有趣的斐波那契数列例子

……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
157
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F[1,4]n-F[1,3]n
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,4]n+F[1,3]n
2
7
9
16
25
41
66
107
173
280
…
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,1](n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,1](n-1)
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
…
F[1,3]n
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值，
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
越到后面，这些比值越接近黄金比.
证明:
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x。
11235,83145,94370,77415,,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏
和玫瑰
21………………………紫宛
从第二项开始，每个奇数项的都比前后两项之积多1，每个项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是列的本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
多了的一在哪
如果你看到有这样一个题目：
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。
=(s^n - r^n)/(s-r)。
设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1，-rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式
通项公式
(见图)（又叫“比内公式”，是用表示的一个范例。）
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
公式表示如下：
f(1)=C(0,0)=1。
f(2)=C(1,0)=1。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，
显然这是一个递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比。
奇妙的属性
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
与黄金分割的关系
有趣的是：这样一个完全是的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n时(an-1)/an越来越逼近数。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
斐波那契数列F(n)
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
…
卢卡斯数列L(n)
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
…
F(n)*L(n)13来自82155
144
377
987
2584
6765
…
类似的数列还有无限多个，我们称之为。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)，
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
F[1,4]n
1
4
5
9
14
23
37
60
97
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。