华南理工大学最优化理论-实验及案例
MATLAB对许多专门领域都开发了功能强大的模块集和
工具箱，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接
使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写
代码。MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用
的诸多领域，诸如数据采集、优化计算、偏微分方程求解、
神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控
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圆柱螺旋压缩弹簧的优化设计
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➢ 有约束多维优化实验
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优化设计案例
单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计
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（2）优化工具箱要求非线性不等式约束的形式为Ci(x)≤0， 通过对不等式取负可使大于零的约束形式变为小于零的不 等式约束形式，如Ci(x)≥0形式的约束等价于-Ci(x)≤0； Ci(x)≥b形式的约束等价于-Ci(x)+b≤0。
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➢一维优化方法实验
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➢ 无约束多维优化实验
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优化设计实验
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，
是美国MathWorks公司开发的一个为科学和工程计算专门设
计的交互式大型软件，是一个可以完成各种精确计算和数据
处理的、可视化的、强大的计算工具它集图示和精确计算
于一身，在应用数学、物理、化工、机电工程、医药、金融
和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。
制系统设计、模型预测、模糊逻辑、金融分析、嵌入式系统
开发等，都在工具箱家族中有了自己的一席之地。
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➢ 利用MATLAB的优化工具箱（Optimization Toolbox），可 以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题，具体包 括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限 问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的 最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最 小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题 的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了方便 快捷的途径。
➢ 由于优化函数要求目标函数和约束条件满足一定的格式， 所以用户在使用优化工具箱进行模型输入时需要注意以下 问题：
（1）优化函数fminbnd、fminsearch、fminunc、fmincon、 fgoalattain、fminmax和lsqnonlin都要求目标函数最小化， 如果优化问题要求目标函数最大化，可以通过使该目标函 数的负值最小化即-f(x)最小化来实现。
华南理工大学-数学实验报告一
fn = [fn,fn(i-1)+1/i];%定义fn =
end
Hn = [1/2];%定义Hn的初值为0.5
fori = 1:n
Hn = [Hn,fn(2*i)-fn(i)];
%定义Hn = -
end
plot(Hn)%显示函数Hn的曲线变化图
模块c：实现显示数列{Gn}曲线变化的功能
end
x = 1:n;
plot(x,Gn1,'b',x,Gn2,'r*')%显示拟合函数Gn1和原始函数Gn2的曲线图进行比较，确定两个函数的吻合程度。
运行结果（直接输出运行结果或者抓取Matlab运行结果的图片）：
模块a:
模块b：
模块c:
模块d:
模块e:
问题回答：
（1）
由图可知，数列{Sn}的曲线随着n的增大而逐步增大，但是n越大，Sn的上升逐步趋缓。
《数学实验》报告
1．问题描述
讨论调和级数 的变化规律，
（1）画出部分和数列{Sn}变化的折线图，观察变化规律；
（2）引入数列{Hn}：Hn=S2n–Sn，作图观察其变化，猜测是否有极限
（3）引入数列｛Gn｝：Gn=S2n，作图观察其变化，寻找恰当的函数拟合；
（4）讨论部分和数列｛Sn｝的变化规律。
2．问题分析与实验过程
（2）
由图可知，数列{Hn}在刚开始时的上升幅度非常大，但是n增大到一定值后，Hn的上升趋缓，并逐步稳定。可以猜测数列{Hn}有极限。
（3）
由模块c显示的数列{Gn}的曲线变化，猜测Gn为一指数函数，设Gn=ln(a*n+b)。令Gn=e^Gn,然后进行一阶拟合。经一系列验证后，证明上述正确。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
最优化理论——运输问题的案例
运输问题产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：.. min 11m 1i n1j 11≥====∑∑∑∑∑∑======ij i mi ij j nj ij ijij nj jm i i x a x b x t s x c b a Q以下题为例：产地 销地1B 2B 3B 4B产量1A4124 11162A21439103A 8511 622销 量814121448一、求最小运费 1、最小元素法从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按运价从小到大顺序填数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
产地 销地1B 2B 3B 4B产量1A4 124 10 116162A2 8143 29103A 85 1411 6822销 量814121448最小运费为：246116685144102382=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2、西北角法从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按行（列）标下一格的数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
产地 销地1B 2B 3B 4B 产量1A4 8 12 84 11162A214 6 3 49103A 8511 861122 销814121448量最小运费为：372=6×14+11×8+3×4+10×6+12×8+4×8 3、V ogel （沃格尔）法① 计算出各行各列中最小元素和次小元素差额（罚数），并标出。
② 在罚数最大的行和列中填上尽可能大的数（若有两个罚数最大，则选择最大罚数所在行或所在列运费最小的）。
若有行或列饱和，划去。
③ 重复以上步骤。
产地 销地1B2B3B 4B产量行罚数1 2 3 41A412412 11416 0 0 0 72A28143910 1 1 1 63A 8514116822 1 2销 量 8 14 12 14 48列 罚 数 1 2 5 1 3 2 2 1 3 3 2 1 2 412二、检验是否是最优解 1、闭回路法闭回路：从空格出发，遇到数字格可以旋转90度，最后回到空格所构成的回路；原理：利用检验数的经济含义；检验数：非基变量增加一个单位引起的成本变化量。
最优化案例（收藏）
1蜂胶黄酮类化合物提取工艺参数优化简介：蜂胶中富含的黄酮类化合物等有效成份在超临界流体CO2中的溶解度极低，因此在超临界流体CO2萃取蜂胶黄酮类化合物的工艺实验研究中，加入少量的乙醇溶剂作为夹带剂，达到了大大增大蜂胶黄酮类化合物的溶解度的目的。
本文将利用响应面分析方法，用多项式函数来近似解析描述多因子试验中因素与试验结果的关系，研究因子与响应值之间、因子与因子之间的相互关系，从而达到工艺参数优化的目的。
优化目标：黄酮类化合物萃取得率（%）优化变量：萃取压力（MPa），乙醇浓度（%），固液比优化结果：原文献最佳优化工艺参数：萃取压力：25MPa，乙醇浓度95%，固液比：6:1参考文献：游海,陈芩,高荫榆,陈才水. 蜂胶黄酮类化合物提取工艺参数优化[J]. 食品科学,2002,08:172-174.表1 RSA试验的设计和结果试验号萃取压力乙醇浓度固液比黄酮得率(MPa) （%）（%）1 -1 -1 0 2.2132 -1 0 -1 5.2473 -1 0 1 5.1254 -1 -1 0 9.7635 0 -1 -1 4.3466 0 -1 1 4.7867 0 1 -1 11.0178 0 1 1 13.3399 1 -1 0 6.75910 1 0 -1 5.49611 1 0 1 8.12512 1 1 0 14.73313 0 0 0 10.39314 0 0 0 10.19215 0 0 0 10.4272 超声波法提取板栗壳多糖的工艺条件优化简介：板栗俗称栗子，有“干果之王”的美称。
栗壳为板栗的外果皮，药性甘、涩、平，具有降逆、止血的功效，主治反胃、鼻衄、便血等本文以板栗壳为原料，利用超声波辅助提取板栗壳中多糖物质，采用中心实验设计优化板栗壳多糖超声辅助提取工艺参数，为后续实验和实际生产提供参考。
优化目标：板栗壳多糖得率（%）优化变量：超声波功率（kw），料液比，超声波处理时间（min）优化结果：经试验优化确定提取板栗壳多糖的最佳工艺条件为超声波功率为165W、料液比为1∶62、超声波处理时间为27min，在该条件下，超声波提取板栗壳多糖的效率最高，得率为11.48%。
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第 七 章(06-1)PPT教学课件
目标规划
2020/12/09
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第七章 目标规划
在科学研究、经济建设和生产实践中，人 们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题， 我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的 多目标规划叫目标规划(goal programming)， 这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。 目标规划在实践中的应用十分广泛，它的重要 特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符 合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思 考方式。
试建立这个问题的数学模型．
讨论：
若把总利润最大看作目标，而把产量不能
超过市场预测 2020/12/09
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7.1 目标规划模型
7.1.1 问题提出 (续)
的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市
场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标 线性规划模型
设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量
Max Z = 12x1 + 18x2
2020/12/09
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7.1 目标规划模型
7.1.2 目标规划模型的基本概念
把例7.1.1的4个目标表示为不等式.仍设
决策变量 麽,
x1，x2 分别为产品A，B的产量.
那
第一个目标为: x1 9 ，x2 8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ；
第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成
我们用正偏差变量d + 表示决策值超过目标 值的部分；负偏差变量d - 表示决策值不足目 标值的部分。因决策值不可能既超过目标值 同时又末达到目标值，故恒有 d + d - ＝ 0．
（2）、绝对约束和目标约束
我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝
华理最优化方法课件-3-2
注:根据线性规划问题本身的形式,可以引进一 些人工变量.
构造单纯性表
CB 0 M M XB x4 x6 x7 b 11 3 1 -3 x1 1 -4 -2 1 x2 -2 1 0 1 x3 1 2 1 0 x4 1 0 0 0 x5 0 -1 0 M x6 0 1 0 M x7 0 0 1
qi
11 3/2 1
min f ( X )=-3x1 x2 x3 min x6 x7 11 x1 2 x2 x3 x4 x1 2 x2 x3 11 4 x x 2 x x x 4 x x 2 x 3 3 1 2 3 5 6 1 2 3 2 x1 +x3 x7 1 2 x + x 1 1 3 x , x , x , x , x , x , x 0 x , x , x 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3
在实际问题中可以取M为适当大的一个数,比如 比问题中的系数大一个数量级.
两阶段法的数学模型
对于线性规划问题
n n aij x j bi(bi 0),i 1,2, min f ( X ) c j x j s. t. j 1 j 1 x 0, j 1,2, , n j
f ( X ) 2
*
§3.5 对偶问题的基本原理
例 3.8 生产问题
某工厂计划在下一生产周期生产3种产品A1,A2,A3 这些产品都要在甲、乙、丙、丁4种设备上加工，根 据设备性能和以往的生产情况知道单位产品的加工工 时，各种设备的最大加工工时限制，以及每种产品的 单位利润（单位：千元），如表3.1所示，问如何安 排生产计划，才能使工厂得到最大利润？
大M法的理论依据
最优化实验报告
最优化实验报告引言最优化问题是在给定一组约束条件下寻找使目标函数达到最优值的变量值的过程。
在现实世界中，最优化问题广泛应用于各个领域，例如经济学、工程学和计算机科学等。
本实验报告旨在介绍最优化实验的一般步骤，并通过一个具体例子来说明。
实验步骤步骤一：明确问题在开始最优化实验之前，首先要明确问题。
明确问题包括确定目标函数和约束条件。
目标函数是需要优化的函数，约束条件是对变量的限制。
步骤二：选择优化算法根据问题的特点和要求，选择适当的优化算法。
常见的优化算法包括梯度下降法、遗传算法和模拟退火算法等。
选择合适的算法可以提高最优化问题的求解效率和精度。
步骤三：建立数学模型在进行最优化算法的实现之前，需要将问题转化为数学模型。
数学模型描述了目标函数和约束条件之间的关系。
建立数学模型可以帮助我们更好地理解问题，并为后续的实验提供准确的求解方法。
步骤四：实现算法根据选择的优化算法和建立的数学模型，实现相应的算法。
使用编程语言编写代码，根据数学模型和算法的要求进行计算和优化。
步骤五：分析结果在完成算法的实现后，需要分析优化结果。
分析结果包括计算目标函数的最优值和最优解，并对结果进行可视化展示。
通过分析结果，可以评估算法的性能和有效性。
步骤六：优化实验根据分析结果，对实验进行优化。
优化实验可以包括调整算法的参数、改进数学模型和修改约束条件等。
通过多次优化实验，可以逐步提高算法的性能和求解效果。
实例分析我们以一个简单的线性规划问题为例来说明最优化实验的步骤。
假设我们有两种产品A和B，每个产品的利润分别为3和5。
产品A需要2个单位的资源1和3个单位的资源2，产品B需要1个单位的资源1和2个单位的资源2。
现在我们需要决定生产多少个产品A和B，使得总利润最大，同时满足资源的限制条件。
步骤一：明确问题目标函数：maximize3A+5B约束条件：2A+B≤6，3A+2B≤12，A,B≥0步骤二：选择优化算法在这个例子中，我们选择线性规划算法来解决最优化问题。
基于SEA法的汽车防声材料最优化技术的开发
（(）
这里 ! % 空气密度。 在空气传播噪声计算模型 的情况， 声 场要素 * 的内部损失能量传递 , * ， 4*55 是要素的表面积 + * 和 平均吸声率 " * 的函 ， 同时， 从要素 * 到 6 的能量传 递 +* 6 是分割声场要素 *， 6 板件的面积 + *6 和其板件的 能量透过率 ) * 6 的函 ， 各自用下式得到。
对于这种现象现在虽然可以应用实验车确定防声材料各种主要参数但是这种方法不能早期并且在短时间内能够表示出改进的效果为此今后把缩短开发周期和在没有实验车阶段确定各主要参数作为重要的课题进行研究
基于 +,- 法的汽车防声材料最优化技术的开发
! ! 文章编号： "##$ % "&’’ （(##) ） #* % ##$" % #*
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# # 图 ’ 模型的各要素的能量传递平衡式用下式表 示
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB C !"# 理论
BD BC !"# 法 （统计能量分析法） ! ! 本文在研究汽车高频领域中， 假定车室内外空 间为完全的扩散场， 具有能量 )* 扩散声场要素 * ， 入 射到周壁的面积 +* 的功率 ,* 用下式求得。
基于动态规划的企业投资决策模型_刘锐
第9卷 第22期 2009年11月1671-1819(2009)22-6615-05 科 学 技 术 与 工 程S c i e n c e T e c h n o l o g y a n d E n g i n e e r i n g Vo l .9 N o .22 N o v .2009 2009 S c i .T e c h .E n g n g .论 文数学基于动态规划的企业投资决策模型刘 锐(华南理工大学自动化科学与工程学院系统工程专业,广州510640)摘 要 为了保证企业投资决策最优的投资效果,企业应把投资决策过程分为多个阶段。
建立了以获得利润最大化,同时把投资总风险控制在可承受范围内为目标的基本动态规划模型。
该模型把一个多阶段的投资问题转化为多个单阶段的问题,从而求解整个投资阶段的最优决策问题就转化成求解一系列单个投资阶段中的最优问题。
关键词 动态规划 模型 投资决策 利润中图法分类号 O 221.3 F 224.31; 文献标志码 A2009年8月12日收到作者简介:刘 锐(1985—),男,汉族,河南信阳人,华南理工大学自动化学院系统工程专业研究生,研究方向:最优化理论。
从理论研究上讲,投资组合理论最基本的目的就是帮助投资者以最合理的方式把资金分配到各种投资项目中,从而确保投资效益的持续增长。
M a r k o w i t z [1]在其经典的投资组合模型中,对投资回报和可能存在的风险进行权衡,把结果进行量化,以此作为投资选择的标准。
这种方法提供的投资策略只适合单一周期的投资,并不适合多个周期的投资。
为了解决这一问题,1952年,美国数学家B e l l m a n 2根据一类多阶段决策问题的特点,把多阶段决策问题表示为一系列单阶段问题,即把一个N 变量问题作为一系列的N 个问题而逐个加以解决。
多阶段的投资方法能够最大限度地减少投资的总风险,并且可以根据每个阶段末期的反馈情况,及时调整下一阶段的投资方案。
自动化系本硕贯通《最优化方法》实验
自动化系本硕贯通《最优化方法》实验最优化方法是自动化系的一门重要课程，它主要介绍了最优化理论和应用方法。
本实验是为了帮助学生更好地掌握最优化方法的基本原理和应用技巧，设计了一个实验项目。
本文将详细介绍该实验项目的目标、实验步骤和实验结果，并分析实验结果和实验过程中的问题和解决方法。
一、实验目标最优化方法实验的目标是通过设计一个最优化问题的实例，学习应用最优化方法解决问题的基本原理和具体方法。
通过该实验，学生应能了解最优化问题的数学模型，掌握不同最优化方法的特点和适用范围，学会使用编程软件实现最优化算法的程序代码。
二、实验步骤1.确定最优化问题：在本实验中，我们选择了一个简单的连续函数的最优化问题作为实验对象。
该问题的目标是找到函数的极小值点。
2.构建数学模型：根据实验问题的具体要求，我们将函数表示为一个数学模型。
在本实验中，模型是一个连续函数。
3.选择最优化方法：根据问题的特点，选择最适合的最优化方法。
在本实验中，我们选择了梯度下降法作为最优化方法。
4. 编写程序代码：根据所选择的最优化方法，编写程序代码来实现最优化算法。
在本实验中，我们使用Python语言编写程序代码。
5. 运行程序代码：通过运行程序代码，得到最优化问题的解。
在本实验中，我们使用Python的解释器来运行程序代码。
6.分析实验结果：根据得到的最优化问题的解，分析问题的最优解是否满足问题的要求。
三、实验结果通过实验，我们得到了最优化问题的解。
分析实验结果可以发现，得到的最优解符合要求。
经过多次实验，最优解的准确率达到了较高的水平。
四、问题与解决方法在实验过程中，我们也遇到了一些问题。
主要有两个问题：第一，最优化方法在一些情况下存在局部最优解的问题；第二，程序代码的运行时间较长。
针对第一个问题，我们可以考虑采用其他最优化方法。
例如，可以尝试使用遗传算法或模拟退火算法来解决问题。
这些方法具有较强的全局能力，可以更好地避免陷入局部最优解。