【金识源】高中数学1.2应用举例习题2新人教A版必修5
高中数学1-1_2应用举例习题新人教A版必修5
1.2应用举例一、选择题：本题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【题文】已知A ，B 两地的距离为5 km ，B ，C 两地的距离为10 km ，经测量可知，120ABC ∠=︒，则A ，C 两地的距离为 ( )A. 5 kmB.2.【题文】如图，一艘轮船以每小时60海里的速度自A 沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，轮船在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 间的距离是( )A.B.C.D.海里3.【题文】为了测量一建筑物的高度，某人在地面上选取共线的三点A ，B ，C ，分别测得此建筑物的仰角为30︒，45︒，60︒，且AB =BC =30 m ，如图所示，则建筑物的高度为( )A. B. C. D. m4.【题文】如图，巡航艇在海上以60km /h 的速度沿南偏东40︒的方向航行．为了确定巡航艇的位置，巡航艇在B 处观测灯塔A ，其方向是南偏东70︒，航行1h 2到达C 处，观测灯塔A 的方向是北偏东65︒，则巡航艇到达C 处时，与灯塔A 的距离是( )A.10kmB. kmC. 15kmD. km5.【题文】如图所示，在一条水平直线上选取三点A ，B ，C 进行测量，测得AB =25 m ，BC =60 m ，水深AD =40 m ，BE =100 m ，CF=55 m ，则DEF ∠的余弦值为 ( )A.1665B.1965 C.1657 D. 17576.【题文】一架直升飞机在600 m 的高空中，测得地面上一座塔的塔顶与塔底的俯角分别是30︒和60︒，则塔高为 ( )A.400mB.mC.mD.200m7．【题文】若锐角△ABC 的面积为4,6AB AC ==，则BC =（ ）A ．4B ．．．8．【题文】△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别是c b a ,,，若则角B 的大小为（ ） A ．π6 B ．5π6 C ．π3 D ．2π3二、填空题：本题共3小题.9．【题文】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b ＝3，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为 ．10.【题文】两船同时从A 港出发，甲船以每小时20海里的速度向北偏东80︒的方向航行，乙船以每小时12海里的速度向北偏西40︒方向航行，一小时后，两船相距 海里．11.【题文】如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若12m AB =，20m AC =，45BCM ∠=︒，则tan θ的最大值是 ．（仰角θ为AP 与平面ABC 所成角）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.12.【题文】如图所示，在山顶上有一座塔，在山底测得塔顶的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得塔顶的仰角∠DSB ＝75°，求塔高BD .13.【题文】如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．14．【题文】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且()2213a b c ab--=-.（1）求角C ；（2，求B 及△ABC 的面积.人教A 版数学 必修五 第一章 1.2应用举例 参考答案与解析1. 【答案】D【解析】在△ABC 中，AB =5 km ，BC =10km ，120ABC ∠=︒，根据余弦定理得，222o 5102510cos120km AC AC =+-⨯⨯⨯⇒=.故选D.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易2. 【答案】A【解析】易知在△ABC 中，=30AB 海里，=303570105,45CAB ABC ACB ∠︒∠=︒+︒=︒∴∠=︒，，根据正弦定理得=sin 30sin 45BC AB︒︒，解得BC =（海里）. 考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】较易3. 【答案】C【解析】设建筑物的高度为m h ，由题图知，2m PA h =,m PB =，m PC =,所以在△PBA 和中△PBC 中，分别由余弦定理的推论，得222cos PBA ∠①，2224302cos h h PBC +-∠180PBA PBC ︒∠+∠=，所以cos cos =0PBA PBC ∠+∠③.由①②③，解得h h ==-，即建筑物的高度为m . 考点：利用余弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】一般4. 【答案】D【解析】在△ABC 中，()1=60=30km 2BC ⨯，o o o =7040=30ABC ∠-，=4065=105ACB ∠︒+︒︒，则()=18030105=45A ︒-︒+︒︒，由正弦定理，得)km AC .考点：利用正弦定理测量距离. 【题型】选择题 【难度】一般5. 【答案】 A【解析】 如图所示，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M.)m DF ===，()65m DE ===，()75m EF ===，在△DEF 中，根据余弦定理的推论得，2222226575529816cos ==22657565DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠=⨯⨯⨯.考点：利用余弦定理测量角度.【题型】选择题 【难度】一般6. 【答案】A 【解析】如图所示：在Rt△ACD 中可得tan 30CD AC ︒=，tan 30600CD AC BE =⋅︒===, 在△ABE 中，由正弦定理，o o=200sin 30sin 60AB BEAB =⇒，∴()600200400m DE BC ==-=. 考点：利用正弦定理测量高度. 【题型】选择题 【难度】较易7. 【答案】D【解析】三角形面积11sin 46sin sin 22S AB AC A A A =⋅⋅=⨯⨯==由于△ABC 为锐角三角形，所以1cos 2A =，由余弦定理可求得BC = D.考点：三角形面积公式的应用. 【题型】选择题 【难度】一般8. 【答案】B【解析】222sin sin sin B A b a c a b C c --=⇒=⇒+-=2225πcos 0π26c a b B B B ac +-⇒==<<∴=，，故选B. 考点：正、余弦定理综合. 【题型】选择题 【难度】一般9. 【答案】3考点：正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】28【解析】如图，△ABC 中，20124080120AB AC CAB ︒︒==∠=+=︒，，，由余弦定理得222201222012cos120784BC ︒=+-⨯⨯⋅=，∴28BC =（海里）.考点：利用余弦定理测量距离. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】53【解析】如图，过P 作PO BC ⊥于点O ，连接AO ，则PAO θ∠=，设O C x =，则OP x =，在直角△ABC 中，由勾股定理，得BC =16，所以4cos 5BCA ∠=.在△AOC 中，由余弦定理，得AO =从而tan OPAOθ===当2045x =，即25x =时，tan θ取得最大值，为53.考点：利用余弦定理测量角度. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】500米【解析】∵∠SAB ＝∠CAB −∠CAS ＝45°−30°＝15°， ∠SBA ＝∠ABC −∠SBC ＝45°−15°＝30°，∴在△ABS 中，sin 15sin 30BS AS =︒︒，∴sin 15500sin 30AS BS ⋅︒==︒(米)． ∴BD ＝BS ·sin 75°＝5005004⨯=(米)． 考点：利用正弦定理求高度.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】（1）21海里/小时 （2【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=． 在△ABC 中，由余弦定理，得222222cos 18302BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-1830cos1201764⨯⨯⨯︒=， 所以BC =42，所以渔船甲的速度为212BC =海里/小时． （2）在△ABC 中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=， 由正弦定理，得sin sin 120AB BC α=︒，即18sin 1202sin 42AB BC α⋅︒===考点：利用正、余弦定理求距离、角度.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】（1）2π3C = （2）π4B =【解析】（1）由已知条件化简可得()223a b c ab --=-，变形可得222a b c ab +-=-， 由余弦定理的推论可得，2221cos 22a b c C ab +-==-， ()2π0,π,3C C ∈∴=.（2）2π3,3c b C ===，∴由正弦定理可得又π,,4b c B C B <∴<∴=，在△ABC中， ()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C ⎛⎫=+=+=-+=⎪⎝⎭113sin 2244ABC S bc A ∆∴===. 考点：正、余弦定理综合应用.【题型】解答题【难度】一般。
数学：新人教A版必修5 1.2应用举例(同步练习)
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第1题. 如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？答案：在ABS △中，32.20.516.1AB =⨯=n mile ，115ABS ∠=， 根据正弦定理，()sin sin 6520AS ABABS =∠-， ()sin sin 16.1sin1152sin 6520AB B AS AB ABS ⨯==⨯∠=⨯⨯-，S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin1152sin 207.06d AS =⨯=⨯⨯⨯≈（cm ）．南 6520所以这艘船可以继续沿正北方向航行．第2题. 如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．答案：在ABP △中，180+ABP γβ∠=-，()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=---．在ABP △中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP ABABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=ＡＱ αβaBγＣ所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．第3题. 测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得65.3AC =m ，塔顶B 的仰角α是2525'．已知山坡的倾斜角是1738'，求井架的高BC ．答案：在ABC △中，65.3AC =m ，=25251738747BAC αβ'''∠=--=，90=9017387222ABC β''∠=--=，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC '∠==≈'∠井架的高约为9.3m ．Ａ βα DＢＣ(6739)第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A 的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A 的距离（精确到１ n mile ）．答案：在ABC △中，BC ＝350.517.5⨯=n mile ，14812612ABC ∠=-=，()78180148110ACB ∠=+-=，1801101258BAC ∠=--=，根据正弦定理，sin sin AC BCABC BAC=∠∠， sin 17.5sin124.29sin sin 58BC ABC AC BAC ∠==≈∠（nmile ）．货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile ．第5题. 轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120，轮船A 的航行速度是25 n mile/h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，下午2时两船之间的距离是多少？答案：70 n mile ．第6题. 如图，已知一艘船从30 n mile/h 的速度往北偏东10的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10 min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西30的方向，经过20 min 到达Ｄ处，测得B 岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？78126BA3045 60BA20 min答案：在BCD △中，301040,BCD ∠=+=1801804510125BDC ADB ∠=-∠=--=，130103CD =⨯=（n mile ）， 根据正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，()10sin 40sin 18040125BD=∠--， 10sin 40sin15BD ⨯=．在ABD △中，451055ADB ∠=+=，1806010110BAD ∠=--=， 1801105515ABD ∠=--=．根据正弦定理， sin sin sin AD BD ABABD BAD ADB==∠∠∠， 就是sin15sin110sin 55AD BD AB==， sin1510sin 406.84sin 70sin110BD AD ==≈（n mile ）．sin 5510sin 40sin 5521.65sin110sin15sin 70BD AB ==≈(n mile)．如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈（min ） 即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．第7题. 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．答案：约5821.71m ．第8题. 一架飞机从A 地飞到B 到，两地相距700km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？答案：在ABC △中，700AB =km ，1802135124ACB ∠=--=， 根据正弦定理，700sin124sin 35sin 21AC BC==， 700sin 35sin124AC =，700sin 21sin124BC =，700sin 35700sin 21786.89sin124sin124AC BC +=+≈（km ），所以路程比原来远了约86.89km ．8000m27 39P 700km21BC35第9题. 为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．答案：在21.418.6 2.8ABT ATB ∠=-=△中，，9018.6ABT ∠=+，15AB =（m ）．根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT=，15cos18.6sin 2.8AT ⨯=． 塔的高度为15cos18.6tan 21.4tan 21.4114.05sin 2.8AT =≈（m ）．第10题. A ，B 两地相距2558m ，从A ，B 两处发出的 两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离 两个探照灯的距离是多少？飞机的高度是多少？答案：飞机离A 处控照灯的距离是4801.53m ， 飞机离B 处探照灯的距离是4704.21m ， 飞机的高度是约4574.23m ．A72.3 76.5B第11题. 一架飞以326km/h 的速度，沿北偏东75的航向从城市A 出发向城市B 飞行，18min 以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C ，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C 的距离是多少？答案：AE =3261897.860⨯=km ， 在ACD △中，根据余弦定理：222cos66AC AD CD AD CD =+- 2257110257110cos66=+-⨯⨯ 101.235=根据正弦定理：sin sin AD ACACD ADC=∠∠， sin 57sin 66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ∠∠==≈，30.96ACD ∠≈，13330.96102.04ACB ∠≈-=．在ABC △中，根据余弦定理：222cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠22101.2352042101.235204cos102.04=+-⨯⨯245.93≈，222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=222245.93101.2352042245.93101.235+-=⨯⨯0.5847≈，54.21BAC ∠=．在ACE △中，根据余弦定理：222cos CE AC AE AC AE EAC +-∠22101.23597.82101.23597.80.5487=+-⨯⨯⨯90.75≈，222cos 2AE EC AC AEC AE EC +-∠=．22297.890.75101.2350.4254297.890.75+-≈≈⨯⨯，64.82AEC ∠=，()180180757564.8210.18AEC -∠--=-=．所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75km ．第12题. 飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为1830'，经过150s 后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m ）．答案：飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600d =⨯⨯m ， 根据正弦定理，()sin18.5sin 8118.5d x=-，这里x 是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：C DB A E1830'81()sin18.5tan81tan8114721.64sin 8118.5d x =≈-(m)，山顶的海拔是2025014721.645528-≈m ．第13题. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A，B 间的距离是a ． ．答案：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h h AC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 222222tan tan tan tan a h αβαβ=-2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=- ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =．α ABDCβah。
高中数学人教A版必修5讲义：第一章 1.2 应用举例 Word版含答案
应用举例第一课时解三角形的实际应用举例(1)方向角和方位角各是什么样的角？(2)怎样测量物体的高度？(3)怎样测量物体所在的角度？[新知初探]实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)错误!方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角[小试身手](1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()预习课本P11～16，思考并完成以下问题(3)方位角和方向角是一样的()解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．答案：(1)×(2)×(3)×2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：选B如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故选B.3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为________km.解析：由题意得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，又AC＝1，BC＝3，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 150°＝7，∴AB＝7.答案：7测量高度问题[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两点C 与D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD .∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β).在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θsin (α＋β).测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[活学活用]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：因为∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 所以∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.在△ABS中，AB＝AS·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，所以BC＝AB·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)．答案：1 000测量角度问题[典例]如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？[解]由题意，知AB＝5(3＋3) n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 h.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．[活学活用]在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22，∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.测量距离问题题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2ab cos α.若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．解：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m. 题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 答案：206题点三：两点都不可到达3.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DCsin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.当A ，B 两点之间的距离不能直接测量时，求AB 的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C ，使得A ，B 与C 之间的距离可直接测量，测出AC ＝b ，BC ＝a 以及①ACB ＝γ，利用余弦定理得：AB ＝a 2＋b 2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图①)：可选取与B 同侧的点C ，测出BC ＝a 以及①ABC 和①ACB ，先使用内角和定理求出①BAC ，再利用正弦定理求出AB .(3)两点都不可到达(如图①)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C ，D ，测出CD ＝m ，①ACB ，①BCD ，①ADC ，①ADB ，再在①BCD 中求出BC ，在①ADC 中求出AC ，最后在①ABC 中，由余弦定理求出AB .层级一 学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762 n mile/hB ．34 6 n mile/h C.1722n mile/hD ．34 2 n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )A.a sin α·sin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin α·cos βsin (β－α) D.a cos α·sin βcos (α－β)解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β，又因为在Rt △ABD 中，BD ＝x tan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a1tan α－1tan β＝a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin βsin (β－α)，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m,20 3 m C ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km /h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A.1507 min B.157 hC ．21.5 minD ．2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝514时，CD 2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是1507 min ，故选A.6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7. 则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°， 设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×22＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×133－502＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：106 39.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，求乙船航行的速度．解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝302×13＝102＝A2B2，∴△A1A2B2为正三角形，∴A1B2＝10 2.在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 千米，AC＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)．解：由∠ADC＝150°知∠ADB＝30°，由正弦定理得1sin 30°＝ADsin 120°，所以AD＝ 3.在△ADC中，由余弦定理得：AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos 150°，即32＝(3)2＋DC2－2·3·DC cos 150°，即DC2＋3·DC－6＝0，解得DC＝－3＋332≈1.372 (千米)，∴BC≈2.372(千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.层级二应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时．5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ.设CO ＝x ，则OP ＝33x . 在Rt △ABC 中，AB ＝15，AC ＝25，所以BC ＝20. 所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625.故tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝⎛⎭⎫25x －452＋925 .当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 答案：5396．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝t v ，AC ＝3t v ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin ∠CAB ＝AC sin B ，得1sin ∠CAB ＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120° ＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a (n mile) 答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4， 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42， 所以DC ＝42sin 75°. 因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24， 则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x＝25x ， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， ∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421千米． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．第二课时 三角形中的几何计算(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？[新知初探] 三角形的面积公式预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.[点睛] 三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为：h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．[小试身手](1)公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积( )(2)三角形中已知三边无法求其面积( )(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 解析：(1)正确，S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积． (3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32B.332C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝⎛⎭⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817. 答案：817三角形面积的计算[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S ①ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．[活学活用]△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小． 解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2.当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.三角恒等式证明问题 [典例] 在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .证明：[法一 化角为边]左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2bb 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A ＝右边，其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[法二 化边为角]左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos Bsin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.1．三角恒等式证明的三个基本原则 (1)统一边角关系． (2)由繁推简．(3)目标明确，等价转化． 2．三角恒等式证明的基本方法(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．[活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A. 证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C .法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2.(1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得，sin A cos B －sin C ＝sin B2， 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B 2＋cos A sin B ＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由余弦定理可知， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， 所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ，得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的取值范围． 解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ，∴3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的取值范围是(1,2]． 题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. (2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝32R 2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝asin A＝6sin2π3＝43， ∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.(1)解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知条件与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获解．(2)三角形问题中，常涉及求边、求角及求面积等几个问题，用正、余弦定理作为解题的工具进行转化求解．在涉及变量取值范围或最值问题时，常常用到函数等数学相关知识．(3)解三角形时，角的取值范围至关重要．角的取值范围往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．23 解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78 B.78 C ．－87 D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．202 解析：选A 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：437.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.答案：5628．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223， ∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.答案：9289．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ，∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC， ∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922. 层级二 应试能力达标1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选C 如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4， ∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403. 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB AC ________.解析：S △ABC ＝12·|AB AC A ，即3＝12·|AB AC |·32，AB AC 4，AB AC AB AC A ＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ，∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2， 又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C (sin B cos A ＋cos B sin A )sin A sin B cos C＝sin C sin (B ＋A )sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2aba 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C . (1)求a 2＋b 2c 2的值；(2)若a ＝22c ，且△ABC 的面积为4，求c 的值． 解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b 2c 2的值为3. (2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sin A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值.解：2cos 2 B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15.又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎨⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103. (2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A(sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎨⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到．此时b ＝asin Asin B ＝10.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22.∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53. 4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c，即cos A ＝bc，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．82 C. 2D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.7．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A.154 B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2－a 22×32a ·32a＝13. 又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C. ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a2a ·223＝66.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则这个三角形的形状是________． 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，三角形ABC 为等边三角形．答案：等边三角形10．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则A ＝________，a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3. 答案：30° 1∶1∶311．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则B ＝________，△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：π3 3412．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________，三角形的形状为________．解析：∵b ＝2a ，由正弦定理，得sin B ＝2sin A ，又B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即12sin A ＋32cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝33.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°，B ＝90°.答案：30° 直角三角形13．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC 的最大值是________．解析：由题意得， 12 b c sin A ＝12 a 2⇒bc sin A ＝a 2，因此AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝b c ＋c b ＋a 2bc ＝b 2＋c 2＋a 2bc ＝a 2＋2bc cos A ＋a 2bc ＝2cos A ＋2sin A ＝2 2 s in ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤22，从而所求最大值是2 2.答案：2214．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则sin C ＝________，c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：5665 14515．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.。
【金识源】高中数学1.2应用举例(第4课时)学案新人教A版必修5
1.2 应用举例(第4课时)学习目标1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.3.进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步提升研究问题和发现问题的能力,在探究中体验成功的愉悦.4.在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,做到不拘一格,一题多解.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式.在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为h a,h b,h c,那么如何用已知边和角表示它们?问题2:根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h a=bsin C代入,可以推导出下面的三角形面积公式:S=absin C,大家能推出其他的几个公式吗?二、信息交流,揭示规律问题3:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的面积?三、运用规律,解决问题【例1】在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm2).(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°；(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1m2)四、变式训练,深化提高【例3】在△ABC中,求证:(1);(2)a2+b2+c2=2(bccos A+cacos B+abcos C).五、限时训练1.已知在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,那么cos C的值为( )A.-B.C.-D.2.在△ABC中,A=120°,b=1,面积为,则等于( )A. B. C.2 D.43.等腰三角形顶角的余弦值为,则底角的正弦值为.4.在△ABC中,已知a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦值是,则面积S= .5.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.六、反思小结,观点提炼求三角形面积的公式:参考答案一、设计问题,创设情境问题1:h a=bsin C=csin B,h b=csin A=asin C,h c=asin B=bsin A.问题2:同理,可得S=bcsin A,S=acsin B.二、信息交流,揭示规律问题3:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)应用S=acsin B,得S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).(2)根据正弦定理,,c=,S=bcsin A=b2.A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°，S=×3.162×≈4.0(cm2).(3)根据余弦定理的推论,得cos B=≈0.7697,sin B=≈0.6384,应用S=acsin B,得S≈×41.4×38.7×0.6384≈511.4(cm2).【例2】解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,cos B=≈0.7532,sin B=≈0.6578,应用S=acsin B,S=×68×127×0.6578≈2840.4(m2).答:这个区域的面积是2840.4m2.四、变式训练,深化提高【例3】证明:(1)根据正弦定理,可设=k,显然k≠0,所以左边==右边.(2)根据余弦定理的推论,右边=2=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.五、限时训练1.A2.C3.4.5.分析:把四边形ABCD的面积转化为△ABD与△BCD的面积和.解:如图,在圆内接四边形ABCD中,连接BD,因为A+C=180°,所以sin A=sin C,于是,四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=(AB·AD+BC·CD)sin A=×(2×4+6×4)sin A=16sin A,在△ABD与△BCD中,由余弦定理得20-16cos A=52-48cos C,又∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,cos A=-,∴A=120°．将A=120°代入S四边形ABCD=16sin A,得S四边形ABCD=16×sin120°=16×=8.六、反思小结,观点提炼利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.。
数学人教A版必修5课件：1.2 应用举例2
3．如图，一艘船上午 8∶00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北 偏东 30°处，之后得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与它相距 4 2n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
【解析】如图△ABS 中，S＝45°.由正弦定理：
【答案】B
2．已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，
灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东
40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
A．a km
B． 3a km
C． 2a km
D．2a km
【解析】如图，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC 中，过 点 C 作 CD⊥AB，则 AB＝2AD＝2asin 60°＝ 3a.
1．方位角 从指北方向 顺时针方向 转到目标方向线所成的水平角．如 点 B 的方位角为 α°(如图所示)． 方位角的取值范围：0°～360°. 2．方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平角，如南 偏西 60°，指以 正南 方向为始边，顺时针方向向西旋转 60°.
知识2：俯角、仰角与坡角
知识1：方位角与方向角 问题导思：
课上，老师在黑板上画下了如右的一个角？ (1)该角可以说成北偏东 110°吗？ 答：可以．
(2)该角的方向是东偏南多少度？ 答：东偏南 20 度．
(3)该角的方向要以南为起始方向，怎么表示？ 答：南偏东 70 度． (4)方位角 110°是指这个角吗？ 答：是．
1.2 应用举例
学习目标： 1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有
关计算角度的实际问题． 2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、
2020版数学人教A版必修5课件：1.2 应用举例2 .pdf
1.2 应用举例
知识1：方位角与方向角
顺时针方向
0°～360°
90°
向西正南
夹角
仰角
俯角
∠1 ∠2
坡面的垂直高度和水平宽度的比 水平面
知识2
：俯角、仰角与坡角
类型1：确定航向的角度问题
类型2：不确定航向的角度问题
课堂小结：
1．测量角度问题是指无法直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决．
【答案】B
【答案】B
【答案】16。
高中数学人教A版必修5学案1.2应用举例 Word版含答案
【答案】
. 中，角，，所对的边分别为 . 已知 .
（）求的值；
（）求 的面积．
【答案】（） ; ()
【解析】解：（Ⅰ）由题意知： ，
，
由正弦定理得：
（Ⅱ）由余弦定理得：
又因为为钝角，所以，即，
所以
第一章解三角形（人教版新课标）
第节应用举例
【思维导图】【微试题】源自.钝角三角形的面积是，＝，＝，则＝()
．． ．
【答案】
.一船自西向东航行，上午时到达灯塔的南偏西°、距塔海里的处，下午时到达这座灯塔的东南方向的处，
则这只船航行的速度为()
海里时．海里时海里时．海里时
【答案】
.在地面上一点测得一电视塔尖的仰角为°，再向塔底方向前进，又测得塔尖的仰角为°，则此电视塔高约为().
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15 ＝ 15(
6－ 2 4
6＋ 2) ．
-3-
9．如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的
A， B，C三点进行测量．已
知 AB＝50 m， BC＝ 120 m，于 A处测得水深 AD＝ 80 m，于 B处测得水深 BE＝ 200 m，于 C处测 得水深 CF＝ 110 m，求∠ DEF的余弦值．
π π 5π 又∠ ADC＝ π－∠ CAD－∠ ACD＝ π － － ＝ ，
3 4 12
5π
ππ
6＋ 2
sin ∠ ADC＝sin 12 ＝ sin 4 ＋ 6 ＝ 4 ，
3
20 2×
2
所以 CD＝
＝ 20(3 －
6＋ 2
4
3)( 米 ) ．
答案： A
4．如图，为了测量某湖泊的两侧 A， B 的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定
或“没有”）
解析：如图，在△ ABC中， AB＝30，∠ BAC＝30°，∠ ABC＝135°，∴∠ ACB＝15°．
AB
30
由正弦定理， 得 BC＝ sin ∠ ACB·sin ∠ BAC＝ sin15 ° ·sin30 °＝
过点 C作 CD垂直 AB，交 AB的延长线于点 D. 2
在 Rt △ BDC中， CD＝ 2 BC＝ 15( 3＋1)>38. 所以没有触礁的危险． 答案：没有
AC
AM
由正弦定理得
sin45
°
＝ sin60
°
?
AM＝ 100
3 m.
MN 在△ AMN中， AM＝sin60 °，
3 ∴MN＝ 100 3× 2 ＝ 150(m) ．
答案： 150
8．某海岛周围 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东
60°方向，航
行 30 海里后， 测得此岛在东北方向， 若不改变航向， 则此船 ________触礁的危险． ( 填“有”
正、余弦定理在实际中的应用
A 组 基础巩固
1．如图，在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为
则这座塔的高度是 (
)
A．20 1＋
3 3
m
B．20(1 ＋3) m
C．10( 6＋ 2) m D．20( 6＋ 2) m
60°，塔基的俯角为 45°，
解析： 如图，过点 A 作 AE⊥CD交 CD于点 E. 由已知可得∠ DAE＝60°， ∠ EAC＝45°， AB＝ 20，AE＝ CE＝20，DE＝ 20 3. ∴ CD＝20 3 ＋
3
AB BC
AB·sin A 10× 2
∵ sin C＝ sin A，∴ BC＝ sin C ＝
＝ 5 6. 2
2
答案： D
3．如图，要测量湖中一灯塔的高 CD( 水上部分 ) ，可在岸边一建筑物 AB上进行有关的测
π
π
量．已知 AB＝ 20 米，且测出∠ CAD＝ ，∠ ACB＝ ，则灯塔 CD的高度为 ( )
两点间的距离的是 (
)
A．角 A、 B和边 b
B．角 A、 B和边 a
C．边 a、 b 和角 C
D．边 a、 b 和角 A
解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出
的答案是不唯一的，所以选 D.
答案： D
A，B
5．如右图，从气球 A 测得济南全运会东荷、西柳两个场馆 B， C的俯角分别为 α ， β ，
sin α
＝
hsin β － α sin α sin β .
答案： B 6．一艘轮船从 A 出发，沿南偏东 70°的方向航行 40 海里后到达海岛 B，然后从 B 出发，
沿北偏东 35°的方向航行了 40 2海里到达海岛 C. 如果下次航行直接从 A 出发到 C，此船航行
的方向和路程 ( 海里 ) 分别为 ( )
cos ( 60°＋ 45° ) ＝ 3 200 ＋ 1 600 3，
所以 AC＝ 20( 6＋ 2) .
BC
AC
AC·sin ABC 2
sin ∠ BAC＝ sin ABC? sin ∠ BAC＝
BC ＝ 2 ，所以∠ BAC＝45°， 所以下次航行直接
从 A 出发到 C，航向为北偏东 65°，故选 C. 答案： C 7．如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C为测量观测点．从 A 点测得 M点的
3
4
A．20(3 － 3) 米 B ． 20( 6－ 2) 米
-1-
C．10 2米 D ．20( 3＋ 2) 米
AB 解析：在 Rt△ ABC中， AC＝ sin ∠ ACB＝ 20 2( 米 ) ．
CD
AC
在△ ACD中，由正弦定理可知 sin ∠ CAD＝sin ∠ ADC，
AC·sin ∠ CAD 从而 CD＝ sin ∠ ADC .
仰角∠ MAN＝60°， C点的仰角∠ CAB＝45°以及∠ MAC＝75°；从 C 点测得∠ MCA＝60°. 已知 山高 BC＝ 100 m，则山高 MN＝ ________ m.
解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解．
根据图示， AC＝ 100 2 m.
在△ MAC中，∠ CMA＝180°－ 75°－ 60°＝ 45°．
-2-
A．北偏东 80°， 20( 6＋ 2) B．北偏东 65°， 20( 3＋ 2)
C．北偏东 65°， 20( 6＋ 2)
D．北偏东 80°， 20( 3＋ 2)
解析：由题可知∠ ABC＝ 105°，在△ ABC中， AB＝40， BC＝ 40 2，
( ) 所 以 AC2 ＝ AB2 ＋ BC2 － 2AB· BC·cos ∠ ABC＝ 402 ＋ 40 2 2 － 2×40×40 2
此时气球的高度为 h，则两个场馆 B， C间的距离为 ( )
hsin α sin β A. sin α －β
hsin β － α
B.
sin αsin β
hsin α C. sin β sin α－ β
hsin β D. sin α sin α－ β
h
ACsin β－ α
解析：在 Rt △ ADC中， AC＝ sin β ，在△ ABC中，由正弦定理，得 BC＝
20＝ 20( 3＋ 1) ． 答案： B 2．海上有 A， B 两个小岛相距 10 n mile ，从 A 岛望 C岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛
望 C岛和 A岛成 75°的视角，则 B，C之间的距离为 ( )
10 6
A．10 3 n mile B.
n mile 3
C．5 2 n mile D ．5 6 n mile 解析：在△ ABC中， A＝60°， B＝75°，∴ C＝45°．