三角形地五心向量结论证明
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
向量与三角形的五心
重心将顶点与对边中点连线，且 三条中线都经过重心。
重心在几何问题中的应用
010203Fra bibliotek面积分割
重心将三角形面积分为三 个相等的部分。
力的平衡
在静态平衡状态下，作用 于三角形上的力矩与重心 位置密切相关。
三角形不等式
通过重心可以推导三角形 不等式，用于解决几何问 题。
重心定理
定理内容
三角形的重心将中线分为 2:1的比例。
内心定理
• 内心定理：三角形的内心将三角形的三边分别延长，与相对角 的延长线相交于一点，这三个交点与内心构成的三个线段相等 。
05
向量与三角形的外心
外心定义与性质
外心定义
外心是三角形三边的垂直平分线的交点。
外心性质
外心到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆的半径。外心到三角形三边的垂直平分线的交点。
证明方法
利用向量加法的平行四边 形法则和向量的共线性。
应用场景
在几何、物理和工程领域 中，重心定理都有广泛的 应用。
03
向量与三角形的垂心
垂心定义与性质
垂心定义
三角形垂心是三条高线的交点，也是三角形三个顶点向对边 所作的高线的交点。
垂心性质
三角形的垂心具有一些特殊的性质，如垂心到三角形三边的 距离相等，且等于对边上的高的长度。此外，三角形的垂心 也是三角形三个内角平分线的交点。
• 三角形的内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，向量形式上表示为$\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}|}$ ，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$是三角形三边的向量。
三角形五心的向量表示
三角形五心的向量表示J DZ 小飞在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的充要条件是λµ=+r a b ，（1）其中,λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（2）推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（3）推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么0λµν===.推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，（4）其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量.【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。
《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量，且1λµ+=.定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是.AMC ABMABC ABCS S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������i i （5）其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆是有向面积。
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形各心的向量表示及证明
【一些结论】：以下皆是向量1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
三角形各个心的有关向量结论
三角形各个心的有关向量结论三角形是初中数学的重点之一，它们在几何的许多领域都有应用。
除了三条边之外，三角形还有很多其他有趣的属性和结论。
今天，我们将重点关注与三角形各个心的有关向量结论。
首先，让我们来介绍一下三角形的“心”。
一个三角形的“心”是它的重心、外心、内心、垂心和费马点。
这五个点都具有特殊的几何意义，它们与三角形的性质密切相关。
现在，我们来看一些关于这五个“心”的向量结论。
这些结论包括：1. 重心：三角形的三条中线的交点是三角形的重心。
向量表示为$$\overrightarrow{G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrigh tarrow{B}+\overrightarrow{C})$$其中，A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
2. 外心：三角形外接圆的圆心是三角形的外心。
向量表示为$$\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{a}\times\overright arrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrigh tarrow{b}\times\overrightarrow{c}}{2\overrightarrow{a}\cdot\o verrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的向量表示。
3. 内心：三角形内切圆的圆心是三角形的内心。
向量表示为$$\overrightarrow{I}=\frac{a\overrightarrow{A}+b\overrightarr ow{B}+c\overrightarrow{C}}{a+b+c}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的长度；A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。
4. 垂心：三角形的三条高线交于垂心，它与对应的顶点相连的线段垂直。
向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料
（B
）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2
2
12．在三角形 ABC 中，动点 P 满足： CA CB 2AB• CP ，则 P 点轨迹一定
通过△ABC 的：
（B）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
13.已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0
且|AA→→BB|
分析：如图所示 ABC， D、E 分别为边 BC、AC 的
中点.
AB AC 2AD
OP OA 2 AD
B
OP OA AP
AP 2 AD AP // AD 点 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心，即选 C .
A E
D
C
例 2、（03 全国理 4） O 是平面上一定点， A、B、C 是平面上不共线的三
PG
1 3
(PA
PB
PC)
G
为 ABC 的重心.
2、O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形)的垂心，则 S BOC：S AOC：S AOB tan A：tan B：tan C
故 tan AOA tan BOB tan COC 0
4运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题abocacobbcoaa重心b垂心c外心d内心5运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题acacababoaopa重心b垂心c外心d内心练习2已知为平面内一点abc平面上不共线的三点动点bcaboaopa重心b垂心c外心d内心13coscosacacababoaopa重心b垂心c外心d内心coscosacacababocobop则动点p一定过abc的a重心b垂心c外心d内心作直线与abac分别相交于两点且ac6作业1已知o是abcocoboaa重心b垂心c外心d内心2若abc的外接圆的圆心为o半径为1且ocoboaoboa是abc所在平面上的一点abc所对的过分别是a重心b垂心c外心d内心4已知p是abc所在平面内与不重合的一点满足apacaba重心b垂心c外心d内心ocoboaocoboa求证
三角形的五心在向量的结论
三角形的五心在向量的结论三角形的五心是指三角形的外心、内心、垂心、重心和旁心。
这五个特殊的点在三角形中有着重要的几何性质和向量关系。
本文将通过向量的角度来探讨这五个特殊点之间的关系。
我们先来介绍一下五个特殊点。
外心是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离都相等。
内心是通过三角形三个边的角平分线的交点，它到三角形三个边的距离都相等。
垂心是通过三角形三个顶点与对边垂直的高的交点，它到三角形三个顶点的距离满足垂心定理。
重心是通过三角形三个顶点的中线的交点，它到三角形三个顶点的距离满足重心定理。
旁心是通过三角形的一条边的垂直平分线的延长线与对边的交点，它到三角形的一条边的距离相等。
现在，我们来探讨这五个特殊点之间的向量关系。
我们可以将三角形的顶点表示为向量A、B、C，那么外心O可以表示为向量O=（A+B+C）/3，内心I可以表示为向量I=（aA+bB+cC）/（a+b+c），垂心H可以表示为向量H=A+B+C，重心G可以表示为向量G=(A+B+C)/3，旁心J可以表示为向量J=(2A+B+C)/4。
根据向量的定义，我们可以得到以下结论：1. 外心O到三个顶点的向量和为零，即AO+BO+CO=0。
这是因为外心是通过三个顶点的垂直平分线的交点，所以它到三个顶点的距离相等，即向量AO=向量BO=向量CO，因此它们的和为零。
2. 内心I到三个边的向量和为零，即aIA+bIB+cIC=0。
这是因为内心是通过三个边的角平分线的交点，所以它到三个边的距离相等，即向量IA=向量IB=向量IC，因此它们的和为零。
3. 垂心H到三个顶点的向量和为零，即AH+BH+CH=0。
这是因为垂心是通过三个顶点与对边垂直的高的交点，所以它到三个顶点的距离满足垂心定理，即向量AH=向量BH=向量CH，因此它们的和为零。
4. 重心G到三个顶点的向量和为零，即AG+BG+CG=0。
这是因为重心是通过三个顶点的中线的交点，所以它到三个顶点的距离满足重心定理，即向量AG=向量BG=向量CG，因此它们的和为零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中+一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.*222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心证明：由，得，所以。
同理可证。
容易得到由以上结论知O 为△ABC 的垂心。
* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC的垂心⎪⎭⎝cos cos C AC B* 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ⋅⋅⋅+=+||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C π⋅-⋅=+=-+=()||cos ||cos AB ACBC AB B AC C⊥+故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·=03.点O 是123PP P ∆的外心⇔23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC=(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点)*若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足，则点O 为△ABC 的外心。
证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。
故点O 为△ABC 的外心。
*D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PCP ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m r n m ,,，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆ABCDO若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin ∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =04.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性： 1230⋅+⋅+⋅=a OP b OP c OP ⇒O 是123PP P ∆的内心1231112113()()a OP b OP c OP a OP b OP PP c OP PP ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅++⋅+=11213()0++⋅+⋅+⋅=a b c OP b PP c PP所以13121()PP PP bc PO a b c c b =+++，而12P Pc ，13P P b分别是12PP ，13PP 方向上的单位向量，所以向量1312PP PP c b+平分213P P P ∠，即1PO 平分213P P P ∠，同理2P O 平分123PP P ∠，得到点O 是123PP P ∆的内心。
*O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 内心（角平分线交点）证明：b c 、分别为方向上的单位向量，∴b c +平分BAC ∠, (λ=∴b ACc AB +)， 同理：()BC BABO u a c=+ 11(()[()]())BC BA u AB AO OB u AB AC a c c a c AB AC u bc a b λλλ=+=+++--++=11()10u c a cu a bλλ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得a u b λ=代入11()1u c a c λ++=解得c b a bc ++=λ，∴c b a bc ++=（bc +) 化简得)(=++++c b c b a ，∴0=++OC c OB b OA a* 设()+∞∈,0λ，则向量+λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;* 设()+∞∈,0λ，则向量-λ必平分∠BAC 的邻补角*(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，*O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB ∙-=∙-=∙-=*若O 是△ABC 的内心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB=a ：b ：c故a ·OA +b ·OB +c ·OC =0或sinA ·OA +sinB ·OB +sinC ·OC =0;*设O 为△ABC 所在平面内任意一点，I 为△ABC 的内心，* cb ac b a OI ++++=内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c）证明：由I 是ABC ∆的内心⇔0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是ABC ∆三边)（见内心的充要条件的证明）OI OA AI OB BI OC CI =+=+=+()()()()a b c OI a OA AI b OB BI c OC CI ++=+++++=()aOA bOB cOC aAI bBI cCI aOA bOB cOC +++++=++cb a OCc OB b OA a ++++=, ∴I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy Ca+b+c ）.O 是123PP P ∆的内心⇔1230a OP b OP c OP ⋅+⋅+⋅=。
(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)5.若o 为三角形的旁心，则a →OA =b →OB +c →OC (abc 是三边)*已知O 为△ABC 的外心，求证：sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=．分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．2012AOB S x y =△，直线BC 的方程是32323()0y x x x y x y +--=，由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有03302020x y x y x y x y -+-<，得302303201()2BOC S x y x y x y x y =+--△． 直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301()2AOC S x y x y =-△． 于是，容易验证，0BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△， 又1||||sin 2BOC S OB OC BOC =△，1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1||||sin 2AOC S OA OC AOC =△， 又||||||OA OB OC ==， 则所证成立． 与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。
平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。