三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r ⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，则123OP OP OP +=-u u u r u u u r u u u r ，以1OP u u u r ，2OP u u u r 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=u u u r u u u r u u u r ，得'33OP OP =-u u u r u u u u r，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

* △ABC 中AC AB +一定过BC u u u r的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩u u ur u u u r u u u r V u u u r u u u r u u u r为的重心， *1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵G 是△ABC 的重心 ∴GA GB GC ++u u u r u u u r u u u r =0r ⇒AG BG CG ++u u u r u u u r u u u r =0r ，即3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 由此可得1()3PG PA PB PC =++u u u ru uu r u u u r u u u r .(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 0AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r g V u u u r u u u rg 为的垂心 * 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥u u u r u u u u r , 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 同理123OP P P ⊥u u u r u u u u r ⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。

同理可证。

容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。

* 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos (CAC BAB +λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心[)+∞∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC故tanA·HA u u u r +tanB·HB u u u r +tanC·HC u u u r =0r()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ⋅⋅⋅+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC Cπ⋅-⋅=+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C ⊥+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==u u u r u u u r u u u r ． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA uuu r |=|OB uuu r |=|OC u u u r |(或OA uuu r 2=OB uuu r 2=OC u u u r2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA uuu r +OB uuu r )·AB u u u r =(OB uuu r +OC u u u r )·BC u u u r =(OC u u u r +OA uuu r )·CA uu u r=0(O 为三边垂直平分线的交点) *若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。

证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。

故点O 为△ABC 的外心。

*D E 、两点分别是ABC V 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u rg g V u u u r u u u r u u u r u u u r g g 为的外心 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA uuu r +sin ∠2B ·OB uuu r +sin ∠2C ·OC u u u r =0r● 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆● 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA uuu r +si n ∠2B ·OB uuu r +si n ∠2C ·OC u u u r =0rABCDO4.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=u u u u r u u u u r u u u r r。

(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性： 1230⋅+⋅+⋅=u u u u r u u u u r u u u r ra OPb OPc OP ⇒O 是123PP P ∆的内心 1231112113()()a OP b OP c OP a OP b OP PP c OP PP ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r=11213()0++⋅+⋅+⋅=u u u r u u u u r u u u u r r a b c OP b PP c PP所以13121()PP PP bc PO a b c c b =+++u u u u r u u u u r u u u r，而12P P c u u u u r，13P P buuu u r 分别是12PP u u u u r ，13PP u u u u r 方向上的单位向量，所以向量1312PP PP c b+u u uu r u u u u r 平分213P PP ∠，即1PO u u u r 平分213P PP ∠，同理2P O u u u r 平分123PP P ∠，得到点O 是123PP P ∆的内心。

*O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r. 内心（角平分线交点）证明：bAC c AB 、Θ分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴b ACc AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b ACc AB +)， 同理：()BC BABO u a c=+u u u r u u uru u u r 11(()[()]())BC BA u AB AO OB u AB AC a c c a c AB AC u bc a b λλλ=+=+++--++=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()10u c a cu a bλλ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得a u b λ=代入11()1u c a c λ++=解得c b a bc ++=λ， ∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ，∴0=++OC c OB b OA a* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;* 设()+∞∈,0λ，则向量-λ必平分∠BAC 的邻补角*(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r V u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r 为的内心，*O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB AC BA BC CA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r*若O 是△ABC 的内心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =a ：b ：c故a·OA uuu r +b·OB uuu r +c·OC u u u r =0r 或sinA·OA uuu r +sinB·OB uuu r +sinC·OC u u u r =0r;*设O 为△ABC 所在平面内任意一点，I 为△ABC 的内心，* cb ac b a OI ++++=内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c）证明：由I 是ABC ∆的内心⇔0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=u u r u u r u u r r。