导数的四则运算法则(第三课时) (2)
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导数的四则运算法则课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5．2.2 导数的四则运算法则
要点 1 [f(x)±g(x)]′＝_____f_′(x_)±__g_′(_x)_______．
要点 2 要点 3
[f(x)g(x)]′＝____f_′(_x)_g(_x_)＋__f(_x)_g′_(x_)________．
gf（（xx））′＝_f_′__（_x_）__g_（__[xg_）（_－_x_）f_（_]2x_）__g_′__（__x）__(_g_(x_)_≠__0)_．
探究 4 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或 三角恒等变换将函数先化简，然后再进行求导，有时可以避免使用商的求导法则， 减少运算量．
思考题 4 求下列函数的导数：
(1)y＝sin44x＋cos44x；
(2)y＝11－＋
xx＋11＋－
x x.
【解析】 (1)y＝sin24x＋cos24x2－2sin24x·cos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x. ∴y′＝34＋14cos x′＝－14sin x. (2)y＝（11＋－xx）2＋（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2. ∴y′＝1－4 x－2′＝4′（1－（x）1－－x4）（21－x）′＝（1－4 x）2.
探究 1 这些函数都是由基本初等函数经过运算得到的简单函数，求导时， 可直接利用运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
思考题 1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－32x2－6x＋2. 【解析】 (1)∵f(x)＝x2＋sin x， ∴f′(x)＝2x＋cos x. (2)∵g(x)＝x3－32x2－6x＋2， ∴g′(x)＝3x2－3x－6.
要点 1 [f(x)±g(x)]′＝_____f_′(x_)±__g_′(_x)_______．
要点 2 要点 3
[f(x)g(x)]′＝____f_′(_x)_g(_x_)＋__f(_x)_g′_(x_)________．
gf（（xx））′＝_f_′__（_x_）__g_（__[xg_）（_－_x_）f_（_]2x_）__g_′__（__x）__(_g_(x_)_≠__0)_．
探究 4 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或 三角恒等变换将函数先化简，然后再进行求导，有时可以避免使用商的求导法则， 减少运算量．
思考题 4 求下列函数的导数：
(1)y＝sin44x＋cos44x；
(2)y＝11－＋
xx＋11＋－
x x.
【解析】 (1)y＝sin24x＋cos24x2－2sin24x·cos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x. ∴y′＝34＋14cos x′＝－14sin x. (2)y＝（11＋－xx）2＋（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2. ∴y′＝1－4 x－2′＝4′（1－（x）1－－x4）（21－x）′＝（1－4 x）2.
探究 1 这些函数都是由基本初等函数经过运算得到的简单函数，求导时， 可直接利用运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
思考题 1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－32x2－6x＋2. 【解析】 (1)∵f(x)＝x2＋sin x， ∴f′(x)＝2x＋cos x. (2)∵g(x)＝x3－32x2－6x＋2， ∴g′(x)＝3x2－3x－6.
§4 导数的四则运算法则(2)
2.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母
的导数与分子的积,
再除以分母的平方,即:
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
二、例题选讲：
例2.求下列函数的导数： (1) y sin x ;
x2 (2) y .
x
ln x
答案：
x cos x sin x
(1)
x2
.
x(2ln x 1) (2) ln2 x .
加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 (uv) uv uv.
2.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母
的导数与分子的积,
再除以分母的平方,即:
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
二、例题选讲：
例1.求下列函数的导数：
(1) y x2e x; (2) y x sin x; (3) y x ln x.
三、课堂小结：
1.充分掌握函数的四则运算的求导法则. (uv) uv uv.
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
2.先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难 为易、化繁为简的基本原则和策略.
答案：(1)(2 x
x2 )e x .
sin (2)
x
x cos x.
(3)ln x 1.
2x
练习1.P72/练习1（1）（2）.
§4 导数的四则运算法则（2） 一、导数的运算法则： 1.两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,
加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 (uv) uv uv.
lim lim
v( x x)
导数的四则运算法则(第三课时)
小
结
反
思
自主学习：
1、导函数的加法和减法法则
①
2、导函数的乘法和除法法则
①
② =____________________________
特别地，当 时，有
3、试一试
（1）
（2）
复备、笔记、纠错
精讲互动：
例1、（1）
（2）
例2、求曲线 在点（1,0）处的切线方程。
§4.3导数的四则运算法则（第三课时）
序号
14
授课
时间
班级
姓名
课型
新授课
备课人
葛伟
审核人
李红莉
学习
目标
1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会建立数学理论过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展学生的思维能力。
重点难点
重点、利用求导法则求导
难点：利用求导法则求导
学习过程与方法
例3、点 在曲线 上移动，设点 处的切线与直线 垂直，求 值。
达标训练：
1、求下列函数的导数
（1）
（2）
2、求曲线 在点（1,1）处的切线方程
课
堂
检
测
1、求函数导数
2、求函数导数
3、已知抛物线 通过点（1，1），且在点(2,1)处与直线 相切，求a,b,c的值。
作业布置
课本48页习题2-4A组4、（7、8）5、（2）（3）
结
反
思
自主学习：
1、导函数的加法和减法法则
①
2、导函数的乘法和除法法则
①
② =____________________________
特别地，当 时，有
3、试一试
（1）
（2）
复备、笔记、纠错
精讲互动：
例1、（1）
（2）
例2、求曲线 在点（1,0）处的切线方程。
§4.3导数的四则运算法则（第三课时）
序号
14
授课
时间
班级
姓名
课型
新授课
备课人
葛伟
审核人
李红莉
学习
目标
1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会建立数学理论过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展学生的思维能力。
重点难点
重点、利用求导法则求导
难点：利用求导法则求导
学习过程与方法
例3、点 在曲线 上移动，设点 处的切线与直线 垂直，求 值。
达标训练：
1、求下列函数的导数
（1）
（2）
2、求曲线 在点（1,1）处的切线方程
课
堂
检
测
1、求函数导数
2、求函数导数
3、已知抛物线 通过点（1，1），且在点(2,1)处与直线 相切，求a,b,c的值。
作业布置
课本48页习题2-4A组4、（7、8）5、（2）（3）
导数的四则运算法则课件
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
(完整版)导数的四则运算法则
§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。
3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。
_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。
1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。
处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。
可导，则曲线y f (x)在点(X。
，f (x。
))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。
).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。
导数的四则运算法则课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
导数的运算法则1:
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)， 即：
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)
例题解析
1、求下列函数的导数 (1)y=x3－x+3；(2)y=2x+cosx.
解：(1)y′=(x3－x+3)′ =(x3)′－x′+3′ =3x2－1
(2)y′=(2x+cosx)′ =(2x)′+(cosx)′ =2xln2－sinx
函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知，c′(98) = 25c′(90). 这表示净化到纯净度为98%左右时 净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化 率的25倍.
这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费 用增加的速度也越快.
(1
3 x02
)(x
x0 )
16
∴点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为 2 | x0 || 2x0 | 6
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，
此定值为6.
感悟提升
利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：
(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率； (2)切点在切线上； (3)切点在曲线上； (4)题目所给的其他条件． 最后通过解方程(组)确定参数的值．
(2) y ( 2sin x ) x2
(2sin x) x 2 2sin x( x 2 )
(x2 )2
2x 2 cos x 4x sin x
x4 2x cos x 4sin x
精选 《导数的四则运算法则》完整版教学课件PPT
(5)先使用三角公式进行化简，得 y＝x＋12sin x
∴y′＝x＋12sin x′＝x′＋21sin x′＝1＋12cos x.
观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．
方法归纳 利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练 1 (1)已知 f(x)＝exx(x≠0)，若 f′(x0)＋f(x0)＝0，则 x0 的值为________．
人教A版同步教材精品课件
导数的四那么运算法那么
要点 导数的运算法则
若函数 f(x)，g(x)均为可导函数，则有
导数运算法则
语言叙述
1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(差)的导数，等于 这两个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一
2.[f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)·g(x) ＋ 个函数的导数乘以第二个函数，
2．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
解析：因为 f′(x)＝－sin x＋1x，所以 f′(1)＝－sin 1＋11＝1－ sin 1.故选 A.
答案：A
3．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( ) A．y′＝cos2 x＋sin2 x B．y′＝cos2 x－sin2 x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数 f′(x) ＝2x－8.
(1)求 a，b 的值． (2)设函数 g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线 g(x)在 x＝0 处的切线方程．
解析：(1)因为 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以 f′(x)＝2ax＋b， 又知 f′(x)＝2x－8，所以 a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知 g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以 g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以 g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知 g(0)＝3， 所以 g(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)． 即 7x＋y－3＝0.
∴y′＝x＋12sin x′＝x′＋21sin x′＝1＋12cos x.
观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．
方法归纳 利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练 1 (1)已知 f(x)＝exx(x≠0)，若 f′(x0)＋f(x0)＝0，则 x0 的值为________．
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导数的四那么运算法那么
要点 导数的运算法则
若函数 f(x)，g(x)均为可导函数，则有
导数运算法则
语言叙述
1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(差)的导数，等于 这两个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一
2.[f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)·g(x) ＋ 个函数的导数乘以第二个函数，
2．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
解析：因为 f′(x)＝－sin x＋1x，所以 f′(1)＝－sin 1＋11＝1－ sin 1.故选 A.
答案：A
3．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( ) A．y′＝cos2 x＋sin2 x B．y′＝cos2 x－sin2 x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数 f′(x) ＝2x－8.
(1)求 a，b 的值． (2)设函数 g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线 g(x)在 x＝0 处的切线方程．
解析：(1)因为 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以 f′(x)＝2ax＋b， 又知 f′(x)＝2x－8，所以 a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知 g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以 g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以 g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知 g(0)＝3， 所以 g(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)． 即 7x＋y－3＝0.
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1.下列运算正确的是
2.函数 的导数是
3.函数 的导数是
4.函数 的导数是
B.ห้องสมุดไป่ตู้力培养
5.已知 ,若 ,则 的值是
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
导数的四则运算法则
6.曲线运动方程为 ,则 时的速度为
A.4 B.8 C.10 D.12
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
导数的四则运算法则
[知识要点]:
1.两个函数的和(或差)的导数,等于,即 .
2.两个函数的积的导数,等于,即
.
常数与函数之积的导数,等于,
即 .
3. ( 为常数).
4.两个函数的商的导数,等于,
即 .
特别地,当 时,有 .
[激活思维]:
例1求下列函数的导数:
变式引申:1.(2004年全国)函数 在 处的导数等于
A.1 B.2 C.4 B.4
2.求函数 的导数.
例2求下列函数的导数:
变式引申:求下列函数的导数:
例3求下列函数的导数:
变式引申:1.求函数 的导数.
2.求曲线 在点 处的切线方程.
[分级训练]:
A.基础训练
7.函数 的导数是.
8.已知抛物线 通过点 ,且在点 处与直线 相切,求实数 的值.
C.综合提高
9.已知曲线 与 ,直线 与 相切,求直线 的方程.
[备选练习]:
1. ,则 .
2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正.
.
3. 的导数是.
4.求函数 的导数.
5.求 的导数.
第 页
2.函数 的导数是
3.函数 的导数是
4.函数 的导数是
B.ห้องสมุดไป่ตู้力培养
5.已知 ,若 ,则 的值是
第 页
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第 □ 讲
导数的四则运算法则
6.曲线运动方程为 ,则 时的速度为
A.4 B.8 C.10 D.12
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第□讲
导数的四则运算法则
[知识要点]:
1.两个函数的和(或差)的导数,等于,即 .
2.两个函数的积的导数,等于,即
.
常数与函数之积的导数,等于,
即 .
3. ( 为常数).
4.两个函数的商的导数,等于,
即 .
特别地,当 时,有 .
[激活思维]:
例1求下列函数的导数:
变式引申:1.(2004年全国)函数 在 处的导数等于
A.1 B.2 C.4 B.4
2.求函数 的导数.
例2求下列函数的导数:
变式引申:求下列函数的导数:
例3求下列函数的导数:
变式引申:1.求函数 的导数.
2.求曲线 在点 处的切线方程.
[分级训练]:
A.基础训练
7.函数 的导数是.
8.已知抛物线 通过点 ,且在点 处与直线 相切,求实数 的值.
C.综合提高
9.已知曲线 与 ,直线 与 相切,求直线 的方程.
[备选练习]:
1. ,则 .
2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正.
.
3. 的导数是.
4.求函数 的导数.
5.求 的导数.
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