机器人运动学

n o
i
a
机器人的位置和姿态描述：
机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端 机器人由N个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链 机器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述
2019/3/31
第三章
机器人运动学
运动学正问题
运动学研究
运动学逆问题
丹纳维特（Denavit）和哈顿贝 格（Hartenberg） 于1955年提 出了一种矩阵代数方法解决机 器人的运动学问题 — D-H方法 其数学基础即是齐次变换 具有直观的几何意义，广泛应 用于动力学、控制算法等方面 的研究
oA xA xB
{B}
yA
c R ( z , ) s 0
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.3 齐次变换与齐次变换矩阵
基本复合变换
复合变换：平移和旋转构成复合变换。
C
p R p R p
C B B A B B
C
zB zC
A
A
p
p
A
pC
A B
R
B
p
pB
zA
机器人运动学
齐次坐标变换
平移齐次坐标变换 Translation transformation
1 0 Trans( a, b, c ) 0 0
旋转齐次坐标变换
1 0 0 c Rot ( x, ) 0 s 0 0 0 s c 0
手在哪里？
手怎么放那 里？
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.1 齐次坐标
位置描述：位置矢量(position vector)
空间任意一点 p 的位置可表示为：
z
矩阵表示
x p y z
p (x,y,z) o
y
矢量和表示
p xi yj zk
x
矢量的模
A
计算机图形学
A B
R T= f13
A B
pBo s11
xA
iA
jA
透视
比例（缩放）
2019/3/31
第三章
机器人运动学
透视变换（Perspective transformation）举例
设: 以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，
用齐次坐标表示P [x p y p z p 1]T 求P的齐次坐标，即求P[x p yp zp 1]T yp zp zp f 根据三角形相似原理： y p z p z p y p f 注意y p是负值，f 是正值，所以实际上为相减关系 f z p x p y p y p f yp
p = R p + p Bo
A A B A
A B
B
A
zA
iB
A
p
p
A
jB
齐次
p R = 1 0 0 0
p Bo p 1 1
B
{A} kA
O
{ B}
kB yA
pBo
xA
iA
jA
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.3 齐次变换与齐次变换矩阵
列矩阵
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
x y T P x y z w z w
y z x a= , b= , c= ，w为比例系数 w w w
齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的 不同而不同。在计算机图学中，w 作为 通用比例因子，它可取任意正值，但在 机器人的运动分析中，总是取w=1 。
第三章
机器人运动学
第三章 机器人运动学
2019/3/31
1
第三章
机器人运动学
目 录
3.1 齐次坐标 3.2 刚体位姿描述
3.3 齐次坐标变换与变换矩阵
3.4 齐次变换矩阵运算 3.5 变换方程 3.6 欧拉角与RPY角
2019/3/31
第三章
机器人运动学
引 言
机器人（机械手）末端执行器相对于固 定参考坐标系的空间几何描述（即机器 人的运动学问题）是机器人动力学分析 和轨迹控制等相关研究的基础 机器人的运动学即是研究机器人手臂末 端执行器位置和姿态与关节变量空间之 间的关系
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.1 齐次坐标
点的齐次坐标
直角坐标系{A}, P点的齐次坐标： zA
xA y A p A zA 1
Ap
p
oA
xA
yA
几个特定意义的齐次坐标：
[0, 0, 0, n]T — 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T — 指向无穷远处的OX轴 [0 1 0 0]T — 指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T — 指向无穷远处的OZ轴
zp
xp
yp
transformation）
第三章
机器人运动学 举例
yp f yp f 又有 1 y p y p f y p ( y p f ) f xp yp zp x p y p z p yp yp yp 1 1 1 f f f xp x p 1 x p 1 x p x p x p y 0 0 y y yp p p p p y p y T 用矩阵表示： z p 用矩阵表示： T T f f 0 f z z p 0 z p z p p z p y y p 0 p 1 1 1 0 1 1 1 f f
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA

Bp
P
yB

{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
手爪坐标系
n
o
接近矢量 a 方位矢量 o 法向矢量 n
approach orientation normal
a
xB
[ n , o , a ] 等 价 于 [ iB , jB , k B ]
yB
BO
zB
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
y
zp
xp
yp
z
P
zp
f
yp f y fp f y p 又有 1 y p y p f y p ( y p f ) f xp yp
2019/3/31 p
y p
o
z p
P'
z
f 透视变换 （ z p x p y p Perspective y p f yp
i B r11i r21 j r31k jB r12 i r22 j r32 k k B r13i r23 j r33 k
A B
R 表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态。
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
姿态矩阵（旋转矩阵）
旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件
p x 2 y 2 z 2 ，单位矢量 p 1
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.1 齐次坐标
点的齐次坐标
• 一般来说，n 维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个 特定的投影附加于 n 维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特 定坐标 — 比例系数。
P ai b j ck
姿态矩阵（旋转矩阵）
刚体B与坐标系{B}固接
r11 r A A A A R i , j , k B B B B 21 r31
A A A
r12 r22 r32
r13 r23 r33
9个参量，自由度？ 约束方程个数？ （abs(a)=1;a.b=0)
A
A
iB AiB 1
iB A jB 0
A
A
jB A jB 1
jB A k B 0
B A
A
A
k B Ak B 1
k B AiB 0
A B
旋转变换的逆等于其转置
A
R BA R 1 BA R T ,
R 1
iB A jB r11r12 r21r22 r31r32 j r21 r22 k r31 (r21r32 r22 r31 )i (r12 r31 r11r32 ) j (r11r22 r12 r21 )k r32


R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A B
xA
oA
yA xB
oB
{B}
yB
zB
{A}
zA
oA
Bp
p BA R B p
B A A A B T A
yB yA
p R p R
p
xA
2019/3/31
xB
第三章
机器人运动学
2.3 齐次变换与齐次变换矩阵
基本旋转变换
分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限 个基本旋转变换合成得到。
{A}
Ap
Bp
yB
{C}
Ap
B
oB xB
{B}
yC
A
p R p pB
A B B A
2019/3/31
xA
oA
yA xC
第三章
机器人运动学
2.3 齐次变换与齐次变换矩阵
齐次变换 齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变
换使齐次坐标作移动 、旋转 、透视 等几何变换。
A
P
B
非齐次
0 0 1 1 0 0 1 0 f
00 00 11
00 0 0 00 00 11
因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵 为 1 [0 0]，没有摄像头时为 [0 0 0 ] 。 f
2019/3/31
第三章 2.4 齐次变换矩阵运算
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B百度文库
O
R { iB , jB , k B }
A A A
2019/3/31
xA
iA
jA
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置描述
A
pBo 坐标系{B}原点在{A}坐标系中的位置。
zA xB
xBo A PBo A yBo A zB o
A
yB
BO
zB
A
pBo
O
yA
xA
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置描述 自由度 (DOF, Degree of freedom) ： 物体能够相对坐标系进行独立运动的数目称为自 由度。 刚体的自由度数目：
齐次变换矩阵
A R A p B = 1 0 0 0 A
p Bo B p 1 1
{A} kA
O
zA
P
B
iB
A
p
p
A
jB
{ B}
kB yA
齐次变换矩阵
A B
R T= 0 0 0
A B
A
pBo 1
pBo
旋转
平移
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
A B
A

A B
R
A
p Bo

R I （单位矩阵）
p Bo 0
2019/3/31
第三章
机器人运动学
2.3 齐次变换与齐次变换矩阵
一般变换
平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量Bp在坐标系
{A}中的表示可由矢量相加获得。
A
p p pB
B A
zA
{A}
Ap
zB
Ap B
Bp
• 旋转坐标变换： 坐标系{B}与坐标系{A}原点 相同，则p点在两个坐标系中 的描述具有下列关系：