中考二次函数与几何图形综合技巧,九年级上册数学二次函数与几何图形综合同步练习题及答案解析
人教版数学九年级上册：专题训练 二次函数与几何图形综合(含答案)
专题训练二次函数与几何图形综合1．如图4－ZT－1，已知O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为(2，0)．(1)求点B的坐标；(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式．图4－ZT－12．如图4－ZT－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，且抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△MCB的面积．图4－ZT－23．[2019·云南模拟] 如图4－ZT－3，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，OB＝2OC且OC＝2.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标．(2)P为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点P使得S△ABP＝32S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－34．如图4－ZT－4，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B.(1)求抛物线的函数解析式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．图4－ZT－45．如图4－ZT－5，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，其横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值．图4－ZT－56．如图4－ZT－6所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx ＋c，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)，求抛物线的函数解析式．图4－ZT－67．如图4－ZT －7，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C (0，3)，OC OA ＝34.(1)求抛物线的解析式．(2)H 是线段AC 上任意一点(不与点A ，C 重合)，过点H 作直线HN ⊥x 轴于点N ，交抛物线于点P ，求线段PH 的最大值．(3)M 是抛物线上任意一点，连接CM ，以CM 为边作正方形CMEF ，是否存在点M ，使点E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT －7答案1．解：(1)在Rt △OAB 中，∵∠AOB ＝30°，∴AB ＝12OA ＝1.∴OB ＝ 3.过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，则BD ＝12OB ＝32，∴OD ＝32.∴点B 的坐标为(32，32)．(2)将A(2，0)，B(32，32)，O(0，0)三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，94a ＋32b ＋c ＝32，c ＝0，解方程组得⎩⎨⎧a ＝－2 33，b ＝4 33，c ＝0.∴所求二次函数的解析式为y ＝－2 33x 2＋4 33x. 2．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，(1，8)，(0，5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5.∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5. (2)令y ＝0，得－x 2＋4x ＋5＝0， 解得x 1＝5，x 2＝－1，∴B(5，0)． 由y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9， 得点M 的坐标为(2，9)． 过点M 作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB ＝S 梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12×(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15.3．解：(1)∵OC ＝2，OB ＝2OC ，∴B(4，0)，C(0，2)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.∴y ＝－12(x －32)2＋258.∴点D 的坐标为(32，258)．(2)存在．当y ＝0时，－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，则A(－1，0)．∴AB ＝5.设点P 的坐标为(x ，－12x 2＋32x ＋2)．∵S △ABP ＝32S △ABC ，∴12×5×|－12x 2＋32x ＋2|＝32×12×5×2，则|－12x 2＋32x ＋2|＝3. 解方程－12x 2＋32x ＋2＝3，得x 1＝1，x 2＝2，则P(1，3)或P(2，3)．解方程－12x 2＋32x ＋2＝－3，得x 1＝5，x 2＝－2(不合题意，舍去)，则P(5，－3)．综上，在y 轴右侧抛物线上存在点P 使得S △ABP ＝32S △ABC ，此时点P 的坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)．4．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋5x ＋n 经过点A(1，0)， ∴0＝－1＋5＋n.解得n ＝－4.则该抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋5x －4.(2)在y ＝－x 2＋5x －4中，当x ＝0时，y ＝－4，∴B(0，－4)． 由勾股定理得AB ＝12＋42＝17. 若AB ＝BP ，则P(0，17－4)； 若AB ＝AP ，则P(0，4)．综上，点P 的坐标为(0，17－4)或(0，4)． 5．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋3x ，则C ⎝⎛⎭⎫x ，－12x 2＋3x .如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，∴S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x.∴S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x. ∴S 关于x 的函数解析式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)． ∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.6．解：由已知点的坐标，可求得点C 的坐标为(5，4)． 把A(－2，0)，C(5，4)，D(0，4)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝4a －2b ＋c ，4＝25a ＋5b ＋c ，4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－27，b ＝107，c ＝4.∴抛物线的函数解析式为y ＝－27x 2＋107x ＋4.7．解：(1)∵C(0，3)，∴OC ＝3. ∵OC OA ＝34，∴OA ＝4.∴A(－4，0)． 把A(－4，0)，C(0，3)代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －8a ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－38x 2－34x ＋3.(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b. 把A(－4，0)，C(0，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴直线AC 的解析式为y ＝34x ＋3.设H(x ，34x ＋3)(－4<x<0)，则N(x ，0)，P(x ，－38x 2－34x ＋3)，∴PH ＝－38x 2－34x ＋3－(34x ＋3)＝－38(x ＋2)2＋32.∵－38<0，∴PH 有最大值．当x ＝－2时，PH 取最大值，最大值为32.(3)存在．如图，过点M 作MK ⊥y 轴于点K ，交对称轴于点G ，则∠MGE ＝∠CKM ＝90°，∴∠MEG ＋∠EMG ＝90°. ∵四边形CMEF 是正方形， ∴EM ＝MC ，∠EMC ＝90°. ∴∠EMG ＋∠CMK ＝90°. ∴∠MEG ＝∠CMK. 在△EMG 和△MCK 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEG ＝∠CMK ，∠MGE ＝∠CKM ，EM ＝MC ，∴△EMG ≌△MCK(AAS )．∴MG ＝CK. ∵y ＝－38x 2－34x ＋3＝－38(x ＋1)2＋278，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1. 设M(x ，－38x 2－34x ＋3)，则G(－1，－38x 2－34x ＋3)，K(0，－38x 2－34x ＋3)，∴MG ＝|x ＋1|，CK ＝⎪⎪⎪⎪－38x 2－34x ＋3－3＝⎪⎪⎪⎪－38x 2－34x ＝⎪⎪⎪⎪38x 2＋34x . ∴|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪38x 2＋34x . ∴38x 2＋34x ＝±(x ＋1)． 解得x 1＝－4，x 2＝－23，x 3＝－43，x 4＝2.将其代入抛物线解析式，得y 1＝0，y 2＝103，y 3＝103，y 4＝0. ∴点M 的坐标是(－4，0)或(－23，103)或(－43，103)或(2，0)．。
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
二次函数与几何综合题目背景07年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。
几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。
因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。
要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。
要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型分析题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。
（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。
解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。
要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。
（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。
解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。
1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。
2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》综合练习题【含答案】
《二次函数的图象和性质》同步练习题一、选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的为 ()A ．B ．C ．D ．31y x =-231y x =-22(1)y x x =+-323y x x =+-2．二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是2y ax bx c =++y ax c =+ ()A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点y kx b =+2y kx bx k =+-在第 象限．()A ．一B ．二C ．三D ．四4．抛物线的顶点坐标是 22(3)2y x =-+()A ．B ．C ．D ．(3,2)-(3,2)(3,2)--(3,2)-5．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<，则它的图象可能是 b c <()A ．B ．C ．D ．6．把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是2(2)y x =+ ()A ．B ．C ．D ．2(2)2y x =++2(1)2y x =+-22y x =+22y x =-7．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是 2y x =2(3)y x =+()A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．二次函数的图象可能是 22y x x =-+()A ．B ．C ．D ．9．若点，，都在抛物线上，则下1(1,)M y -2(1,)N y 37(,)2P y 2241(0)y mx mx m m =-+++>列结论正确的是 ()A ．B ．C ．D ．123y y y <<132y y y <<312y y y <<213y y y <<10．二次函数与轴交点坐标为 23(2)5y x =--y ()A ．B ．C ．D ．(0,2)(0,5)-(0,7)(0,3)二、填空题（共4小题）11．请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式： ．y (0,1)12．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 22()1y x k =-++2x - y x k ．13．抛物线的对称轴是 ．22247y x x =+-14．已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛2y ax bx c =++(0,2)A (4,2)B 0a >(,)P m n 物线上．若，则的取值范围是 ．2n >m 三、解答题（共6小题）15．已知抛物线．2246y x x =--（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．x (0)m m >m 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边ABC ∆90B ∠=︒12AB mm =24BC mm =P A向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以AB B 2/mm s B Q B BC C 的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少4/mm s C P Q A B 秒，四边形的面积最小．APQC17．已知二次函数．243(0)y ax ax b a =-++≠（1）求出二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表(1,3)a b 4||9a b <+<达式；（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，1(A x 1)y 2(B x 2)y 11t x t + 25x 均有，请结合图象，直接写出的取值范围．12y y t 18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．xOy 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B （1）求的值及、满足的关系式；c a b（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；A B a （3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出(1,)M m n -+(4,)N m n -一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．n 19．小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯->为正整数）的不等式的解法进行了探究．(n （1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：30x ->3y x =-的范围x 3x >3x <的符号y +-由表格可知不等式的解集为．30x ->3x >②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：(3)(1)0x x -->(3)(1)y x x =--的范围x 3x >13x <<1x <的符号y +-+由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)0x x -->③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)0x x x --+>(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数的图象补全下面的表格：(3)(1)(1)y x x x =--+的范围x 3x >13x <<11x -<<1x <-的符号y +- 由表格可知不等式的解集为 ．(3)(1)(1)0x x x --+>⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的1x 2x ⋯n x x 办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解y 集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为 ．(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>②不等式的解集为 ．2(9)(8)(7)0x x x --->20．函数是二次函数．223y mx mx m =--（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么 ；y(0,3)m（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．答案一、选择题（共10小题）1．解：、是一次函数，故错误；A 31y x =-A 、是二次函数，故正确；B 231y x =-B 、不含二次项，故错误；C 22(1)y x x =+-C 、是三次函数，故错误；D 323y x x =+-D 故选：．B 2．解：一次函数和二次函数都经过轴上的，y (0,)c 两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；∴y B C 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；0a >D 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；0a <A 故选：．A 3．解：一次函数的图象经过一、二、四象限，y kx b =+，，0k ∴<0b >△，2224()40b k k b k =--=+>抛物线与轴有两个交点，∴x、异号，k b 抛物线的对称轴在轴右侧，∴y 二次函数的顶点在第一象限．∴2y kx bx k =+-故选：．A 4．解：抛物线的顶点坐标是，22(3)2y x =-+(3,2)故选：．B 5．解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③， 2y ax bx c =++24b c a >0a b c -+<b c <由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，∴0a >240b ac ->x 0a <240b ac -<则抛物线与轴无交点；x 由②可知：当时，，1x =-0y <由③可知：，0b c -+>，必须，0a b c -+< ∴0a <符合条件的有、，∴C D 由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，C 02b x a=->0a <0b ∴>y ，则，0c <b c >由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，D 02b x a=-<0a <0b ∴<y ，则有可能，0c <b c <故满足条件的图象可能是，D 故选：．D 6．解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单2(2)y x =+(2,0)-位长度后抛物线的顶点坐标是，(1,2)--所以平移后抛物线的解析式为：2(1)2y x =+-故选：．B 7．解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，2y x =(0,0)2(3)y x =+(3,0)-点向左平移3个单位可得到，(0,0)(3,0)-将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．∴2y x =2(3)y x =+故选：．A 8．解：，，22y x x =-+ 0a <抛物线开口向下，、不正确，∴A C 又对称轴，而的对称轴是直线， 212x =-=-D 0x =只有符合要求．∴B 故选：．B 9．解：观察二次函数的图象可知：．132y y y <<故选：．B 10．解：23(2)5y x =-- 当时，，∴0x =7y =即二次函数与轴交点坐标为，23(2)5y x =--y (0,7)故选：．C 二、填空题（共4小题）11．解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，y (0,1)抛物线的解析式为．∴21y x =+故答案为．21y x =+12．解：，22()1y x k =-++对称轴为，∴x k =-，20a =-< 抛物线开口向下，∴在对称轴右侧随的增大而减小，∴y x 当时，随的增大而减小，2x - y x ，解得，2k ∴-- 2k 故．2k 13．解：抛物线的对称轴是：，22247y x x =+-24622x =-=-⨯故．6x =-14．解：依照题意，画出图形，如图所示．当时，或，2n >0m <4m >当时，若点均不在抛物线上，则．∴2n >(,)P m n 04m 故．04m三、解答题（共6小题）15．解：（1）2246y x x =--22(2)6x x =--，22(1)8x =--故该函数的顶点坐标为：；(1,8)-（2）当时，，0y =202(1)8x =--解得：，，11x =-23x =即图象与轴的交点坐标为：，，x (1,0)-(3,0)故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，x 即．3m =16．解：设经过秒，四边形的面积最小x APQC 由题意得，，，2AP x =4BQ x =则，122PB x =-的面积PBQ ∆12BQ PB =⨯⨯1(122)42x x =⨯-⨯，24(3)36x =--+当时，的面积的最大值是，3x s =PBQ ∆236mm此时四边形的面积最小．APQC 17．解：（1）二次函数图象的对称轴是；422a x a-=-=（2）该二次函数的图象经过点，(1,3)，433a a b ∴-++=，3b a ∴=把代入，3b a =4||9a b <+<得．43||9a a <+<当时，，则．0a >449a <<914a <<而为整数，a ，则，2a ∴=6b =二次函数的表达式为；∴2289y x x =-+当时，，则．0a <429a <-<922a -<<-而为整数，a 或，3a ∴=-4-则对应的或，9b =-12-二次函数的表达式为或；∴23126y x x =-+-24169y x x =-+-（3）当时，均有，25x 12y y 二次函数的对称轴是直线，243(0)y ax ax b a =-++≠2x =，12y y ①当时，有，即∴0a >12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，212222x x x ∴--- ，2124x x x ∴- ，25x ，241x ∴-- 该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y ∴115t t -⎧⎨+⎩ ．14t ∴- ②当时，，即0a <12|2||2|x x -- 12|2|2x x -- ，或，1222x x ∴-- 1222x x -- ，或12x x ∴ 124x x - ，25x ，241x ∴--该二次函数图象上的两点，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 设，当时，均有，11t x t + 25x 12y y 比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，t ∴2x 1t + 24x -故时，的值不存在，0a <t 综上，当时，．0a >14t - 18．解：（1）抛物线经过点和． 2(0)y ax bx c a =++>(0,3)A -(3,0)B ，∴3093c a b c-=⎧⎨=++⎩，．3c ∴=-310a b +-=（2）由1可得：，2(13)3y ax a x =+--对称轴为直线，132a x a -=-抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图： A B 0a >A即：，解得：，1302a a -- 13a．、两点间从左到右上升，103a ∴< A B 当时，抛物线在、两点间从左到右上升，∴103a < A B （3）抛物线不能同时经过点、．(1,)M m n -+(4,)N m n -理由如下：若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，(1,)M m n -+(4,)N m n -(1)(4)322m m x -++-==由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，A (3,3)-(3,0)B 故：抛物线不能同时经过点、(1,)M m n -+(4,)N m n -19．解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)0x x -->3x >1x <故或；3x >1x <③图象如右图所示，当时，，当时，，11x -<<(3)(1)(1)0x x x --+>1x <-(3)(1)(1)0x x x --+<由表格可知不等式的解集为或，(3)(1)(1)0x x x --+>3x >11x -<<故，，或；+-3x >11x -<<（2）①不等式的解集为或或，(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>6x >24x <<2x <-故或或；6x >24x <<2x <-②不等式的解集为或且，2(9)(8)(7)0x x x --->9x >8x <7x ≠故或且9x >8x <7x ≠20．解：（1）该函数的图象与轴交于点， y (0,3)把，代入解析式得：，∴0x =3y =33m -=解得，1m =-故答案为；1-（2）由（1）可知函数的解析式为，223y x x =-++，2223(1)4y x x x =-++=--+ 顶点坐标为；∴(1,4)列表如下：x 2-1-01234y5-034305-描点；画图如下：。
2021年人教版初中数学九年级上二次函数与几何综合专项练习
数学九年级（上）2021年人教版九年级上二次函数与几何综合专项练习1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为y轴左侧抛物线上一个动点，若S△PAB＝32，求此时P点的坐标．2．已知：如图，二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3．求点B 的坐标．3．如图，二次函数的图象经过A（﹣2，0）和B（2，0）两点，且交y轴于点C．（1）试确定b，c的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）判断△ABC的形状．4．已知：如图，在平面直角坐标系中，点P（m，m）（m＞0），过点P的直线AB与x 轴正半轴交于点A，与直线y＝x交于点B．（1）当m＝3且∠OAB＝90°时，求BP的长度；（2）若点A的坐标是（6，0），且AP＝2PB，求经过点P且以点B为顶点的抛物线的函数表达式．5．如图，抛物线y＝x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．（1）求点A、B、C的坐标．（2）求直线BD的解析式．（3）在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），该二次函数图象与直线y＝2x﹣3交于C、D两点，连接AD、BD．（1）b的值为，点D的坐标为；（直接写出结果）（2）点P是二次函数图象上的一点，连接AP、BP，若5S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标；（3）作直线BC，点M是直线BC下方二次函数图象上的一点，过点M作ME⊥BC于点E，作MF∥y轴交BC于点F，求△MEF周长的最大值．7．若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝|x1﹣x2|＝＝＝＝；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．8．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．9．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．11．如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB＝S△CAB，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）函数的表达式为：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12；（2）如图：S△PAB＝32＝×AB×|y P|＝×8×|y P|，解得：y P＝±8，将y P＝±8代入y＝x2﹣4x﹣12并解得：x＝2+2（舍去）或2﹣2或2（舍去）或2﹣2，故点P（2﹣2，8）或（2，﹣8）．2．解：（1）如图，∵二次函数y＝x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于原点0＝O，∴k+1＝0，解得，k＝﹣1，故该二次函数的解析式是：y＝x2﹣3x．（2）∵△AOB是锐角三角形，∴点B在第四象限．设B（x，y）（x＞1.5，y＜0）．令x2﹣3x＝0，即（x﹣3）x＝0，解得x＝3或x＝0，则点A（3，0），故OA＝3．∵锐角△AOB的面积等于3．∴OA•|y|＝3，即×3|y|＝3，解得，y＝﹣2．又∵点B在二次函数图象上，∴﹣2＝x2﹣3x，解得x＝2或x＝1（舍去）．故点B的坐标是（2，﹣2）．3．解：（1）∵如图，二次函数的图象经过A（﹣2，0）和B（2，0）两点，∴，解得，，故b、c的值分别是0，﹣2；（2）∵﹣＝＝0，＝＝﹣2，∴该函数的顶点坐标是（0，﹣2）；（3）∵c＝﹣2，点C位于y轴上，∴C（0，﹣2）．又∵A（﹣2，0）和B（2，0），∴AC＝BC＝2，∴△ABC是等腰三角形．4．解：（1）由题意得：OA＝m＝3，将x＝3代入y＝x，可得：y＝9，故：点B的坐标（3，9），∴BP＝6；（2）过点B作BC⊥OA于点C，过点P作PD⊥OA，由题意得：∠BOC＝60°，∵PD∥BC，∴CD：DA＝BP：PA＝1：2，PD：BC＝PA：PB＝2：3，∵PD＝m，OD＝m，∴BC＝m，在Rt△OBC中，OC＝m，∴CD＝m，AD＝m，∴OA＝m+m+m＝6，解得：m＝，∴点B（，），P（3，），故抛物线表达式为：y＝a（x﹣）2+，将点P坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+．5．解：（1）解方程，得x1＝﹣1，x2＝4，∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）．当x＝0时，y＝﹣2，∴C点坐标为（0，﹣2）．（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴D点坐标为（0，2）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BD的解析式为．（3）如图，作PE∥y轴交BD于E，设P（m，m2﹣m﹣2），则E（m，﹣m+2）∴PE＝﹣m+2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+m+4，∴S△PBD＝•PE•（x B﹣x D）＝×（﹣m2+m+4）×4＝﹣m2+2m+8＝﹣（m﹣1）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝1时，△PBD的面积最大，面积的最大值为9．∴P（1，﹣3）．6．解：（1）把点B坐标代入二次函数表达式得：9+3b﹣3＝0，解得：b＝﹣2，则：二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，将二次函数表达式与直线表达式联立得：，解得：x＝0或4（舍去x＝0），则：D点坐标为（4，5），故：答案是：﹣2，（4，5）；（2）设点P的纵坐标为y P，∵5S△ABP＝4S△ABD，∴5×AB×|y P|＝4×AB×5．解得：y P＝±4．∵二次函数关系式为y＝x2﹣2x﹣3．当y＝4时，4＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1，∴P（1+2，4）或（1﹣2，4），当y＝﹣4时，﹣4＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1，∴P点的坐标为：（1，﹣4），综合知，点P的坐标为（1+2）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）．（3）如图，延长MF交x轴于点H，则MH⊥x轴，∵B（3，0），∴OB＝3．在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3．∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OB＝OC，又∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°．∵∠BHF＝∠MEF＝90°，∠HFB＝∠MFE，∴△MEF∽△BHF，∴∠M＝∠OBC＝45°，∴△MEF是等腰直角三角形，∴△MEF的周长为：MF+EF+EM＝MF++＝（1+）MF，设：点M坐标为：（t，t2﹣2t﹣3），由B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的函数关系式为：y＝x﹣3．∴F（t，t﹣3），∴MF＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当t＝时，MF取最大值，最大值为，∴△MEF周长的最大值为（1+）×＝+．7．解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|＝b2﹣4ac．∵a＞0，∴AB＝，又∵CE＝||＝，∴，∴，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＝4；（2）当△ABC为等边三角形时，由（1）可知CE＝，∴，∵b2﹣4ac＞0，∴＝，∴b2﹣4ac＝12．8．解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．9．（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PC max＝，答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．10．解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解之得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．11．解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（2）如图1，连接OA，∴S△CAB＝S△OCB+S△AOC﹣S△AOB＝×3×1+×3×4﹣×3×3＝1.5+6﹣4.5＝3；（3）如图2，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），S△PAB＝S△OBP+S△AOP﹣S△AOB＝•3x+•3（﹣x2+2x+3）﹣×3×3＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣3x+﹣）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，△PAB的面积最大，此时P（，）；（4）分两种情况：①当Q在AB的上方时，如图3，过点C作CD∥AB，交抛物线于Q，连接QB，QA，此时S＝S△QAB，△ACB设CD的解析式为：y＝﹣x+m，把C（1，4）代入得：4＝﹣1+m，∴m＝5，∴﹣x2+2x+3＝﹣x+5，解得：x1＝1，x2＝2，∴Q（2，3）；当Q与C重合时，Q（1，4）；②当Q在AB的下方时，由①知：直线CD与y轴的交点为（0，5），即直线AB向上平移2个单位，∴将直线AB向下平移2个单位得到y＝﹣x+1，∴﹣x2+2x+3＝﹣x+1，解得：x1＝，x2＝，∴Q（，）或（，）．综上，点Q的坐标是（2，3）或（1，4）或（，）或（，）．。
人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习(包含答案解析)
人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习一．选择题（共15小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+ 2．开口向上，顶点坐标为（﹣9，3）的抛物线为（）A．y＝2（x﹣9）2﹣3B．y＝2（x+9）2+3C．y＝﹣2（x﹣9）2﹣3D．y＝﹣2（x+9）2+33．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大4．已知抛物线y＝x2，则以下错误的是（）A．开口向上B．顶点是（0，0）C．对称轴是直线x＝0D．当x＝0时有y最大值为05．若函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．26．函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．7．在二次函数y＝x2﹣3x﹣2的图象上的点是（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣1，3）8．抛物线y＝4x2﹣4的顶点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（0，4）D．（4，0）9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四10．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣411．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣312．在函数①y＝3x2；②y＝x2+1；③y＝﹣x2﹣3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③13．如图，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．14．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．15．已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定二．填空题（共8小题）16．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为．17．将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为．18．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．19．抛物线y＝﹣2x2的开口向，对称轴是，顶点是．20．函数y＝﹣x2+2x的图象是一条，开口向，对称轴是，顶点坐标为．21．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a0，b0，c0，b2﹣4ac0，a+b+c0，a﹣b+c0．22．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点A（a，b）在第象限．三．解答题（共7小题）24．已知二次函数当x＝3时，函数有最大值﹣1，且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求该二次函数的关系式．25．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．26．已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．27．已知抛物线经过三个点A（2，6），B（﹣1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是？它的顶点坐标是？28．已知抛物线y＝ax2经过（﹣1，4），且与直线y＝ax+8交于点A，B．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积．29．填表并解答下列问题：（1）填表后发现：当x从﹣1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16．（2）请你编拟一个二次项系数是1的二次函数，使得当x＝4时，函数值为16．编拟的函数表达式是什么？30．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当K为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增加而减小？人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+【解答】解：A、是一次函数，错误；B、最高次是3次，故错误；C、符合二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c，正确；D、不是有关自变量的整式，故错误．故选：C．2．开口向上，顶点坐标为（﹣9，3）的抛物线为（）A．y＝2（x﹣9）2﹣3B．y＝2（x+9）2+3C．y＝﹣2（x﹣9）2﹣3D．y＝﹣2（x+9）2+3【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（﹣9，3），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+9）2+3，∵抛物线开口向上，∴a＞0，故选：B．3．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1中，a＝2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；B、∵二次函数的解析式是y＝2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x＝3，故本选项错误；C、∵由函数解析式可知其顶点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确；D、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选：C．4．已知抛物线y＝x2，则以下错误的是（）A．开口向上B．顶点是（0，0）C．对称轴是直线x＝0D．当x＝0时有y最大值为0【解答】解：由抛物线y＝x2可知，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），故对称轴为直线x＝0，当x＝0时，y有最小值0，选项D错误，故选D．5．若函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2【解答】解：∵函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故选：B．6．函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：观察抛物线的图象可知a＞0，∴在直线y＝ax﹣a中，a＞0，﹣a＜0，直线经过一、三、四象限，故选B．7．在二次函数y＝x2﹣3x﹣2的图象上的点是（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣1，3）【解答】解：A、x＝1时，y＝1﹣3﹣2＝﹣4，不符合；B、x＝0时，y＝﹣2，不符合；C、x＝2时，y＝4﹣6﹣2＝﹣4，满足；D、x＝﹣1时，y＝1+3﹣2＝2，不符合；故选：C．8．抛物线y＝4x2﹣4的顶点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（0，4）D．（4，0）【解答】解：因为y＝4x2﹣4为抛物线解析式的顶点式，所以根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（0，﹣4）．故选：A．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，c＞0，则a＞0，＜0，因此P（a，）位于第四象限．故选：D．10．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．11．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣3【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，3）．）可设新抛物线的解析式为：y＝4（x﹣h）2+k，代入得：y＝4（x+2）2+3．故选：A．12．在函数①y＝3x2；②y＝x2+1；③y＝﹣x2﹣3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③【解答】解：∵抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．∴开口大小按题号顺序表示为②＞③＞①．故选：C．13．如图，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，错误；B、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；C、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，b＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，正确．D、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选：C．14．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．故选：B．15．已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【解答】解：∵对称轴为x＝﹣＝1，∴点（，y1）的对称点的横坐标为，即称点坐标为（，y2），∴y1＝y2．故选：B．二．填空题（共8小题）16．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．【解答】解：设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，解得．所以此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+，故答案为：y＝﹣x2﹣x+．17．将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为y＝5（x+5）2+3．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位得到y＝5（x+5）2+3．故答案为：y＝5（x+5）2+3．18．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，∴k2﹣ak+2＝2，则k2﹣ak＝0，故k的值一定是0．故答案为：0．19．抛物线y＝﹣2x2的开口向向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2中，a＝﹣2＜0，b＝c＝0，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，0）．故答案为：向下，y轴，（0，0）．20．函数y＝﹣x2+2x的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，1）．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴x＝＝1，顶点坐标为（＝1，＝1），即（1，1）．∴函数y＝﹣x2+2x的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，1）．21．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a＞0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac ＞0，a+b+c＞0，a﹣b+c＜0．【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＜0，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0；（2）∵抛物线与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＞0，（3）∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0；（4）∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；故答案为＞、＞、＜；＞；＞；＜．22．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为y1＜y3＜y2．【解答】解：x＝﹣1时，y1＝3×（﹣1）2+6×（﹣1）+12＝3﹣6+12＝9，x＝﹣3时，y2＝3×（﹣3）2+6×（﹣3）+12＝27﹣18+12＝21，x＝时，y3＝3×（）2+6×+12＝0.75+3+12＝15.75，所以，y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点A（a，b）在第二象限．【解答】解：由图象开口向下，∴a＜0，根据对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∴点A（a，b）在第二象限，故答案为：二．三．解答题（共7小题）24．已知二次函数当x＝3时，函数有最大值﹣1，且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求该二次函数的关系式．【解答】解：根据题意可知顶点坐标为（3，﹣1），设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣1，把点（0，﹣4）代入，得﹣4＝a（﹣3）2﹣1，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）2﹣1．25．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，4），代入抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），得：y＝a（x﹣1）2+4，∵该抛物线又过点（﹣1，0），∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．26．已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣x）+2＝﹣（x﹣）2+，∴开口向下，顶点坐标为（，），对称轴为直线x＝；（2）图象如图：（3）根据图象可知：x＜﹣1或x＞2时，y＜0；﹣1＜x＜2时，y＞0．27．已知抛物线经过三个点A（2，6），B（﹣1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是？它的顶点坐标是？【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得．所以二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的顶点坐标为（1，8）．28．已知抛物线y＝ax2经过（﹣1，4），且与直线y＝ax+8交于点A，B．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入y＝ax2得：a＝4，∴直线的解析式为y＝4x+8，抛物线的解析式为y＝4x2；（2）由题意知，联立y＝4x+8及y＝4x2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，y1＝16，y2＝4，∴A（2，16），B（﹣1，4），如图所示，作BD垂直于x轴于点D，作AE垂直于x轴于点E，∴S△AOB＝S梯形ABDE﹣S△ODB﹣S△AOE＝×（4+16）×3﹣×1×4﹣×2×16＝12．29．填表并解答下列问题：（1）填表后发现：当x从﹣1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16．（2）请你编拟一个二次项系数是1的二次函数，使得当x＝4时，函数值为16．编拟的函数表达式是什么？【解答】解：填表．故答案为：1，3，5，7；1，0，1，4；（1）由于在第一象限内，两个函数都是y随x的增大而增大，当y＝16时，函数y1＝2x+3中的x＝6.5，函数y2＝x2中的x＝4，故函数y2＝x2值先到达16；（2）如：y3＝（x﹣4）2+16．30．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当K为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增加而减小？【解答】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，∴k满足k2﹣4k+5＝2，且k﹣2≠0，∴解得：k1＝1，k2＝3；（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，∴k＝1，∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．（3）∵函数有最小值，∴图象开口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第六节 二次函数与几何综合题
(2) 存在，取点 B 关于 y 轴的对称点 B′，则点 B′的坐标为(－1，0)，
连接 B′D，直线 B′D 与 y 轴的交点 G，即为所求的点.
∵y＝－12x2＋52x－2＝－12x－252＋98， ∴顶点 D52，98，
99 故易求得直线 B′D 的解析式为 y＝28x＋28，
当
x＝0
9 时，y＝28，∴点
1
1
∴S△AOB＝ S△AOC＋ S△ABC＝2AC·xC＋2AC·(xB－xC)＝10.
方法二：补全法
解：过点 B 作平行于 y 轴的直线 DC，过点 A 作平行于 x 轴的直线 AD，两
直线相交于点 D，且直线 DC 交 x 轴于点 C.由题意得
D(6，4)，C(6，0).
∴S ＝ S － S － S △AOB
梯形 AOCD
△ADB
△BOC
＝10.
4.如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(2，0)，与 y 轴 交于点 C(0，4)，点 P 是第一象限内抛物线上的一点.
(1)该抛物线所对应的函数解析式为 y＝y－＝2x－2＋22x2＋2x＋x 4；
(2)若△PAB 的面积为 6，则点 P 的坐标＋为(41(1，，44)；
t＋t＋34 .
10．如图②，若点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQ⊥y
轴交直线 BC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，则 PQ 的长用 t 表示为 －t－2＋t32t＋(1 ≤t≤3)．
3t(1≤t≤3)
(注：三阶 考向设问练；四阶 综合攻关练见本书“重难点突破九 ”)
类型三：二ห้องสมุดไป่ตู้函数与特殊三角形问题 考向 1：与等腰三角形有关的问题
人教版数学九年级上册 二次函数与几何图形 综合练习题
二次函数与几何图形综合练习题1．如图，直线l过A(3，0)和B(0，3)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的解析式．2．如图，在直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2的图象过C点．求抛物线的解析式．3．如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．4．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0), 直线y＝－x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D，过点D作DC⊥x轴于点C.(1)求二次函数的解析式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为P，交BD于点M，求MN的最大值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(－1，8)并与x轴交于A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，交y轴于点D(0，3)，其对称轴为直线x＝4，点C为对称轴上一点，四边形ABCD为平行四边形，求抛物线的解析式．7．如图是函数y＝23x2的图象，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，则菱形A n－1B n A n C n的周长为____．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是____．9．如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y ＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．10．如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．11．如图①，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)若图①中点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等；(不要求证明)(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明；②在如图②的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．。
九年级 二次函数与几何图形综合
二次函数与几何图形综合类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．1．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．2．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－12x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．3．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．4．如图，已知抛物线y＝28(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．5．如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．6．如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3.(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y＝4 5 x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值．8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．9.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.参考答案1.(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴⎩⎨⎧c ＝3，0＝a －2＋c.解得⎩⎨⎧a ＝－1，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE＝2，DE ＝4.∴BD ＝BE 2＋DE 2＝2 5.2.(1)∵二次函数y ＝－x 2＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴⎩⎨⎧4＝－1－m ＋n ，0＝－1＋m ＋n.解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)∵y＝－12x ＋b 经过点B ，∴－12×1＋b ＝0.解得b ＝12.∴y ＝－12x ＋12.设M(m ，－12m ＋12)，则N(m ，－m 2－2m ＋3)，∴MN ＝－m 2－2m ＋3－(－12m ＋12)＝－m 2－32m ＋52＝－(m ＋34)2＋4916.∴MN的最大值为4916. 3.(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx －2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得⎩⎨⎧16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52.∴此抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋52x －2.(2)设D 点的横坐标为t(0<t<4)，则D 点的纵坐标为－12t 2＋52t －2.过D 作y 轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC 的解析式为y ＝12x －2.∴E 点的坐标为(t ，12t －2)．∴DE＝－12t 2＋52t －2－(12t －2)＝－12t 2＋2t.∴S △DCA ＝12×(－12t 2＋2t)×4＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4.∴当t ＝2时，△DCA 面积最大．∴D(2，1)． 4.(1)令y ＝0，得28(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4；令x ＝0，得y ＝－2.∴A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－2)．(2)过点A(－2，0)作y 轴的平行线l ，则点B 关于l 的对称点B′(－8，0)，又M(1，－982)，连接B′M 与l 的交点即为使MN ＋BN 值最小的点．设直线B′M 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧0＝－8k ＋b ，－982＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－18 2.b ＝－ 2.∴y ＝－182x － 2.∴当x ＝－2时，n ＝－342. 5.(1)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，解得m ＝4.(2)∵m＝4，∴y ＝－14(x ＋2)(x －4)．令y ＝0，－14(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.则A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线l ：x ＝－2＋42＝1.令x ＝0，则y ＝2，所以C(0，2)．∵B 点与A 点关于对称轴对称，∴连接BC ，BC 与直线l 的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC 所在直线为y ＝－12x ＋2.当x ＝1时，y ＝32，∴H(1，32)．6.(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得⎩⎨⎧c ＝3，－2－2b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧b ＝12，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋3. (2)连接AD ，交对称轴于点P ，则P 为所求的点．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.由已知得⎩⎨⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎨⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54.∴P(12，54)．7.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧20＋5b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧b ＝－245，c ＝4.故二次函数的表达式为y ＝45x 2－245x ＋4.(2)延长EC 至E′，使E′C＝EC ，延长DA 至D′，使D′A＝DA ，连接D′E′，交x 轴于F点，交y 轴于G 点，GD ＝GD′，EF ＝E′F，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D′E′＋DE ，由E(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE ＝22＋12＝5，D ′E ′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D′E′＋DE ＝313＋ 5.8.(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3.∴y ＝x 2－2x －3.(2)∵点E(2，m)在抛物线上，∴m ＝4－4－3＝－3.∴E(2，－3)∴BE＝（3－2）2＋（0＋3）2＝10.∵点F 是AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，H 是AB 中点，∴FH ＝12BE ＝102.9、.(1)∵函数的图象与x 轴相交于O ，∴0=k+1，∴k=-1，∴二次函数的解析式为y=x 2-3x. (2)假设存在点B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D.∵△AOB 的面积等于6，∴21AO ·BD=6.当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.∴AO=3.∴BD=4，即4=x 2-3x.解得x=4或x=-1(舍去). 又∵顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点.∴点B 的坐标为(4，4). (3)∵点B 的坐标为(4，4)，∴∠BOD=45°，BO=2244+=42. 当∠POB=90°时，∠POD=45°.设P 点横坐标为x ，则纵坐标为x 2-3x ，即-x=x 2-3x.解得x=2或x=0. ∴在抛物线上仅存在一点P(2，-2).∴OP=2222+=22. ∴△POB 的面积为：21PO ·BO=21×22×42=8.。
(全国通用)中考数学难点攻克：二次函数与几何图形综合解析及对应练习
中考数学重难点突破---二次函数几何图形综合解析与练习类型一 二次函数与图形判定【例1】如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋2交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．(3)若存在点P ，使∠PCF ＝45°，请直接写出相应的点P 的坐标．解：(1)在直线解析式y ＝12x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，∴C(0，2)． ∵点C(0，2)、D(3，72)在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－9＋3b ＋c ＝72，解得b ＝72，c ＝2， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2＋72x ＋2；(2)设P 点坐标为(m ，－m 2＋72m ＋2)，F(m ，12m ＋2)∵PF ∥CO ，四边形为平行四边形，∴PF ＝CO ， ∴y P －y F ＝±(y c －y o )， ∴－m 2＋3m ＝2或－2， ∴m ＝1或2或3＋172或3－172(舍)，∴当m ＝1或2或3＋172时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形． (3) 存在．理由：设点P 的横坐标为m ，则P(m ，－m 2＋72m ＋2)， F(m ，12m ＋2)．如解图，过点C 作CM ⊥PE 于点M ，则CM ＝m ，EM ＝2， ∴FM ＝y F －y M ＝12m ， ∴tan ∠CFM ＝2.在Rt △CFM 中，由勾股定理得：CF ＝52m. 过点P 作PN ⊥CD 于点N ，则PN ＝FN·tan ∠PFN ＝FN·tan ∠CFM ＝2FN. ∵∠PCF ＝45°，∴PN ＝CN ，而PN ＝2FN ，∴FN ＝CF ＝52m ，PN ＝2FN ＝5m ， 在Rt △PFN 中，由勾股定理得：PF ＝FN 2＋PN 2＝52m.∵PF ＝y P －y F ＝(－m 2＋72m ＋2)－(12m ＋2)＝－m 2＋3m ，∴－m 2＋3m ＝52m ， 整理得：m 2－12m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝12，∴P(12，72)； 同理求得，另一点为P(236，1318)．∴符合条件的点P 的坐标为(12，72)或(236，1318)．【例2】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －2的对称轴是直线x ＝1，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(－2，0)，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E. (1)求抛物线解析式；(2)若点P 在第一象限内，当OD ＝4PE 时，求四边形POBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2的对称轴是直线x ＝1，A(－2，0)在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1（－2）2a －2b －2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－12，抛物线的解析式为y ＝14x 2－12x －2；(2)令y ＝14x 2－12x －2＝0，解得：x 1＝－2，x 2＝4，当x ＝0时，y ＝－2，∴B(4，0)，C(0，－2)，设BC 的解析式为y ＝kx ＋c ，则⎩⎨⎧4k ＋c ＝0c ＝－2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12c ＝－2，∴直线BC 的解析式为y＝12x －2，设D(m ，0)，∵DP ∥y 轴，∴E(m ，12m －2)，P(m ，14m 2－12m －2)，∵OD ＝4PE ，∴m ＝4(14m 2－12m －2－12m ＋2)，∴m ＝5或m ＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5，74)，E(5，12)， ∴S 四边形POBE ＝S △OPD －S △EBD ＝12×5×74－12×1×12＝338； (3)存在，设M(n ，12n －2)，①以BD 为对角线，如解图①，∵四边形BNDM 是菱形，∴MN 垂直平分BD ，∴n ＝4＋52，∴M(92，14)， ∵M ，N 关于x 轴对称，∴N(92，－14)；②以BD 为边，如解图②，∵四边形BNMD 是菱形，∴MN ∥BD ，MN ＝BD ＝MD ＝1， 过M 作MH ⊥x 轴于H ，∴MH 2＋DH 2＝DM 2，即(12n －2)2＋(n －5)2＝12，∴n 1＝4(不合题意)，n 2＝285，∴N(235，45)， 同理(12n －2)2＋(4－n)2＝1，∴n 1＝4＋255(不合题意，舍去)，n 2＝4－255， ∴N(5－255，－55)，③以BD 为边，如解图③，过M 作MH ⊥x 轴于H ， ∴MH 2＋BH 2＝BM 2，即(12n －2)2＋(n －4)2＝12，∴n 1＝4＋255，n 2＝4－254(不合题意，舍去)，∴N(5＋255，55)，综上所述，当N(92，－14)或(235，45)或(5－255，－55)或(5＋255，55)时，以点B ，D ，M ，N为顶点的四边形是菱形.【对应训练】1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，－1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D.(1)求该抛物线的解析式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．类型二 二次函数与图形面积【例3】如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ； (1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC ＝23S △ABD ？若存在请直接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)，B (4，0)， ∴⎩⎨⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；(2)由题意可知C (0，2)，A (－1，0)，B (4，0)，∴AB ＝5，OC ＝2， ∴S △ABC ＝12AB ·OC ＝12×5×2＝5，∵S △ABC ＝23S △ABD ，∴S △ABD ＝32×5＝152，设D (x ，y )，∴12AB ·|y |＝12×5|y |＝152，解得|y |＝3，当y ＝3时，由－12x 2＋32x ＋2＝3，解得x ＝1或x ＝2，此时D 点坐标为(1，3)或(2，3)；当y ＝－3时，由－12x 2＋32x ＋2＝－3，解得x ＝－2(舍去)或x ＝5，此时D 点坐标为(5，－3)；综上可知存在满足条件的点D ，其坐标为(1，3)或(2，3)或(5，－3)；(3)∵AO ＝1，OC ＝2，OB ＝4，AB ＝5，∴AC ＝12＋22＝5，BC ＝22＋42＝25，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如解图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC ＝45°，∴∠CFB ＝45°，∴CF ＝BC ＝25，∴AO OM ＝AC CF ，即1OM ＝525，解得OM ＝2，OC FM ＝AC AF ，即2FM ＝535，解得FM ＝6，∴F (2，6)，且B (4，0)，设直线BE 解析式为y ＝kx ＋m ，则可得⎩⎨⎧2k ＋m ＝64k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－3m ＝12，∴直线BE 解析式为y ＝－3x ＋12，联立直线BE 和抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋12y ＝－12x 2＋32x ＋2，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝0或⎩⎨⎧x ＝5y ＝－3，∴E (5，－3)，∴BE ＝（5－4）2＋（－3）2＝10.【对应训练】2．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点B (－2，0)，点C (8，0)，与y 轴交于点A .(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的表达式；(2)连接AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求N 点的坐标； (3)连接OM ，在(2)的结论下，求OM 与AC 的数量关系．类型三二次函数与线段问题【例4】如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为(0，6)、(－4，0)，连接PD、PE、DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．解：(1)∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，∴C (0，8)，A (－8，0)，设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋c ，则⎩⎨⎧c ＝864a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18c ＝8，∴抛物线的解析式为：y ＝－18x 2＋8； (2)正确．理由：设P (a ，－18a 2＋8)，则F (a ，8)， ∵D (0，6)，∴PD ＝a 2＋（18a 2－2）2＝（18a 2＋2）2＝18a 2＋2，PF ＝8－(－18a 2＋8)＝18a 2，∴PD －PF ＝2； (3)好点共11个；在点P 运动时，DE 的大小不变，∴PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小，∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小，此时，点P，E的横坐标为－4，将x＝－4代入y＝－18x2＋8，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰好为“好点”，∴△PDE周长最小时点P的坐标为(－4，6)．△PDE的面积S＝－14x2－3x＋4＝－14(x＋6)2＋13.由于－8≤x≤0，可得4≤S≤13，所以S的整数值为10个，由图象可知，当S＝12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个．【对应训练】3．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b、c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．类型四二次函数与三角形相似【例5】如图，直线y＝－23x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－43x2＋bx＋c经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．解：(1)∵y ＝－23x ＋c 与x 轴交于点A (3，0)，与y 轴交于点B ， ∴0＝－2＋c ，解得c ＝2，∴B (0，2)， ∵抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ， ∴⎩⎨⎧－12＋3b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝103c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋103x ＋2； (2)①由(1)可知直线解析式为y ＝－23x ＋2，∵M (m ，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ，∴P (m ，－23m ＋2)，N (m ，－43m 2＋103m ＋2)，∴PM ＝－23m ＋2，AM ＝3－m ，PN ＝－43m 2＋103m ＋2－(－23m ＋2)＝－43m 2＋4m ， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN ＝∠APM ， ∴∠BNP ＝∠AMP ＝90°或∠NBP ＝∠AMP ＝90°，当∠BNP ＝90°时，则有BN ⊥MN ，∴BN ＝OM ＝m ，∴BN AM ＝PN PM ，即m 3－m＝－43m 2＋4m－23m ＋2，解得m ＝0(舍去)或m ＝2.5，∴M (2.5，0)；当∠NBP ＝90°时，则有PN P A ＝BPMP ， ∵A (3，0)，B (0，2)，P (m ，－23m ＋2)， ∴BP ＝m 2＋（－23m ＋2－2）2＝133m ，AP ＝（m －3）2＋（－23m ＋2）2＝133(3－m )，∴－43m 2＋4m133（3－m ）＝33m －23m ＋2，解得m ＝0(舍去)或m ＝118，∴M (118，0)；综上可知当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5，0)或(118，0)；②由①可知M (m ，0)，P (m ，－23m ＋2)， N (m ，－43m 2＋103m ＋2)， ∵M ，P ，N 三点为“共谐点”，∴P 为线段MN 的中点或M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，当P 为线段MN 的中点时，则有2(－23m ＋2)＝－43m 2＋103m ＋2，解得m ＝3(三点重合，舍去)或m ＝12；当M 为线段PN 的中点时，则有－23m ＋2＋(－43m 2＋103m ＋2)＝0，解得m ＝3(舍去)或m ＝－1； 当N 为线段PM 的中点时，则有－23m ＋2＝2(－43m 2＋103m ＋2)，解得m ＝3(舍去)或m ＝－14；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时，m的值为12或－1或－14.【对应训练】5．如图，抛物线y＝－12x2＋32x＋2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．对应训练答案1.解：(1)∵抛物线的顶点为Q (2，－1)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2－1， 将C (0，3)代入上式，得：3＝a (0－2)2－1，a ＝1； ∴y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3； (2)分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y ＝0，得x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3； ∵点A 在点B 的右边，∴B (1，0)，A (3，0)；∴P 1(1，0)；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时；∵OA ＝OC ，∠AOC ＝90°，∴∠OAD 2＝45°；当∠D 2AP 2＝90°时，∠OAP 2＝45°，∴AO 平分∠D 2AP 2；又∵P 2D 2∥y 轴，∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k≠0)．将A(3，0)，C(0，3)代入上式得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝3；∴y＝－x ＋3；设D 2(x ，－x ＋3)，P 2(x ，x 2－4x ＋3)，则有：(－x ＋3)＋(x 2－4x ＋3)＝0，即x 2－5x ＋6＝0； 解得x 1＝2，x 2＝3(舍去)；∴当x ＝2时，y ＝x 2－4x ＋3＝22－4×2＋3＝－1； ∴P 2的坐标为P 2(2，－1)(即为抛物线顶点)． ∴P 点坐标为P 1(1，0)，P 2(2，－1)；(3)由(2)知，当P 点的坐标为P 1(1，0)时，不能构成平行四边形；当点P 的坐标为P 2(2，－1)(即顶点Q)时，平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ；∵P(2，－1)，∴可设F(x ，1)；∴x 2－4x ＋3＝1，解得x 1＝2－2，x 2＝2＋2；∴符合条件的F 点有两个，即F 1(2－2，1)，F 2(2＋2，1).2. 解：(1)将点B ，点C 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋4可得⎩⎨⎧4a －2b ＋4＝064a ＋8b ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14b ＝32，∴二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4；(2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)，∵B (－2，0)， C (8，0)，则BN ＝n ＋2，CN ＝8－n .∴BC ＝10，在y ＝－14x 2＋32x ＋4中令x ＝0，可解得y ＝4， ∴点A (0，4)，OA ＝4，∴S △ABN ＝12BN ·OA ＝12(n ＋2)×4＝2(n ＋2)， ∵MN ∥AC ，∴AM AB ＝NC BC ＝8－n 10，∴S △AMN S △ABN ＝AM AB ＝8－n 10，∴S △AMN ＝8－n 10S △ABN ＝15(8－n )(n ＋2)＝－15(n －3)2＋5， ∵－15＜0，∴当n ＝3时，即N (3，0)时，△AMN 的面积最大； (3)当N (3，0)时，N 为BC 边中点，∵MN ∥AC ，∴M 为AB 边中点，∴OM ＝12AB ，∵AB ＝OA 2＋OB 2＝16＋4＝25，AC ＝OC 2＋OA 2＝64＋16＝45，∴AB ＝12AC ，∴OM ＝14AC .3.解：(1)∵抛物线的顶点C 的坐标为(1，4)， ∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋4，∵点B (3，0)在该抛物线的图象上，∴0＝a (3－1)2＋4，解得a ＝－1， ∴抛物线解析式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3， ∵点D 在y 轴上，令x ＝0可得y ＝3， ∴D 点坐标为(0，3)，∴可设直线BD 解析式为y ＝kx ＋3，把B 点坐标代入可得3k ＋3＝0，解得k ＝－1， ∴直线BD 解析式为y ＝－x ＋3；(2)设P 点横坐标为m (m ＞0)，则P (m ，－m ＋3)，M (m ，－m 2＋2m ＋3)， ∴PM ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ＝－(m －32)2＋94， ∴当m ＝32时，PM 有最大值94；(3)如解图，过Q 作QG ∥y 轴交BD 于点G ，交x 轴于点E ，作QH ⊥BD 于H ，设Q(x，－x2＋2x＋3)，则G(x，－x＋3)，∴QG＝|－x2＋2x＋3－(－x＋3)|＝|－x2＋3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，当△BDQ中BD边上的高为22时，即QH＝HG＝22，∴QG＝2×22＝4，∴|－x2＋3x|＝4，当－x2＋3x＝4时，b2－4ac＝9－16＜0，方程无实数根，当－x2＋3x＝－4时，解得x＝－1或x＝4，∴Q(－1，0)或(4，－5)，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为(－1，0)或(4，－5)4.解：(1)∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为x＝1.∴－b2＝1，b＝－2.∵OB＝OC，C(0，c)，∴B点的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3；(2)设点F的坐标为(0，m)．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)．由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)，∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)；(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则P A＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN ＝S△APM，∴12(n＋1)(3－n)＝12(－n2＋2n＋3)·QR，∴QR＝1.①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝32时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(12，－154)；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2，∴n＝12时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(32，－154)．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为(12，－154)或(32，－154).5.解：(1)当y＝0时，0＝－12x2＋32x＋2，解得：x1＝－1，x2＝4，则A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝2，故C (0，2)；(2)①如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，∵将△ABC 绕AB 中点M 旋转180°，得到△BAD ，∴DE ＝2，AO ＝BE ＝1，OM ＝ME ＝1.5，∴D (3，－2)；②∵将△ABC 绕AB 中点M 旋转180°，得到△BAD ，∴AC ＝BD ，AD ＝BC ， ∴四边形ADBC 是平行四边形，∵AC ＝12＋22＝5，BC ＝22＋42＝25，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴四边形ADBC 是矩形；(3)由题意可得：BD ＝5，AD ＝25，则BD AD ＝12，当△BMP ∽△ADB 时，MP BM ＝BD AD ＝12，∵AB ＝5，∴BM ＝2.5，则PM ＝1.25，故P (1.5，1.25)，当△BMP 1∽△ADB 时，P 1(1.5，－1.25)，当△BMP2∽△BDA时，可得：P2(1.5，5)，当△BMP3∽△BDA时，可得：P3(1.5，－5)，综上所述：点P的坐标为：(1.5，1.25)，(1.5，－1.25)，(1.5，5)，(1.5，－5).。