人教版数学高二人教 《合情推理与演绎推理 名师教案

大前提
小前提
结论
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提
——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题：
① 出示例 1：证明函数 f (x) x2 2x 在 , 1 上是增函数.
推关系）
③ 练习：已知 f (1) 0, af (n) bf (n 1) 1, n 2,a 0,b 0，推测 f (n) 的表达式.
3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想 的提出；数列通项公式的归纳.
三、巩固练习：
1. 练习：教材 P87 1、2 题. 2. 作业：教材 P93 习题 A 组 1、2、3 题.
3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以
；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此
；
③ 奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以
.
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
二、讲授新课：
1. 教学概念： ① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推
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选修 2-2 2.1 合情推理与演绎推理(3 课时)
第一课时 2.1.1 合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去 2，它本身 是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成 为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一 个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在 1640 年通过对 F0 220 1 3 ， F1 221 1 5 ， F2 222 1 17 ， F3 223 1 257 ， F4 224 1 65 537 的观察，发现其结 果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数 n ，任何形如 Fn 22n 1的数都是素数. 后来 瑞士数学家欧拉，发现 F5 225 1 4 294 967 297 641 6 700 417 不是素数，推翻费马猜 想. 3. 四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图 着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界 的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩 尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻 辑判断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部 分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
, n)
，考察下列式子：(i)
a1
1 a1
1 ；(ii)
(a1
a2
)(
1 a1
1 a2
)
4；
(iii)
(a1
a2
a3
)(
1 a1
1 a2
1) a3
9.
我们可以归纳出，对 a1, a2 ,
, an 也成立的类似不等式
为.
2. 猜想数列 1 , 1 , 1 , 1 , 的通项公式是
.
13 35 57 79
3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有
生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季
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节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即 类比推理. 二、讲授新课：
1. 教学概念： ① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
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② 出示例 2：在锐角三角形 ABC 中， AD BC, BE AC ，D，E 是垂足. 求证：AB 的中 点 M 到 D，E 的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论. ③ 讨论：因为指数函数 y ax 是增函数， y (1)x 是指数函数，则结论是什么？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度，能归纳出什么结论？ (iii)观察等式： 1 3 4 22, 1 3 5 9 32, 1 3 5 7 9 16 42 ，能得出怎样的结 论？
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③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
1. 练习： ① 对于任意正整数 n，猜想（2n-1）与(n+1)2 的大小关系？ ②在平面内，若 a c,b c ，则 a // b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间
中，若 a c,b c ，则 a // b ；或在空间中，若 , ,则 // .
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？ 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
第三课时 2.1.2 演绎推理
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教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理
的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程：
一、复习准备：
理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理
归纳推理：由特殊到一般 类比推理：由特殊到特殊
；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察教材 P88 引例，它们都由几部分组成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ各部分有什么特点？
所有的金属都导电
铜是金属
铜能导电
已知的一般原理
特殊情况
根据原理，对特殊情况做出的判断
abba (a b) c a (b c)
ab ba (ab)c a(bc)
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方 程 a x 0 有唯一解 x a
乘法的逆运算是除法，使得 方程 ax 1有唯一解 x 1
a
单位元
a0 a
a 1 1
② 出示例 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
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小结：平面→空间，圆→球，线→面. ③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题： ① 出示例 1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若 a,b R, 则 a bR
若 a,b R, 则 abR
运算律
第二课时 2.1.1 合情推理（二） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的
推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知 ai 0 (i 1, 2,
2 （结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？） ④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确） 3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演 绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.） 三、巩固练习：1. 练习：P91 2、3 题 2. 探究：P91 阅读与思考 3.作业：P93 6 题，B 组 1 题.
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2. 教学例题：
①
出示例题：已知数列 an
的第
1
项
a1
2
，且
an1
an 1 an
(n
1, 2,
) ，试归纳出通项公
式.
（分析思路：试值 n=1，2，3，4 → 猜想 an →如何证明：将递推公式变形，再构造新 数列）
② 思考：证得某命题在 n＝n 0 时成立；又假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命 题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递
思维：直角三角形中， C 900 ，3 条边的长度 a,b,c ，2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c ；
→3 个面两两垂直的四面体中， PDF PDE EDF 900 ，4 个面的面积 S1, S2 , S3 和 S 3 个“直角面” S1, S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进 行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. 三、巩固练习：1. 练习：教材 P87 3 题. 2. 探究：教材 P84 例 4 3.作业：P93 4、 5 题.