第一章 晶体学基础
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《结晶学基础》
在离子晶体结构中，每个正离子周围都形成 一个负离子配位多面体；正负离子间距离取决 于离子半径之和，正离子配位数取决于正负离 子半径之比，与离子电价无关。
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
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1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
结晶学基础
晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
晶体学基础
单斜
abc
abc
90
90
三斜
abc
3. 点阵类型
7大晶系 包含14 种空间 点阵— —布拉 菲 (A.Brav ais)点阵
§1-2晶面指数、晶向指数——Miller指数
晶面——穿过晶体的原子平面。 晶向——晶体中任意原子列的直线方向。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和取向。这就是 晶体具有各向异性的原因。
( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
思考： {111}包含多少个等价面？
三、 晶向指数与晶面指数的关系
在立方晶系中（包括密排六方）：
[u v w] // (h k l) 时，一定满足：hu+kv+lw = 0 [u v w] (h k l) 时，一定满足：h=u, k=v, l=w
同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族， 用< >括号表示。 例如<100>包含：[100],[010],[001 ],[1 00],[0 1 0],[001] z [011] 不通过原点的晶向： (x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
一、晶向指数
确定晶向指数的步骤： 建立坐标系：oxyz， 晶格长度作为单位长度，原点o在待定晶向上；
找出该晶向上除原点外的任意一点的坐标：x,y,z； 将x,y,z 按比例划成互质(最小)整数u,v,w；
将u,v,w 三个数放在方括号内，就得到晶向指数[uvw]。
[说明]： 晶向指数表示的是一族平行的晶向，即相互平行的晶向 具有相同的晶向指数；
[0 1 0]
o x
[1 0 1] [010] y
abc
abc
90
90
三斜
abc
3. 点阵类型
7大晶系 包含14 种空间 点阵— —布拉 菲 (A.Brav ais)点阵
§1-2晶面指数、晶向指数——Miller指数
晶面——穿过晶体的原子平面。 晶向——晶体中任意原子列的直线方向。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和取向。这就是 晶体具有各向异性的原因。
( 1 00), (0 1 0), (00 1 )
思考： {111}包含多少个等价面？
三、 晶向指数与晶面指数的关系
在立方晶系中（包括密排六方）：
[u v w] // (h k l) 时，一定满足：hu+kv+lw = 0 [u v w] (h k l) 时，一定满足：h=u, k=v, l=w
同一直线上，方向相反的晶向其指数加负号；
原子排列相同但空间位向不同的所有晶向称为晶向族， 用< >括号表示。 例如<100>包含：[100],[010],[001 ],[1 00],[0 1 0],[001] z [011] 不通过原点的晶向： (x2-x1):(y2-y1):(z2-z1) =u:v:w
一、晶向指数
确定晶向指数的步骤： 建立坐标系：oxyz， 晶格长度作为单位长度，原点o在待定晶向上；
找出该晶向上除原点外的任意一点的坐标：x,y,z； 将x,y,z 按比例划成互质(最小)整数u,v,w；
将u,v,w 三个数放在方括号内，就得到晶向指数[uvw]。
[说明]： 晶向指数表示的是一族平行的晶向，即相互平行的晶向 具有相同的晶向指数；
[0 1 0]
o x
[1 0 1] [010] y
晶体学基础
2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
k
l
G
*
k
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3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
材料科学基础 第1章 晶体学基础
人类使用的材料中大多为晶态(Crystalline)，包括单晶、 多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶体？ 晶体有何特点？
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
第一章晶体学基础
2. 非晶体 非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。实际为一种过 冷液体。具有各向同性。
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
材料科学基础_第1章_陶杰_主编_化学工业出版社
晶轴上截距为负数则在指数上加一负 号。
33
几点说明： 1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换 2.若晶面与对应坐标平行，则在该坐标上的指数为0 3.hkl表示沿三个坐标单位长度范围内所含该晶面的个数，
即晶面线密度。 晶面指数规律： （1）某一晶面指数代表了在原点同一侧的一组相互平行且
无限大的晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点
材料科学基础
第一章 晶体学基础
❖1.1 晶体的周期性和空间点阵 ❖1.2 布拉菲点阵 ❖1.3 晶向指数与晶面指数 ❖1.4 晶面间距、晶面夹角和晶带定理 ❖1.5 晶体的对称性 ❖1.6 极射投影
2
1.1 晶体的周期性和空间点阵
1.1.1 晶体与晶体学 晶体：是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体， 即晶体是具有格子构造的固体。 非晶体：原子无规则堆积，也称为 “过冷液体” 。
38
a3 ＝－（a1＋a2）
六方晶系的晶面指数与晶向指数
39
三指数系统→四指数系统
（h k l） （h k il） i＝-（h＋k）
16
3 简单单斜点阵
a≠b≠c α=γ=90°≠β
17
4 简单正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
18
5 底心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ=90°
19
6 体心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
20
7 面心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
21
8 简单六方点阵
a=b≠ c，α=β=90°，γ=120°
选取晶胞的原则：
1. 要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2. 在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3. 在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
33
几点说明： 1.hkl分别对应xyz上的截距，不可互换 2.若晶面与对应坐标平行，则在该坐标上的指数为0 3.hkl表示沿三个坐标单位长度范围内所含该晶面的个数，
即晶面线密度。 晶面指数规律： （1）某一晶面指数代表了在原点同一侧的一组相互平行且
无限大的晶面。 (2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点
材料科学基础
第一章 晶体学基础
❖1.1 晶体的周期性和空间点阵 ❖1.2 布拉菲点阵 ❖1.3 晶向指数与晶面指数 ❖1.4 晶面间距、晶面夹角和晶带定理 ❖1.5 晶体的对称性 ❖1.6 极射投影
2
1.1 晶体的周期性和空间点阵
1.1.1 晶体与晶体学 晶体：是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体， 即晶体是具有格子构造的固体。 非晶体：原子无规则堆积，也称为 “过冷液体” 。
38
a3 ＝－（a1＋a2）
六方晶系的晶面指数与晶向指数
39
三指数系统→四指数系统
（h k l） （h k il） i＝-（h＋k）
16
3 简单单斜点阵
a≠b≠c α=γ=90°≠β
17
4 简单正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
18
5 底心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ=90°
19
6 体心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
20
7 面心正交点阵
a≠b≠c，α=β=γ= 90°
21
8 简单六方点阵
a=b≠ c，α=β=90°，γ=120°
选取晶胞的原则：
1. 要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2. 在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3. 在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
(完整版)第1章 晶体学基础
第一篇 X射线衍射分析（15万字）1 晶体学基础1.1 晶体结构的周期性与点阵晶体是由原子、离子、分子或集团等物质点在三维空间内周期性规则排列构成的固体物质，这种周期性是三维空间的。
晶体中按周期重复的原子、分子或离子团称为结构基元，也就是重复单元。
为了描述晶体内部原子排列的周期性，总是把一个结构基元抽象地看成为一个几何点，而不考虑它的实际内容（指原子、离子或分子）。
这些几何点按结构周期排列，这种几何点的集合就称为点阵，将点阵中的每个点叫阵点。
要构成点阵，必须具备三个条件：（1）点阵点数无限多；（2）各点阵点所处的几何环境完全相同；（3）点阵在平移方向的周期必须相同。
凡是能够抽取出点阵的结构可称为点阵结构或晶体点阵。
点阵中每一阵点对应于点阵结构中的一个结构基元，在晶体中则是一些组成晶体的实物粒子，即原子、分子或离子等，或是这些微粒的集团。
这样，晶体结构与晶体点阵是两个不同的概念，其关系如图1-1所示，晶体结构可以表示为：晶体结构= 晶体点阵+ 结构基元图1-1晶体结构与点阵的关系根据点阵的性质，把分布在同一直线上的点阵称为直线点阵或一维点阵，分布在同一平面内的点阵称为平面点阵或二维点阵，分布在三维空间中的点阵称为空间点阵或三维点阵。
1.1.1 一维周期性结构与直线点阵图1-2（a）是聚乙烯分子链的结构示意图，具有一维周期结构，其结构基元（CH2CH2）周期性地排列在一个方向上。
每一个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，可形成一条直线点阵，是等距离分布在一条直线上的无限点列，如图1-2（b）所示。
取任一阵点作为原点O ，A 为相邻的阵点，则矢量a=OA 表示重复的大小和方向，称为初基（单位）矢量或基矢，若以单位矢量a 进行平移，必指向另一阵点，而矢量的长度a a =ρ称为点阵参数。
图1-2晶体结构与点阵的关系（a ）聚乙烯分子链的结构示意图；（b ）等效的一维直线点阵直线点阵中任何两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为T p = p a (0, ±1, ±2……)矢径T p 完整而概括地描述了一维结构基元排列的周期性。
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例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— ∞
11∞ ( 1 1 0)
绘出( 3 3 4 ) 和 ( 1 1 2 ) 晶面
取倒数
111
化简
3
( 334 )
(-
)
( -1 1 )
334
4
(11 2)
( 1 -1 1 ) 2
请绘出下列晶向： [001] [010] [100]
[110] [1 1 0] [10 1] [112] 请绘出下列晶面： (001) (010) (100) (110) (1 1 0) (10 1) (112)
单胞
晶体结构与点阵的关系
-Fe
CsCl bcc
a a
a
a
simple cubic
a a
-Fe
Cu3Au
CuAu
fcc
a
a
c
a
a simple cubic
a a Simple tetragonal
aa
-Fe
NaCl
a a
a fcc
CaF2
ZnS
a a
a fcc
晶体结构是晶体的直接表达； 点阵是对晶体结构的数学抽象。
数学抽象
晶体法则结：构的周期性和对称性，
1. 一个或几个小球合并成一个数学点
由于2. 高各度阵对称点的的几何周关围系 环境相同， 它只结原果子能：或有原子1群4中具有类相型同的环境
得到
数学点的集合
得到
空间点阵
原子的具体排列方式
直接表达
数学抽象
晶体结构
空间点阵
提取
有代表性的、基本的单元
提取
晶胞
统称
晶胞
eg：
立方晶系中 [111],[111],[111],[111][111],[111][111],[111] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
—— 加 < >
1. 立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的属 同一晶向族
2. 一个晶向指数代表一系列相互平行、方向相同的晶向 3. 一个晶向族代表一系列性质地位相同的晶向
图 晶面指数的标定
晶面指数（h k l）
求法：定原点— 求截距 — 取倒数 — 化最小整数 — 加（）
例：
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— 1 Z 轴坐标 —— 1
111 ( 1 1 1)
求法：定原点— 求截距 — 取倒数 — 化最小整数 — 加（）
特点： 1. 直接表示任意晶面
2. 实际上表示所有相互平行的晶面
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
（1801-1880，英国）
1.晶向指数的标定
晶体中点阵方向的指数，由晶向上 阵点的坐标值决定。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标 长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上； (2)确定该晶向上距原点最近的一个阵点P的三个坐标值(xa， yb，zc)； (3)将x，y，z化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = x∶y∶z； (4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1 -1 1 [ 111]
[1 10]
绘出[100]、[1 10] 晶向
绘出[231]、[321] 晶向
[100]
[231]
[2 1 1]
33
[231]
1 3
2 3
[231]
[100]
[321]
1 3
2 3
[1 10]
绘出[100]、[1 10] 晶向
绘出[231]、[321] 晶向
[231]
1 3
2 3
[231]
[2 1 1] 33
技巧：
[321]
[ 1 -2 1] 33
当晶向指数中有大于1的数时，
外延晶胞，直接求点
将指数化为分数
图 晶向指数的标定
晶向指数的说明：
a.指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b.负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c.晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的 一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不同 或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
[ 0 0 1]
求法：定原点 — 建坐标 — 求坐标 — 化最小整数 — 加[ ]
特点：1. 直接表示任意两点连线的方向
2. 只表示方向，不表示长短 3. 实际上表示所有相互平行、方向一致的晶向
例：
[001]
[111]
[1 1 1]
X 轴坐标 —— 1 Y 轴坐标 —— -1 Z 轴坐标 —— 1
例：
[111] [1 11] [1 1 1] [11 1] = < 111 >
[1 1 1] [1 1 1] [1 1 1] [1 1 1]
[100] [010] [001] = < 100 >
[1 00] [0 1 0] [00 1]
晶体中点阵平面的指数，由晶面与三个坐
2.晶面指数的标定 标的截距值所决定。
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
一、晶体与非晶体（Crystals versus non-crystals ）
固态物质
晶体 规则排列 各向异性 有确定的熔点
规则排列
突变
不规则排列
非晶体 不规排列 各向同性 无确定的熔点
渐变
不规则排列
不规则排列
1.晶体的定义 物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的 周期性重复排列所形成的物质叫晶体。具有各向异性。 可分为金属晶体、离子晶体、共价晶体和分子晶体四种。
划分
点阵类型
结果：
14种点阵类型
称作
布拉菲点阵
对称性
选取
晶胞
晶系 三斜 单斜 正交 六方 正方 菱方 立方
特征 a ≠ b ≠ c，α ≠ β ≠ γ a ≠ b ≠ c，α = γ = 90 °≠ β a ≠ b ≠ c，α = β = γ = 90 ° a＝b ≠ c，α = β = 90 °，γ=120 ° a＝b ≠ c，α =β = γ = 90 ° a＝b＝c，α =β = γ ≠90 ° a＝b＝c， α =β = γ = 90 °
a aa
晶体结构中的球代表实际的原子；
点阵中的球（阵点）代表一个或几个原子，是数学上抽象的点
晶体结构有无数多种 点阵只有14种。
a aa
请总结晶体结构与空间点阵的异同。 晶体结构中的小球、空间点阵中的小球分别代表什么？ 为什么不是每种晶系都有简单、底心、体心、面心点阵？ 如何表达复杂的晶体结构或点阵？ 如何清晰明了地分析、归纳晶体结构、点阵的共同特点？
z
c
a
x
y b
d 晶胞
a 原子堆垛模型
b 空间点阵 c 结晶格子—晶格
固定-抽象-连接-取最小的几何单元-晶胞
（2）晶格 将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。 （3）晶胞 从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞。 在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的是小平行六面体 。 整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
图 布拉菲点阵
晶体结构和空间点阵的区别
晶体结构是原子晶核体＋电中子云实际质点 简化
（原子、离子原或子分子）的具 体排列情况，它抽们象 能组成各 种类刚球型的排列，因此，小球实＋际棍 存刚在球模的型晶体结构是无限球棍的模。型
表征
原子的具体排列方式
即
晶体结构
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵原是子的晶具体体排中列质方式点排列的 几何学抽象，晶体用结以构 描述和分析
2. 非晶体 非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。实际为一种过 冷液体。具有各向同性。
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
3. 描述晶胞的六参数
晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它 包括晶胞的各边长度和各边之间的夹角。
图 晶胞、晶轴和点阵参数
三、晶系和布拉菲点阵
1.晶系
根据晶胞外形即棱边长度关系和晶轴之间的夹 角情况对晶体分类。可将晶体划分为7个晶系