章 m=1 M=1.75~2 Re<2000,Rec 与粗糙度无关 速度 Re>2000,Rec 与粗糙度有关 瞬时值=时均值 +脉动值
p1 p 2
γ
lg h f = lg K + m lg v
层流时 h f = lg K 1 + lg v h f = K 1v
沿程损失与断面平均流速 成正比.
二,两种流动形态的判别标准
由雷诺实验知,层流和紊流可以直接用临界速度来判别, 但是临界速度随管径的大小和流体的种类而改变.因此 流态与流速,管道直径,粘性有关.雷诺定义了一个无 量纲数