917731-晶体学基础-晶体学基础第2章-1
合集下载
1-1晶体学基础
三方晶系：唯一的高次轴为L 三方晶系：唯一的高次轴为L3或 L3 i 中级晶族
i 四方晶系： 唯一的高次轴为L 四方晶系：:唯一的高次轴为L4或 L4 ,
六方晶系→特点:唯一高次轴为L 六方晶系→特点:唯一高次轴为L6或
n i
L6 i
2.1
晶体学基础
正交晶系:L 的总数不少于3 正交晶系:L2或P的总数不少于3个 低级晶族 单斜晶系：L2或P均为一个 单斜晶系： 三斜晶系：只有L 三斜晶系：只有L1或C，
2.1
晶体学基础
晶体外形可能存在的对称操作和对称要素如下: (1)对称中心(C) (1)对称中心(C) 对称中心 对称中心是一个假想的点，相应的对称操作是 对称中心是一个假想的点， 对此点的反伸。 对此点的反伸。如果通过此点作任意直线则在 此线上距对称中心等距离的两端上必定可以 找到对应点。国际符号表示为i 找到对应点。国际符号表示为i 只可能在晶体中心，只可能一个。 只可能在晶体中心，只可能一个。
2.1
4、晶族与晶系
晶体学基础
用晶体的对称性对晶体进行分类
n i
1).晶族 1).晶族 根据晶体中是否存在高次轴及其数目 将晶体划分成高、中、低三个晶族 将晶体划分成高、 2).晶系 晶系 每一个晶族可按旋转轴和旋转反伸轴的轴 次和数目把晶体分成七个晶系
n i
n i
2.1
晶体学基础
高级晶族→立方晶系(等轴晶系) 高级晶族→立方晶系(等轴晶系) 晶体中存在4 晶体中存在4个L3
2.1 晶体学基础
空间点阵有以下几种要素： 空间点阵有以下几种要素： (1)阵 (1)阵（结)点 等同点 (2)行列 (2)行列 结点间距 (3)面网 (3)面网 面网间距 (4)平行六面体 (4)平行六面体
晶体学基础(2024版)
a/2
截距：a/2, 2b/3, c/2 倒数：2, 3/2, 2 2b/3 互质整数：4, 3, 4 y 晶面指数：(4 3 4)
x
[说明]：
❖晶面与坐标轴平行时，取截距为，倒数为0；
❖相互平行的晶面具有相同的晶面指数，或相差一负号；
❖通过原点的晶面，可以通过与其平行的晶面求出晶面指数;
❖原子排列相同的晶面，尽管空间位向不同，但仍属于同一个 晶面族，用{h k l}表示。例如{100}包含6个等价面：
❖同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
❖原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族，
用< >括号表示。
例如<100>包含：[100 ], [010 ], [001], [1 00], [0 1 0], [00 1]
z
[011]
不通过原点的晶向：
[0 1 0]
o
[101]
[010] y
(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
第一章 晶体学基础
多数金属和非金属材料都是晶体。因此，首先要 掌握晶体的特征及其描述方法。
晶体——组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 规则地排列。
晶体的特点： ➢ 质点排列具有规则性、周期性 ➢ 有固定熔点（结晶温度）[非晶体没有固定的熔点] ➢ 各向异性（包含多种性能）
§1-1 空间点阵
一、空间点阵的概念
a3
轴上的截距。
例如： (10 1 0)
( 1 010) (01 1 0) ( 1 100)
o
a2
a1
2、晶向指数：
四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。由于行走法 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法。
截距：a/2, 2b/3, c/2 倒数：2, 3/2, 2 2b/3 互质整数：4, 3, 4 y 晶面指数：(4 3 4)
x
[说明]：
❖晶面与坐标轴平行时，取截距为，倒数为0；
❖相互平行的晶面具有相同的晶面指数，或相差一负号；
❖通过原点的晶面，可以通过与其平行的晶面求出晶面指数;
❖原子排列相同的晶面，尽管空间位向不同，但仍属于同一个 晶面族，用{h k l}表示。例如{100}包含6个等价面：
❖同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
❖原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族，
用< >括号表示。
例如<100>包含：[100 ], [010 ], [001], [1 00], [0 1 0], [00 1]
z
[011]
不通过原点的晶向：
[0 1 0]
o
[101]
[010] y
(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
第一章 晶体学基础
多数金属和非金属材料都是晶体。因此，首先要 掌握晶体的特征及其描述方法。
晶体——组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 规则地排列。
晶体的特点： ➢ 质点排列具有规则性、周期性 ➢ 有固定熔点（结晶温度）[非晶体没有固定的熔点] ➢ 各向异性（包含多种性能）
§1-1 空间点阵
一、空间点阵的概念
a3
轴上的截距。
例如： (10 1 0)
( 1 010) (01 1 0) ( 1 100)
o
a2
a1
2、晶向指数：
四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。由于行走法 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法。
第2章 晶体学基础
晶体的性能、应用及进展
一位物理学家说过： 按功能来分，晶体有 “晶体是晶体生长工作 20种之多，如半导体 者送给物理学家的最好 晶体、激光晶体、电 光晶体、声光晶体、 的礼物。”这是因为， 压电晶体、铁电晶体、 当物质以晶体状态存在 闪烁晶体、超导晶体 时，它将表现出其它物 以及多功能晶体等。 质状态所没有的优异的 以下简单介绍其中重 物理性能，因而是人类 要的几种。 研究固态物质的结构和 性能的重要基础。
晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排律的固体； 或者说晶体是具有格子构造的固体 (现代概念)。 但在宝石学、人工晶体生长等领域和日常生活中，习惯 上仍将“晶体”这一名称专门用于指具有几何多面体规 则外形的、具有一定几何尺寸的晶体，而将不具有多面 体外形的晶体称为晶粒(crystalline grain)。与之相反， 在玻璃等领域晶体则专指质点在三维空间成周期性重复 排列的固体。有时为了强调晶体的通俗与科学两种概念 的区别，常在“晶体”这一名词前加一些修饰词(字) 如 大单晶(体)、粉晶(粉末晶体的简称)、粗晶细晶单晶体 (single crystal)、多晶体(polycrystalline)等。另外还引 入一些概念，如结晶质、显晶质、隐晶质和非晶质等概 念。质点在三维空间成周期性重复排列的固态物质则称 为结晶质(crystalline)，或简称晶质。
石墨 NaCl 石墨晶体在平行于石墨层 方向上比垂直于石墨层方 向上导电率大一万倍。
(3) 对称性 指晶体中相同部分(如外形上相同的晶面、晶棱，内 部结构中的相同面网、行列或原子、离子等)或晶体 的性质，能够在不同的方向或位置上有规律地重复出 现的特征。 (4) 自限(范)性 指晶体能自发地形成封闭的凸几何多面体外形的特征。 (5) 最小内能性 在相同的热力学条件下，与同种化学成分的气体、液 体及非晶质体相比，以晶体的内能为最小。 (6) 稳定性 在相同的热力学条件下，以具有相同化学成分的晶体 和非晶体相比，晶体是稳定的，非晶质体则是不稳定 的。
1-2-1晶体学基础
晶体结构与空间点阵（Lattice） 2、晶体结构与空间点阵（Lattice）
晶体结构与空间点阵（Lattice） 2、晶体结构与空间点阵（Lattice）
阵点：将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象成纯粹的几 阵点：将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象成纯粹的几 何点称为阵点。 何点称为阵点。 晶格： 作许多平行的直线把阵点连接起来， 晶格： 作许多平行的直线把阵点连接起来，构成一个三维的几何格架 称为晶格。描述晶体中原子排列规律的空间格架。 称为晶格。描述晶体中原子排列规律的空间格架。 晶胞：为了说明点阵排列的规律和特点， 晶胞：为了说明点阵排列的规律和特点，可以在点阵中取出一个具有 代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元。 代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元。 空间点阵：晶胞在空间重复堆垛构成了空间点阵。 空间点阵：晶胞在空间重复堆垛构成了空间点阵。 重复堆垛构成了空间点阵
1、晶体（Crystal) 晶体（
弹性模量 (MPa) 最大 Cu α- Fe Mg 191 000 293 000 50 600 最小 66 700 125 000 42 900 抗拉强度 (MPa) 最大 346 225 840 最小 128 158 294 延伸率 (%) 最大 55 80 220 最小 10 20 20
别类
在自然界中除少数物质（如普通玻璃、松香、石蜡等） 在自然界中除少数物质（如普通玻璃、松香、石蜡等）是非 晶体外，绝大多数都是晶体，如金属、合金、硅酸盐，大多 晶体外，绝大多数都是晶体， 金属、合金、硅酸盐， 无机化合物和有机化合物，甚至植物纤维都是晶体。 植物纤维都是晶体 数无机化合物和有机化合物，甚至植物纤维都是晶体。
[1 11] [111] [11 1] [1 1 1]
晶体学基础课件
b
a
c
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
单位晶胞选取的原则是：晶胞最能反映出点阵对称 特性， 基本矢量a、b、c长度相等的数目最多，其 夹角α、β、γ为直角的数目最多，且晶胞体积最 小为条件。
三、 七个晶系
根据点阵参数的外形特征，人们把晶体分为七个晶系： ①立方晶系（C）；②四方晶系（T）；③六方晶系 （H）；④菱方晶系（R）；⑤正交晶系（O）；⑥单斜 晶系（M）；⑦三斜晶系（A）。
七个晶系
Crystal systems
Cubic Tetragonal Hexagonal Rhomboedric Orthorhombic Monoclinic Triclinic
Lattice Paramater
a = b = c , = = = 90° a = b c , = = = 90° a = b c , = = 90° = 120° , a = b = c , = = 90° a b c , = = = 90° a b c , = = 90°, 90° a b c , °
一、晶向
晶体的定向就是确定晶面在空间的位置。它包括两个方面 的内容，即选择坐标轴（晶轴）和确定单位或其相对比例 （轴率）。 1、晶轴的选择：优先选择对称轴为晶轴；在缺少对称轴 时，可以选择对称面法线。 2、轴单位的确定：轴单位是指在结晶轴上度量距离时， 用作计量单位的那段长度，它等于该行列上的结点间距。
cos * cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
cos *
晶体学基础第二章-课件1.
第二章 晶体的对称性（Symmetry in Crystal）自然界中的对称• 宇宙间的普遍现象 • 建造大自然的密码 • 永恒的审美要素¾ 在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能够在 深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原理相比。
—— 李政道 ¾ 对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。
发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分 子学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学 等现代科学的中心观念。
—— 杨振宁C60手性分子• 组成地球生命体的几乎都是左旋 氨基酸，而没有右旋氨基酸。
• 右旋分子是人体生命的克星!Outline1．晶体的宏观对称元素与对称操作 2．对称要素的组合 3．晶体的32种点群及其符号 4．晶体的对称性分类与14种布拉菲点阵 5．晶体的微观对称元素与对称操作 6．准晶2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作一、对称、对称元素、对称操作的概念对称（symmetry）： 物体（或图形）中等 同部分有规律的重复。
¾ 自然科学最基本的概念。
对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，也就 是使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。
对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。
二、晶体的对称• 晶体的对称：晶体中等同部分之间有规律重复。
晶体对称性的来源与体现¾从微观角度，所有晶体都是对称的。
由三维 空间规则重复排列的粒子组成，通过平移使之 重复，即平移对称性。
¾ 晶体的对称是有一定限制的，遵循晶体对称 定律。
符合格子构造的对称才能在晶体上出现。
¾晶体对称不仅包含几何意义，也包含了物理 意义（如光学、力学和电学性质）。
•对称是晶体分类的依据，对材料的力 学和物理等性能有重要的影响。
晶体的对称性包括：宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作 微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作 ¾ 晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如 晶体的晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。
917735-晶体学基础-微观对称元素及空间群-1
晶体学基础晶体内部结构微观对称元素及空间群对称操作（symmetry operation）：使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，即使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。
对称元素（symmetry element）：进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、面）。
二、物体宏观对称性的描述宏观对称元素：对称中心、对称面、对称轴、旋转反演轴宏观对称操作：反演、反映、旋转、旋转反演反演（倒反，反伸）。
国际符号：i ，1（2）对称面与反映操作对称面（symmetry plane, 符号P）：一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。
对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像重合而不是互换位置。
国际符号：m反映：符号：M2 4 6轴次的确定：取最高的轴次PL i=2CL L i+=334iLPL L i+=36¾点的极射赤平投影三、极射赤平投影例子：¾晶面极射赤平投影4Li对称操作正交变换2. 对称操作的数学描述⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=Δ333231232221131211a a aa a a a a a ——正交矩阵对称变换矩阵：对称操作⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Δ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛z y x z y x '''⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛z y x——绕z 轴逆时针转θ角⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=Δ1000cos sin 0sin cos θθθθ——反演⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=Δ100010001晶体对称性定律（law of crystal symmetry）：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。
n360o==αθ0180任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:6,4,3,2,1,6,4(salt)(NaCl)•晶体结构中可能出现的对称元素，包括两部分：•宏观对称元素: 对称心，对称面，对称轴(倒转轴)•只能在作无限图形的晶体结构中才能出现的微观对称元素。
晶体学基础
2.2 晶体结构与空间点阵
2.2.3 布拉菲点阵
面心点阵（ 面心点阵（F）
除 8个顶点外 ， 每个面 个顶点外， 个顶点外 心上有一个阵点， 心上有一个阵点 ， 每个阵胞 上有4个阵点， 其坐标分别为 上有 个阵点， 个阵点 000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 ， ， ， 1/2 1/2
2.2 晶体结构与空间点阵
2.2.6 晶向及晶面指数
举例
分别为3， ， （1）截距 、s、t分别为 ，3，5 ）截距r 分别为 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ） （3）最小公倍数 ）最小公倍数15 分别乘 （4）于是，1/r，1/s，1/t分别乘 ）于是， 15得到 ，5，3 得到5， ， 得到 因此，晶面指标为（ 因此，晶面指标为（5 5 3）。 ）。 a c
2.2 晶体结构与空间点阵
2.2.1 结构基元与空间点阵
晶体结构的几何特征是其结构基元（ 原子、离子、 晶体结构的几何特征是其 结构基元（原子 、 离子 、 分 结构基元 子或其它原子集团）一定周期性的排列。 子或其它原子集团 ） 一定周期性的排列 。 通常将结构基元 看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性 排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的， 排列的几何点 。 这种从晶体结构抽象出来的 ， 描述结构基 元空间分布周期性的几何点， 称为晶体的空间点阵 空间点阵。 元空间分布周期性的几何点 ， 称为晶体的 空间点阵 。 几何 点为阵点。 点为阵点。 阵点
2.2 晶体结构与空间点阵
2.2.3 布拉菲点阵
简单点阵 （P） 只在晶胞的顶点 上有阵点， 上有阵点 ， 每个晶胞 只有一个阵点， 只有一个阵点 ， 阵点 坐标为000 坐标为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
晶体的对称性： 宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作 微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作
2. 晶体对称性的规律 晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制
晶体对称性定律（law of crystal symmetry）： 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、
四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的 对称轴。
对称操作： 反演、反映、旋转、旋转反演；
（1）对称中心与反演操作
对称中心（center of symmetry, 习惯符号C）： 一假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的
反演（倒反，反伸）。国际符号：i ，1
反演： 符号：I
(x, y, z)
(-x, -y, -z)
（2）对称面与反映操作 对称面（symmetry plane, 符号P）： 一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。 对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像 重合而不是互换位置。国际符号：m
——杨振宁
第二章的主要内容
➢ 对称的概念 ➢ 晶体的宏观对称元素和对称操作 ➢ 晶体宏观对称元素的组合 ➢ 晶体的32种点群及其符号 ➢ 晶体的分类与14种布拉菲点阵 ➢ 准晶
2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作
一、对称、对称元素、对称操作的概念
对称（symmetry）： 物体（或图形）中等同部分有规律的重复。
Li6 = L3 + P
➢ 在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反演
轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6 在晶体对称分类中有特殊意义。
—— 晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, i, m, 4
对称元素 国际符号 对称操作
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义 • 运算法则 —— 连续操作
• 一个物体全部宏观对称操作的集合满足群的定义
• 点群 { 宏观对称操作 }
三、晶体的宏观对称性
1. 晶体对称性的来源与体现 晶体内部原子排布的周期性
晶体的对称性
晶体物理性质的对称性 （各向同性和各向异性）
符号: La
2
4
6
➢ 轴次的确定：取最高的轴次
旋转对称性的平面图解：
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
6
6
6
6
6
4-fold
6-fold
（4）旋转反演轴与旋转反演操作
旋转反演轴（rotoinversion axis, 习惯符号 Lni ）：
又称为倒转轴、反轴、反演轴（inversion axis）等，
48个对称操作：
三个4：9个对称操作 四个3：8个对称操作 六个2：6个对称操作 一个1：E
对称中心 i 在正方体中心 对称轴也是旋转反演轴： 旋转反演操作共24个
z
y x
例2. 正四面体的对称性（金刚石）
Z
三个4 ：9个对称操作
四个3：8个对称操作
六个 2 ：6个对称操作
Y
一个1：E
X
共24个对称操作
对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，即
使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。
对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、
面）。
二、物体宏观对称性的描述
1. 对称元素与对称操作 对称元素： 对称中心、对称面、对称轴、旋转反演轴；
对称中心
i
反演
I
对称面(镜面) m
反映
M
一重旋转轴 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴
1
旋转
L(0 )
2
旋转
L(180 )
3
旋转
ห้องสมุดไป่ตู้
L(120 )
4
旋转
L(90 )
6
旋转
L(60 )
四重反轴
4
旋转反演 L(90 )I
等同元素或组合成分 1 2
3i 3 3m 6
4. 晶体宏观对称性分析实例 例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）
这些“元素”被赋予一定的“乘法法则（·）”，满足下列
性质： (1) 闭合性：若 A, B G，则A ·B=C G
(2) 存在单位元素E：使得所有元素满足 A ·E = A
(3) 存在逆元素：对于任意元素A存在A-1 ， AA-1=A-1A=E
(4) 满足结合律：A(BC)=(AB)C
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
第二章 晶体的宏观对称性
在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能 够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原 理相比。
—— 李政道
电荷对称:
一组带电粒子 极性互换, 其相互 作用不变（但在弱 相互作用下这种对 称被部分破坏）.
C60
手性分子
对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。 发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子 学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现 代科学的中心观念。
对称变换矩阵：
正交变换 ——正交矩阵
—— 绕z轴逆时针转角 ——反演
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义
群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} ，
反映： 符号：M
（3）对称轴与旋转操作
对称轴（symmetry axis, 习惯符号 Ln ）：
一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋
转 360o n 及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。
国际符号：n 基转角a ：使整个物体复原需要的最小转角
a 360o
n
轴次n： 旋转一周物体复原的次数 旋转：
a 360o
n
—— 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
3. 晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作
一次对称轴 1 的对称操作
➢ 除Li4外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称 要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，
是一种复合的对称元素。国际符号： n
辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点
旋转反演：
绕轴旋转 360o n 后再对轴上定点进行反演的联合
操作以及该联合操作的整数倍可使物体复原。
符号: La I
（ 其中 a 360o ）
n
L2i P
L3i L3 C
L4i
L6i L3 P
2. 对称操作的数学描述 对称操作 对称操作
2. 晶体对称性的规律 晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制
晶体对称性定律（law of crystal symmetry）： 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、
四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的 对称轴。
对称操作： 反演、反映、旋转、旋转反演；
（1）对称中心与反演操作
对称中心（center of symmetry, 习惯符号C）： 一假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的
反演（倒反，反伸）。国际符号：i ，1
反演： 符号：I
(x, y, z)
(-x, -y, -z)
（2）对称面与反映操作 对称面（symmetry plane, 符号P）： 一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。 对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像 重合而不是互换位置。国际符号：m
——杨振宁
第二章的主要内容
➢ 对称的概念 ➢ 晶体的宏观对称元素和对称操作 ➢ 晶体宏观对称元素的组合 ➢ 晶体的32种点群及其符号 ➢ 晶体的分类与14种布拉菲点阵 ➢ 准晶
2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作
一、对称、对称元素、对称操作的概念
对称（symmetry）： 物体（或图形）中等同部分有规律的重复。
Li6 = L3 + P
➢ 在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反演
轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6 在晶体对称分类中有特殊意义。
—— 晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, i, m, 4
对称元素 国际符号 对称操作
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义 • 运算法则 —— 连续操作
• 一个物体全部宏观对称操作的集合满足群的定义
• 点群 { 宏观对称操作 }
三、晶体的宏观对称性
1. 晶体对称性的来源与体现 晶体内部原子排布的周期性
晶体的对称性
晶体物理性质的对称性 （各向同性和各向异性）
符号: La
2
4
6
➢ 轴次的确定：取最高的轴次
旋转对称性的平面图解：
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
6
6
6
6
6
4-fold
6-fold
（4）旋转反演轴与旋转反演操作
旋转反演轴（rotoinversion axis, 习惯符号 Lni ）：
又称为倒转轴、反轴、反演轴（inversion axis）等，
48个对称操作：
三个4：9个对称操作 四个3：8个对称操作 六个2：6个对称操作 一个1：E
对称中心 i 在正方体中心 对称轴也是旋转反演轴： 旋转反演操作共24个
z
y x
例2. 正四面体的对称性（金刚石）
Z
三个4 ：9个对称操作
四个3：8个对称操作
六个 2 ：6个对称操作
Y
一个1：E
X
共24个对称操作
对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，即
使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。
对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、
面）。
二、物体宏观对称性的描述
1. 对称元素与对称操作 对称元素： 对称中心、对称面、对称轴、旋转反演轴；
对称中心
i
反演
I
对称面(镜面) m
反映
M
一重旋转轴 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴
1
旋转
L(0 )
2
旋转
L(180 )
3
旋转
ห้องสมุดไป่ตู้
L(120 )
4
旋转
L(90 )
6
旋转
L(60 )
四重反轴
4
旋转反演 L(90 )I
等同元素或组合成分 1 2
3i 3 3m 6
4. 晶体宏观对称性分析实例 例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）
这些“元素”被赋予一定的“乘法法则（·）”，满足下列
性质： (1) 闭合性：若 A, B G，则A ·B=C G
(2) 存在单位元素E：使得所有元素满足 A ·E = A
(3) 存在逆元素：对于任意元素A存在A-1 ， AA-1=A-1A=E
(4) 满足结合律：A(BC)=(AB)C
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
第二章 晶体的宏观对称性
在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能 够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原 理相比。
—— 李政道
电荷对称:
一组带电粒子 极性互换, 其相互 作用不变（但在弱 相互作用下这种对 称被部分破坏）.
C60
手性分子
对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。 发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子 学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现 代科学的中心观念。
对称变换矩阵：
正交变换 ——正交矩阵
—— 绕z轴逆时针转角 ——反演
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义
群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} ，
反映： 符号：M
（3）对称轴与旋转操作
对称轴（symmetry axis, 习惯符号 Ln ）：
一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋
转 360o n 及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。
国际符号：n 基转角a ：使整个物体复原需要的最小转角
a 360o
n
轴次n： 旋转一周物体复原的次数 旋转：
a 360o
n
—— 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
3. 晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作
一次对称轴 1 的对称操作
➢ 除Li4外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称 要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，
是一种复合的对称元素。国际符号： n
辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点
旋转反演：
绕轴旋转 360o n 后再对轴上定点进行反演的联合
操作以及该联合操作的整数倍可使物体复原。
符号: La I
（ 其中 a 360o ）
n
L2i P
L3i L3 C
L4i
L6i L3 P
2. 对称操作的数学描述 对称操作 对称操作