绝对值几何意义的应用
专题：人教版七年级上册 绝对值的几何意义综合题型讲解和练习
绝对值的几何意义综合题型讲解与练习知识背景绝对值的定义（几何定义）：数轴上，表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
记作a 图形解释：0a -表示数轴上数a 到数字0的距离；例子：3a -表示数轴上数a 到数字3的距离；2a +=(2)a --表示数轴上数a 到数字2-的距离；类型一：绝对值方程1.先阅读下列小明和小红的解题过程，再解答问题：解方程：32x +=．小明：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得 5.x =-所以原方程的解是1x =-或5x =-． 小红：32x +=可以理解为数轴上数x 到数字3-的距离为2，在数轴上可以找到，距3-的距离是2的数字有-5和-1，则1x =-或5x =-(1) 解方程：150x --=；（用小明的方法）(2) 解方程：4160x --=；（用小红的方法）针对练习1．已知30x -=，那么x = ．2．关于x 的方程136++-=x x 的解是 ．3．若26x -=-，则x = ．4．定义运算a b ab a =-★，如131312=⨯-=★．若2a =，且4a b =★，则b 的值为 ．5．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为 ．类型二：绝对值最值问题模型：求x a b ++的最小值，当0x a +=时，式子有最小值b求x a b -++的最大值，当0x a +=时，式子有最大值b1. 当x = 时；12x +有最小值，最小值为 ；2. 当x = 时；47x ++有最小值，最小值为 ；3. 当x = 时；374x -+有最小值，最小值为 ；4. 当x = 时；12x -+有最大值，最大值为 ；5. 当x = 时；47x -++有最大值，最大值为 ；6. 当x = 时；374x --+有最大值，最大值为 ；7．若a 表示一个有理数，则式子51a --有最 值（填“大”或“小”），式子取到最值时，a = ．类型三：绝对值非负性1．已知()2120a b -++=，则()2018a b ＋的值为 ．2．若2m -和()22n +互为相反数，则2m n -的值为 ．3．若|1||2|0a ab -+-=，则111(1)(1)(2)(2)(2022)(2022)a b a b a b +++++++++= ．4．若a ，b 为实数，且()222|16|04a b b -+-=+，求3a b -的值 ． 5．如果p ，q 是非零实数，关于x 的方程||20232024||x p q --=-始终存在四个不同的实数解，则||||||||||p q p q pq p q p q p q pq p q +-+++++-的值为类型四：绝对值几何意义的应用1．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为 ；（3）若x 表示一个有理数，且31x -<<，则13x x -++= ；（4）求32x x -++的最小值。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4【课堂检测2】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=，则x的值是多少？模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。
巧用绝对值的几何意义求多个绝对值之和的最小值问题
巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题例1求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜,其中a₁≤a₂≤…≤a n,那么：当n为偶数时,f min x=fa,其中a n/2≤a≤a n/2+1；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n/2+1-a n/2=a n+a n-1+••• a n/2+1-a1+a2+•••+a n/2当n为奇数时,f min x=fa n+1/2；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n+1/2+1-a n+1/2-1=a n+a n-1+••• a n+1/2+1-a1+a2+•••+ a n+1/2-1也就是说,偶数个绝对值相加,当x处于最中间的两个点所表示的数之间时,其值为最小,x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加,当x等于最中间那个点所表示的数时,其值为最小,x只有一个取值;利用这个原理来解决例1的问题将非常容易地得到结论：y=｜x--3｜+｜x--2｜+｜x--1｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜,所以x=0时y最小,最小值为12;下面我们利用这一原理解决更多的问题;例2已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜,求y的最小值;解y=⅓2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜=⅓｜x--1｜+｜x--1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜∵有11个绝对值相加,11为奇数,∴当x=a5,即x=1时,y最小为：⅓2｜1+1｜+3｜1-2｜=⅓4+3=7/3例3已知｜a+3｜+｜a-5｜=8,求a的取值范围;解∵当-3≤a≤5时,｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8,∴a的取值范围是-3≤a≤5例4已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9,求a b的值;解∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜,当a=-1时,最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜,当b=5时,最小值为6,∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9,只有当a=-1,b=5时,原式=9,∴a b=-15=-1例5如图4,一条公路旁有6个村庄,分别为A,B,C,D,E,F,现在政府要在公路边建一个公交站,请问建在哪一段比较合理分析所建公交站应该到各村的距离之和最小,以公路为数轴,设A,B,C,D,E,F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f,则a≤a≤c≤d≤e≤f,故当所建公交站到各村的距离之和最小时,公交站应该处于C村和D村之间;。
绝对值几何意义的应用探究设计(一)1
绝对值几何意义的应用探究(一)成都石室冉云一、教学内容解析《绝对值》是七年级第二章《有理数及其运算》中第3节的内容，前面所学数轴是数学中数形结合的起点，绝对值概念的生成过程中更是在渗透数形结合的思想方法；同时，本节结合绝对值概念的几何意义，运用数形结合，将绝对值相关问题转化为绝对值几何意义来解决，从而还渗透了建模、化归的数学思想。
最值问题是阶段学生学习解决的一个难点问题，大多数学生理解起来都有难度。
于是很多教师在处理这节内容时候往往避难就易，很快带过。
而要解决以上问题，关键是要将绝对值的定义即几何意义理解吃透，利用“数形结合〞解决以上问题比拟方便！而本节内容对于最值问题的思考和探索，将为后面的有关学习打下根底。
二、学生学情分析x 的几何学生在新课阶段已经学习了绝对值的几何意义，知道了x，推广到a意义，以及两点间距离公式，多数学生能够解决含有一个绝对值的最小值问题，为这节课的学习奠定了知识根底。
但是涉及到绝对值的最值问题及动点问题时，都出现了“用字母表示数〞比拟抽象，局部学生理解起来有难度。
基于学生在阶段对线段有初步感知，本节课借助数轴将绝对值最值问题转化为线段问题解题直观形象，学生容易上手容易理解。
另一方面，我学生对于平板电脑的使用已经比拟熟练，所以整堂课借助平板、互动课堂、交互式白板等现代信息学技术手段辅助教学！三、教学目标设置1．能灵活的运用绝对值的几何意义解决绝对值的有关最值问题，初步体会转化和化归的数学思想；2．初步学会思考，逐步学会探究，训练学生思维的深度及有效性，体验数学活动的探究性和创造性；3. 借助数轴解决问题，开展学生图形思维，渗透“数形结合〞思想.4. 在教师的引导下学生层层深入探究，经历建立数学模型和提炼、归纳数学结论“建构知识〞的过程.教学重点：运用绝对值几何意义借助数轴解决绝对值和最小、差最大的问题。
教学难点:探究三个以上的绝对值和的最小及两个绝对值差最大问题四、教学方法〔1〕采用探究式为主的教学方法，通过问题引导，学生合作探究、小组交流，悟方法，得结论。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
第4讲 绝对值的几何意义(学生版)
知识导航知识导航1求代数式2计算34数轴上是否存在数在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：的距离为．（包括）到（包括）之间时，则的最小值等然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的曲边三角形。
它的画法如下：1．画一个等边三角形；2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。
请你亲自动手做个实验。
把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。
如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。
实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。
这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。
我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。
由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。
下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。
开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。
绝对值 几何意义
绝对值几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3（相反数绝对值互为倒数）两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。
（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0X=5/22Y-4=0Y=2一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|={a>0 a=a{a<0 a=-a{a=o a=0关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。
y=-1/2 或=1/2。
设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。
设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。
答：y-x等于3又1/2或2又1/2。
|x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4公式|m-n|-|n-m|=0m/n可以是任何数2. 绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
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【
（2）、 的几何意义是数轴上表示 的点与表示的点之间的距离，若 ，则
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（3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m、n、p、q.若 ，
，则 ;若 ，
则 .
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（4）、不相等的有理数 在数轴上的对应点为A，B，C，如果 ，
一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置
4、设 是实数， 下列四个结论：
①. 没有最小值；②.只有一个 使 取到最小值；
③.有有限多个 (不只一个)使 取到最小值；
④.有无穷多个 使 取到最小值。
其中正确的是( )．
A．① B．② C．③ D．④
5、试求 的最小值.
}
④当 满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义 取得最小值，
这个最小值是.
由上题③图可知， ，故而当 时，最小值是5.
⑤若 时，探究 为何值，方程有解无实数解
档案： ； <5.
@
特别要注意的是：当 在 这个范围内任取一个数时，都有 .
例题拓展：①若 > 恒成立，则 满足什么条件答案： <5.
②若 < 无实数解，则 满足什么条件答案： ≤5.
绝对值几何意义应用
一、几何意义类型：
类型一、 ：表示数轴上的点 到原点0的距离；
类型二、 ：表示数轴上的点 到点 的距离（或点 到点 的距离）；
类型三、 ：表示数轴上的点 到点 的距离（点 到点 的距离）；
&
类型四、 ：表示数轴上的点 到点 的距离；
类型五、 ：表示数轴上的点 到点 的距离.
二、例题应用：
*
由以上图形可知：当 =3时， ，其他范围内
﹥13，故而 ，
这个最小值是13.
（6）、当 满足条件时， 取最小值，
…
这个最小值是.
由以上图形可知：当 时， ，其他范围内 ﹥18，
故而 ，这个最小值是18.
小结：有 ， ， ，…， （ ）个正数，且满足 ＜ ＜ ＜…＜ .
(
1.求 的最小值，以及取得这个最小值
解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．
—
四、综合应用
例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．
由以上图形可知：当 =1时， ，其他范围内 ﹥5，
故而 ，这个最小值是5.
（4）、当 满足条件时， 取最小值，这个最小值是.
~
由以上图形可知：当 时， ，其他范围内 ﹥11，故而 ，这个最小值是11.
特别要注意的是：当 在ຫໍສະໝຸດ 这个范围内任取一个数时，都有 .（5）、当 满足条件时， 取最小值，
这个最小值是.
所对应的 的值或范围；
答案是：当 = 时， 取得最小值，
这个最小值是 .
2.求 的最小值，以及取得这个最小值
》
所对应的 的值或范围；
答案是：当 时， 取得最小值，
这个最小值是 或者
.
三、判断方程根的个数
、
例3、方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．
A.．4；B．3；C．2；D．1
#
五、练习巩固
1、若 ＜ ＜ ＜ ，问当 满足条件时， 取得最小值.
2、若 ＜ ＜ ＜ ＜ ，问当 满足条件时，
取得最小值.
3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中A、B、C、D、F、G、H、K到城市的距
离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E正好是AK的中点.现要在某个村庄建
则点A，B，C在数轴上的位置关系.
拓展：已知 均为有理数， ，求
]
解析：
例2.（1）、①当 时， 取最小值；②当 时， 取最大值，最大
值为.
（2）、①已知 ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 ;
|
②已知 ，利用绝对值在数轴上的几何意义得;
—
③已知 ，利用绝对值在数轴上的几何意义得;
拓展：若 ，则整数 的个数是4.
-
解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，
∵|x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，
∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．
③若 > 恒成立，则 满足什么条件答案： ＜ .
$
由上图当 ≤ 时， ；当 ≥3时， ；当 ＜ ＜ ，
＜ ＜ ，所以 ≤ ≤ .则 ＜ .
④若 < 时，则 满足什么条件答案： >5.
拓展应用：已知 ，求 的最大值和最小值.
;
解析： ， ，
，
， ，
.
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（3）、当 满足条件时， 取最小值，这个最小值是.