晶体学基础第三章-4-2晶面符号：晶面指数
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
晶面指数 六方晶系的晶面指数标定(经典实用)
晶面指数六方晶系的晶面指数标定（经典实用）晶体学是研究晶体结构和性质的学科，而晶面指数则是描述晶体中晶面的数字表示方法。
晶面指数使用晶体学中的一套标准符号体系，可以精确地表达晶体中每个晶面的表现形式和相对排列位置。
晶面指数标定是晶体学中的基础训练，也是必须掌握的基本技能之一。
本文将针对六方晶系的晶面指数标定进行说明，介绍一些经典实用的方法和技巧。
一、六方晶系的晶面指数表达方式六方晶系是晶体学中的一种晶系，它具有六个等长的轴，其中三个轴共面，呈120度夹角。
在六方晶系中，晶面指数的表达方式是使用Miller指数。
具体来说，对于六方晶系的任何一个晶面，其Miller指数可表示为(h, k, l, i)的形式，其中i表示层数，h、k、l表示垂直于该晶面的三个轴上，分别经过晶面的小整数倍。
这个表示方法又称为(弗兰克-布拉维)符号。
例如，在六方晶系中，垂直于a轴、b轴和c轴的三个晶面分别是(1, 0, 0, 1)、(0, 1, 0, 1)和(0, 0, 1, 1)。
需要注意的是，当晶面不是经过所有轴的整数倍时，需要根据实际情况对其Miller指数进行归一化，即对其进行整数倍处理，使其成为最小的整数倍数。
二、如何确定晶面指数？确定晶面指数的方法通常是从晶体图谱或显微照片中找到可视的晶面，然后测量其与某个特定方向的夹角。
这个方向可以是晶体中的任意方向，但必须是已知的方向，其Miller指数应该是已知的。
此外，需要确定一个基准面，以便进行下一步计算。
基准面通常是顺着已知方向最靠近找到的晶面的面，因为这样可以减少复杂的计算。
在确定了基准面之后，可以按照以下步骤计算该晶面的Miller指数：1、测量该晶面与已知方向的夹角；2、确定该角度的余弦值，并将其化为最简分数形式（如果不是整数）；3、利用晶格中的对称性（如果存在）推导该晶面的Miller指数；4、对推导的Miller指数进行检查和归一化，确保其最小。
需要注意的是，计算中需要考虑晶体中的对称性和晶体参数等因素，以避免出现计算错误。
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
晶向指数和晶面指数
B格子的格点可看成是分列在一系列 平行、等距的直线系上，这些直线系称 为晶列。
一个无穷大的B格子，可有无穷多种 晶列。
晶向指数：从该晶列通过轴矢坐标系原 点的直线上任取一格点，把该格点指数 化为互质整数，称为晶向指数，表示为 [h,k,l]。
3.晶面指数（密勒指数）
B格子的格点还可看成是分列在一系列 平行、等距的平面系上，这些平面系称为 晶面系（晶面族）。
一个无穷大的B格子，可有无穷多方向 不同的晶面系。
晶面表示方法： （1）找出晶面系中任一晶面在轴矢上的 截距；
（2）截距取倒数；
• （3）化为互质整数，表示为（h,k,l）。 • （h,k,l）可表示一个晶面系，也可表示
某一个晶面。
• 注意：化互质整数时，所乘的因子的正、
负并未限制，故[100]和[100]应视为同一晶 向。 • 例1：在立方晶系中，〈100〉代表
[100],[010],[001]三个等效晶向。
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以不 化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距
为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。(参见FD动画）
V，W，然后通过解析求出四指数u,v,t,w,
由于三轴系和四轴系均描述同一晶向，故：
u a1 + v a2 + t a3 + w c
= U a1 + V a2 + W c
(1)
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
第三章晶体的定向和晶面符号知识讲解
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单 简单的
晶面截晶轴于结点 整数比
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
第三章晶体的定向和晶面符号
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
其次
晶轴平行 对称轴
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
（2）晶轴要尽可能的互相垂直或近于
垂直，即尽可能使 ===90,
具a体=步b=骤c
高次轴 L2 P 法线 显著晶棱
三、如何为晶体定向
（3）等轴、四方、斜方、单斜及 三斜等五个晶系选三个晶轴（X、 Y、Z），其中
同一单形的各个晶面的指 数的绝对值不变，而只有 正负号的区别
知道了单形的一个晶面 的符号，则该单形的其 它晶面的符号即可导出
用单形一个代表晶 面的符号来代表整 个单形
定义：单形符号简称形号，它是指在单形中选择一 个代 表面，把该晶面的晶面指数用“{ }”括 起来，用以表征组成该单形的一组晶面的 结晶学取向的符号
矿物的规则连生体的形态
1、平行连生
同种晶体彼此平行的连生在一起，连生 着的每一个晶体的相对应的晶面和晶棱 都是相互平行的
平行连生从外形来看是多晶体的连生，但它们 的内部格子构造是平行、连续的
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
第三章_晶体学基础
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
晶面指数PPT幻灯片课件
正交点阵中一些晶面的晶面指数
17
在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面 必定是互相垂直的。 [110]垂直于(110)，[111]垂直于(111)。
立方晶系(001)面原子排列图
18en1d8
2.1.2.3 六方晶系指数 （1）晶面指数
a1=a2≠c α=β=90° γ=120°
2.1 晶体学基础
u v w 分别为沿三个点阵矢量的 平移量,是阵点P的坐标
晶向指数的表示方法 [uvw]
晶向指数的确定方法： 1、原点 坐标轴 长度单位 2、作平行于待定晶向的直线OP 3、距原点最近阵点P的坐标 4、化为最小整数
2
[_100][01_0][00_1] [100][010][001]
[111] [221] [-1-1-2]
39
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
( 2 ) 对称面
与m对应的对称 操作是反映
立方晶系 {100}
对称面
40
在立方晶系中 {110}
2.1.3 晶体的对称性 2.1.3.1 对称元素
a.宏观对称元素
( 2 ) 对称面
[110]
41
2.1.3 晶体的对称性
2.1.3.1 对称元素 a.宏观对称元素
25
晶向族<11-20>
[U V W]与[ u v t w ] 互换关系为：
26
晶向族<1-213>
[1-213] [0-11]
[111] [11-23]
[110] [11-20]
27
画出[1-213] [1-211] 画出[2-1-11]
[0-11]
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设
末端上的格点分别落在离原点的距离
的晶面上
—— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
—— 同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距
密勒指数 —— 标记这个晶面系
—— 以单胞的基矢为参考， 所得出的晶列指数和晶面的 密勒指数，有着重要的意义
三、晶带与晶带符号：
晶带：
彼此间相交的晶列相互平行的（交线平行的）晶面 族的集合，即平行于同一晶列的晶面族的总称。
晶带符号：用晶带轴表示，
晶带
晶带轴——晶带中与晶面交线平行的直线，平行于晶 带中所有的晶面。
晶带定律：任一属于
晶带的晶面
必有
(晶带方程)
晶带方程的应用：
➢ 已知两晶面，求包含此两晶面的晶带符号。 ➢ 求属于某两晶带的晶面。 ➢ 判断一晶面是否属于某晶带。
二、晶面符号：晶面指数
晶体的晶面 —— 在晶体中作一簇平行的平面，这些相互平 行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的标志----晶面指数 取某一原子为原点O，晶胞的三个基矢 为坐标系的三个轴______不一定相互正交 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距
立方晶格的几种主要晶面标记
面等效的晶面数分别为：3个 表示为 面等效的晶面数分别为：6个 表示为 面等效的晶面数分别为：4个 表示为
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
四轴定向：
四轴定向坐标系的晶面指数：
整数定律（有理指数定律）：
如果以平行于三根不共面晶列（晶棱）的直线作为 坐标轴，则晶体上任意两晶面在三个坐标轴上的对应截 距的比值之比为简单整数比。