比较线段的长短》参考
比较线段的长短的方法
比较线段的长短的方法一、勾股定理勾股定理是一种用于判断三角形是否为直角三角形的方法，也可以用于比较线段的长短。
根据勾股定理，如果两个线段的平方和相等，那么这两个线段的长度相等。
即：如果线段AB的平方与线段CD的平方相等，那么线段AB与线段CD的长度相等。
二、坐标平面计算在坐标平面上，我们可以通过计算两个线段的长度并比较其大小来判断它们的长度关系。
设线段AB的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，线段CD的坐标为(x3,y3)和(x4,y4)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：l_AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)类似地，线段CD的长度可以计算为：l_CD=√((x4-x3)^2+(y4-y3)^2)比较l_AB和l_CD的大小即可判断出线段AB和线段CD的长短关系。
三、大小比较法除了使用数学公式计算线段的长度，我们还可以通过比较线段上的点的大小来判断线段的长短。
假设线段AB的起点为A，终点为B，线段CD 的起点为C，终点为D，我们可以比较点A和点C的大小，如果AC<CD，那么线段AB的长度小于线段CD的长度；如果AC=CD，那么线段AB的长度等于线段CD的长度；如果AC>CD，那么线段AB的长度大于线段CD的长度。
四、向量法向量法是一种几何学中常用的比较线段长度的方法。
通过将线段AB和线段CD表示成向量的形式，我们可以比较两个向量的模长来判断线段的长短。
设向量AB为→AB，向量CD为→CD，那么线段AB的长度可以计算为：l_AB=，→AB，=√(x_AB^2+y_AB^2)类似地，线段CD的长度可以计算为：l_CD=，→CD，=√(x_CD^2+y_CD^2)比较l_AB和l_CD的大小即可判断出线段AB和线段CD的长短关系。
五、三角函数法根据三角函数的性质，我们可以通过计算线段与坐标轴的夹角和线段的斜率来判断线段的长短。
具体操作如下：1.计算线段的斜率，设线段AB的斜率为k_AB，线段CD的斜率为k_CD。
2024-2025学年北师大版(2024)数学七年级上册 第四章 基本平面图形 课后作业
第四章基本平面图形一、比较线段的长短1.(2023·汕头金平区期末)如图，A，B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A，B两村庄的距离之和最小.数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置.其理由是：两点之间线段最短.2.如图，点B，C都在线段AD上，若AD＝2BC，则()A．AB＝CD B．AC－CD＝BCC．AB＋CD＝BC D．AD＋BC＝2AC3.如图，A，B，C，D是一直线上的四点，则BC＋CD＝AD－AB，AB＋CD＝AD－BC.4.如图，已知线段a，b.求作：线段AB，使AB＝2a＋b.5.(2023·东莞期末)已知线段AB＝10 cm，直线AB上有一点C，且BC＝6 cm，AC的长为 4 cm或16 cm.6.已知线段AB＝6 cm，点P到A，B两点的距离相等，则PA＋PB的长()A．等于6 cm B．小于6 cmC．不小于6 cm D．大于6 cm7.(1)如图①，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离和OA＋OB＋OC＋OD最小，并说出你的理由.由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用.(2)如图②，公路上有A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7七个村庄，现要在这段公路上设一个车站，使这七个村庄到车站的路程总和最小，车站应建在何处？图②二、角的概念及表示方法1.(2023·湛江经开区期末)如图，下列说法：①∠1就是∠A；②∠2就是∠B；③∠3就是∠C；④∠4就是∠D．其中正确的是()A．①B．①②C．①②③D．①②③④2.下列图中的∠1也可以用∠O表示的是()3.如图，下列说法错误的是()A．∠AOB也可用∠O来表示B．∠β与∠BOC是同一个角C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠1与∠AOB是同一个角4.如图，将图中的角用不同方法表示出来，并对应填写在下表中：∠α∠β∠C∠θ∠ABC∠BAD5.如图，图中小于平角的角有()A．4个B．5个C．6个D．7个6.如图，请回答以下问题：(1)试用三个大写字母表示下列各角：∠2就是∠DBC，∠3就是∠BAD，∠4就是∠BDC；(2)图中共有9个角(除去平角)，其中可以用一个大写字母表示的角有1个.7.如图，图中一共有几个角？它们应如何表示？8.(2023·河源紫金县期末)如图，在已知角的内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；……若在角的内部画2 023条射线，图中共有 2 049 300个角.三、角的比较与运算1.如图，用“＞”或“＜”填空：(1)在图①中，∠AOB＜∠AOC；(2)在图②中，∠POQ＜∠ROQ.2.如图，OC平分∠AOB．(1)若∠1＝22.5°，则∠2＝22.5°，∠AOB＝45°；(2)若∠AOB＝60°，则∠1＝30°.第2题图3.如图，点O是直线CD上的一点，以点O为端点在直线CD上方作射线OA和射线OB，若射线OA平分∠COB，∠DOB＝110°，则∠AOB的度数是()第3题图A．32°B．35°C．40°D．42°4.(2024·揭阳惠来县期末)如图，用直尺和圆规作∠PCD＝∠AOB，作图痕迹中，弧MN是()A．以点C为圆心，OE为半径的弧B．以点C为圆心，EF为半径的弧C．以点G为圆心，OE为半径的弧D．以点G为圆心，EF为半径的弧5.如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠DOC＝25°.则∠AOD＝65°，∠AOB＝155°.6.已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为() A．28°B．112°C．28°或112°D．68°7.把一副三角尺按如图所示的方法拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN＝127.5°.8.如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数.四、第四章复习1.下列说法中正确的有()①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③有公共端点的两条射线组成的图形叫作角；④若AB＝BC，则点B是AC的中点.A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧MN，分别交OA，OB于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧PQ，交弧MN于点C，画射线OC．若∠AOB＝31°，则∠AOC的度数为62°.第2题图3.一个圆被分为1∶5两部分，则较大的弧所对的圆心角是300°.4.如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点.如果CD＝3 cm，AB＝10 cm，那么BC的长为()A．3 cm B．3.5 cmC．4 cm D．4.5 cm5.34.37°＝34°22'12″.∠BOC，则∠BOD＝54°.6.(2023·梅州期末)如图，O是直线AB上的点，OD是∠COB的平分线，若∠AOC＝23第6题图7.(2023·佛山南海区期末)下列时刻，钟表的时针与分针所成的夹角是锐角的是()A．11：15 B．9：00C．6：00 D．3：30AC，D，E分别为AC，AB的中点，则DE的长为4.5 cm.8.如图，已知点C为线段AB上的一点，AC＝15 cm，CB＝359.如图，O为直线AB上的一点，∠BOE＝80°，直线CD经过点O.(1)如图①，若OC平分∠AOE，求∠AOD的度数；(2)如图②，若∠BOC＝2∠AOC，OE平分∠COF，求∠COF的度数.。
线段的长短比较 课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册
想一想
只有圆规和无刻度的直尺的情况下，那么线段如何
使用叠合法？
a
如何在线段 CD 上画出线段 AB， 实际 并且一个端点重合，另一个端点
A
B
要放在公共端点的同侧？
C
本质 D
已知线段 a，如何作一条
线段 AB，使 AB = a？
本质 作一条线段等于已知线段 “尺规作图”
a
a
M
N
总结
AC
B
先用直尺画射线，再用圆规在射线上截取已知线段．
因为 D 是线段 CB 的中点，
所以 CD = CB = ×3 = 1.5 (cm).
所以 AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
练一练
1. (成都期末) 如图，长度为 20 cm 的线段 AB 的中点为
M，点 C 在线段 MB 上，且 MC∶CB = 2∶3，则线段
叠合法
实际 如何在线段 CD 上画出线段 AB，并且一端端 点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧？
A
B
C(A)
BD
归纳总结
叠合法比较线段的大小：
A(C)
DB
AB＞CD
A(C)
B D AB＜CD
AB = CD
A(C)
B(D)
试一试 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段的 2 倍.
A0
1
B
23
4
C
5 6 0 7 1 8 2 9 3104
D
56
7
8
9 10
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 线段的和、差、倍、分
在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线 上画线段 BC = b，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC = a + b. 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD = a - b .
2024新人编版七年级数学上册《第六章6.2.2第1课时比较线段的长短》教学课件
探究新知
作一条线段等于已知线段.
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第二步：用圆规在射线 AF 上截取
AB = a.
Aa
所以 线段 AB 为所求.
a BF
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是
尺规作图.
探究新知
说一说
你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身 高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
义务教育（2024年）新人教版 七年级数学上册
第6章 几何图形初步 课件
第六章 几何图形初步
6.2.2 线段的比较与计算 第1课时 比较线段的长短
学习目标
1.用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短. 2. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化;了解两 点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性 质，并学会运用.
两点的所有连线中，线段最短.
连接两点间的线段的长度，叫做 这两点的距离.
探究新知
1.如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计 划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计线路？请 在图中画出，并说明理由.
B. A.
两点之间线段最短.
探究新知
2.把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长度 有什么变化？
两个端点的位置作比较.
C (A)
尺规作图
BD
探究新知
叠合法结论
A C (A)
A C(A) A (A)C
B
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
B D 在C，D之间，那么 AB ＜CD.
B (B) D
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D 重合 ，那么 AB = CD.
《线段长短的比较》PPT 图文
我幸，今生在最美的时光遇见了 你。张 爱玲说 ，因为 爱了， 所以慈 悲。因 为懂得 ，所以 宽容。 总有那 么一个 人，即 便全世 界都不 爱你， 也会为 你低眉 ，为你 垂泪， 为你留 一盏温 暖的灯 ，默默 守护在 你身旁 ，在清 浅的时 光里， 陪你看 草长莺 飞，陪 你数散 落星辰 ！
因为有缘，你我同住同修，同见 同知， 相互依 靠，相 互取暖 。生死 契阔， 与子成 说;执子 之手， 与子携 老。爱 ，最长 情的告 白，不 是千万 句“我 爱你” ，也不 是春花 秋月前 的山盟 海誓， 天长地 久。而 是愿意 用其一 生的光 阴来陪 伴你， 来包容 你！即 便在寡 味的日 子里， 也会用 爱去 浇灌， 用心去 呵护， 为你种 出一朵 妖艳之 花，㶷 烂至极 。
B
动手做一做
点P在线段AB上， （1）在线段BA上截取BQ=AP （2）延长AB到D，使BD=AP
A
P
B
小明到小英家有三条路可走，如图，你认为走哪条路最近？
（1）
A
（2）
B
（3）
答：走第(2)条路最短。
两点之间的所有连线中线段最短。
两点之间线段的长度，叫做这两
点之间的距离。
1、判断题
（1）两条线段能比较大小，而直线是不能
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光， 剪掉喧 嚣尘世 的纷纷 扰扰， 剪掉终 日的忙 忙碌碌 。情也 好，事 也罢， 细品红 尘，文 字相随 ，把寻 常的日 子，过 得如春 光般明 媚。光 阴珍贵 ，指尖 徘徊的 时光唯 有珍惜 ，朝圣 的路上 做一个 谦卑的 信徒， 听雨落 ，嗅花 香，心 上植花 田，蝴 蝶自会 来，心 深处自 有广阔 的天地 。旧时 光难忘 ，好的 坏的一 一纳藏 ，不辜 负每一 寸光阴 ，自会 花香满 径，盈 暗香满 袖。尘 。但就 是无数 个小小 的你我 点燃了 万家灯 火，照 亮了整 个世界 。这人 间的生 与死， 荣与辱 ，兴与 衰，从 来都让 人无法 左右， 但我们 终不负 韶光， 不负自 己，守 着草木 ，守着 云水， 演绎着 一代又 一代的 传奇。
专题4.2 比较线段的长短【十大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.2 比较线段的长短【十大题型】【北师大版】【题型1 线段中点的有关计算】 (1)【题型2 线段的和差】 (4)【题型3 线段的数量关系】 (8)【题型4 简单线段的长短比较】 (11)【题型5 两点间的距离】 (15)【题型6 线段n等分点的有关计算】 (18)【题型8 线段中的动点问题】 (26)【题型9 尺规作线段】 (31)【题型10 线段中的对折问题】 (33)【知识点比较线段的长短】（1）两点的所有连线中，线段最短。
简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
（2）线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.【题型1线段中点的有关计算】【例1】（2023春·山东烟台·七年级统考期中）已知线段AB=12cm，点C为直线AB上一点，且AC=4cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）A．4cm B．8cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm【答案】D【分析】分两种情况考虑：点C在线段AB上，点C以线段BA的延长线上；利用中点的意义及线段的和差关系即可求得线段AD的长．【详解】①当点C在线段AB上时，如图则BC=AB−AC=12−4=8(cm)∵点D为线段BC的中点BC=4cm∴CD=12∴AD=AC+CD=4+4=8(cm)②点C以线段BA的延长线上时，如图则BC=AB+AC=12+4=16(cm)∵点D为线段BC的中点BC=8cm∴CD=12∴AD=CD−AC=8−4=4(cm)综上所述，AD的长为4cm或8cm故选：D【点睛】本题考查了中点的含义、线段的和差运算，注意分类讨论．【变式1-1】（2023秋·福建三明·七年级统考期中）如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且AD+BE=8，AE+BD=12，则CB的长为．【答案】5【分析】由线段和差关系可求DE，AB，由中点的性质可求解．【详解】解：∵AD+BE+DE=AB，AE+BD−DE=AB，∴8+DE=AB，12−DE=AB，∴DE=2，AB=10，∵C是AB的中点，∴CB=1AB=5．2故答案为：5．【点睛】本题考查了线段和差与中点的性质和应用，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级统考期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8 cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD 的长度；(2)求DE 的长度；(3)若M 在直线AB 上，且MB =6cm ，求AM 的长度．【答案】(1)6cm (2)4cm (3)26cm 或14cm【分析】（1）直接根据D 是AC 的中点可得答案；（2）先求出AB 的长，然后根据E 是AB 的中点求出AE ，做好应AE−AD 即为DE 的长；（3）分M 在点B 的右侧、M 在点B 的左侧两种情况进行计算即可．【详解】（1）解：由线段中点的性质AD =12AC =12×12=6cm ；（2）由线段的和差，得AB =AC +BC =12+8=20cm ，由线段中点的性质，得AE =12AB =12×20=10cm ，由线段的和差，得DE =AE−AD =10−6=4cm ；（3）当M 在点B 的右侧时，AM =AB +MB =20+6=26cm ，当M 在点B 的左侧时，AM =AB−MB =20−6=14cm ，∴AM 的长度为26cm 或14cm ．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．【变式1-3】（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段AN 的延长线上，且线段MN =10，第一次操作：分别取线段AM 和AN 的中点M 1、N 1；第二次操作：分别取线段AM 1和AN 1的中点M 2，N 2；第三次操作：分别取线段AM 2和AN 2的中点M 3，N 3；…连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M 1N 1+M 2N 2+⋅⋅⋅+M 2023N 2023=（ ）A ．10+522022B ．10+522023C ．10−522022D ．10−522023【答案】C【分析】根据MN =10，M 1、N 1分别为AM 、AN 的中点，求出M 1N 1的长度，再由M 1N 1的长度求出M 2N 2的长度，找到M n N n 的规律即可求出M 1N 1+M 2N 2+⋅⋅⋅+M 2023N 2023的值．【详解】解：∵MN =10，M 1、N 1分别为AM 、AN 的中点，∴M 1N 1=AM 1−AN 1=12AM−12AN =12(AM−AN )=12MN =12×10=5，∵M 2、N 2分别为AM 1、A N 1的中点，∴M 2N 2=AM 2−AN 2=12AM 1−12AN 1=12(AM 1−AN 1)=12M 1N 1=12×5=52，∵M 3、N 3分别为AM 2、A N 2的中点，∴M 3N 3=AM 3−AN 3=12AM 2−12AN 2=12(AM 2−AN 2)=12M 2N 2=12×52=522，……由此可得：M n N n =52n−1，∴M 1N 1+M 2N 2+⋯+M 2023N 2023=5+52+522+⋯+522022=10×+122+⋯=10×1−=10−522022，故选C ．【点睛】本题考查线段中点的有关计算，有理数的简便运算，相对较难，根据题意找出规律是解题的关键．【题型2 线段的和差】【例2】（2023秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，C 、D 是线段AB 上两点，M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，下列结论：①若AD =BM ，则AB =3BD ；②若AC =BD ，则AM =BN ；③AC−BD =2(MC−DN )；④2MN =AB−CN ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．③④C ．①②④D ．①②③④【答案】A【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可．【详解】解：如图， ∵M 、N 分别是线段AD 、BC 的中点，∴AM =MD =12AD ，CN =BN =12BC ，∵AD =BM ，∴AD =MD +BD ， ∴AD =12AD +BD ， ∴AD =2BD ，∴AD +BD =2BD +BD =3BD ，即AB =3BD ，故①符合题意； ∵AC =BD ， ∴AD =BC ， ∴12AD =12BC ，∴AM =BN ，故②符合题意；∵AC−BD =AD−CD−BD =AD−(CD +BD )=AD−BC ，∴AC−BD =2MD−2CN =2(MD−CN )=2(MC +CD−CD−DN )=2(MC−DN ) ，故③符合题意； ∵2MN =2MC +2CN ，MC =MD−CD ，∴2MN =2(MD−CD )+2CN =2(MD +CN−CD )， ∵MD =12AD ，CN =12BC ，∴2MN =+12BC−CD=AD−CD +BC−CD =AC +BD=AB−CD ，故④不符合题意， 故选：A ．【点睛】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·山东济南·七年级校考阶段练习）两根木条，一根长10cm ，另一根长8cm ，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为 cm ．【答案】1或9【分析】设AC =8cm ，AB =10cm ，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，可得AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，再由ED =AE +AD 即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，可得AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，再由ED =AD−AE 即可得出答案．【详解】解：设AC =8cm ，AB =10cm ，根据题意，①如图1，∵点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，∴AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，∴ED =AE +AD =4+5=9(cm)；②如图2，∵点E 是AC 的中点，点D 是AB 的中点，∴AE =12AC =12×8=4，AD =12AB =12×10=5，∴ED =AD−AE =5−4=1(cm)．综上所述，两根木条的中点之间的距离为1cm 或9cm ．故答案为：1或9．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．【变式2-2】（2023秋·江苏南京·七年级校考期末）如图，C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且AD =26cm ，BC =6cm ．(1)图中共有 条线段？(2)求AC 的长．(3)若点E 在直线AD 上，且EA =8cm ，求BE 的长．【答案】(1)6(2)14cm (3)12cm 或28cm【分析】（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；（2）先根据线段中点的定义求出CD=12cm，则AC=AD−CD=14cm；（3）分当点E在线段AD上时，当点E在线段DA的延长线上时，两种情况求出CE的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有：AC，BC，BD，AB，CD，AD一共6条，故答案为：6；（2）解：∵BC=6cm，点B为CD的中点，∴CD=2BC=12cm，∵AD=26cm，∴AC=AD−CD=14cm；（3）解：如图1所示，当点E在线段AD上时，∵AC=14cm，AE=8cm，∴CE=AC−AE=6cm，∵BC=6cm，∴BE=BC+CE=12cm；解：如图2所示，当点E在线段DA的延长线上时，∵AC=14cm，AE=8cm，∴CE=AC+AE=22cm，∵BC=6cm，∴BE=BC+CE=28cm；综上所述，BE的长为12cm或28cm．【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的线段计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式2-3】（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）已知B、C在线段AD上．(1)如图，图中共有条线段，AD＝＋－；(2)如图，若AB:BD=2:5．AC:CD=4:1．且BC=18，求AD的长度．【答案】(1)6；AC,BD,BC (2)AD =35【分析】（1）根据线段的定义可求出线段的数量；根据线段的和差可可解决与AD 有关的数量关系；（2）设AD =x ，表示出AB 、AC ，根据BC =18列方程求解即可．【详解】（1）图中线段有：AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6条；AD =AC +BD−BC ．故答案为：6；AC,BD,BC ．（2）设AD =x因为AB ：BD ＝2：5，AC ：CD ＝4：1所以AB =252BD =27x ，AC =441BD =45x 因为AC−AB =BC ，BC =18所以45x−27x =18解得x =35所以AD =35．【点睛】本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．【题型3 线段的数量关系】【例3】（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M 是线段AB 上一点，若AM =14AB ，点N 是直线AB 上的一动点，且AN−BN =MN ，则MNAB = ．【答案】1或12【分析】分两种情况：当点N 在线段AB 上，当点N 在线段AB 的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N 在线段AB 上，如图：∵AN−BN =MN ，AN−AM =MN ，∴BN =AM ，∵AM =14AB ，∴BN=14AB，∴MN=AB−AM−BN=12AB，∴MNAB =12；当点N在线段AB的延长线上，如图：∵AN−BN=MN，AN−BN=AB，∴AB=MN，∴MNAB=1，综上所述：MNAB 的值为1或12，故答案为：1或12．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．【变式3-1】（2023秋·江苏·七年级期末）如图，C、D是线段AB上两点，且CD=3AD−2BC，则AC与BD 的关系是（）A．AC=BD B．2AC=BD C．3AC=2BD D．4AC=3BD【答案】C【分析】先分别表示出AC和BD，即可求出两者的关系．【详解】解：∵AC=AD-CD=AD-3AD+2BC=2BC-2AD=2(BC-AD)，BD=BC-CD=BC-3AD+2BC=3BC-3AD=3(BC-AD)，∴AC BD =2(BC−AD)3(BC−AD)=23，∴3AC=2BD，故选：C．【点睛】本题考查线段的计算，熟练掌握线段的和差是解题的关键．【变式3-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知点C为线段AB的中点，D为CB上一点，下列关系表示错误的是（ ）A．CD＝AC﹣DB B．BD+AC＝2BC﹣CDC．2CD＝2AD﹣AB D．AB﹣CD＝AC﹣BD【答案】D【分析】根据图形可以明确线段之间的关系，对线段CD、BD、AD进行和、差转化，即可发现错误选项．【详解】解：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC，AB＝2BC＝2AC，AB﹣BD＝AC﹣BD；∴CD＝BC﹣BD＝12∵BD+AC＝AB﹣CD＝2BC﹣CD；∵CD＝AD﹣AC，∴2CD＝2AD﹣2AC＝2AD﹣AB；∴选项A、B、C均正确．而答案D中，AB﹣CD＝AC+BD；∴答案D错误符合题意．故选：D．【点睛】本题考查线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【变式3-3】（2023春·浙江·七年级期中）如图1，AB是一条拉直的细绳，C,D两点在AB上，且AC:BC=2:3，AD:BD=3:7．则（1）CD:AD=；（2）若将点C固定，将AC折向BC，使得AC落在BC上（如图2），再从点D处剪断，使细绳分成三段，分成的三段细绳的长度由小到大之比为．【答案】1∶3 2∶3∶5【分析】（1）根据题意AC:BC =2:3，可得AC:AB =2:5，AC =25AB ；根据AD:BD =3:7，可得AD:AB =3:10，AD =310AB ；CD =AC−AD =110AB ，CD:AD 就是110AB:310AB ，计算求出答案即可．（2）设对折后点D 关于C 点对称处为D ′，被剪断两处分别是点D 和D ′，剪开的三段细绳依次是AD 、DD ′、D ′B ，根据对折性质DD ′=2DC ，D ′B =CB−CD ′，把AD 、DD ′、D ′B 的长度写成关于AB 的值，比较大小后代入计算即可．【详解】解：（1）∵AC:BC =2:3，AC +CB =AB ，∴AC:AB =2:(2+3)=2:5，∴AC =25AB ；∵AD:BD =3:7，AD +DB =AB ，∴AD:AB =3:(3+7)=3:10，∴AD =310AB ；∵CD =AC−AD =25AB−310AB =110AB ，∴CD:AD =110AB:310AB =1:3．（2）设对折后点D 关于C 点对称处为D ′，被剪断两处分别是点D 和D ′，剪开的三段细绳依次是AD 、DD ′、D ′B ，∵根据上题，AD =310AB ；DD ′=2DC =2×110AB =15AB ；D ′B =CB−CD ′=CB−CD =35AB−110AB =12AB ；∴DD ′<AD <D ′B ．∴DD ′:AD:D ′B =15AB:310AB:12AB =2:3:5．故答案为：（1）1∶3（2）2∶3∶5．【点睛】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．【题型4 简单线段的长短比较】【例4】（2023春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走：①为折线段ABCDEFG ，②为折线段AIG ，③为折线段AJHG ．三条路的长依次为a 、b 、c ，则（ ）A．a＞b＞c B．a＝b＞c C．a＞c＞b D．a＝b＜c【答案】B【详解】观察图形,可知:①②相等,③最短,a、b、c的大小关系是:a=b>c.故选B.【点睛】本题考查线段长短的度量、比较, 根据平移的性质,两点间线段距离最短,认真观察图形,可知①②都是相当于走直角线,故①②相等,③走的是两点间的线段,最短.【变式4-1】（2023秋·七年级课时练习）如图，已知三角形ABC，下列比较线段AC和AB长短的方法中，可行的有（）①用直尺度量出AB和AC的长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，若点B在线段AC 上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC；③沿点A折叠，使AB和AC 重合，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC．【详解】比较线段AC和AB长短的方法有：①用直尺度量出AB和AC的长度，比较长度；②用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC；③沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置，若点B在线段AC上，AB<AC；若点B与点C重合，AB=AC；若点B在AC的延长线上，AB>AC．共3个方法．故选：D ．【点睛】本题主要考查了比较三角形两边长短的方法，熟练掌握度量法，叠合法，是解决问题的关键，其中叠合法包括叠放法，折叠法．【变式4-2】（2023秋·云南楚雄·七年级统考期末）如图，B ，C 在线段AD 上，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，(1)图中以C 为端点的线段共有______条.(2)若AB =CD ，①比较线段的长短：AC ______BD ；AN ______DM （填：“>”、“=”或“<”）②若AD =21，AB:BC =2:3，求MN 的长度.【答案】(1)5(2)①=；=；②15【分析】（1）除C 点外还有5个端点，即以C 为端点的线段有5条；（2）①根据题意有AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，即有AB +BC =CD +BC ，AM =MB =CN =ND ，即有AC =BD ，AD−ND =AD−AM ，问题随之得解；②设AB =2x ，BC =3x ，则CD =2x ，依题意，得2x +3x +2x =21，即可得AB =6，BC =9，CD =6，根据①：AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，即可求解．【详解】（1）∵除C 点外还有5个端点，∴以C 为端点的线段有5条，故答案为：5；（2）①∵M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，∴AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，∵AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，AM =MB =CN =ND ，∴AC =BD ，AD−ND =AD−AM ，∴AN =DM ，故答案为：＝，＝；②设AB =2x ，BC =3x ，则CD =2x ，依题意，得2x +3x +2x =21，解得x =3，故AB =6，BC =9，CD =6，∵根据①：AM =MB =12AB ，CN =ND =12CD ，∴MN =BM +BC +CN =3+9+3=15．【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，一元一次方程的应用等知识，理清各线段的关系，是解答本题的关键．【变式4-3】（2023秋·浙江杭州·七年级统考期末）如图，已知直线AB ，射线AC ，线段BC ．(1)用无刻度的直尺和圆规作图：延长BC 到点D ，使CD =AC ，连接AD ．(2)比较AB +AD 与BC +AC 的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AB +AD >BC +AC ，见解析【分析】（1）根据题意，作出图形即可；（2）利用两点之间线段最短以及线段的和差，求解即可．【详解】（1）解：如图；（2）解：根据两点之间线段最短可判断AB +AD >BD ．即AB +AD >BC +CD∵CD =AC∴AB+AD＞BC+AC【点睛】此题考查了尺规作图－线段，以及两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．【题型5 两点间的距离】【例5】（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）如图，在线段MN上有P、Q两点，PQ长度为2cm，MN长为整数，则以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为（）A．19cm B．20cm C．21cm D．22cm【答案】B【分析】根据题意可知，所有线段的长度之和是MP+MQ+MN+PQ+PN+QN，然后根据PQ=2cm，线段MN的长度是一个正整数，可以解答本题．【详解】解：由题意可得，图中以M、P、Q、N这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：MP+MQ+MN+PQ+PN+QN (MP+PQ+QN)+(MQ+PN)+MN=MN+MN+PQ+MN=3MN+PQ∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多2，∴以M、P、Q、N为端点的所有线段长度和可能为20．故选B．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【变式5-1】（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有A,B,C,D不重合的四个点，AB=8,BC=3,CD=5，则AD的长为．【答案】6或10或16【分析】由于没有图形，故A,B,C,D四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：∵AB=8，BC=3，CD=5，∴AD =AB +BC−CD =8+3−5=6，II ．当点C 在B 的右侧，点D 在C 的右侧时，如图：∴AD =AB +BC−CD =8+3+5=16，III ．当点C 在B 的左侧，点D 在C 的左侧时，如图：∴AD =AB−BC−CD =8−3−5=0，点A 、D 重合，不合题意，IV ．当点C 在B 的左侧，点D 在C 的右侧时，如图：∴AD =AB−BC +CD =8−3+5=10，点A 、D 重合，不合题意，综上所述：AD 的长为6或10或16故答案为：6或10或16．【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之间的和差关系得到AD 的长度．【变式5-2】（2023秋·福建福州·七年级统考期末）互不重合的A 、B 、C 三点在同一直线上，已知AB =2a,AC =a +6,BC =3a +1，则这三点的位置关系是（ ）A ．点A 在B 、C 两点之间B ．点B 在A 、C 两点之间C ．点C 在A 、B 两点之间D ．无法确定【答案】B【分析】根据题意得a ≥0，若点A 在B 、C 两点之间，则AB +AC =BC ，此时无解，若点B 在A 、C 两点之间，则BC +AB =AC ，解得a =54，若点C 在A 、B 两点之间，则BC +AC =AB ，解得a =−72，综上，即可得．【详解】解：∵AB =2a,AC =a +6,BC =3a +1，∴a ≥0，A 、若点A 在B 、C 两点之间，则AB+AC=BC，2a+a+6=3a+1，此时无解，故选项A情况不存在；B、若点B在A、C两点之间，则BC+AB=AC，3a+1+2a=a+6，a=54，故选项B情况存在；C、若点C在A、B两点之间，则BC+AC=AB，3a+1+a+6=2a，a=−72，故C情况不存在；故选：B．【点睛】本题考查了两点间的距离，整式的加减，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论．【变式5-3】（2023秋·辽宁大连·七年级统考期末）如图，A、B、C、D、E是直线l上的点，线段AB=12 cm，点D、E分别是线段AC、BC的中点．(1)求线段DE的长；(2)若BC=4cm，点O在直线AB上，AO=5cm，求线段OE的长；(3)若BC=m cm，点O在直线AB上，AO=n cm，请直接写出线段OE的长 cm．（用含m、n的式子表示）【答案】(1)6cm(2)5cm或15cm(3)(n+12−m2)或(12−n−m2)或(n−12+m2)cm【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；（2）根据线段的和差关系即可得到结论；（3）根据线段的和差关系即可得到结论．【详解】（1）∵点D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，∴DC =AD =12AC ，BE =CE =12BC ，∴DE =DC +CE =12AC +12BC =12AB =12×12=6cm ；（2）∵E 为BC 的中点，∴BE =CE =12BC =2cm ，当点O 在点A 的左边时，OE =OA +AE =OA +AB−BE =5+12−2=15cm ；当点O 在点A 的右侧时，OE =AE−OA =AB−BE−OA =12−2−5=5cm ；（3）∵BC =m cm ，∴BE =CE =12BC =m 2，当点O 在点A 的左边时，OE =OA +AE =OA +AB−BE =(n +12−m 2)cm ；当点O 在点A 的右侧在E 的左侧时，OE =AE−OA =AB−BE−OA =(12−n−m 2)cm ，当点O 在E 的右侧时，OE =BE−AB +OA =(n−12+m 2)cm ，综上所述，线段OE 的长为(n +12−m 2)或(12−n−m 2)或(n−12+m 2)cm ；故答案为： (n +12−m 2)或(12−n−m 2)或(n−12+m 2)cm ．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．【题型6 线段n 等分点的有关计算】【例6】（2023·全国·七年级假期作业）如图，将一根绳子对折以后用线段AB 表示，点P 是AB 的四等分点，现从P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30cm ，则这条绳子的原长为 cm ．【答案】40或80或120或240．【分析】分AP =13PB ，PB =13AP 这两种情况，结合图形就所得三段绳子其中一段长度为30cm ，再分类讨论求解可得．【详解】解：①如图1，当AP =13PB 时，此时剪开的三段分别为AP 、PP′、A′P′，若AP=A′P′=30cm ，则PB=P′B=3PA=90cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+180+30=240（cm ）；若PP′=30cm ，则PB=P′B=15cm ，AP=A′P′=13PB=5cm ，此时AA′=5+30+5=40（cm ）；②如图2，当PB =13AP 时，此时剪开的三段分别为AP 、PP′、A′P′，若AP=A′P′=30cm ，则PB=P′B=13AP=10cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=30+20+30=80（cm ）；若PP′=30cm ，则PB=P′B=15cm ，AP=A′P′=3PB=45cm ，此时AA′=AP+PP′+A′P′=45+30+45=120（cm ）；综上，这条绳子的原长为40或80或120或240cm ，故答案为：40或80或120或240．【点睛】本题考查线段的和差．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键．【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）如图B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4的三部分，M 是AD 的中点，CD =8，求MC 的长．【答案】MC =1【分析】设AB =2x ，得CD =4x ，BC =3x ，AD =9x ，再根据CD =8，求出x 的值，故可得出线段AD 的长度，再根据M 是AD 的中点可求出MD 的长，由MC =MD−CD 即可得出结论．【详解】解：设AB =2x ，∵AB ∶BC ∶CD =2∶3∶4，∴CD =4x ，BC =3x ，AD =(2+3+4)x =9x ，∵CD =8，∴x=2，∴AD=9x=18，∵M是AD的中点，∴MD=12AD，∴MC=MD−CD=12AD−CD=12×18−8=1．【点睛】本题考查的是线段的和差运算，中点的含义，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，线段AB和线段CD的公共部分是线段BD，点E、F分别是AB、CD的中点，若BF:DE=5:2，BC−EF=3，AE=6，则AC的长为．【答案】26【分析】由图，可求CF−BE=3，由BE=AE=6，得DF=CF=3+BE=9，于是9−DB6−DB =52，得DB=4，进而求得AC=AB+CD−DB=26．【详解】解：∵BC−EF=3，BC，EF有一段公共边BF，∴CF−BE=3，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AE=6，∴DF=CF=3+BE=3+6=9，∵BF=9−DB，DE=6−DB，BF:DE=5:2，∴9−DB6−DB =52，∴DB=4，∴AC=AB+CD−DB=6×2+9×2−4=26．故答案为：26．【点睛】本题考查根据直线上线段间的数量关系计算线段长度，由直线上点之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．【变式6-3】（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点C 在线段AB 上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点．若AB =6，AC =2，求MN 的长．(1)根据题意，小明求得MN =______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN 的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB =a ，C 是线段AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．①如图1，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN =______．②如图2，M ，N 分别是AC ，BC 的三等分点，即AM =13AC ，BN =13BC ，求MN 的长．③若M ，N 分别是AC ，BC 的n (n ≥2)等分点，即AM =1n AC ，BN =1n BC ，则MN =______．【答案】(1)3(2)①12a ；②23a ；③n−1n a【分析】（1）由AB =6，AC =2，得BC =AB−AC =4，根据M ，N 分别是AC ，BC 的中点，即得CM = 12 AC =1，CN = 12 BC =2，故MN =CM +CN =3；（2）①由M ，N 分别是AC ，BC 的中点，知CM = 12 AC ，CN = 12 BC ，即得MN = 12 AC + 12 BC = 12 AB ，故MN = 12 a ；②由AM = 13 AC ，BN = 13 BC ，知CM = 23 AC ，CN = 23 BC ，即得MN =CM +CN = 23 AC + 23 BC = 23 AB ，故MN = 23 a ；③由AM = 1n AC ，BN = 1n BC ，知CM =n−1n AC ，CN = n−1n BC ，即得MN =CM +CN = n−1n AC + n−1n BC = n−1n AB ，故MN = n−1n a ．【详解】（1）解：∵AB=6，AC=2，∴BC=AB−AC=4，∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=1，CN=12BC=2，∴MN=CM+CN=3；故答案为：3；（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∴MN=12AC+12BC=12AB，∵AB=a，∴MN=12a；故答案为：12a；②∵AM=13AC，BN=13BC，∴CM=23AC，CN=23BC，∴MN=CM+CN=23AC+23BC=23AB，∵AB=a，∴MN=23a；③∵AM=1n AC，BN=1nBC，∴CM=n−1n AC，CN=n−1nBC，∴MN=CM+CN=n−1n AC+n−1nBC=n−1nAB，∵AB=a，∴MN=n−1na，故答案为：n−1na．【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【题型7与线段的长短比较有关的应用】【例7】（2023春·北京海淀·七年级首都师范大学附属中学校考开学考试）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，⋯，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是．【答案】①③【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【详解】解；如图，因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关．故答案为：①③．【点睛】此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力．【变式7-1】（2023春·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考开学考试）如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．【变式7-2】（2023春·浙江宁波·七年级校考开学考试）一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处．【答案】150【详解】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案．解：假设车站距离1号楼x米，则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|，①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350；②当50≤x≤100时，S=1800-9x，最小值为900；②当100≤x≤150时，S=1200-3x ，最小值为750（此时x=150）；当150≤x≤200时，S=5x ，最小值为750（此时x=150）．∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．故答案为150．【变式7-3】（2023秋·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作，我们需要设置零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床A 1，A 2时，很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行，距离之和等于A 1到A 2的距离；如果直线上有3台机床A 1、A 2、A 3，供应站P 应设在中间一台机床A 2处最合适，距离之和恰好为A 1到A 3的距离；如果在直线上4台机床，供应站P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P 应设在第3台的地方；(1)阅读递推：如果在直线上有7台机床，供应站P 应设在（ ）处．A ．第3台B ．第3台和第4台之间C ．第4台D ．第4台和第5台之间(2)问题解决：在同一条直线上，如果有n 台机床，供应站P 应设在什么位置？(3)问题转化：在数轴上找一点P ，其表示的有理数为x ．当x =_______时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，此时最小值为___________．【答案】(1)C(2)当n 为奇数时，供应站P 应设在第n 12台的位置；当n 为偶数时，供应站P 应设在第n 2台第1台之间的任何位置(3)50，2450【分析】（1）从所给材料中找出规律即可求解；（2）分n 为奇数和n 为偶数两种情况，找出规律即可求解；（3）根据绝对值的几何意义和连续整数的和的计算公式即可求解．【详解】（1）解：根据题意可知：直线上有3台机床，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，直线上有5台机床，供应站P应设在中间一台机床A3处最合适，以此类推，如果在直线上有7台机床，供应站P应设在中间一台机床A4处最合适，故选C；（2）解：由题意知：台的位置；当n为奇数时，供应站P应设在第n12台和第1台之间的任何位置；当n为偶数时，供应站P应设在第n2（3）解：1到99最中间的数为：(1+99)÷2=50，应用（2）中结论可知，当x=50时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，|50−1|+|50−2|+|50−3|+⋯+|50−99|=49+48+47+⋯+2+1+0+1+2+⋯+48+49=(1+49)×49=2450，即当x=50时，代数式|x−1|+|x−2|+|x−3|+⋯+|x−99|取到最小值，最小值为2450．【点睛】本题考查绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握从特殊到一般和分类讨论的方法．【题型8线段中的动点问题】【例8】．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=14厘米，点C在线段AB上，且BC=3厘米．点P、点Q是直线AB上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过秒时线段PQ的长为6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四种情况：（1）点P、Q都向右运动；（2）点P、Q都向左运动；（3）点P向左运动，点Q 向右运动；（4）点P向右运动，点Q向左运动；求出经过多少秒时线段PQ的长为6厘米即可．【详解】解：（1）点P、Q都向右运动时，(6−3)÷(2−1)=3÷1。
线段长短的比较详细版课件
线段长短的比较详细版课件一、教学内容本节课我们将学习人教版小学数学四年级上册第七单元《线与角》中的第一课《线段长短的比较》。
详细内容涉及：1. 理解线段的定义；2. 学会使用直尺、三角板等工具比较线段的长度；3. 掌握线段长短的比较方法。
二、教学目标1. 让学生理解线段的概念，能准确描述线段的特点；2. 培养学生使用工具比较线段长短的能力，提高动手操作能力；3. 使学生掌握线段长短的比较方法，并能应用于实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：线段长短的比较方法。
教学重点：线段的概念、使用工具比较线段长短。
四、教具与学具准备教具：直尺、三角板、教学课件。
学具：直尺、三角板、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入展示生活中常见的线段，如尺子、绳子、铅笔等，引导学生观察并提问：“你们知道这些物体的长度是怎么比较的吗？”2. 新课导入（1）讲解线段的概念，引导学生理解线段的特点；（2）介绍直尺、三角板等工具的使用方法；（3）演示如何使用工具比较线段的长度。
3. 例题讲解（1）给出两个线段，引导学生使用工具进行比较；（2）讲解比较方法，强调比较时要保持工具的稳定；（3）让学生尝试自己解决问题，教师巡回指导。
4. 随堂练习（1）出示练习题，让学生独立完成；（2）针对学生的错误，进行讲解和指导；5. 课堂小结六、板书设计1. 线段定义2. 线段特点3. 比较方法4. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：（1）比较下面两个线段的长度：线段①：AB，线段②：CD。
线段①：3cm，线段②：4cm。
2. 答案：（1）线段①：AB，线段②：CD。
答案：线段①比线段②短。
（2）线段①：3cm，线段②：4cm。
答案：线段②比线段①长。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线段的概念和比较方法掌握情况较好，但仍有个别学生在使用工具时操作不熟练，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：除了直尺、三角板，还有哪些工具可以用来比较线段的长度？（2）让学生尝试解决更复杂的线段比较问题，如：比较两个线段的长度，其中一个线段弯曲。
比较线段的长短1-
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度量法 先分别量出各线段的长度， 再比较长短.
线段的长短比较
A
B
C ·0·········1·····D···2
度量法 先分别量出各线段的长度， 再比较长短.
AB = 0.8 厘米 CD = 1.4 厘米
线段的长短比较
A
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
D
度量法 先分别量出各线段的长度， 再比较长短.
AB = 0.8 厘米 CD = 1.4 厘米
如图，AB = 6厘米，点C是线段AB的中点，点D是 线段AB的中点，求线段AD的长.
.
. . 6厘米
.
A
？厘米 C
D
B
∵ 点C是线段AB的中点，∴ AC = BC =
1 2
AB
= 3厘米
∵ 点D是线段BC的中点，∴
CD =
1 2
BC
= 1.5厘米
∴ AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5厘米
∴ AB＜CD 或 CD＞AB
如图：点M把线段AB分成相等的两
条线段AM与BM，点M叫做线段AB
中点。这时 AM=BM= 1 AB或AB＝
2AM＝2BM
2
A
M
B
问题(6) 你如何确定一条线段的中点
用尺子度量 通过折绳找到中点。
• 通过折纸寻找线段中点
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做 这条线段的中点
(10)已知A、B是数轴上的两点，AB = 3，
点B表示-1，则点A表示（
），AB
的中点C表示（
）
例题分析
如图，点C是线段AB上任意一点，点D是线段AC
的中点，点E是线段BC的中点，则线段DE和线段
AB有怎样的关系？说明理由.
.. .
.
.
AD
C
E
B
解：DE = ½ AB 理由如下：
∵点D是线段AC的中点 ∴ DC = ½ AC ∵点E是线段BC的中点 ∴ CE = ½ BC
条射线AN。
3、用圆规量出已知线段a 的长度。
4、在射线AN上，以点A为圆 心，以a为半径做弧交射线AN
A
与点B，即截取AB=a。
NB
则线段AB即为所求。
线段的大小比较
叠合法
将线段重叠在一起，使一个端点 重合，再进行比较.
线段的长短比较
A
B
C
D
AB = 0.8l 厘米 CD = 1.4 厘米
∴ AB＜CD 或 CD＞AB
M
A
B
线段中点的条件：
1、在已知线段上。
2、把已知线段分成两条相等线段的点
例1.
在直线a上顺次截取A,B,C三点， 使得 AB=4cm,BC=3cm.如果o是 线段AC的中点,求线段OB的长。
练习
• 已知直线L上顺次三个点A、B、C，已知 AB=10cm,BC=4cm。
（1）如果D是AC的中点，那么AD= cm. （2）如果M是AB的中点，那么MD= cm. （3）如图，AB=AC―( ),AM+MB=AD+( )
这节课你学会了什么？ 1.线段的基本性质：两点之间线段最短。 2.两点之间的距离：两点之间线段的长度。 3.线段的两种比较方法：叠合法和度量法。 4.线段的中点的概念及表示方法。
练习：
1、下列图形能比较大小的是（ c）
A、直线与线段 B、直线与射线 C、两条线段 D、射线与线段
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
A MD B C
（7）如图 AB=6cm，点C是AB的中点，点 D是CB的中点，则AD=_4_.5__cm
（8）如图，下列说法 ，不能判断 点C是线段AB的中点的是( C)
A、AC=CB
B、AB=2AC
C、AC+CB=AB
D、CB=
1 2
AB
（9）如图，AD=AB—_B__D_=AC+ _C__D__
叠合法 将线段重叠在一起，使一 个端点重合，再进行比较.
线段的长短比较
A
B
C
D
AB = 0.8l 厘米 CD = 1.4 厘米
∴ AB＜CD 或 CD＞AB
叠合法 将线段重叠在一起，使一 个端点重合，再进行比较.
线段的长短比较
A C
·0········B·1··D······2
AB = 0.8 厘米
（1） （2）
（3）
大家会看地图吗？如果量一量遂昌与丽水相距多远， 是怎样量的？如果从你家到学校走了三公里，能否 认为学校与你家的距离为3公里？
2、两点之间线段的长度， 叫做这 两点之间的距离。
已知线段a，请用圆规、直尺做一
条线段AB ，使AB=a。
1、作点A、N。
2、过点A、N，用直尺作一
a
4.2比较线段的长短
回顾思考：
• 直线的特点、表示方法？ • 线段的特点、表示方法？ • 射线的特点、表示方法？
如上图，从A地到B地有四条道路， 那条路最近？
1、线段公理：两点之间的所有连 线中，线段最短。
两点之间线段最短。
在现实生活中，哪些时候运用了 上述性质。
• 小明到小兰家有三条路可走，如图， 你认为走那条路最近？
∴ DE = DC + CE = ½ AC + ½ BC = ½ （AC + BC）= ½ AB