反褶积
地震第3章 反褶积
(3-1)
e(t ) 为地层脉冲响应，为震源是单位脉冲 (t ) 时零炮检距自
激自收的地震记录。
(3一1)式可视为一个滤波过程，如图3-1所示。
图3-1 褶积滤波过程 这个滤波过程的输入为地震子波。w(t ) 滤波器的滤波因子为地层 脉冲响应 e(t ) ，输出为地震道记录 x(t ) 。 或者输入为地层脉冲响应 e(t ) ，滤波器滤波因子为子波 w(t ) ， 输出为地震道记录城 x(t ) 。
w
x(t )
w( )r (t )
0
(3-4)
实际的地震记录城 x(t ) 除了(3一4)式所表示的一系列反射波 S (t ) 而外， 还存在着干扰波 ，因此，地震记录双 的一般模型可以写为 x(t ) n(t )
x(t ) S (t ) n(t ) w( )r (t ) n(t )
式中。
—震源脉冲值，为一常数; r (t ) —反射界面的反射系数。 但是，由于地层介质具有滤波作用，这种大地的滤波作用相当 于一个滤波器。因此，由震源发出的尖脉冲经过大地滤波器的滤波 作用后，变成一个具有一定时间延续的波形 w(t ) ，通常叫作地震 子波(图3一6)。这时，地震记录是许多反射波叠加的结果，即地震 记录 x(t ) 是地震子波 w(t ) 与反射系数 r (t ) 的褶积
1.直接观测法 这种方法是用专门布置在震源附近的检波器直接记录地震子波 w(t )， 此方法只适用于海上地震勘探。 在某些地区的海上地震勘探中，在地震记录上海底反射波到达之前曾 记录到一个地震波。经过分析知道这是由于海水含盐量有分层性所形成的。 由于海水的含盐量有分层性使海水明显地分成上下两层。下层的含盐量较 上层含盐量高，形成了一个较为清楚的界面。由震源出发的地震波到达这 个界面引起反射返回到海面下的检波器，被记录下来。由于这个波没有与 其他波干涉，所以可以作为地震子波 。使用这样求取的地震子波进 w(t ) 行反褶积，得到了良好的效果。
反褶积
震资料与假设条件的符合程度。
反褶积的名称各种各样，有的取名来源于它的假设条件，有的取名来源于它的 计算方法，有的取名来源于它的功能。我们在选用某个反褶积模块时对它的假
设条件、计算方法和功能都应该有所了解。
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改变地震记录的频谱的反褶积
这一类方法假定：虽然不知道反射系数的具体数值，但知道反射系数振幅谱的大
1 1 , 2 2
基础分为若干
小段，每段长1/ Δ，然后将各段的X(f)值相加。 由此可见，当采样率为Δ 时，离散序列的最大频率为1/2Δ， 这就是奈魁斯特频率，也称折叠频率。
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频率折叠示意图
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褶积
1、褶积的定义 褶积是一种数学运算的方式以及运算结果。定义如下：
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信号的离散化
实际地震记录是连续信号，数字仪记录时，要间隔一定的时间间隔Δ 记录一个值，由此将地震记录x(t)变成时间序列 x(nΔ) (n=1,2,…N) Δ 称为采样间隔。
将连续信号离散采样的过程就是信号的离散化。
对于离散化有以下采样定理： 若连续信号x(t)有截止频率fc，则当 1 2 fc 确定X(t): 时，离散x(nΔ) 可完全
使A(z)= 0的z值称为Z变换的根，该序列的 Z变换有n个根。
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信号的相位特征
设一两项信号 a=(a1,a2),则 1、若a1>a2,称a是最小相位延迟信号 2、若a1<a2,称a是最大相位延迟信号 3、若a1=a2,称a是等延迟信号 任一n+1项信号 b=(b0,b1,…,bn)可分解为n个两项信号 的褶积。 如果 1、所有两项信号 都是最小相位延迟信号，则b是最小相位 2、所有两项信号 都是最大相位延迟信号，则b是最大相位 3、既有最大相位延迟也有最小相位延迟，则b是混合相位 信号的相位特征也可用其z变换来定义： 1、 z 变换的根都在单位圆外，信号是最小相位 2、 z 变换的根都在单位圆内，信号是最大相位 3、单位圆内外都有根，信号是混合相位 最小相位信号的能量集中在前端。
反褶积处理方法要点
反褶积处理方法要点反褶积处理是一种常用的信号处理方法，它可以用于去除信号中的卷积效应，从而提高信号的清晰度和分辨率。
在实际应用中，反褶积处理方法有着广泛的应用，例如在地震勘探、医学成像、图像处理等领域都有着重要的应用。
本文将介绍反褶积处理方法的要点，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
一、反褶积处理的基本原理反褶积处理的基本原理是通过对信号进行卷积运算的逆运算，去除信号中的卷积效应。
在数学上，反褶积处理可以表示为：f(t) = g(t) * h(t) + n(t)其中，f(t)表示观测信号，g(t)表示真实信号，h(t)表示卷积核，n(t)表示噪声。
反褶积处理的目标是通过观测信号f(t)和卷积核h(t)，还原出真实信号g(t)。
二、反褶积处理的要点1. 选择合适的卷积核选择合适的卷积核是反褶积处理的关键。
卷积核的选择应该考虑到信号的特点和噪声的影响。
一般来说，卷积核应该具有平滑性和高分辨率的特点，以保证反褶积处理的效果。
2. 去除噪声的影响噪声是影响反褶积处理效果的主要因素之一。
在进行反褶积处理之前，应该对信号进行去噪处理，以提高信号的清晰度和分辨率。
3. 选择合适的反褶积算法反褶积处理有多种算法，包括Wiener滤波、Tikhonov正则化、最小二乘法等。
在选择反褶积算法时，应该根据信号的特点和噪声的影响进行选择，以保证反褶积处理的效果。
4. 控制反褶积处理的参数反褶积处理的效果受到多个参数的影响，包括卷积核的大小、去噪处理的程度、反褶积算法的选择等。
在进行反褶积处理时，应该根据实际情况控制这些参数，以达到最佳的反褶积处理效果。
三、反褶积处理的应用反褶积处理在地震勘探、医学成像、图像处理等领域都有着广泛的应用。
在地震勘探中，反褶积处理可以用于提高地震数据的清晰度和分辨率，从而更好地识别地下结构。
在医学成像中，反褶积处理可以用于去除图像中的模糊效应，提高图像的清晰度和分辨率。
在图像处理中，反褶积处理可以用于去除图像中的模糊效应，提高图像的清晰度和细节。
第2章 反褶积-1
第二章反褶积反褶积是借助压缩基本地震子波来改善时间分辨率的一种处理过程。
为搞清这一过程要求综合研究正演问题，即必须首先研究记录的地震道的积木式分段单元。
地层是由不同类型岩性的岩层组成的，每种岩石类型都有地球物理学家所可利用的某种物理特性。
至于地震勘探，则根据波传播速度和岩层密度确定岩层。
密度与速度的乘积称之为地震波阻抗，地震资料分析期望的最终成果就是地震波阻抗剖面。
我们有在井中直接检测岩层速度和密度的方法，这种方法能向我们提供地震波阻抗与深度的关系。
在地面上沿测线记录到的地震反射波就是由于两地层之间的波阻抗差引起的。
记录到的反射记录可通过反射率与震源子波的褶积来模拟。
下面分别对褶积模型、各种反滤波进行介绍，并给出应用实例。
2.1 褶积模型我们从图1给出的一个实际声测井记录入手，该声测井曲线是层速度与深度的关系图。
实际的速度测量是以 2英尺的采样间隔在1000－5400英尺之间的深度段内完成的。
借助简单的斜坡把速度函数外延至地面。
该声测井记录显示出明显突变和强低频趋势特征，这两者构成了总的速度变化。
实际上我们通常用CMP道集作速度分析进行估算的就是这种低频趋势。
对声测井曲线可通过人工分段提取其速度趋势，其结果可列表如下：由声测井记录确定的层速度趋势表1地层序号层速度(ft/s)深度范围(ft)1 21000 1000—20002 19000 ※2000—22503 18750 2250—25004 12650 2500—37755 19650 3775—5400※实际上该层速度是逐渐减小的。
我们所做的就是形成一组恒定层速度的层组。
把测井曲线进行这种分段多少有点类似于地质家对假想的地下模型所做的分层。
地质家是根据岩性分层，而我们根据声测井曲线的分段性质提取的分层则是以速度差为依据的。
下面对表1中所确定的地层的岩性分类：地层序号岩性1 2 3 4 灰岩泥质灰岩(泥岩含量逐渐增加) 泥质灰岩泥岩5 白云岩在声测井曲线的低频趋势上附加有高频分量。
反褶积的原理和应用
反褶积的原理和应用1. 什么是反褶积反褶积是一种信号处理技术，用于恢复被褶积模糊过的信号。
褶积是一种线性运算，将两个函数合成为一个函数。
在信号处理中，常常需要将一个信号与系统的脉冲响应进行褶积，从而实现信号的去模糊处理。
但在实际应用中，这种模糊操作可能会导致信息的丢失或者模糊，因此需要将模糊过的信号进行反褶积处理，恢复原信号的清晰度和准确性。
2. 反褶积的原理反褶积的原理基于褶积的可逆性。
在褶积操作中，原信号与系统的脉冲响应相乘并求和得到模糊信号。
反褶积即通过找到一个逆滤波器，将模糊信号与该逆滤波器进行滤波，从而恢复出原信号。
反褶积的数学表达式为：原信号 = 反褶积（模糊信号，脉冲响应）其中，反褶积（）代表反褶积操作，模糊信号为经过褶积操作得到的信号，脉冲响应为系统的响应函数。
3. 反褶积的应用3.1 无线通信领域在无线通信领域，反褶积被广泛应用于信道均衡和符号检测。
在无线信道传输过程中，由于多径效应等因素的影响，信号可能会受到褶积模糊的影响，造成接收信号的失真。
通过使用反褶积算法对接收信号进行处理，可以有效地消除信道带来的影响，提高信号的接收质量。
3.2 显微镜图像恢复在显微镜图像的拍摄过程中，由于光学系统的限制以及物理因素的影响，得到的图像可能会存在模糊或失真等问题。
通过采用反褶积算法，可以对图像进行去模糊处理，提高图像的清晰度和准确性，从而更好地观察和分析目标物体。
3.3 地震数据处理在地震探测和勘探过程中，地震数据可能会受到地下介质的复杂反射和折射影响，导致地震图像的模糊和失真。
采用反褶积算法对地震数据进行处理，可以消除模糊和去除干扰信号，提高地震图像的分辨率和准确性，帮助地质学家更好地理解地下结构。
3.4 知觉学研究在人类视觉系统的研究中，反褶积被广泛应用于图像处理和视觉感知的研究中。
通过采用反褶积算法，可以还原图像背后的物理信息，研究人类视觉系统在感知和认知过程中的工作原理和机制，对于理解人类视觉系统的功能和性能具有重要意义。
反褶积
第三章 反褶积反褶积是通过压缩地震记录中的基本地震子波，压制交混回响和短周期多次波，从而提高时间分辨率，再现地下地层的反射系数。
反褶积通常应用于叠前资料，也可广泛用于叠后资料。
反褶积得到具有更高时间分辨率的剖面。
反褶积的作用有时不局限在压缩子波上，它也能从记录上消除大部分的多次波能量。
在地震勘探中，岩石层由密度和地震波传播速度定义。
密度和速度的乘积称为地震波阻抗。
相邻岩石层之间的波阻抗差形成反射后，由沿地表的测线所记录。
这样得到的地震记录可表示为一个褶积模型，即地层脉冲响应与地震子波的褶积。
子波有许多成分，包括震源信号、记录滤波器、地表反射和检波器响应等。
地层脉冲响应是当子波为一个尖脉冲时所记录的。
理想的反褶积应该压缩子波并消除多次波，在地震道内只留下地层反射系数。
第一节 反褶积概念及原理1 反褶积概念我们知道，在反射法地震勘探中，由震源爆炸产生一尖脉冲，在地层中传播，经反射界面反射后又回到地面；被检波器所接收，送到仪器车，记录在数字磁带上，这就是地震信号产生过程的一个简单叙述。
由此想来，理想的地震记录应该象图3-1反射系数时间序列，其中每个脉冲代表地下存在一个反射界面，整个脉冲序列就表示地下一组反射界面。
这种理想地震记录x(t)可以表示为：()()t N t x ξ0= (3-1) 式中，N 0 为震源脉冲的强度值，是一常数； ()t ξ为反射系数序列。
但是由于震源爆炸时岩石破坏圈和岩石塑性圈的作用，使得震源发出的尖脉冲到达弹性形变区时变成一个具有一定延续时间的稳定波形b(t)(通常称为地震子波（wavelet ），图3-2)。
地层对震源脉冲的这种改造作用就相当于一个滤波器，通常称为大地滤波器。
通过这个滤波器的作用，子波的高频成分损失，脉冲的频谱变窄，从而使激发时产生的尖脉冲经大地滤波后其延续时间加大(图3-3)。
这样一来，地震记录也就变成了若干子波叠加的结果，即地震记录是地震子波和反射系数序列的褶积：()()()()()τξτξτ-=*=∑∞=t b t t b t x 0(3-2)在实际过程中，往往会有一些噪音产生，因此地震记录还应该包括干扰波n(t)，即： ()()()()()()t n t b t n t S t x +-=+=∑∞=τξττ0(3-3)其结果为一复杂的记录形式(图3-4)。
论反褶积的概念及类型
论反褶积的概念及类型论文提要地震勘探技术在油气田勘探开发中起着重要作用。
地震勘探包括地震采集、处理和解释三大部分。
地震采集是利用野外地震采集系统获取地震数据处理所需的反射波数据；地震数据处理的目的是对地震采集数据做各种处理提高反射波数据的信噪比、分辨率和保真度以便于解释；地震解释分为构造和岩性解释，目的是确定地震反射波数据的地质特征和意义。
地震数据处理依赖于地震采集数据的质量，处理结果直接影响解释的正确性和精确度。
探讨地震处理的基本原理和基本方法有助于全面利用采集数据，充分利用处理方法，为地震解释提供可靠的处理成果剖面。
正文地震数据处理主要包括地震反褶积、叠加和偏移成像三大技术。
地震反褶积是通过压缩地震子波提高地震时间分辨率；叠加的目的是压制随机噪声提高地震信噪比；偏移成像包括射线偏移和波动方程偏移两大类，主要目的是实现反射界面的空间归位和恢复反射界面空间的波场特征、振幅变化和反射系数，提高地震空间分辨率和地震保真度。
反褶积是地震资料最常用和最重要的处理方法之一。
反褶积可在叠前做也可在叠后做。
叠前反褶积的目的是把地震子波压缩成尖脉冲来改进时间分辨率。
叠后的预测反褶积主要是消除海上鸣震（交混回响）等多次波干扰，突出有效波，提高地震资料的信噪比。
在常规处理中反褶积的基础是最佳维纳滤波。
反褶积后要用某种类型的道均衡，以使数据达到通常的均方根振幅水平。
一、反褶积的概念（一）反褶积问题的提出实际地震记录由于受复杂子波的作用和干扰的影响，分辨能力较低，地质界面上各反射波互相叠加、彼此干涉，成为一复杂的形式，不能通过地质资料的解释，得到准确的地质界面。
反褶积的目的就是要通过某种数学方法，压缩地震子波，使地震记录分辨率提高，从而近似反射系数剖面，得到地下介质精确的反射结构。
假定地震记录不含干扰，何以得到x(t)=b(t)*ξ(t) （1-1）对应的频率域形式X(ω)=B(ω)×Ξ(ω)（1-2）令A(ω)=1/ B(ω)（1-3）则可得到Ξ(ω)= A(ω)×X(ω)（1-4）写成时间域形式ξ(t)=a(t)* x(t)（1-5）由x(t)=b(t)* ξ(t) 和ξ(t)=a(t)* x(t)可以看到：前者由子波和反射系数得到地震记录，是一褶积过程；后者则反过来，由一函数与地震记录褶积得到反射系数，这一过程可被称为反褶积。
地震数据处理第三章：反褶积
式中 o(t ) — 震源子波； g (t ) — 地层响应； (t ) — 透射响应； d (t ) — 地面接收响应；
i (t ) — 仪器响应；
（3-34）
将上式两端乘以
A( z ) R( z ) Z
M
zM
，则有：
M
M ( ) Z
M
(M ) Z 2 M (M 1) Z 2 M 1 (0) Z M (1) Z M 1 ( M ) Z 0
（3-18）
B(e ) | X (e ) | e
j
j
j ( e j )
（3-19）
( e j ) 未知，现在来确定它
•假如地震子波是最小相位的物理可实现 序列，则其z变换为：
B( z) b0 b1z 1 b2 z 2
B( z ) 0 , 对下式 由物理可实现性知：当| z | 1 时，
根据“最小相位序列z域零点在单位圆内”这 一特点，选出模小于1的根，便可组成最小相位 子波，其z变换为：
B1 ( z ) b0 (1 z1 z 1 )(1 z 2 z 1 ) (1 z M z 1） b0 b1 z -1 bM z -M
由于 ( ) ( )
A( z ) 应有2M个根。鉴于系数均为实数，所以 显然， 2M个根是M对互为倒数的，即若
z01 e j , (| | 1)
则另一根为：
1 1 j z02 e z01
根据这M对根在单位圆内、外的位臵，可以组 成2M个不同相位的地震子波，其中必有一个是 最小相位，一是最大相位的。
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第二章 反褶积将地震记录看成是反射系数序列与地震子波的褶积，反褶积就是要消除这种褶积过程，从地震记录得到反射系数序列。
一般说来，反褶积的目的是消除某种已知的或未知的褶积过程的运算。
反褶积也可能用来消除震源信号或者记录仪器的响应。
反褶积也可能是用另一种褶积过程代替原来的褶积过程。
反褶积是一种滤波。
与一般滤波的区别有两点：一是着眼点在改变子波，而不是衰减噪声。
二是方法上是根据需要达到的目标由地震资料自动推导滤波器，而不是通过试验选择滤波器。
反褶积是子波级的处理，是常规处理中最精细的环节。
一 子波与反褶积原始记录上的子波不管如何千变万化，必然是单边子波。
可控震源原始记录上的子波也是单边的，即扫描信号，经过相关以后才变成双边子波。
单边子波是物理可实现的，双边子波是非物理可实现的。
单边子波可以是最小相位子波、最大相位子波或混合相位子波。
判别方法可以有很多，对于下面的讨论来说，用Z 变换大概是最方便的。
将子波的各个样点值作为系数、样点序号作为Z 的幂次，写成Z 多项式，如果Z 多项式的根的模全部大于1，即根全部在单位圆外，就是最小相位子波；如果Z 多项式的根全部在单位圆内，就是最大相位子波；如果Z 多项式的根有一些在单位圆外，有一些在单位圆内，就是混合相位子波。
Z 多项式可以因式分解，每个因式有01=+bZ 形式，它代表有一个根Z 1-=。
（b 可以是实数，也可以是复数。
如是复数，必然共轭成对出现。
）可见当1<b 时，这个因式是最小相位的；当1>b 时，这个因式是最大相位的。
如果所有因式是最小相位的，子波就是最小相位的；如果所有因式是最大相位的，子波就是最大相位的；如果有一部分因式是最小相位的，有一部分因式是最大相位的，子波就是混合相位的。
因此，最小相位子波的尾点的绝对值必然小于其首点的绝对值，最大相位子波的尾点的绝对值必然大于其首点的绝对值，混合相位子波则可以是任何情形。
根据这个简单规则，至少在看到尾点的绝对值大于首点的绝对值的子波时，立刻就能判断它绝对不可能是最小相位子波。
为什么要考究子波是是不是最小相位的？这与反褶积算子有关。
为了要使反褶积结果是在子波起跳位置上的一个尖脉冲，不同相位子波的反褶积算子有不同的性质。
其原因在于所含的因式性质不同，一个因式01=+bZ 有两种情况：1<b 和1>b ，反褶积算子的Z 多项式是()()11-+=bZ Z A （1） 最小相位因式1<b ，其反褶积算子可展开成()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （2）有无限多项。
因为1<b ，所以反褶积算子Z 多项式的系数是收敛的。
另外Z 的幂次都不小于0，表明反褶积算子是单边的和无限长的。
在实际应用中，反褶积算子取有限项（尾部截断）不会引起很大误差。
截断后的反褶积算子仍然是最小相位的。
见图1。
图1. 最小相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)反褶积结果是()()()()[]()11332211 111++-+=-++-+-+=+N N N N N Zb Z b Z b Z b bZ bZ Z A bZ （3） 结果是无延迟的尖脉冲，另外由于算子截断而在延迟N +1个样点处还产生一个附加脉冲，因为1<b ，附加脉冲的幅度比1小得多。
因此最小相位因式有单边的最小相位反褶积算子。
再看最大相位因式，此时有1>b ，如果其反褶积算子也展开成()() +-+-=+=-3322111Z b Z b bZ bZ Z A （4） 则由于1>b ，随着Z的幂次增高，系数越来越大，因此单边反褶积算子是发散的，是非物理可实现的。
这种算子不允许截断。
因此最大相位因式不存在单边反褶积算子。
见图2。
这个问题也容易解决，因为最大相位因式的样点次序（时间）前后倒转，就是最小相位因式，而最小相位因式的反褶积算子在上面已经是可以得到的。
于是可以得到时间反序的算子。
将上式改写成()()[]()++-=+-+-=+=-----------------33221133221111111 11Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b bZ Z A （5） 这虽然也是非物理可实现的，但在计算上是可以实现的，因为在计算中，样点的时间先后不过是位置不同，“时间”是可以“倒流”的。
因为1>b ，故有11<-b ，这样，反褶积算子Z 多项式的系数随着Z 的负幂次的增大是收敛的，允许取有限项。
()()113322111 -----------+++-==N N N Z b Z b Z b Z b Z A （6）反褶积算子Z 多项式中Z 的幂次都小于0，表明输出在输入之前，是时间反方向的单边算子。
见图2。
图2. 最大相位因式B(Z)及其反褶积算子A(Z)如果将时间倒过来看，用Z 作为反方向的延迟因子即超前因子，来代替上式的1-Z ，括号内的部分就成为 ()()()[]N N N N N NZ b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z b Z A -----+------++-+-=-+-+-=11 13322111133221 （7）括号内就与最小相位算子形式一样，只是Z 的意义不同。
在逆时间方向具有最小相位形式的算子，如果不考虑时间原点，也就是对算子进行时移，形式上就是最大相位的。
上面讨论说明：最小相位因式的反褶积算子是单边的最小相位的；最大相位因式的反褶积算子是负时间方向“单边”的，具有时移的最大相位形式。
讨论了子波因式的反褶积算子，就可以讨论子波与反褶积算子的关系。
子波的反褶积算子是各个因式的反褶积算子的褶积，即它们的Z多项式的乘积。
最小相位子波的所有因式都是最小相位的。
所有因式的反褶积算子也都是单边的、最小相位的。
这些反褶积算子的Z多项式乘积也是单边的、最小相位的。
因此最小相位子波的反褶积算子是单边的、最小相位的。
最大相位子波的所有因式都是最大相位的。
所有因式的反褶积算子都是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。
这些反褶积算子的褶积也是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。
因此最大相位子波的反褶积算子是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。
混合相位子波的因式一部分是最小相位的，一部分是最大相位的。
这些因式的反褶积算子一部分是单边的、最小相位的；一部分是负时间方向“单边”的、形式是最大相位的。
这些反褶积算子褶积的结果是双边的，形式是混合相位的，因此混合相位子波的反褶积算子是双边的，形式是混合相位的。
见图3。
图3. 混合相位子波B(Z)及其反褶积算子A(Z)这就是不同性质的子波有不同性质的反褶积算子。
因式分解和多项式除法只是为了说明反褶积算子的性质，不是实际处理中应用是方法。
实际处理大都用最小二乘法。
在已知子波的情况下，用最小二乘法推导反褶积算子，期望输出（desired output不很确切的通用译名）为子波起跳点处的尖脉冲。
一般情况下可取双边反褶积算子。
令已知子波为()L b b b b ，，，210要推导的反褶积算子为()N N N a a a a a a a ，，，，，，21011-+--子波与反褶积算子褶积将得到结果()N L N N c c c c c c c +-+-- ，，，，，，21011此处∑-=-=NNi i i k k a b c（8） 期望输出为⎩⎨⎧≠==0 001k k d k 当当（9） 输出与期望输出的差值的平方和为()∑∑∑+-=-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=L N N k k N N i i i k L N N k k k d a b d c Q 22（10） 为求在Q 极小条件下的反褶积算子，使0=∂∂ja Q（11） 得到联立方程组0=⎪⎭⎫⎝⎛-∑∑+-=--=-L N N k j k k NN i i i k b d a b NN j ，，0-= （12） 或()()j R a j i R db NNi i bb =-∑-= NN j ，，0-= （13） 此处()∑+-=--=-LN Nk j k i k bb b b j i R（14）为子波自相关，而()j L N N k j k k db b b d j R -+-=-==∑ （15）为期望输出与子波的互相关。
由联立方程组可解出反褶积算子。
这种由已知子波计算反褶积算子的情况称为确定性反褶积。
确定性反褶积用于去记录系统的响应、海上震源子波反褶积等方面。
二 地震记录与反褶积地震记录上的子波往往是未知的。
不能使用上面的确定性反褶积方法。
从地震记录上消除子波的影响，是反褶积的主要应用。
按褶积的观点，记录是子波与反射系数序列的褶积的结果。
在解决反褶积问题中，记录是已知的，子波和反射系数序列都是未知的，要消除子波而获得反射系数序列是不可能的。
反褶积作为一种处理方法得以在工业中应用，得益于三点假设。
一是子波时不变假设，二是反射系数序列白色假设，三是子波最小相位假设。
在三点假设非同小可，使本来不可能解决的问题迎刃而解，从而地震数据处理得以进入一个新的阶段。
这三点假设非常大胆，对理论研究和实际资料分析的已有成果采取了粗暴的漠视态度。
但建立在此基础上的反褶积方法在工业中大规模应用的已达半个世纪，至今还仍然是一种常规处理方法。
这是地震勘探中的一个十分奇特的现象：一个旨在提高分辨率的方法以如此粗糙的假设为基础，并且得到如此大规模的长期的应用。
现在对三点假设做点讨论。
第一个子波时不变假设，显然是站不住脚的。
首先在理论上站不住脚。
地震波在传播过程中的衰减程度与频率有关，即子波在传播过程中是变化的，这在提出反褶积之前就已经是经典理论，至少Ricker 在1940年的文章[1]中已经有充分的阐述，而Robinson 的博士论文是1954年完成的[2]。
第二在逻辑上站不住脚。
如果子波是时不变的，那么深部反射波的子波就是震源激发的子波，就没有反褶积的必要。
既然反褶积要消除子波的影响，就承认子波是传播的结果，就不能不承认子波是时变的。
但这个问题也许并不特别严重，现在已经有了补偿办法。
例如在反褶积之前做反Q 滤波，可使地震记录基本符合子波时不变的假设。
然而，反Q 滤波是迟至90年代才出现的方法[3]，上距反褶积方法的提出时间差不多已经有40年了！第二个反射系数序列白色假设也站不住脚。
采用这个假设的目的是为了在这个假设下可以将记录振幅谱作为子波振幅谱应用。
实际资料表明，反射系数序列的振幅谱远不是光滑的，如果采用白色假设，则必然将反射系数序列振幅谱的不光滑性转移到子波振幅谱上，对反褶积产生不良后果。
本来是要消除子波的影响，在这个假设下将反射系数序列的一部分性质也成为消除的对象。
这方面的问题也是可以解决的。