计算机算法设计与分析_第六章__2

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procedure SUMOFSUB(s,k,r)
//找W(1：n)中和数为M的所有子集。进入此过程时X(1),…,X(k-1)的值已确定。W(j) 按非降次序排列。//
1 global integer M,n; global real W(1:n); global boolean X(1:n) 2 real r, s; integer k,j //生成左儿子// 3 X(k)1 4 if s+W(k)=M then 5 print(X(j),j1 to k) 6 else 7 if s+W(k)+W(k+1) ≤ M then 8 call SUMOFSUB(s+W(k),k+1,r-W(k)) 9 endif 10 endif 11 if s+r-W(k) ≥ M and s+W(k+1) ≤ M then 12 X(k)0 13 call SUMOFSUB(s,k+1,r-W(k)) 14 endif end SUMOFSUB
8-皇后问题
检测放置新皇后的算法
procedure PLACE(k)
//如果一个皇后可以放在第k行和X(k)列，则返回true；否则返回false//
global X(1:k); integer i ,k i←1 while i<k do if X(i) = X(k)//在同一列有两个皇后 or ABS(X(i)-X(k)) = ABS(i-k)//在同一条斜角线上 then return (false) PLACE(k)： i←i+1 令X(k)与X(i)逐个比较，i=1..k-1。 repeat 若存在X(k)=X(i)或者|X(i)-X(k)|=|i-k| return (true) 则返回false； End PLACE
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图的着色
问题描述
– 将地图转换为图
4
5
1 2 3
3
2 1
5 图6.10 一幅地图和他的平面图表示
4
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图的着色
解空间构建
– 颜色数用1, 2, …, m来表示 – 采用n-元组(x(1), …, x(n))表示图G的m-着色判定问题 的解，x(i)是结点i的颜色 – 采用邻接矩阵表示无向图G=(V, E) 。
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8-皇后问题
算法分析
– NQUEENS优于硬性处理 硬性处理：要求8×8的棋盘排出8块位置，有〔88〕 种可能的方式。即要检查将近4.4×109个8-元组。 NQUEENS回溯法：只允许把皇后放置在不同的 行和列上，至多需要作8！次检查，即至多只检查 40320个8-元组。
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8-皇后问题
限界函数
– 任何相邻的两个结点都具有不同的颜色：如果边(i, j)∈E, i≠j, 则x(i) ≠ x(j) – 将合法的颜色分配给x(i)
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图的着色
状态空间树
X(1)=1 X(1)=2 X(1)=3
X(2)=1
X(2)=3 X(2)=2
X(3)=1 X(3)=3
X(3)=2
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图的着色
15,5,33
x(5)=1
B (1,0,1,1)
5,5,33
10,5,33
12,5,33
13,5,33
0,5,33
12,6,18 (0,0,1,0,0,1)
A (1,1,0,0,1) C
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第六章 回溯法
6.1 一般方法 6.2 8-皇后问题 6.3 子集和数问题 6.4 图的着色 6.5 0/1背包问题
第六章 回溯法
6.1 一般方法 6.2 8-皇后问题 6.3 子集和数问题 6.4 图的着色 6.5 0/1背包问题
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子集和数问题
问题描述
– 已知n个不同的正数(w1, w2, …, wn)。要求找出wi的和 数等于某个正数M的所有子集。 – 元组为大小固定，n元组(x1,x2,…,xn)，xi=1或0 – 结点：对于i级上的一个结点，其左儿子对应于xi=1， 右儿子对应于xi=0
//生成右儿子和计算Bk的值//
子集和数问题
实例
– 设有n=6个正数的集合W={5,10,12,13,15,18}和整数 M=30，求W的所有元素之和为M的子集。 – 求解见下图 – 方形结点：s，k，r，圆形结点：输出答案的结点， 共生成20个结点
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0,1,73
x(1)=1 x(1)=0
5
8-皇后问题
测试两个皇后在一条斜角线的方法 – 令(x1,…,xn)表有两个皇后可以放入同一列，因 此这所有的Xi将是截然不同。 – 如果设想棋盘的方格像二位数组A(1:n, 1:n)的下标那 样标记，那么可以看到， 对于在同一条斜角线上的由左上方到右下方的每 一个元素有相同的“行-列”值， 在同一条斜角线上的由右上方到左下方的每一个 元素则有相同的“行+列”值。
第六章 回溯法
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2014-11-10
第六章 回溯法
6.1 一般方法 6.2 8-皇后问题 6.3 子集和数问题 6.4 图的着色 6.5 0/1背包问题
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8-皇后问题
问题描述
– 将n个皇后放置在一个n×n的棋盘上，要求没有两个 皇后可以互相攻击。 – 攻击的定义： 两个皇后出现在同一行、或同一列、或者同一条 斜线上都视为出现了攻击。
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否则返回true。
过程NQUEENS求n-皇后问题的所有解
procedure NQUEENS(n) integer k, n, X(1:n) X(1) ← 0; k ← 1 //K是当前行；X(k)是当前列 while k>0 do //对所有的行执行一下语句 X(k) ←X(k)+1 //移到下一列 while X(k) ≤ n and not PLACE(k) do //此处能放这个皇后吗 X(k) ←X(k)+1 repeat if X(k) ≤ n then //找到一个位置 if k=n then //是一个完整的解吗 print (X) //是，打印这个数组 else k ← k+1 , X(k) ← 0 //转到下一行 endif else k ← k-1 //回溯 endif repeat End NQUEENS
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图的着色
问题描述
– 地图的着色问题： 1976年爱普尔(K.L. Apple)，黑肯(W. Haken)和考 西(J. Koch)利用电子计算机证明了4种颜色足以对 任何地图着色。 – 四色定理 每幅地图都可以用不多于4种颜色来着色，使得有 共同边界的国家着不同的颜色。 – 平面图的4-着色判定问题 一幅地图很容易用一个平面图G表示。(将地图的 每个区域用图G的一个结点表示，若两个区域相邻， 则相应的两个结点用一条边连接起来。)
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图的着色
算法说明
– 在最初调用call MCOLORING(1)之前，应对图的邻 接矩阵置初值并对数组X置0值。 – 在确定了X(1)到X(k-1)的颜色之后，过程 NEXTVALUE从这m种颜色中挑选一种符合要求的颜 色，并把它分配给X(k)，若无可用的颜色，则返回 X(k)=0。
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算法6.8 生成下一种颜色 Procedure NEXTVALUE(k) //进入此过程前X(1),…,X(k-1)已分得了区域[1,m]中的整数且相邻近的结点有 不同的整数。本过程在区域[0,m]中给X(k)确定一个值；如果还剩下一些颜色， 他们与结点k邻接的结点分配的颜色不同，就将其中最高标准的颜色分配给结 点k；如果没有剩下可用的颜色，则置X(k)为0// global integer m, n, X(1:n); boolean GRAPH(1:n, 1:n); integer j, k loop X(k) (X(k)+1) mod (m+1) //试验下一个最高标准值的颜色// if X(k)=0 then return endif //全部颜色用完// for j 1 to n do //检查此颜色是否与邻近结点的那些颜色不同// if GRAPH(k, j) and //如果(k,j)是一条边// X(k)=X(j) //并且邻近的结点有相同颜色// then exit endif repeat if j=n+1 then return endif //找到一种颜色// repeat //否则试着找另一种颜色// end NEXTVALUE
W={5,10,12,13,15,18} M=30，
0,2,68
5,2,68
x(2)=1
x(2)=0
15,3,58
x(3)=0
5,3,58
x(3)=1 x(3)=0
10,3,58
5,4,46 10,4,46
0,3,58
12,4,46 0,4,46
15,4,46
x(4)=0
17,4,46
x(4)=1
x(4)=0
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8-皇后问题的一个解
1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8
该解的8元组 表示: (4,6,8,2,7,1,3,5)
8-皇后问题
用n-元组(x1,x2,…,xn)表示棋盘上皇后的位置状态 – 下标表示皇后i (i=1,2,…,n) – xi表示放置皇后i所在的列号 显式约束条件： – 每个xi只从集合Si={1,2,…,n}取值 – 满足显式约束的所有元组确定一个可能的解空间 解空间由nn个n-元组组成 隐式约束条件 – 没有两个xi可以相同，而且没有两个皇后可以在同一 条斜线上 由前者得，所有解都是n-元组(1,2,…,n) 的置换，因此，解空间缩小为 n！个元组
算法分析
– 估算节点数(蒙特卡罗方法)： 假设使用固定的限界函数且在检索进行时函数不 改变。 在状态空间树的同一级的所有节点都有相同的度。 静态的状态空间树节点个数为： 1+8+8*7+8*7*6+…+8*7*6*5*4*3*2*1 7 7 j =1+∑8*..*(8-j)=1+ ∑ ∏(8-i)=69281 j=0 j=0 i=0