1-概率与统计
概率论与数理统计 习题课1-1
P( A B C ) =
事件的关系 互斥： 互斥：AB = φ 对立事件， 对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥 个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中， 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号， 求他拨号不超过3次而接通电话的概率； （1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率； 若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ （2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，
概率与统计课件(一)概率论的基本概念
2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
概率论与数理统计PDF版课件1-1
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
5. 事件的差 事件A发生但B不发生所构成的事件称为A与B的差, 记作 AB .
即 AB = { | A但 B } .
图 1-4
图1-4表示了A与B的差事件(阴影部分).
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
6. 互不相容(互斥)事件
若事件A与B不能同时发生, 即A∩B= , 则称A与B互不 相容(或互斥), 记作 A∩B= 或 AB= .
(2) ABC A B C A BC +ABC .
(3) A B C A B C A B C +A B C . (4) A B C A B C A B C A B C A B C +A B C +A B C . (5) ( A B)C .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
例4 设A, B 为两个事件, 试化简下列各式：
若有限个或可列个事件 A1, A2, , An ,, 满足:
Ai Aj = (i j ), 且 Ai = , 则称 A1, A2, , An , i 1
构成一个完全事件组或完备事件组.
第一章随机事件与概率 §1.1基本概念
事件的概念、关系、运算与集合论中相应部分对照列表:
符号
A
A
AB A=B A∪B A∩B AB A∩B=
定义3 随机试验E的样本空间 的一个子集称为E的随机事
件, 简称事件. 常用大写字母A, B, C, 表示. 基本事件: 由一个样本点组成的单点集称为基本事件. 称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验
中出现.
“事件A发生”的含义是: A 且存在某一 , 使得 A .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
考研数学一-概率论与数理统计（一）
考研数学⼀-概率论与数理统计（⼀）考研数学⼀-概率论与数理统计(⼀)(总分：100.00，做题时间：90分钟)⼀、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量X服从正态分布N(1，σ2 )，其分布函数为F(x)，则对任意实数x，有______（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1．B.F(1+x)+F(1-x)=1．√C.F(x+1)+F(x-1)=1．D.F(1-x)+F(x-1)=1．解析：[解析] 由于X～N(1，σ2 )，所以X的密度函数f(x)的图形是关于x=1对称的，⽽可知正确答案是B．2.设X～P(λ)，P 1，P 2分别为随机变量X取偶数和奇数的概率，则______（分数：4.00）A.P1=P2．B.P1＜P2．C.P1＞P2．√D.P1，P2⼤⼩关系不定．解析：[解析] 若X～P(λ)，则，其中X取偶数的概率为X取奇数的概率为于是应选C．3.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(-x)=f(x)，F(x)是X的分布函数，则对于任意实数a，有______ A．B．C．F(-a)=F(a)．D．F(-a)=2F(a)-1．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 概率密度f(x)为偶函数，于是对于任意实数a，有F(-a)=1-F(a)成⽴；利⽤区间可加性得结合上⾯的等式，于是得应选B．4.设⼆维随机变量(X，Y)在区域D:x 2 +y 2≤9a 2 (a＞0)上服从均匀分布，p=P{X 2 +9Y 2≤9a 2 }，则A．p的值与a⽆关，且B．p的值与a⽆关，且C．p的值随a值的增⼤⽽增⼤．D．p的值随a值的增⼤⽽减⼩．（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为(X，Y)在区域D：x 2 +y 2≤9a 2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为故选B．5.设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+by亦不相关，则______（分数：4.00）A.a-b=1．B.a-b=0．C.a+b=1．D.a+b=0．√解析：[解析] X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．⼜Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协⽅差的性质有故选D．6.已知总体X的期望E(X)=0，⽅差D(X)=σ2．X 1，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，其均值为，则下⾯可以作为σ2⽆偏估计量的是______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于E(X)=0，D(X)=E(X 2 )=σ2，则所以选择C．对于A，B选项，由E(S 2 )=σ2，知均不是σ2的⽆偏估计量．7.设随机变量序列X 1，…，X n，…相互独⽴，则根据⾟钦⼤数定律，当n→∞时，于其数学期望，只要{X n，n≥1}满⾜______（分数：4.00）A.有相同的数学期望．B.服从同⼀离散型分布．C.服从同⼀泊松分布．√D.服从同⼀连续型分布．解析：[解析] ⾟钦⼤数定律的应⽤条件为：“独⽴同分布且数学期望存在”，选项A缺少同分布条件，选项B、D虽然服从同⼀分布但不能保证期望存在，只有C符合该条件．故选C．8.设X 1，X 2，…，X n是来⾃总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则______A．B．C．D．（分数：4.00）A.B.C. √D.解析：[解析故选C．9.设总体X服从正态分布N(0，σ2 )，X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，统计量从F分布，则i等于______（分数：4.00）A.4．B.2．√C.3．D.5．解析：[解析] 因为X 1，X 2，…，X 10是来⾃X的简单随机样本，故独⽴同分布于N(0，σ2 )因此，则有⼜与相互独⽴，故故选B．10.在假设检验中，如果待检验的原假设为H 0，那么犯第⼆类错误是指______（分数：4.00）A.H0成⽴，接受H0．B.H0不成⽴，接受H0．√C.H0成⽴，拒绝H0．D.H0不成⽴，拒绝H0．解析：[解析] 直接应⽤“犯第⼆类错误”=“取伪”=“H 0不成⽴，接受H 0”的定义，选择B．⼆、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从1，2，3，4，5中任取⼀个数，且取后放回，⽤b i表⽰第i次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T，三阶⽅阵，求线性⽅程组Ax=b有解的概率．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对增⼴矩阵作初等⾏变换有于是Ax=b有解的充要条件是，即b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中b 1，b 2，b 3相互独⽴，且分布律相同：，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3．所以Ax=b有解的概率为甲、⼄两个⼈投球，甲先投，当有任⼀⼈投进之后便获胜，⽐赛结束．设甲、⼄命中率分别为p 1，p 2，0＜p 1，p 2＜1．求：（分数：6.00）(1).甲、⼄投球次数X 1与X 2的分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：每次投篮是相互独⽴的与其他⼏次⽆关．事件X 1 =n表⽰“甲投了n次”，即“甲、⼄各⾃在前n-1次没有投进，在第n次时甲投进或⼄投进”，所以P{X 1 -n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…其中：q i =1-p i，i=1，2．事件“X 2=m”表⽰“⼄投了m次”，即“甲、⼄前m-1次均没有投进，甲在第m次也没有投进，⼄在第m 次投进”，或“甲、⼄前m次均没有投进，甲在第m+1次投进”．特殊地，当m=0时，表⽰甲第⼀次就投中，所以P{X 2 =m}=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1，m=1，2，…(2).若使甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则p 1，p 2满⾜什么条件?（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设事件A表⽰“甲获胜”，则总投篮次数为奇数．当X 1 +X 2 =2n-1时，意味着甲、⼄前n-1次都未投进，甲在第n次投进，于是有P{X 1 +X 2 =2n-1}=p 1 (q 1 q 2 ) n-1，则若甲、⼄两⼈赢得⽐赛的概率相同，则12.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，⼜求Y的概率密度f Y (y)与分布函数F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解法⼀：应⽤单调函数公式法先求Y的概率密度f Y (y)．由于X在(0，1)内取值所以的值域为(0，+∞)，且y=g(x)在(0，1)单调．因此其反函数在(0，+∞)内单调可导，其导数h"(y)=2e -2y，在其定义域(0，+∞)内恒不为零．⼜因为X的概率密度所以Y的概率密度因此可见Y服从参数为2的指数分布，其分布函数为解法⼆：⽤分布函数法先求出Y的分布函数F Y (y)．当y≤0时，F Y (y)=0；当y＞0时，0＜x=1-e -2y＜1，最后⼀步是由于X服从(0，1)上的均匀分布．故所求Y的分布函数为将F Y (y)对y求导，得设随机变量(X，Y)的概率密度为试求：（分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：①当x≤0或y≤0时，f(x，y)=0，故F(x，y)=0．②当0＜x≤1，0＜y≤2时，③当0＜x≤1，y＞2时，④当x＞1，0＜Y≤2时，⑤当x＞1，y＞2时，综上所述，分布函数为(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当0≤x≤1时，当0≤y≤2时，(3).概率P{X+Y＞1}，P{Y＞X} 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，如下图所⽰，所以设(X，Y)服从D={(x，y)|y≥0，x 2 +y 2≤1}上的均匀分布，定义（分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由题设可知，故(U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)．则(U．V)的联合分布律为(2).求关于V的边缘分布律；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得V的边缘分布律为(3).求在U=1的条件下V的分布律．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，所以所以所求V的分布律为13.设随机变量X的概率密度为，求随机变量 F Y (y)．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记如下图所⽰，φ(x)在[0，+∞)内最⼩值为-1，⽆最⼤值，在[0，+∞)左端点处的值为0．y=-1，0将y轴分成(-∞，-1)，[-1，0)，[0，+∞)三个区间．当y∈(-∞，-1)时，F Y (y)=0．当y∈[-1，0)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴上的投影与[0，+∞)的交集为F Y (y)=f X (x)在上的积分为当y∈[0，+∞)时，纵坐标为y的⽔平直线关于曲线y=φ(x)内的集合在x轴的投影与[0，+∞)的交集为，此时F Y (y)=f X (x)在上的积分为综上所述，y的分布函数为设随机变量X在区间(0，2)上随机取值，在X=x(1＜x＜2)条件下，随机变量Y在区间(1，x)上服从均匀分布．（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问X与Y是否独⽴；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：根据题设X在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为⽽变量Y，在X=x(1＜-x＜2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度⼜所以由于f X (x)f Y(y)≠f(x，y)，所以X与Y不独⽴．(2).求P{3Y≤2X}；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：如下图所⽰，(3).记Z=X-Y，求Z的概率密度f Z (z)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：已知(x，y)～f(x，y)，则Z=X-Y的取值范围为0＜Z＜1．当0＜z＜1时，Z=X-Y的分布函数为则故设随机变量X与Y相互独⽴，X的概率分布为，Y的概率密度函数为Z=X+Y．求：（分数：6.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).Z的概率密度函数．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X=-1，Y≤z+1}+P{X=0，Y≤z}+P{X=1，Y≤z-1}．因为X与Y相互独⽴，故①当z+1＜0(z-1＜-2)，即z＜-1时，f Y (y)=0，从⽽F Z (z)=0；②当0≤z+1＜1(-2≤z-1＜-1)，即-1≤z＜0时，③当-1≤z-1＜0(1≤z+1＜2)，即0≤z＜1时，④当0≤z-1＜1(2≤z+1＜3)，即1≤z＜2时，⑤当1≤z-1(3≤z+1)，即z≥2时，综上故设⼆维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为U=X+Y，V=X-Y．求：（分数：6.00）(1).U的分布函数F 1 (u)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当u＜0时，F 1 (u)=0；当u≥0时，故U的分布函数F 1 (u)为(2).V的分布函数F 2 (v)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当v＜0时，F 2 (v)=0；当v≥0时，故V的分布函数F 2 (v)为(3).P{U≤u，V≥v}(u＞v＞0)，并判断U与V是否独⽴．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()当u＞0，v＞0时，P{U≤u}P{V≥v}=F 1(u)·[1-F 2 (v)]=e -2v (1-e -u ) 2≠P{U≤u，V≥v}，从⽽可知，U与V不独⽴．设⼆维随机变量(X，Y)在矩形区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}上服从⼆维均匀分布，随机变量求：（分数：6.00）(1).U和V的联合概率分布；（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图．依题意知，X与Y的联合概率密度为则有同理类似地可以计算出其他P ij的值：(2).讨论U和V的相关性和独⽴性．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出所以E(UV)=E(U)·E(V)，U与V不相关；⼜因为P{U=u，V=v}=P{U=u}·P{V=v}，所以U与V相互独⽴．。
概率统计1-1
A∩ B
n
A , A2 ,⋯, An 的积事件 —— 1
A , A2 ,⋯, An ,⋯的积事件 —— 1
∩Ai
∩Ai
i= 1
i= 1 ∞
5. 事件的互斥(互不相容)
AB = ∅—— A 与B 互斥
Ω
⇔A、 B不可能同
时发生
A , A2 ,⋯ An 两两互斥 , 1
A B
⇔ A Aj = ∅,i ≠ j,i, j =1,2,⋯, n i A , A2 ,⋯, An ,⋯ 两两互斥 1 ⇔ A Aj = ∅,i ≠ j,i, j =1,2,⋯ i
B
A− B 发生
⇔ 事件 A 发生，但 事件 B 不发生
A− B
8. 完备 完备事件组 则称 A , A2 ,⋯, An为完备 完备事件组 完备 1 或称 A , A2 ,⋯, An为 Ω 的一个划分 1
A 1
若 A , A2 ,⋯, An两两互斥，且 Ω = ∪A i 1
i=1
n
A 2
A 3
⋯
Ω
第一章 概率论的基本概念
确定性现象 随机现象 —— 每次试验前不能预言出现什么结果 每次试验出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试 验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性 统计规律性
§1.1 随机事件及其运算
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验 试验. 试验 若它有如下特点,则称为随机试验 随机试验,用E 表示 随机试验 可在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果不止一个,但能明 确所有的结果 试验前不能预知出现哪种结果 E1 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数 E2 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 E3 观察某地区每天的最高温度与最低温度
概率1-1 概率论与数理统计
§1.2 样本空间、随机事件
一、样本空间
1.样本空间: 随机试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S．
2.样本点: 样本空间S的元素，即E的每个可能结果．
例 写出§1.1节中所列的试验Ei 的样本空间: 试验E1: 抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.
S1={H, T},（H表示出现正面， T表示出现反面）
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ． 4. 德.摩根律(对偶原理) ： A∪B=A∩B, A∩B=A∪B
n
n
n
n
类似有： Ai Ai ,
Ai Ai
i 1
i 1
i 1
i 1
5. 对必然事件的运算法则：A∪S=S, A∩S=A
6.对不可能事件的运算法则：A∪Φ=A,A∩Φ=Φ．
实验序号
n=5
m fn (A)
1 2 0.4
2 3 0.6 3 1 0.2
4 5 1.0
n=50 m fn (A) 22 0.44
25 0.50 21 0.42 25 0.50
n=500
m
fn ( A)
251 0.502
249 0.498 256 0.512 253 0.506
从上面的例子可以看出，试验次数n越大，出现正 面的频率越接近0.5，即频率稳定于1/2 ．经验表明：只要 试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的频率 稳定于一个固定的常数，常数是事件本身所固有的，是 不随人们的意志而改变的一种客观属性，它是对事件出 现的可能性大小进行度量的客观基础．为了理论研究的 需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如 下度量事件发生可能性大小的概率的定义.
呼叫次数. E6: 在一批灯泡中任意抽取一只, 测试其寿命.
概率论与数据统计1-1 随机试验
事件 A={掷出奇数点}
事件B = {掷出点数为1,3,5｝
显然 A=B
B A
A B
S
3、两事件A与B的和
“事件A、B中至少有一个发生”是一事件
把这一事件称为A与B的和，
记作 A B, 或A B
A或 B
S
A B A+B
即 A U B A、B中至少有一个发生
问如何用 Bi 表示A和 A ？ A= B1B2
A B1B2 B1B2 B1B2 B1 B2
( B1B2 B1B2 ) ( B1B2 B1B2 )
例2 设A、B、C为三个事件，用A、B、 C的运算关系表示下列各事件.
1. A发生, B与C不发生
AB C
或
A B C
些随机事件。 1、包含关系
若果事件A的发生必然导致事件B发生，
则称事件A包含于B，或称B包含A
记作A B, 或B A
对任一事件A有：
B
A A B
S
φ A S
2、两事件A与B相等
若A B且B A 同时成立， 则称A 与B相等 记作A B,
试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数
事件A、B对立(互逆）
AB 且A+B S
事件A、B互不相容（互斥）
c
两事件A、B互逆或互为对立事件: 除要求A、B互斥即AB= 外，还要求 A+B=S
6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是 对立事件. 正确 7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是 对立事件. 错误
因为A、B都发生是 A、B都不发生是
AB的对立事件是
AB
AB
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2006年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第十一章《概率统计》一、选择题（共11题） 1.（安徽卷）在正方体上任选 概率为 A .-7324个顶点上可得三个（即正方体的一边与过此点的一条面对角线），共有24个，得，故G2.（福建卷）在一个口袋中装有 5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同， 从中摸出3个球，至少摸到 2个黑球的概率等于 A.2B.3C?7 8 7解析：在一个口袋中装有 5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
至少摸到2个黑球的概率等于 P = C 3C 5 3 C 3 =-，选A 。
C 83 73. （湖北卷）甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 2是对立事件，那么解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立。
故选 B4.（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x , y , 10, 11, 9•已知这组数据的平均数为10,方差为2,则| x -y 丨的值为 （A ） 1（ B ） 2（ C ） 3（D ） 4【思路】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法【正确解答】由题意可得：x+y=20,（x-10） 2+（y-10） 2=8,解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出x 、y ,只要求出 x - y ，设x=10+t, y=10-t, x-y=2t=4，选D 5. （江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信 号源在同一个串联线路中时， 就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组， 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接， 则这五个接收器能同时接收到 信号的概率是3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的解：在正方体上任选 3个顶点连成三角形可得 C 8个三角形，要得直角非等腰 三角形，则每C 8D.—28从中摸出3个球,A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件， 也不是乙的必要条件信号源【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题器能同时接收到信号的概率是—，选D15【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法, 率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已解析：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除。
所有的三位数有 A 3）- A 2 =648个，将10个数字分成三组，即被 3除余1的有｛1 ,4, 7｝、被3除余2的有｛2 , 5, 8｝，被3整除的有｛3 , 6, 9, 0｝，若要求所得的三位数被 3 32民=12个；②若三(A)45(B)36（c ）箱【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有C 6L C 4_C 2 =15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有clLclLG 1 =8种结果，这五个接收而运用概6. 为 A. （江西卷）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组a ,甲、乙分到同一组的概率为 5 p=B.a=105 p=21a=105 3人，另两组2人，不同的分组数 p ,则a 、p 的值分别为（ ） 4 5 C.a=210 p=D.a=210 p=212121解：选A , a = c 7c%2a - ------------ =105,甲、乙分在同一组的方法种数有2!(1)若甲、乙分在3人组，有C 5C 4C 2 - 15种2!(2)若甲、乙分在2人组，有C 5 = 10种，故共有25种，所以P =——10521袋中有40个小球，其中红色球 16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球47.（江西卷） 个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为B.c ：c 8C i ；C i ；C.D.C 4C 8C 2G 26C 10解：依题意，各层次数量之比为 4 32 1,即红球抽抽一个，故选A& （四川卷）从0到9这10个数字中任取 不能被3整除的概率为—、1935（A ）（ B ）54 544个，蓝球抽3个,白球抽 2个，黄球3个数字组成一个没有重复数字的三位数, 38 (C )5441 (D)60这个数整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A?-A 3" =18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C3C3C3 As =162个，④若三组各取一个数字, 第三组中取0，有C3C3 2 A2 =36个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除420 35的数有420个，所以概率为=35，选B。
648 549. (四川卷)甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生(A) 30 人，30 人，30 人(B) 30人，45 人，15 人(C) 20 人，30人，10 人(D) 30人，50人，10 人解析：甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生30人，45人，15人，选B.10. (重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5 岁一18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是(A)20 (B)30 (C)40 (D) 50解析：根据该图可知，组距为2，得这100名学生中体重在56.5,64.5的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07) X 2=0.4，所以该段学生的人数是40,选C.11. (重庆卷)某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。
为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。
若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(A ) 2 ( B) 3 (C) 5 ( D) 13解：各层次之比为：30 75 195= 2 5 13，所抽取的中型商店数是5，故选C二、填空题(共9题)12. (福建卷)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是___________________ 解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标44p （ =0）3 戏3CCC 1C 1+C 1C 2_ 19，=1，% 切=gP （丄369 9 36以数2。
将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为E =Q 1 , 2 , 4 ,则13. （湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0. 80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_____________ 。
（精确到0. 01）解：P= cl（0.80）3（0.20）2+ C55（0.80）4 0.20+（0.80）5= 0.9414. ________________________________ （湖南卷）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班•其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分•解析：某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班•其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是40 90 50 81 = 85分.9015. （全国II ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）•为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500, 3000）（元）月收入段应扌由出_____________________ 人.解析：由直方图可得［2500,3000）（元）月收入段共有按分层抽样应抽出250025人1000016. （山东卷）某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ____________ .10解：抽取教师为160-150=10人，所以学校教师人数为2400 X =150人。
16017. （上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本•将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是__________________ （结果用分数表示）.解：分为二步完成：1）两套中任取一套，再作全排列，有C1L P4种方法；2）剩下的一套全排列，有P4种方法；所以，所求概率为：C 2 P4 P4 1P s "35 ；18. ___________________________________________________ （上海卷）在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______________________________________________ （结果用分数表示）。
解：在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是p旦WC：33 .19.（四川卷）设离散型随机变量■可能取的值为1, 2, 3, 4。
P「=k）=ak（k=1.2, 3, 4）。
又©的数学期望E： =3，贝y a + b=解：设离散性随机变量•可能取的值为1,2,3,4, P 二k二ak • b k =1,2,3,4 ，所以(a b) (2a b) (3a b) (4a b) =1，即10a 4b =1，又的数学期望E = 3,1则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b) =3，即30a+10= 3 a =丄，b=0,「.10a b —.1020. (上海春)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高•这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a「a2,…，a n满足a<j m a2一…-a n，贝V __________________ _____________________________________________________________ (结论用数学式子表示) 解：女口果在有限数列中，按顺序去掉一些高分U+-…「，那么有不三、解答题(共27题)21. (安徽卷)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。