近五年高考数学试题(理科)及解答全过程

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修I)

一、选择题

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (C) i (D) 2i

2. 函数)20y x x =≥的反函数为

(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33

a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

(A)

1

3

(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，

则D 到平面ABC 的距离等于 (A)

2 (B)

3 (C) 6

(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线12+=-x

e y 在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

1

3

(B) 12 (C) 23 (D) 1

9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??

-= ???

(A) 12-

(B) 14- (C) 14 (D) 1

2

10.已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=

(A) 45 (B) 35 (C) 35- (D) 45

-

11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60o

二面角的平面β截该球面得圆N ，脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c r r r 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=o

r r r r r r r r g

，则c r 的最大值对于 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1

二、填空题 13. (

20

1x

的二项展开式中，x 的系数与9

x 的系数之差为 .

14. 已知,2παπ??

∈

???

，5sin α=，则tan 2α= .

15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:

1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+=o ，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。 19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足1111

0,

111n n

a a a +=-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

，记1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽

到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

29110p e ??

<< ???

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学试题参考答案

一、选择题： 1． B 2． B 3． A 4． D 5．C

6． C 7． B

8． A

9． A

10．D 11. D 12. A

二、填空题： 13． 0 14． 4

3

-

15． 6 16．

3

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.（本小题满分10分）

解：由90A C -=o

，得22

B A

C C π

π=--=-

故sin sin cos 2A C C π??=+=

???，sin sin 2cos 22B C C π??

=-= ???

由sin sin a c A C B +=?+=，

故cos sin 2C C C +=，)

22cos sin cos sin C C C C +=-

又显然2

C π

<

，故cos sin 2

C C -=

，再由22

cos sin 1C C +=，

解得：cos C =

12

C π

=

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x ,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3

故()10.50.30.6x x -=?=，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 ()()110.510.60.8---= （Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为10.80.2-= 所以有X 个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为()()

1001000.20.8X

X

X

p C -=g

显然，X 服从二项分布，即()100,0.2X B :,

所以1000.220EX =?= X 的期望为20

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，AB=BC=2，CD=1，//,AB CD BC CD ⊥ ，

易算得：AD BD ==

又因为侧面SAB 为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以2

2

2

5SD SA AD +==,2

2

2

5SD SB BD +== 于是SD SA ⊥,SD SB ⊥,

所以SD SAB ⊥平面

（Ⅱ）设点A 到平面SBC 的距离为d ，

因为SD SAB ⊥平面，所以SD AB ⊥,从而SD CD ⊥,

因而可以算得：SC =

2SB BC ==

，故SBC S ?=

又因为//CD SAB 平面,所以点C 到平面SAB 的距离为1SD =

另外，显然2

24SBA S ?==，

所以111323

A SBC C SA

B V V --=?==四棱锥四棱锥

得：7

d =

设AB 与平面SBC 所成的角为α，则

7sin 27

α==，

即AB 与平面SBC

所成的角为sin 7

arc α是锐角）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由

111

111n n

a a +-=--得：

数列11n a ???

?-??是等差数列，首项为

1

1

11a =- 故

()11111n n n a =+-?=-，从而1

1n a n

=-

（Ⅱ）n b =

===

所以1

111n

n k k S b ===+=<∑L

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：易知：()0,1F

，故：:1l y =+

，代入椭圆方程得：2

410x --=，

设()()()1122,,,,,A x y B x y P x y

，则122

x x +=

，)121221y y x x +=++=， 因为0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

所以()()()()1122,,,0,0x y x y x y ++=

()(

)1212,,,12x y x x y y ??=----=-- ? ???

，将此坐标代入椭圆：2

21122?+=

??， 所以点P 在C 上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）

：2

410x --=

及:1l y =+

，得11,,4242A B ????

-

? ? ? ??

???，

因为1p ?

?- ?

???

，所以Q ???

??

于是可以算得：AP k =

AQ k =

，BP k =

BQ k =

tan PBQ ∠=-

tan APB ∠=

tan PAQ ∠=

-tan AQB ∠=

于是四边形APBQ 对角互补，从而A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）0x >时，()()()()()

2

22

222101212x x x f x x x x x +-'=-=>++++， 于是()f x 在()0,+∞上单调增，所以()()00f x f >= （Ⅱ）2019

100998281999881

100100p ???????=

=

L L ()()199981(9881)918990100???????=

L （共有19192

-=对数相乘） 19

222191919

90909090909010010010x ??????

>≤== ???

L 由（Ⅰ），10x -<<时，也有()()()

2

2

012x f x x x '=>++， 故()f x 在()1,0-上单调增，所以()10010f f ??

-

<= ???

即1

19925ln ln 0191010101910

f ??????-=+=+< ? ? ???????

即919ln 210??<- ???，两边同时取e 的对数得：19

229110e e -??

<= ???

综上所述：19

29110p e ??

<< ???

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

一、选择题

(1)复数

3223i

i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =

(A)

(5)3

5

(1(1+的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

（7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

（A ）

3 （B ）3 （C ）23

（D ）3（8）设a =3log 2,b =ln2,c =1

2

5

-,则

（A ） a

(9)已知1F 、2F 为双曲线C:2

2

1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =0

60，则P 到x 轴的距离为

（10）已知函数f (x )=|lg x |.若0

(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ?u u u v u u u v

的最小值为

(A) 4-+3- (C) 4-+3-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A)

3 (B)3 (C) 3

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

)

(13)1x ≤的解集是 .

(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-

,则tan(2)4

π

α+= . (15)直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .

(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，

且BF 2FD =uu r uu r

，则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分) 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2

'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)

已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

（Ⅱ）设8

9

FA FB =u u u r u u u r g ，求BDK ?的内切圆M 的方程 .

（22）(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，1111,n n

a a c a +==-

. （Ⅰ）设51,22

n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .