高中数学解题中常用方法论文

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分类与整合,高中数学解题中重要思想论文

分类与整合,高中数学解题中的重要思想分类与整合是解决问题的一种逻辑方法；是中学数学重要的思想方法之一。

分析近几年高考中分类与整合的试题可知：分类与整合思想在高考中占有十分重要的地位，是一个热点问题。

其原因是：分类与整合试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，能体现“着重考察数学能力”的要求。

那么，引起分类的原因究竟有哪些？分类与整合有何标准和方法？分类能否避免？这都是我们必须从理论层面上需要弄清的问题.下面结合具体题型来回答这些问题。

分析：本题的两问都需要进行分类求解，其分类的对象主要是等比数列的公比.解：（1）因为是等比数列，，可得，，当时，；当时，，即（ =1，2，3，…），上式等价于①（ =1，2，3，…）或②（ 1，2，3，…），解①式得；解②式，由于可为奇数、可为偶数，故 .综上，的取值范围是（-1，0）（0，+∞）.（2）由，得，，于是 .又因为，且或，所以，当或时，，即；当且时，，即；当或时，，即评：数列是高考必考内容之一.而等差、等比数列的通项、前项和是数列的基础，在研究一个数列的通项时，对与要分别予以研究，而涉及等比数列或用错位相减法去求解时，要对公比是否为零，进行分类。

三、由变量或参数的取值范围引起的分类例3：已知在区间［-2,2］上，恒为非负数,求实数的取值范围. 解：设，，由题意知, , ,恒成立,故只须在［-2,2］上的最小值为非负即可.⑴当- <-2,即时, 在区间［-2,2］上递增,所以 .解得，这与矛盾,故舍去.⑵当-2 ,即-4 时, ，解得:-6 ，又因为-4 ,所以 .⑶当 ,即a<-4时, 在区间［-2,2］上递减,所以 ,解得 ,又因为<-4,所以 .由⑴、⑵、⑶知: .评:首先等价转换命题,结合对称轴与区间的各种位置关系分类讨论,函数图像的对称轴为 ,由于为参数不确定,所以要分在区间［-2,2］的左、右侧和区间上三种情况.四、几何元素的形状、位置的变化引起的分类例4：如图，已知一条直线ab，它的两个端点分别在直二面角－－的两个面内移动，若和平面所成的角分别为，试讨论的范围. 解：（1）当时， .（2）与不垂直时，在平面内作，为垂足，连接 .∵平面∴ .∴是与平面所成的角，即 .在平面内作，垂足为，连结 .同理， .在中，，在和中，即。

高中数学解题中数形结合思想应用论文

高中数学解题中数形结合思想的应用摘要：数形结合思想在高中数学中应用十分广泛，常见的比如在函数、集合、向量、不等式、立体几何、线性规划等问题中都有应用。

本文通过一些典型例题，列举了数形结合思想的应用方法，避免复杂的数学推理与计算，简化解题过程，加强学生的解题能力。

关键词：数学解题；数形结合；高中数学在高中教学中，数和形是两个最基本的概念，数形结合的思想不仅是高中数学解题中的一种重要思想，也是教学的重点。

在高中数学解题中使用数形结合的方法，研究数和形的对应关系，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。

在教学中培养学生数形结合的思想，能够有效的提高学生的解题技巧，做到举一反三，加强学生的解题能力。

数和形是数学研究的两大基本对象，数形结合即是以形助教，以数解形，就是数和形之间的相互转化。

通过数和形的相互转化来解决数学问题，使抽象思维转换为形象思维，有助于理解数学问题的本质。

数形结合可以求解很多问题，在高中数学中主要表现在以下几个方面：（1）通常可以结合数轴和文氏图进行求解集合问题；（2）数形结合可以使用函数的图像性质求解函数问题，可以研究函数的奇偶性、周期性、增减性，以及求函数的定义域、最值和极值、值域等问题。

（3）数形结合可以联系向量的几何意义用于求解向量问题，运用点、线、曲线的性质用于解析几何问题。

（4）数形结合可以构造几何图形和函数特点求解不等式问题，从题目的条件和结论出发，分析几何意义，从图形上寻找解题的思路。

使用数形结合的思想求解问题的关键在于图形的构造，抓住一些重要的量，巧妙地运用式子规律、数学概念符号去思考其内在的关系。

思考途径可以用下图表示：数形结合的解题思路一、利用坐标法解决几何问题坐标法就是将几何问题坐标化。

在解决几何问题中运用坐标法的基本思路是，首先根据几何问题的特点建立合适的坐标系，其次将几何问题转变为代数问题，经过推理和计算，获得相关的代数结论。

最后考虑坐标系，将代数结论转化为几何结论，由此得到原几何问题的答案。

高中数学论文800字三篇

高中数学论文800字三篇第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用摘要变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。

关键词变换思想，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。

通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。

本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。

2. 变换思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一。

在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。

例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。

3. 变换思想在几何解题中的应用几何问题是高中数学中的另一个重要部分。

变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。

例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。

4. 变换思想在代数解题中的应用代数问题是高中数学的另一个重要内容。

在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。

例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。

5. 结论变换思想在高中数学解题中具有重要作用。

通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。

因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。

第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用摘要分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。

本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。

关键词分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育1. 引言在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。

通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。

高中数学解答题答题技巧分析论文

高中数学解答题答题技巧分析论文高中数学解答题答题技巧分析论文【摘要】当前，高中数学作为高中教育的重点科目，在高考中占据着重要的位置，而且在学生踏入社会之后，对于数学的运用也是必不可少的，在生活中的应用也是十分重要的，因此，学生在高中阶段必须努力学好高中数学，通过科学的方法，为提高数学成绩做出努力。

本文通过探讨运用在数学解题过程的相应答题技巧，从而帮助同学们促进数学成绩的提高。

【关键词】高中数学；解答题；答题技巧在进行数学解答的过程中，存在着多种多样的解题方法和技巧，这些解答方法和技巧的运用，对于促进学生成绩的提高，发散学生的思维能力，有着极大的促进作用。

因此，学生在学习的过程中，必须对相应的解题方法和技巧进行一定的积累，必须对所需解答的问题拥有一定的探究能力，主动地进行数学方面的学习，从而形成自身的解题技巧，促进学生数学成绩的提高。

一、必须做好审题方面的工作在做数学题的过程中，思想必须保持高度集中，只有看清楚题目，完全理解了题目中的意思，才能有效避免因为误导性的条件而对自身造成的影响。

只有这样，才能避免失去得分，影响整体的发挥。

这种失误必须在日常训练的过程中时刻避免，做到认真审题，将题目中有用的条件划出，形成习惯，从而才不会在重大考试中发生严重的.错误。

比如，数学问题中最容易出错的问题就是关于等差等比数列方面的问题。

已知数列{an}是等比数列，首项为3，S5=93，并且这个数列的公比为2，8a1、a4、a5这几项又构成等差数列。

根据已知条件，试证明S2、S4、S6之间的关系。

部分学生在解这道题的过程中，往往容易将等比看成等差，等差看成等比。

因此在解答的时候，不仅浪费了时间，也导致做题出现了大错误，从而影响最后的得分。

这道题目的解题形式应该是：S2=a1+a2=3+3×2=9，S4=a1+a2+a3+a4=3+6+12+24=45，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=189。

由于9+180=189，而180=4S4。

浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)

福建师范大学现代远程教育毕业论文题目：浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心：灌云奥鹏专业：数学及应用数学年级（入学批次）： 201103 学号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名：严晓明2013 年 3月 15 日装订线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明指导老师：严晓明摘要：最值问题是中学数学的重要题型之一。

以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。

解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。

本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。

关键词：高中数学最值解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。

例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。

2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。

高中数学解题方法之联想法论文

高中数学解题方法探讨之联想法摘要高中数学在高考中的重要性不言而喻，学好高中数学不仅需要扎实的基础知识，掌握好的解题方法对于学好数学能起到事倍功半的作用。

高中数学的解题方法众多，而联想法作为其中最为简单易学的一种备受学生青睐，本文就针对联想法这种高中数学中应用最广的解题方法做一个系统的探讨，供大家参考。

关键词高中学生解题方法联想法一、引言数学解题的本质就是寻找问题与答案之间的内在逻辑关系，解题的整个思维过程实际就是一系列联想推理的过程，所以有意识的运用联想法，符合数学解题过程的思维习惯。

就具体数学解题而言，联想就是从一个问题想到另一个问题的心理活动，其实质上也就是把解决某特殊问题的原则方法等“移植”到相近的问题上面去，从而迅速地找到解题的方案。

联想法又可分为化归联想法、构造联想法和类比联想法等，下面将结合具体事例一一介绍。

二、化归联想法化归联想法的思想是将陌生的问题转化为熟悉的问题（例1、例2），复杂的问题转化为简单的问题（例3），抽象的问题转化为直观的问题（例4），从而使问题得到解决。

以下举例说明：例1：已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x 2 + （ b2 + c2 - a2） x + c2 = 0 没有实数根。

解题思路：此题从题设条件和形式来看，是涉及几何与代数的综合题。

就其实质而言，它与二次方程、二次不等式、二次函数和二次曲线等都有联系。

要证明的结论，是以字母为系数的一元二次方程没有实数根。

联想一元二次方程没有实数根的条件，此题实际上是要证明一元二次方程根的判别式△= （ b2 + c2 - a2）2 - 4b2c2 m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则实数x 的取值范围是___________。

解析：本题等价关于m的不等式（x2-1）m-2x+11，解关于x 的不等式：logax-4loga2x+121oga3xn（-2）n-1loganx >loga（x2-a）思路分析：初看此题，表达式令人望而却步．其原因主要是对不等式左边的结构识别不清，因而不能进行有效的化简。

高中数学教育教学论文3篇

高中数学教育教学论文3篇在高中数学教学当中，高中数学教师是学生学习的引导者与组织者，在教学课堂上的作用是十分重大的。

本文是店铺为大家整理的高中数学教育教学论文，欢迎阅读!高中数学教育教学论文篇一：高中数学应用题解题思路一、高中数学应用题教学的方法高中数学应用题的教学方法有很多种，在实际应用中，教师要根据学生的接受能力以及数学课程的内容进行优化选择。

1.导学案教学方法。

导学案是教师为了在课堂当中能够指导学生实现自主学习而设计的一套材料体系，通常都包括“学习目标、预习导学、自主探究、自学检验、小结与反思、当堂反馈、拓展延伸、总结反思”等不同的部分。

导学案教学方法在高中数学应用题教学中的广泛应用，能够帮助教师更好地发挥自身的指导作用，教师指导学生自主完成学案中的不同环节，学生在这一合作探究的过程中就能够实现对知识的“来龙去脉”的清晰掌握。

应用题中所涉及到的知识点通常比较多，通过导学案教学可以让学生思路清晰地去解决探究中遇到的每一个问题，同时还能够起到复习旧知识点的作用。

2.生活化教学方法。

生活化教学方法就是指教师在课堂教学中要积极引导学生的思路走向实际生活，强化所学到的知识与实际生活的联系。

在高中数学应用题教学中，生活化的教学方式是最有利于提高学生应用能力的方法。

教师在讲授应用题的解决方法中，常常会列举很多生活中常见的数学问题，让学生用根据自己的生活经验以及知识基础，通过合作探究，去解决这些问题。

3.自主学习教学方法。

自主学习教学方法旨在培养学生的自主学习能力，自主学习是要以学生的主动学习、独立学习为主要特征的。

在高中数学课堂中自主学习的实现在于教师教学情境的创设，如果教学情境创设得当，能够调动学生学习的兴趣，那么就能够充分发挥自主学习教学方法的优势。

自主学习教学方法可以分为几个阶段进行，第一个阶段，就是创设一个新颖且结合当堂数学知识的情境。

第二个阶段，在情境中分层设置探索的问题，让学生在问题的解决中获得成就感，从而自主探究问题。

毕业论文——高中数学常见最值问题及解题策略

目录1 引言 02 文献综述 (1)2.1国内研究现状 (1)2.2国内研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 高中数学常见最值问题及解题策略 (2)3.1无理函数的最值问题 (2)3.2三角函数的最值问题 (4)3.3 数列的最值问题 (6)3.4 平面向量的最值问题 (10)3.5 圆锥曲线的最值问题 (11)3.6具有几何意义的最值问题 (14)3.7几个特殊类型函数的最值问题 (17)3.8用特殊方法求一类函数的最值问题 (23)4. 结论 (24)4.1主要发现 (24)4.2启示 (24)4.3局限性 (24)4.4努力的方向 (25)参考文献 (25)1 引言最值问题是人们在生产和日常生活中最为普遍的一种数学问题，它的应用性和实用性非常广泛，无论是在生产实践中还是在科学研究领域我们都会遇到一些关于“最好”、“最省”、“最低”、“最优”、“最大”、“最小”等问题，这些问题一般都是转化为最值问题进行求解．此类问题的求解，不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式，还培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时也使学生逐步形成了应用数学的意识．在近几年的高考题中，最值问题是考试命题的一个重点，它占了高考分数的5%~23%．从题型上讲，主要以选择题、填空题和解答题三种形式出现．从难易程度上讲，主要有基础题、中档题和高档题三种题型．它在考查基础知识的同时，也逐步加强了对能力的考查，高考将注重检查学生对所学课程内容达到融会贯通的程度．因此，求解最值问题将会是高考的一个难点，学生不但要较好地掌握各个分支的知识，还要善于捕捉题目信息，有较强的思维能力，能够运用各种数学技能，灵活选择适当的解题方法，方能达到事半功倍之效．文章从高中数学试题中经常出现的无理函数、三角函数、数列、向量、圆锥曲线和解析式具有几何意义的最值问题以及三类特殊最值问题几个方面对高中数学最值问题进行相关探讨，给出求高考数学最值问题的解题策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．2 文献综述2.1国内研究现状对于中学数学中最值问题的求解，国内已经有了一定的探讨，文[1]－[5]中总结归纳了最值问题的常用求解方法；文[6]通过举例讨论了一类无理函数最值的求解策略；文[7]讨论了如何巧求一类二元函数的最值；文献[8]针对解析式具有几何意义的函数的最值巧妙求法方法进行了归纳总结；文[9]给出了三类最小值问题的统一解法及一般结果；文[10]对一类函数最小值问题的处理方法进行了探讨；文[11]对一类函数最小值问题的处理方法进行了相关的补充；文[12]介绍了几种关于应用均值定理求最值的方法；文[13]给出了2005～2009年中最新五年高考真题及其详解；文[14]～[15]介绍了函数最值的概念及其求解方法；文[16]给出了用松弛变量法巧妙地求解一类二元函数的最值问题的方法．2.2国内研究现状评价国内虽然对最值问题的求解方法已有了一定的研究，尤其是最值问题的常用求解方法归纳比较全面系统．但是在近几年的高考题中，主要考查学生学以致用的能力，只利用常用求解方法一般很难解决高考题中的最值问题．高考很多最值问题都是要综合应用相关知识的概念、性质、定理才可解决．现查阅到的参考文献中大多只讨论了最值问题的常用求解方法及归纳了几个特殊最值问题的统一解法，并没有具体探讨高考数学中基本最值问题的求解策略．2.3提出问题由于高考过程中，试题数量多、时间少、难度大，要在高考中获胜，必须要讲解题方法“精”、“巧”、“练”．而大多资料并没有从高考的角度研究高考数学中最值问题的求解，最值问题的求解方法还不够完善，高考中学生对最值问题的求解还存在一定的困难．因此，本文将通过查阅相关资料，站在高考的角度，对高中数学常见最值问题及解题策略进行总结、归纳、整理，进一步完善最值问题的求解策略，为学生的备考和教师的教学提供相应的指导．3 高中数学常见最值问题及解题策略最值问题是中学数学的一个重要内容，也是各种考试命题的一个热点．尤其在高考命题中，它是必不可缺少的热门考点，在近几年的高考试卷中，函数的最值问题占了相当大的比例．其主要以选择题、填空题和解答题的类型出现，其目的在于考查学生对基础知识的把握和灵活运用相关知识的能力．解决这类问题涉及的知识面较宽，要求学生不仅要能利用常用方法求解简单函数的最值问题，还要学生能根据知识的内在联系以及函数本身的特征适当选择最优解题方案，达到事半功倍之效．3.1无理函数的最值问题求形如22221121c x b x a c x b x a y ++±++=的最值此类题型求解最值的方法很多，一般有平面几何法、分析法、解析几何法、复数法和求导法．但在求解过程中这些方法的使用非常灵活，存在一定难度，要求对常用最值求解工具较为熟悉，能根据解析式的特征联系相关知识，恰当、准确地选用最优解题方案进行求解．而如何实现使用最优解题方案进行求解，关键是要认真捕捉题目信息，仔细观察解析式，从而根据知识的内在联系，利用转化思想便可解决问题．例1 求()2f x =的最小值.解令y =显然]0,5[-∈x 有意义,有222)725(x x x y -+-=)7)(25(272522x x x x --+-=,则0)7)(25(2,0722≥--≥-x x x x ,（当0=x 时等号成立）当0=x 时5min =y ，所以min ()7f x =．评析该题根据解析式的特征合理变形后，采用分析法．利用不等式的性质进行解答．本题主要考查学生的应变能力、分析能力和观察能力（各个时候取等号的条件的一致性，否则没有最值）．例2 求32610134)(22++-++-=x x x x x f )(R x ∈的最小值．解令22221)5(3)2(+-++-=x x y ，设,3)2(1i x z +-=i x z +-=)5(2，则21z z y +=，且54321=+=+i z z ，有52121=+≥+z z z z ．当且仅当345123=-=-x x 时函数取得最小值．当417=x 时5min =y ，所以min ()8f x =．评析采用复数法，利用复数模的性质121212z z z z z z -≤+≤+，把代数式转化为复数模的关系进行求解．求二元无理式的最值二元无理式的最值问题也是最值求解的一个难点，虽然它的解题方法不少，但是解答过程非常复杂繁琐，计算容易出错．而这种题可以运用一个定理便可轻松简捷地求解．定理1 设R x x ∈2,1，+∈R y y 2,，则21221222121)(y y x x y x y x ++≥+（当且仅当2211::y x y x =时等号成立）．例3 若521≥-++y x ，求y x x f +=)(+52的最小值. 解令11211+-++=+=y x y x z ,根据定理得 11211+-++=+=y x y x z , 当且仅当1211-=+y x ，521=-++y x 时取得最小值. 当433,421==y x 时 227min =z , 所以min ()16f x =．评析该无理函数求解最值的方法很多，但是相比之下，利用此定理使用松弛变量法[16]更为巧妙，但需注意的是题目中的已知条件必须全部满足定理的要求，否则求解将会有误，在使用这种方法时，必须认真捕捉题目信息．3.2三角函数的最值问题在高考试卷中，求解三角函数的最值问题的题目出现的非常频繁，几乎每年都会出现，占高考分数的%8~%3．它主要考查学生对三角函数基础知识的综合运用．其难度大，很多学生对此类问题“一筹莫展”．其实，三角函数的最值问题看似非常复杂，一, 2 27 1 25 1 11 )2 1 ( 2 2 = + ≥ + + - + + ≥ y x般使用常用最值求解方法很难求解，但是要解决它并不困难，只要充分理解其概念、性质，牢记公式，能灵活运用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式进行适当的变形化简，然后根据它的性质、定理逐步击破，便可解决问题．因此，在解决三角函数最值问题时，关键在于学生对其性质、定理的深刻理解和各个三角公式的灵活运用．例4（2008年全国卷Ⅱ）若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于M 、N 两点，则MN 的最大值为（B ）．解 )4sin(2cos sin )()(π-=-=-x x x x g x f ,根据三角函数的性质可知，当z k k x ∈+=,43ππ时， 2)()(max max =-=x g x f MN ．故选B ．评析本题主要考查学生对三角函数的性质的理解和应用．例5（2008年全国卷Ⅰ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长为a 、b 、c ，且c A b B a 53cos cos =-．（Ⅰ）求B A cot tan 的值．（Ⅱ）求)tan(B A -的最小值．解（Ⅰ）由正弦定理知C A c a sin sin =，CB c b sin sin =, c AC B B C A A b B a ⋅⋅-⋅=-)cos sin sin cos sin sin (cos cos ,1cos tan )1cot (tan sin cos cos sin sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin +⋅-⋅+-=⋅+-=B A c B A c BA B A B A B A c B A A B B A 由题意得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+⋅-, 解得4cot tan =B A ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得B A tan 4tan =，则A 、B 都是锐角，于是0tan >B ．所以43tan 41tan 3tan tan 1tan tan )tan(2≤+=+-=-B B B A B A B A ，且当21tan =B 时，上式取等号，所以 )tan(B A -的最大值为43．评析本题主要考查学生对三角函数性质的理解和定理的应用能力．学生灵活使用正弦定理将原解析式变形、化简，从而由题设产生新的已知条件，为求解目标函数的最值打下坚实的基础．例6（2008年四川卷）求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值．解由2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-得2(1sin 2)6y x =-+．由于函数2(1)6z u =-+在[1,1]-中的最值为max 10z =，min 6z =．故当sin 21x =-时max 10y =，当sin 21x =时min 6y =．评析三角函数的公式非常多，学生解决问题时必须正确选用适当的公式对解析式进行变形，才能使问题简单化，否则将越化越复杂，无法解决．因此，学生不但要熟记公式，还要有灵活运用公式的能力．3.3数列的最值问题数列的最值问题也是高考的一种题型之一，出现也较为普遍，它曾在2009年四川卷、安徽卷和2008年的江西卷、宁夏海南卷中出现．该类问题主要以选择题、解答题两种题型出现，选择题的难度不大，而对解答题的解题能力的要求却很高，不但要求学生对其基础知识非常熟悉，还要求学生有较强的计算能力、思维能力、分析能力和解决问题的能力．针对这类问题，学生必须熟记并能准确灵活地运用等差数列和等比数列的各个公式．例7（2009年安徽卷）已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=．以n s 表示{}n a 的前n 项和，则使得n s 达到最大值的n 是（B ）．A ．（21）B ．（20）C ．（19）D ．（18）解由于数列{}n a 为等差数列，则1(1)n a a n d =+-，有1235a d +=，1333a d +=．则139a =， 2d =-．根据数列的前n 项和公式2(1)39(2)402n n n s n n n -=+⨯-=-+, 显然当20n =时n s 取得最大值．评析本题主要考查学生对公式的应用，学生只要有较强的观察能力、思维能力，结合使用等差数列的通项公式和前n 项和公式就可以求解．例8(2009年四川卷) 设数列{}n a 的前n 项和为n s ，对任意的正整数n 都有51n n a s =+成立，记4()1n n na b n N a ++=∈-．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式．（Ⅱ）记221()n n n c b b n N *-=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的正整数n 都有32n T <．（Ⅲ）设数列 {}n b 的前n 项和为n R ，已知正实数λ满足：对任意的正整数n ，n R n λ≤恒成立，求λ的最小值．解（Ⅰ）当1n =时，151n a a =+，则114a =-．又51n n a s =+，1151n n a s ++=+，有115n n n a a a ++-=，即114n n a a +=-．所以，数列{}n a 成等比数列，其首相114a =-，14q =-．则14()n n a =-，所以14()5441(4)11()4n n n n b +-==+----．（Ⅱ）由（Ⅰ）知54(4)1n n b =+--，则221221554141n n n n n c b b --=-=+++ 222516(161)(164)2516(16)31642516(16)25,16nn n nn n nn n ⨯=-+⨯=+⨯-⨯<=又13b =，2133b =．有143c =．当1n =时 132T <，当2n ≥时23411125()3161616n n T <+⨯+++ 12211[1()]41616251311614162513116693,482n --=+⨯-<+⨯-=<（Ⅲ）由（Ⅰ）知 54(4)1n n b ==+--．一方面，已知n R n λ≤恒成立，取n 为大于1的奇数时，设21()n k k N *=+∈，则1221n k R b b b +=+++ 12321123221111145()414141411111145[()()]414141414141,k k k n n n ++=+-+-+++-++=+-+-++-+-+++>- 有41n n R n λ≥>-即(4)1n λ->-对一切大于1的奇数 n 恒成立．所以4λ≥．否则(4)1n λ->-只对满足14n λ<-的正奇数n 成立，矛盾．另一方面，当4λ=时对一切的正整数n 都有4n R n ≤恒成立，事实上，对任意的正整数k 都有212212558(4)1(4)1k k k k b b --+=++----52081611641516408(161)(164)8,k k k k k =+--+⨯-=--+< 当n 为偶数时，设2()n m m N =∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++8m <4n =，当n 为奇数时，设21()n m n N =-∈*，则1234232221()()()n m m m R b b b b b b b ---=+++++++8(1)m <-4n =，所以，对一切正整数n 都有4n R n ≤．综上所述，正实数λ的最小值为4．评析本题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想、分类整合思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力，要求学生有较强的综合解题能力．3.4平面向量的最值问题在考查平面向量的最值问题中，一般结合三角函数进行考查，题型多以选择题、填空题和解答题的形式出现，考生需要深刻理解平面向量的概念、性质和数量积与向量积的几何意义，灵活运用向量的各种性质，有较强的运算和论证能力便可解决问题．对于这类题型，学生首先要根据题目的已知条件，利用向量的性质灵活变形，进而利用数量积或向量积便可求解．例9（2009年安徽卷）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

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高中数学解题中常用的方法探析
【摘要】现在高中生普遍反映有这样的问题：好多题目老师不仅是讲了，而且是讲了好多遍，可是学生的解题能力不见得进步。

也常听见学生这样说：老师一讲就会，学生一做就错，解题能力却得不到提高等。

这些问题确实应该引起我们的反思，要想真正提高学生的解题能力，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重点内容。

【关键词】解题方法解题规律题目变换引申解题规范
一、预设解题方案
所谓审题，一般说就是了解题意，搞清问题中所给予的条件和要达到的目的。

从心理学的观点来看，即分析问题的基本结构，在头脑中建立起该问题的最初表征。

审题是解决问题的首要环节。

只有明确了问题的条件和要求，在头脑中建立起该问题的印像后，才能通过联想，回忆起解决当前问题所需的知识，才能使我们学过的定理、定义具体化，使我们学过的解题方法得到实际的应用，找到解决问题的最好方法。

我们在解数学题的时候，首先是理解题意，即对整个问题进行分析，区分已知条件和要求的目标，有时还要将目标划分为最基本的不能再分的部分，需要将已知条件和目标进行对照综合，这样才能弄清由已知条件出发能否最终达到终点。

在实际的教学中，不仅要使学生重视审题，同时要使学生善于审题，养成良好的审题习惯，掌握审题的技能。

善于审题必须先善于读题，其次要有合理的程序，此外还要学生善于改造问题，如把抽象的复
杂关系形象化;或者省掉无关的情节，把问题简约化;或把简缩语言加以扩展，确切把握题意。

二、构思解题方法
联想即有一种心理过程而引起另一种与之相连的心理过程的现象。

知识的掌握过程中的联想即以所形成的问题的表征为提取线索，去激活脑中有关的知识结构。

联想是使抽象化或概括化的知识得以具体化的必要环节，解决问题总是依赖过去的知识经验。

比如在解决数学问题时，根据所形成的问题表征，去激活回忆与该问题有关的知识方法、公式、定理、定义、学过的例题、解过的题目等，并考虑能否利用它们的结果或者方法，克服在引进适当的辅助元素后加以利用，能否找出与该问题有关的一个特殊的问题或一个一般的问题或一个类似的问题。

如果能够从所给问题中辨认出符合问题目标的某个熟悉的模式，那么就能提出相应的解题设想，进而解决问题。

在解题过程中，联想活动的进行将因问题的复杂程度和学生对所学知识的掌握程度的不同，而有扩展与压缩、直接与间接。

意识到知识的重现与意识到知识的重现的分别，有些情况下，学生不能联想，难以激活原来的知识结构，或者即使联想，但联想的内容错误，常受到与其相近的比较巩固的旧的知识的干扰。

其主要原因是领会水平较低或者领会错误，或原有的知识不巩固，或缺乏联想的技能。

为产生准确而灵活的联想，除了要保证知识的领会和巩固外，还要有目的的进行联想技能的训练。

三、解析解题途径
解析即分析事物的矛盾，分析已知和未知双方的内部联系，寻找解决矛盾的条件和方法，数学解题中的解析即统一的分析问题中各部分的内在联系，分析问题的结构。

将问题结构的各部分与原有知识结构的有关部分进行匹配，解析的结果往往表现为提出解决当前问题的各种设想、制定具体的计划与步骤。

探索解决问题的方法有多种多样，比如在解决数学问题时，可以通过分析、综合等基本的思维活动，并依据已有的知识，将问题的条件或结论作适当的变更和转换。

使之更易于利用某种原理或者概念来解决问题;也可以通过变换，使眼前的问题特殊化或者一般化;还可以利用适当的辅助问题。

在探索解题方法的过程中，有时需要不断的多次变更问题，综合应用各种方法。

解析是具体化过程的核心环节，决定着具体化的水平。

为此，在教学中应对解析技能的培养给予高度的重视。

教师可以遵循心智技能形成和培训的规律，来传授和提高学生的解析能力。

四、类化解题方法
类化也叫归类。

类化是抽象的知识具体化的最终环节，是审题、联想与解析的基础上，揭示出当前问题与过去的知识经验所具有的共同本质特征的过程。

类化与抽象知识的具体化是从不同方面来说的，就基本的过程而言，都是在抽象知识的指引下，通过一系列的分析，使已习得的抽象知识同当前的问题发生联系或沟通。

若从当前的课题方面来说，由于该具体的课题纳入了相应的同一知识系统中，可以说是类化;若从已习得的抽象的知识方面来说，由于它与
新的同类事物间建立了联系，因此，又可以说是具体化。

类化的进程将因题目的难易、同例题的差别程度以及已有抽象知识的领会水平等的不同而有差异。

在熟练的应用所学的知识去解决那些难度较低、同例题差别较小的问题时，类化过程几乎是同审题、联想与解析过程一起实现的，这时类化的进程是高度缩减的、直接的。

因此，当他们再遇到同类题目的时候，仍将它们视作不熟悉的新课题，反复进行审题、联想、解析，直到最后的类化。

总之，解题中我们要引导学生不断地对问题进行观察分析归纳类比抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的快乐，享受探究带来的成就感，在快乐中提高成绩。

长此以往，逐步养成学生独立思考积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件。

【参考文献】
［1］昝莹秋. 悟则通通则达[j].中学数学.2005.
［2］孔小明. 引导学生进行解题后反思提高解题能力[j]. 数学教学通讯， 2006.
［3］沈长生. 联想扩散沟通探索[j]. 江苏教育，2003.
［4］代夫珍，王兆田. 例谈解题后的反思[j]. 高中数理化，2003（01）.。