平面向量的线性运算复习课课件
b
o.
A B A
o.
a-b
B
复习3：向量的数乘
如图,已知向量 a,作向量3a和-3a.
a O a -a B -a -a -a P
PB= (-a)+(-a) )+(-a) =-3a
a
a
A
OA= a+a+a =3a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;
3、
五、课堂小结 布置作业
一、概念与定理 ① 向量加、减、数乘的定义、几何意义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用： 1、求向量加、减、数乘运算 2.共线向量定理的应用： （1）证明 向量共线； （2）证明 三点共线: AB=λBC （3）证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
问题.
一、学案导学 自主建构
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
b a
O. B
o.
a+b A B
a+b
A C
向量加法的运算法则
⑴. 对于零向量和任一向量 a ，有
⑵对于相反向量，有
a 0 0a a
C
a (a) (a) a 0 ⑶加法交换律 a b b a
90°
2、判断题：
（1）相反向量就是方向相反的向量 （2） （3）
（4） 在△ABC中，必有 AB BC CA 0 （5）若 AB BC CA 0，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。
AB BA 0 AB OA OB
（错）
（对 ）
（错） （对 ）
a， b表示向量 OC， DC.
B
D b E A 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a， b
a
解：因为A是BC的中点，所以
O
C
2 2 5 DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 3 3 3
1 OA (OB OC ), 即OC 2OA OB 2a b. 2
4.已知 a 表示向东走 5 3 km， b 表示向北走 5km，
6.在 ABCD中， BC DC BA等于 A. BC B. DA C. AB D. AC
( A)
7.如图D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中 点，则下列等式正确的是 ( D)
9、O是平面内一定点，A、B、C是平面内
不共线的三个点，动点P满足 AB AC OP OA λ(| AB | | AC | ), λ [0, )
则P的轨迹一定通过△ABC的——心.
内心
10： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
(4)OA OC OB OD; (O是四边形所在平面内一 点）
(5) AC AB AD
(6)四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O， 并且 AO OC, DO OB
例2、 如图，在 OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB b， 请用 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA a，
(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a a b a b
复习4：平面向量共线定理
•向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且只有一 个实数λ，使得b=λa .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.矩形ABCD中，| AB | 3，| BC | 4 .则 5 . | AB AD |
向北偏东60方向走10km 表示 ______________________ ab | AB | 3 ， 5.在矩形 | BC | 1 。则 ABCD 中， 向量 AB AD AC 的长度等于 (D ) 则 A.2 B. 2 3 C.3 D.4
四、反馈矫正 形成能力
跟踪训练：
1、有一边长为１的正方形ABCD，设 AB a, BC b , AC c
求： 1 a b c
Ｄ
2 a b c
Ｃ
3 a b c
E
b
Ａ
c
c
O
a
G
Ｂ
DB
F
2、已知A、B、C是不共线的三点，O是
（错）
3、若OA 3OB 2OC, 则A, B, C三点是否共线 BA 2CB
三、案例剖析 总结规律
例1:根据条件判断下列四边形的形状
1 梯形 (1) AD BC 平行四边形ABCD (2) AD BC ABCD 3 (3) AD BC, 且 AB AD
向量加法的平行四边形法则 ⑷加法结合律
b
ab
a
a
Bb a
b
O
A
c
(a b) c a (b c)
b B c abc b a b O a A
C
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b
例3、如图，设▱ABCD一边AB的四等分点 中最靠近B的一点为E，对角线BD的五等 分点中靠近B的一点为F，求证：E、F、C 三点在一条直线上．
图1
证明：在▱ABCD 中，已知 E 为 BA 的靠近 B 的四等 分点，F 为 BD 的靠近 B 的五等分点． 1→ → 1 → → 所以BE＝ BA，BF＝ BD. 4 5 → ＝BC → ＋CD → ＝BC → ＋BA →， 而BD 1 → → 1→ 1→ → → → → 又EF＝BF－BE＝5(BC＋BA)－4BA，所以EF＝ 5 BC 1→ －20BA. 1→ → → → → 同时，EC＝BC－BE＝BC－ BA. 4 1 → 1→ 1→ → 于是EF＝5(BC－4BA)＝5EC. 所以 E、F、C 三点在一条直线上．
A,B,C三点共线； 直线AB∥直线CD
课下作业：
1. 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
设a
的方向相同 D. a a B. a与 a 2. 下列四个说法正确的个数有( C ).
对于实数 m和向量a、 b ，恒有m（a b ） ma mb; 对于实数 m、n和向量a，恒有 (m n)a ma na; 若ma mb(m R),则有a b; 若ma na(m、n R), a 0, 则有m n;
△ABC内的一点，若 OA OB OC
= 0，
则O 是△ABC的——————
OA OB OC
（6）已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是 △ ABC 内的一点，若 则 O 是△ ABC 的
（填内心、重心、垂心、外心等） . = 0，
1. 外心:三角形三条垂直平分线的交点 （填内心、重心、垂心、外心等） . 2.内心:三角形三条角平分线的交点 3.垂心:三角形三条高线的交点 4. 重心:三角形三条中线的交点
2.2 平面向量的线性运算（复习课）
复习目标：
• 1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何 意义. • 2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义， 以及两个向量共线的含义. • 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.
重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义. 难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的
向量表示：
a∥b
a=λb （λ∈R且b≠0）
二、合作共享 交流提升
1、填空题：
(1) AD CA
CD
(2) AB CB DC
AD
(3) AB AC BD CD 0
则BAD ___
(4)在平行四边形ABCD中，若 AB AD AB AD
A. FD DA AF B. FD DE FE 0 C. DE DA EB D. DE DA DF
C F D E
A
B
8. a ， a b 为非零向量，且 a b 平分a b， 与 b 的夹角，则……………………( B ) A. a = b B. | a |=| b | C. a ⊥b D.以上都不对
o.
A B A
o.
a-b
B
复习3：向量的数乘
如图,已知向量 a,作向量3a和-3a.
a O a -a B -a -a -a P
PB= (-a)+(-a) )+(-a) =-3a
a
a
A
OA= a+a+a =3a
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a;
3、
五、课堂小结 布置作业
一、概念与定理 ① 向量加、减、数乘的定义、几何意义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用： 1、求向量加、减、数乘运算 2.共线向量定理的应用： （1）证明 向量共线； （2）证明 三点共线: AB=λBC （3）证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
问题.
一、学案导学 自主建构
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
b a
O. B
o.
a+b A B
a+b
A C
向量加法的运算法则
⑴. 对于零向量和任一向量 a ，有
⑵对于相反向量，有
a 0 0a a
C
a (a) (a) a 0 ⑶加法交换律 a b b a
90°
2、判断题：
（1）相反向量就是方向相反的向量 （2） （3）
（4） 在△ABC中，必有 AB BC CA 0 （5）若 AB BC CA 0，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。
AB BA 0 AB OA OB
（错）
（对 ）
（错） （对 ）
a， b表示向量 OC， DC.
B
D b E A 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a， b
a
解：因为A是BC的中点，所以
O
C
2 2 5 DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 3 3 3
1 OA (OB OC ), 即OC 2OA OB 2a b. 2
4.已知 a 表示向东走 5 3 km， b 表示向北走 5km，
6.在 ABCD中， BC DC BA等于 A. BC B. DA C. AB D. AC
( A)
7.如图D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中 点，则下列等式正确的是 ( D)
9、O是平面内一定点，A、B、C是平面内
不共线的三个点，动点P满足 AB AC OP OA λ(| AB | | AC | ), λ [0, )
则P的轨迹一定通过△ABC的——心.
内心
10： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
(4)OA OC OB OD; (O是四边形所在平面内一 点）
(5) AC AB AD
(6)四边形 ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O， 并且 AO OC, DO OB
例2、 如图，在 OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB b， 请用 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA a，
(2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
特别地:（ ） a a a b a b
复习4：平面向量共线定理
•向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且只有一 个实数λ，使得b=λa .
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.矩形ABCD中，| AB | 3，| BC | 4 .则 5 . | AB AD |
向北偏东60方向走10km 表示 ______________________ ab | AB | 3 ， 5.在矩形 | BC | 1 。则 ABCD 中， 向量 AB AD AC 的长度等于 (D ) 则 A.2 B. 2 3 C.3 D.4
四、反馈矫正 形成能力
跟踪训练：
1、有一边长为１的正方形ABCD，设 AB a, BC b , AC c
求： 1 a b c
Ｄ
2 a b c
Ｃ
3 a b c
E
b
Ａ
c
c
O
a
G
Ｂ
DB
F
2、已知A、B、C是不共线的三点，O是
（错）
3、若OA 3OB 2OC, 则A, B, C三点是否共线 BA 2CB
三、案例剖析 总结规律
例1:根据条件判断下列四边形的形状
1 梯形 (1) AD BC 平行四边形ABCD (2) AD BC ABCD 3 (3) AD BC, 且 AB AD
向量加法的平行四边形法则 ⑷加法结合律
b
ab
a
a
Bb a
b
O
A
c
(a b) c a (b c)
b B c abc b a b O a A
C
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b
例3、如图，设▱ABCD一边AB的四等分点 中最靠近B的一点为E，对角线BD的五等 分点中靠近B的一点为F，求证：E、F、C 三点在一条直线上．
图1
证明：在▱ABCD 中，已知 E 为 BA 的靠近 B 的四等 分点，F 为 BD 的靠近 B 的五等分点． 1→ → 1 → → 所以BE＝ BA，BF＝ BD. 4 5 → ＝BC → ＋CD → ＝BC → ＋BA →， 而BD 1 → → 1→ 1→ → → → → 又EF＝BF－BE＝5(BC＋BA)－4BA，所以EF＝ 5 BC 1→ －20BA. 1→ → → → → 同时，EC＝BC－BE＝BC－ BA. 4 1 → 1→ 1→ → 于是EF＝5(BC－4BA)＝5EC. 所以 E、F、C 三点在一条直线上．
A,B,C三点共线； 直线AB∥直线CD
课下作业：
1. 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
设a
的方向相同 D. a a B. a与 a 2. 下列四个说法正确的个数有( C ).
对于实数 m和向量a、 b ，恒有m（a b ） ma mb; 对于实数 m、n和向量a，恒有 (m n)a ma na; 若ma mb(m R),则有a b; 若ma na(m、n R), a 0, 则有m n;
△ABC内的一点，若 OA OB OC
= 0，
则O 是△ABC的——————
OA OB OC
（6）已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是 △ ABC 内的一点，若 则 O 是△ ABC 的
（填内心、重心、垂心、外心等） . = 0，
1. 外心:三角形三条垂直平分线的交点 （填内心、重心、垂心、外心等） . 2.内心:三角形三条角平分线的交点 3.垂心:三角形三条高线的交点 4. 重心:三角形三条中线的交点
2.2 平面向量的线性运算（复习课）
复习目标：
• 1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何 意义. • 2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义， 以及两个向量共线的含义. • 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.
重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义. 难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的
向量表示：
a∥b
a=λb （λ∈R且b≠0）
二、合作共享 交流提升
1、填空题：
(1) AD CA
CD
(2) AB CB DC
AD
(3) AB AC BD CD 0
则BAD ___
(4)在平行四边形ABCD中，若 AB AD AB AD
A. FD DA AF B. FD DE FE 0 C. DE DA EB D. DE DA DF
C F D E
A
B
8. a ， a b 为非零向量，且 a b 平分a b， 与 b 的夹角，则……………………( B ) A. a = b B. | a |=| b | C. a ⊥b D.以上都不对
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平面向量的线性运算课件
r
r (a ? bc) ?
rc
? ab? ( ? c).
a ?(b ? c ) b ? c
rr a ?b
C
r
向量的加法满足
A
r abB交换律和结合律.rr rr a+ b= b+ a rr rr rr (a+ b)+ c = a+ (b+ c)
.
向量加法运算及其几何意义
学以致用：
? 例2.长江两岸之间没有大桥的地方 ,常常通过轮渡 进行运输 .一艘船从长江南岸 A点出发,以5km/h的 速度向垂直于对岸的方向行驶 ,同时江水的速度为 向东 2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度（保留两个有效数字）； (2)求船实际航行的速度的大小和方向（用与江水 速度间的夹角表示，精确到度） .
b
（1）
A
Br r
C
a?b
b
（2）
C r rA
B
a?b
rr
r r rr
若a，b方向相同，则 | a ? b |?| a | ? | b |
rr
rr r r
rr
若a，b方向相反，则 | a ? b |?| a | ? | b（| 或 | b | ? | a |）
.
向量加法运算及其几何意义
当向量
r a
?、br 不共线时，和向量的长度
r |a
?
r b
|
与向量
r a
r ?、b
的长度和
r |a
|?
|
r b
|之间的大小关系如何？
rr a?b
r b
r
三角形的两边a之? 和大于第三边
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
[总结反思]利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
2025年高考数学一轮复习-6.1-平面向量的概念及其线性运算【课件】
的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由|a+b|=|a|-|b|及向量的减法法则,可得向量a与b平行且反向,
由a=λb可得向量a,b平行,因此“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”的必要不充分条件.
5
5
8
4.(必修第二册P15练习T2·
度属中、低档.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.平面向量的有关概念
名称
向量
零向量
单位向量
定义
备注
既有大小又有方向的量;
向量由方向和长度确定,
向量的大小称为向量的长度(模)
不受位置影响
长度为___的向量
0
任意
记作0,其方向是______的
1个
长度等于_____单位长度的向量
与非零向量a共线的单位向量
1或3
3.向量∥,其中是单位向量且 =2 ,则 =________.
【解析】因为∥,其中是单位向量且 =2 ,则=-,
①若=2,则 = − = −2 = =1;
②若=-2,则 = + 2 = 3 =3 =3,因此, =1或3.
含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
预测
高考命题常以共线向量基本定理与平面向量基本定理为载体考查向
量的加、减、数乘运算以及它们的几何意义,常以选择或填空题的
形式考查.
预计2025年高考仍会考查线性运算,题型以选择题、填空题为主,难
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
人教高中数学必修二B版《平面向量及其线性运算》平面向量初步说课教学课件复习(向量的概念)
课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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②字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联
系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与
终点表示向量，如A→B，C→D，E→F等．
(2)两种向量表示方法的作用
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手抄报：课件/shouchaobao/
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中可以看成是向量的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：选 B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量．
栏目 导引
第六章 平面向量初步
关于零向量，下列说法中错误的是( )
A．零向量是没有方向的 课件
【解】 (1)可以写出 12 个向量，分别是：A→B，A→C，A→D，B→C，
B→D，C→D，B→A，C→A，D→A，C→B，D→B，D→C，故填 12.
(2)①由于点 A 在点 O 北偏东 45°处，所以在坐标纸上点 A 距 课件
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6．1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念
课件
第六章 平面向量初步
考点
学习目标
理解向量的有关概念及向量的几 向量的概念
何表示
2024版高考数学总复习：平面向量的概念与线性运算课件
相反
乘
λa＝__
0
运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λa＋μa
(λ＋μ)a＝______；
λa＋λb
λ(a＋b)＝________
3．向量共线定理
向量a(a≠0) 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使 得
b＝λa
______．
4．常用结论
1
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝ (
3
4．已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，
则＝________，＝___________．(用a，b表示)
b－a
－a－b
解析：如图， ＝＝ − ＝b－a， ＝
− ＝－ − ＝－a－b.
1
2
3
4
5
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_____．
是λ＋μ＝1.
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.
( × )
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线
2
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
① + + ＝0.
1
②＝ ( + )．
3
1
1
③＝ ( + )＝ (
2
6
+ )．
+ ).
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则 +
乘
λa＝__
0
运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λa＋μa
(λ＋μ)a＝______；
λa＋λb
λ(a＋b)＝________
3．向量共线定理
向量a(a≠0) 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使 得
b＝λa
______．
4．常用结论
1
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝ (
3
4．已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，
则＝________，＝___________．(用a，b表示)
b－a
－a－b
解析：如图， ＝＝ − ＝b－a， ＝
− ＝－ − ＝－a－b.
1
2
3
4
5
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_____．
是λ＋μ＝1.
(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
( √ )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.
( × )
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线
2
(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则
① + + ＝0.
1
②＝ ( + )．
3
1
1
③＝ ( + )＝ (
2
6
+ )．
+ ).
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则 +
平面向量的线性运算课件
A
2b
a
b
b
a
O
[类似题]已知非零向量e1和e2不共线，如果 AB e1 e2 ,
BC 2e1 8e2 ,CD 3 e1 e2 , 证明：ABD三点共线.
2.[逆向使用]已知非零向量e1和e2不共线，欲使ke1 e2和
e1 ke2共线，确定实数k的值.
3.[课本例题 ]如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB a, AD b，用a, b表示MA, MB, MC , MD.
完毕课本84页练习
平面对量旳线性运算
——向量旳减法运算
预备知识：相反向量
类比实数旳相反数旳概率，定义相反向量：
与a长度相等，方向相反旳向量， 叫做a旳相反向
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
要求：零向量旳相反向量仍是零向量
所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、
a=-b，b=-a，a+b=0
1.已知a,
b是两个非零向量,下列说法正确的有
概念辨析
_____ .
(1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 2 ； 5
(2)a b与（b a）是一对相反向量；
(3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线；
2.下列说法正确的个数是 _______
(1)若 a 0，则 0；(2)若 0，则 a 0；
探究：
问题：已知OA和OB不共线，AC t AB(t R), 试用OA和OB表示OC .
特例：对于OC (1 t)OA tOB,当t 1 时，你知道其几何意义 吗？ 2
中点公式向量表示法： C为AB中点，则OC OA OB 2
第一讲+平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
2025年高考一轮总复习
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.
第五章 平面向量与复数
第一讲 平面向量的概念 及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量
零向量
长度为 0 的向量
记作 0
非零向量 a 的单位向 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 量为±|aa|
(续表) 名称
共线向量 (平行向量) 相等向量 相反向量
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才 能得到三点共线.
【变式训练】
1.(2023 年桃城区校级月考)在△ABC 中，D，E 分别为边 AB， AC 上的动点，若 AD＝2DB，AE＝3EC，CD 交 BE 于点 F，A→F＝ mA→B＋nA→C，则 m＋n＝( )
(2)证明：由(1)得O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)·xO→A＋λyO→B. ①
∵G 是△OAB 的重心，∴O→G＝23O→M＝32×21(O→A＋O→B)＝13O→A＋ 13O→B. ②
而O→A，O→B不共线，
∴由①，②得(1－λ)x＝31， λy＝13，
解得1x＝3－3λ， 1y＝3λ.
答案：(－1，0)
3.如图 5-1-8，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线.
(1)设P→G＝λP→Q，用λ，O→P，O→Q表示O→G；
(2)设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B.证明：1x＋1y是定值.
图 5-1-8
(1)解：O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P)＝ (1－λ)O→P＋λO→Q.