有限元习题与答案
习题
2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。 解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。 ○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。
X U X
x ??=
ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：
T
xz yz xy z y x x w z u z
v y w y u x v z w y v
x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ??
??
????+????+????+????????=????
??????
???
???
????????????
??????+????+????+????????=????????????????????=γγγεεεε
○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：
????????????????????=???????????????????
?=6665
64636261565554535251464545434241363534333231
2625242322211615141312
11
αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ??????????
?????????
?xz yz xy zz yy xx γγγεεε
○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功
总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。 2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。 ○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。 ○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。 ○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。 ○4 小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。
2.3简述线应变与剪应变的几何含义。
线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。 2.4 推到平面应变平衡微分方程。 解：对于单元体而言其平衡方程：
?????????
??=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??0
00Z x
Y x X x z z y zy xz z zy
y y xy z
zx
y xy x στ
ττστ
σσσ
在平面中有
zy
zx
z ττσ== 代入上式的 ??????
?=+??+??=+??+??00Y X z xy y y x xy
x x τστσ
2.5 如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求σ和τ的值。
解：x 方向上：?????=-+--=---045sin 45sin 3020045cos 45cos 304020000
0τστ
联立二式得：????
?--==30
220230τσ
2.6相对于xyz 坐标系，一点的应力如下
64430003 0σ ??
??=-??
????
某表面的外法线方向余弦值为6/11
x y n n ==，
7/11
z n =，求该表面的法相和切向应力。
解：该平面的正应力
2222
2
2
2
222667766(3)324
1111111111x xy xz x n x y z yx y yz y zx zy z z x x y y z z x y xy y z yz z x zx n n n n n n n n n n n n n n n σ τ τσ τσ τ τ τ σ σσστττ????????
??=????
????????
??=+++++????????
=?+?-+?+?+? ? ? ? ?????????
全应力
5.80
n T ==
=
=
该平面的切应力
3.68
n τ===
2.7一点的应力如下
20 10 10σ10 20 1010 10 20??
??=??
????MP
求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。 解：设主平面方向余弦为
x y z
n n n ，由题知20
x y z σσ=σ==
10
xy yx yz zy xz zx τ=τ=τ=τ=ττ==
122222222
32202020602020310390022020202101010201034000x y z x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz x zx z xy I MPa
I MPa I Pa
σσσσσσσσστττ=σσστττστστστμ∴=++=++==++---=??-?=+---=??+???-??=
将
123
I I I 代入
321230
I I I σσσ--+=得32
6090040000σσσ--+=
即
()()2
40100σσ--=
140MPa
σ=，
2310MPa σσ==。
最大剪应力
13
max 4010
152
2MPa σστ--=
=
=
（1）当
1σσ=时代入式（2.21）
201010010201001010200
x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n ?-++=?
-+=?==??
++=?
22213x y z x y z n n n n n n ++=∴===
Q
（2）当23σσσ==时代入式（2.21）0x y z
n n n ++=且2221x y z x y z n n n n n n ?++=??
==??
x n ∴=
y z n n ==
2.8已知一点P 的位移场为
23(4)10u yi yz j bx k ??=+++???
r r r r
，求该点p(1,0,2)的应变分量。
解：p 点沿坐标方向的位移分量为u,v,w
()22222
10,310,4610u y v yz w x ∴=?=?=+?
点p(1,0,2)处线应变为0xx u x ε?=
=?，22310610yy v z y ε?==?=??，0zz w z ε?==?
剪应变为
0xy v u x y γ??=
+=??，203100yz w v
y y z γ??=+=+?=??，212101200xz w u x z γ??=+=?=??
2.9一具有平面应力场的物体，材料参数为E 、v 。有如下位移场
32(,)u x y ax bxy =- 23(,)v x y cx y dy =-
其中，a 、b 、c 、d 是常量。求
x y xy
σστ讨论位移场的相容性
解：
23x u ax by x ε?=
=-? 223y v cx dy y ε?=
=+? 22xy v u cxy bxy y x γ??=+=-??
因为222x b y ε?=-? 222y
c x ε?=? 2
22xy c b x y γ?=-??
所以满足相容性条件
22
222y xy
x y x x y εγε???+=????
有广义胡克定律()()11x x y y y x E E εσμσεσμσ?=-????=-??得()()()()222222331331x y a c x b d y E a c x b d y E μμσμμμσμ?+-+=?-??+-+?=?-?
又
xy
xy G τγ=
Q 则
()()221xy xy E
G xy c b τγμ==
?-+()1E c b xy
μ=--
2.10一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=0.
3.并且有如下位移场
233(,)301020u x y x x y y =-+ 232(,)10205v x y x xy y =++
当x=0.050m,y=0.020m 时，求物体的应力和应变。位移场是否相容？
解：
226030600.05300.050.02 2.9985x u
x x y x ε?=
=-=?-??=?
226010600.050.02100.020.2012y v
xy y y ε?=
=+=??+?=?
32332220206010200.05200.02600.02100.05 1.02291xy v u x y y x x y γ??=
+=++-=?+?+?-?=??
由广义胡克定律
()()()9
522
21010 2.99850.30.2012 2.5410110.3x x y E Mpa σεμεμ?=+=?+?=?-- ()()()95
22
210100.3 2.99850.2012 2.5410110.3y x y E Mpa σμεεμ?=+=??+=?--
()()()9
521010 1.022918.261021210.3xy xy
xy E G Mpa τγγμ?===?=?+?+
22
0x
y εε?=?，22
y
x
εε?=?，20
xy
x y
γ?=??满足相容性条件
22
222y xy
x y x x y
εγεεε???+=
????
2.11对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。其中
32x ay bx y cx
σ=+-
3x dy e
σ=-
22z fxy gx y h
σ=+-
a, b, c, d, e, f, g, h 是常量。为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么？
解：由题意得：2x bxy c
x σ?=-?，23y dy y σ?=?，22xy fy gxy x τ?=+?，22xy fxy gx y τ?=+?
代入平衡方程
()()2222222030230
yx
x xy x bxy c fxy gx d f y x
y b f gx c g fy gxy dy x
x τστσ???+=-++=?+????+-+=?
???+=++=????
根据广义胡克定律：
()()()()()()323332
2222
111121666
x x
y y y x xy xy
x y ay bx y cx d y e E E
dy e a y b x y c x E E fxy gx y h G E ay d y
εσμσμμεσμσμμμτμγεμε?=-=+---??
?=-=--++??
?+==+-??
?-=?
22
2y x b y E εμε?=-? ()()2
2122xy fy gx x y E γμ?+=+??
代入相容方程
()()
66241ay d y b y fy gx μμμ--=++
()()332121a d b f
x y
g
μμμμ--++=
+ （2）
代入（1）得
()()()()22
3321321cg
y a d b f b f d f μμμμ=
??--++-++??+??
()()()()()()2
22
3321213321321a d b f cg
x a d b f b f d f μμμμμμμμ??--++=??+??
--++??-++??+?? 其中()()()()2
3321321a d b f b f d f μμμμ??
--++≠++??+??
2.13 根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，
2222
2
y xy
x x y
y x εγε???????+
=
并解释该方程的意义。
证明：弹性力学平面问题的几何方程为：
u
x x ε??=
① ，u y
y
ε??= ②，
V u xy x y
γ????=+ ③，
将方程①，②分别对y 和x 求二阶偏导并相加得：
()
223332222
2
2x
x
u
v v u v x y y
x y x
x y x y x y
εε????????????????????+=+
+
=
+
等式右端项
u v xy
y
x
γ????+
=，
22222
x x xy
x y
y x εεγ???????∴+
=
该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量
,,x y xy
εεγ应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重
叠。
2.14 假设Airy 应力函数为
432234
12345a x a x y a x y a xy a y ?=++++，其中
i
a 为常数，求
,,x y xy
δδτ，
并求这些变量间的约束关系。
解：由
22222
,,x y xy x y
y x ?
??δδτ???????===-
，对该应力函数求偏导得;
32231234432x a x a x y a xy a y ???=+++
3223
2345234y
a x a x y a xy a y ???=+++
对以上两式的偏导可求得：
()2222222123
223452233412622612343y x x y y xy
x y a x a xy a y a x a xy a y a x a xy a y ??δδτ????????==++??==++??=-=-++?? 考虑相容性条件
4444
22
4
2
x x y y ?
?????????++
=,将上式代入可得各常量间的关系如下：
153660
a a a +-=
2.15 对给定的应力矩阵，求最大Tresca 和V on.Mises 应力。将V on Mises 应力和Tresca 应力 20 10 10
进行比较，δ= 10 20 10 Mpa 。
10 10 20
δzτxyτxz
解：由Tresca准则：δ= δy τyz 故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpa
δz
δ1=（δx+δy）/2=30Mpa δ2=10Mpa
由V on Mises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa
30 -15 20
2.16 一点出的应力状态由应力矩阵给出，即δ= -15 -25 10 Mpa，若E=70Gpa，γ
20 10 40
=0.33，求单位体积的应变能。
解：单位体积应变能：
υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)}
u=（E-2γ）/2γγ=0.33带入可得：
υ=420.75J
3.11 如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵K e。
解：此三角形单元可得：
2△=（10-2）*4=32，故有
a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）
a2=1/32*（4u1-4u2）
a3=1/32*（-8u1+8u3）
a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）
a5=1/32*（-4v1+4v2）
a6=1/32*（-8v1+8v3）
而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8
b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0
b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8
b10 b20 b30 -4 0 4 0 0
[B]=1/2△* 0 c10 c20 c3=1/32* 0 -8 0 0 8
c1b1c2b2c3b3 -8 4 0 8 0
1 γ0 1 0.3 0
[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0
0 0 (1-γ)/2 0 0 0.35
1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0
[S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25
0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0
1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7
0 4 -0.6 -4 0 0
[K]①=B T*D*B①*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7
-0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35
0 0 0.6 -1 -0.6 0
0.7 0 0.7 -0.35 0 0
1 0 0 0.6 -1 -0.6
0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35
0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7
[K]②=B T*D*B②*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4
1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3
0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5
3.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。
解：如图2△=64/3，解得以下参数：
a1=19 a2=-2 a3=6；b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；
N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)
N3={64/3}*(6-x+4y)
故N= N i0 N j0 N m0
0 N i0 N j0 N m
1 0 1 0 1 0
= 0 1 0 1 0 1
b i0 b j0 b m0
[B]={1/2△}* 0 c i 0 c j 0 c m
c i b i c j b j c m b m
-3 0 4 0 -1 0
={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4
-1 -3 -3 4 4 -1
1 γ0
[D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0
0 0 (1-γ)/2
1 γ0 -3 0 4 0 -1 0
单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4
0 0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -1
2
1.1
-3 -u 4 3u -1 4u 2.4
单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2
(u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4
1.4
3.13
解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵
180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。
3.14
解：令1t =，1p =，而E 2.0e 011=+，1/3μ=，
2
10
1011002E
D μμμμ?
????
?=
??-?
?
-????
12
31231122
3
300000
0b b b N c c c c b c b c b ???
?=??????
2N
B A =
单元①
2.250.7500.752.250000.75D ??
??=??
????①②
0.500.500001000010.500.510B ?-??
?=-??
??
--??①
-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37500 2.25-0.75-0.37500.3750.750S e ??
?
?=??
????
①
S DB =
1.31250.75-0.5625
-0.375-0.75-0.3750.75
2.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.5625000.375*1.0011
-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750
-0.375-2.250.37500 2.25ke e ??
?
?????
=?
???
???
?
??
?
①
单元②：
000.500.5
0B 01
0100101
0.5
00.5?-?
?
?=-????--?
?②
00.75 1.125
0.75 1.12500 2.250.375 2.250.3750*1.00110.750
0.75
0.375
0.375S e ?--??
?=--?????
?②
0.7500.750.37500.3750
2.250.375 2.250.37500.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75
2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.37500.3750.187500.1875ke ?--?
?
?---????---=?
?----????----?
?--???
②
由ke ①
和ke ②
扩充KZ （总刚度阵）
1.31250.750.56250.3750.750.375000.75
2.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.43750 2.250.37501.01011*0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.25
0kz e ------------=+--------2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875???????????
?????
--????---??--????
而Re .kz qe =，其中
1
1
2
211
Re 0022
Rx Ry Rx Ry '
?
?=--
????，
[]1
122
0000qe x y x y '
=，化简得：
112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.19470
2.250.75
4.687510.42432x y x y ??
??-??????
??-??????--?????
???
==????????
-?????
???
--??????
??-????
则，
11220.56250.375
0.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.37500.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry ----????????????????----????????==????????----????????
---????????
3.15如图所示有限元网格，cm a 4=，单元厚度mm t 1=，弹性模量MPa E 5
100.2?=，泊松比
3.0=μ。回答下述问题：
（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小？
（2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动？ （3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。 （4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。
(1) (2) （3）
解：1、节点编号如图(2)所示；
2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动；
3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m为单位)：1(0,0)，2(0.08,0)，3(0,0.04)，4(0.08,0.04 )，5(0,0.08)，6(0.08,0.08)，7(0,0.12)，8(0.08,0.12)
解：单元号 1 2 3 4 5 6
相邻结点 1 3 4 5 5 7
2 2 5 4 6 6
3 4 3 6 7 8
对于单元号1：
04
.0
3
2
1
-
=
-
=y
y
b
；
04
.0
1
3
2
=
-
=y
y
b
；
2
1
3
=
-
=y
y
b
；
08
.0
2
3
1
-
=
-
=x
x
c
；
3
1
2
=
-
=x
x
c
；
08
.0
1
2
3
=
-
=x
x
c
；
对于单元号2：
04
.0
4
2
3
-
=
-
=y
y
b
；
3
4
2
=
-
=y
y
b
；
04
.0
2
3
4
=
-
=y
y
b
；
2
4
3
=
-
=x
x
c
；
08
.0
4
3
2
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
3
2
4
=
-
=x
x
c
；
对于单元号3：
04
.0
3
5
4
=
-
=y
y
b
；
4
3
5
=
-
=y
y
b
；
04
.0
5
4
3
-
=
-
=y
y
b
；
5
3
4
=
-
=x
x
c
；
08
.0
3
4
5
=
-
=x
x
c
；
08
.0
4
5
3
-
=
-
=x
x
c
；
对于单元号4：
04
.0
6
4
5
-
=
-
=y
y
b
；
5
6
4
=
-
=y
y
b
；
04
.0
4
5
6
=
-
=y
y
b
；
4
6
5
=
-
=x
x
c
；
08
.0
6
5
4
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
5
4
6
=
-
=x
x
c
；
对于单元号5：
04
.0
7
6
5
-
=
-
=y
y
b
；
04
.0
5
7
6
=
-
=y
y
b
；
6
5
7
=
-
=y
y
b
；
08
.0
6
7
5
-
=
-
=x
x
c
；
7
5
6
=
-
=x
x
c
；
08
.0
5
6
7
=
-
=x
x
c
；
对于单元号6：
04
.0
8
6
7
-
=
-
=y
y
b
；
7
8
6
=
-
=y
y
b
；
04
.0
6
7
8
=
-
=y
y
b
；
6
8
7
=
-
=x
x
c
；
08
.0
8
7
6
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
7
6
8
=
-
=x
x
c
；
平面三角形单元的面积均为
1
1
1
2=
?
3
2
1
x
x
x
2
3
2
1
0032
.0m
y
y
y
=
弹性矩阵均为
?????-=0112μμ
E D 01μ ?????-2/)1(00μ??????=0
3.01
91.0100.211 01
3.0 ?????
35.000
应变矩阵
??????===11)
5()3()1(021c b B B B 110b c 220c b 22
0b c 330c b ?????330b c ????
?--=2505.12 5.12250-- 005.12 5.1200 2500 ?????
0250 ??????===33)
6()4()2(021c b B B B 330b c 220c b 220b c 440c b ?????440b c ?????-=005.12 5.1200- 2500- 0250- 2505.12
?????
5.12250 应力矩阵
)1()5()3()1(B D S S S ?===
?????---?=2308.192418.84725.27100.111 6154.99451.544835.16--- 02418.84725.27 6154.900 2308.1900
??
???09451.544835.16 )2()6()4()2(B D S S S ?===
?????--?=02418.84725.27100.111 6154
.90
- 2308.1900
- 0
9451
.544835.16-- 2308.192418
.84725
.27 ?????6154.99451.544835.16 单元刚度矩阵
t A S B K K K T
???===)1()1()5()3()1(
??????????----?=3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.18 1978.23846.01923.03297.03901.27143.0---- 3297.0005495.03297.05495.0-- 03846.01923.001923.03846.0-- 07692.03846.00
3846.07692.0-- ?????
?????--1978.2003297.01978.23297.0 t A S B K K K T
???===)2()2()6()4()2(
??????????--?=3297.05495.03297.0005495.0100.18 1923.03846.003846.01923.00-- 3846.07692.007692.03846.00-- 1978.23297.01978.2003297.0-- 7143.03187.13297.07692.03846.05495.0---- ??????????----3901.27143.01978.23846.01923.03297.0
结构刚度矩阵为：
???
???
???
???
??
???
???
??
???----?=000
00
0000
3297.07692.03846.05495.07143
.03187.1100.18K 00000000001978.23846.01923.03297.03901.27143.0---- 000000003846.07692.07143.000
3187.13297.05495.0---- 000000001978.23297.007143.03901.201923.03846.0---- 0000003846.007143.03187.100879.27143.003846.07692.0---- 00000003297.03901.27143.05879.4007143.01978.23297.0---- 00000005495.04286.14066.37143.03187.13297.07692.000-----
000001923.009780.64286.13901.27143.01978.23846.000----- 0
3297.07692.03846.05495.07143.04177.205495.03297.00
0000----- 0
1978.23846.01923.03297.07747.27143.01923.0003846.00000----- 3846.07692
.07143.0003187.17143.00990.13297.07692.0000000------ 1978.23297
.007143.03901.20
3846.07143.01978.23846.0000000------ 3297.05495
.003187.17143.00
3846.07692.000000000---- 1923.03846
.03901.2007143.01978.23297.000000000---- 7143
.03187
.13846.05495.03297.07692.00000000000----
???
?
??
?
??
????
?
??
?
??
?
?????----3901.27143.01923.03297.01978.23846.00
00
00
00
00
若施加一定载荷，求解步骤为：
1、对单元编号，并列出各单元三个结点的结点号；
2、计算外载荷的等效结点力，列出结构结点载荷列阵；
3、计算单元刚度矩阵，组集结构整体刚度矩阵
4、引入边界条件，即根据约束情况修正结构有限元方程，特别是消除整体刚度矩阵的 奇异性，得到考虑约束条件的可解的有限元方程。
5、利用线性方程组的数值解法，对结构的有限元方程进行求解，得到所有各结点的位 移向量。最后根据需要求解单元应力。
3.16一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P 。板长12cm,宽4cm ，厚1cm 。材料
MPa E 5100.2?=，泊松比3.0=μ。均匀拉力MPa p 5=。使用有限元法求解板的内应力，并和
精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。
解：
解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2 X 坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3 Y 坐标 0 0 4 4 2 2
3 4
平面三角形单元的面积均为1
1
12=?
32
1x x x 2
3
21
0024.0m y y y =
应力矩阵为：11
107692.00001978.26593.006593
.01978.2???
????????=D
单元1的应变距阵为：
??
????????----=0256667.1606667.1625250002500006667.1606667
.16)
1(B
单元1的单元刚度矩阵为：
9
)
1(10
6484.1003297.06484
.13297
.005769.03846.003846.05729.003846.02564.002584.03846.03297.0007326.03297
.07326.06484.13846.02564.03297.09048.17143.03297.05769.03846.07326.07143.03095.1???
??
???????????
??
???----------------=K
单元2的应变距阵为：
??
???
?????----=6667.1606667.16250250025025006667.1606667.1600)
2(B
单元2的单元刚度矩阵为：
9
)
2(10
2564.002564.03846.003846
.007326.03297.07326.03297.002564.03297.09048.17143.06484.13846.03846.07326.07143.03095.13297.05769.003297.06484.13297.06484.103846.00
3846.05769.005769.0???
??
???
???
??
???
??
???----------------=K
总刚度矩阵为：
9
109048.17143
.02564
.03297.06484.13846.00
07143.03095.13846.07326.03297.05769.0002564.03846.09048
.10
7143
.06484.13297.03297.07326.003095.17143.003846.05769.06484.13297.007143.09048.102564.03846.03846.05769.07143.0003095.13297.07326.0006484.13846.02564.03297.09048.17143.00
03297.05769.03846.07326.07143.03095
.1???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
???
??
?
??
??
?--------------------------------=K 位移分量为：{}44322118,,,0,,,,0v u v v u v =?δ
载荷列阵为：{}
0,1000,0,,0,1000,0,3118x x F F R =?
因为
1
88818????=δK R
可以得
{}m
518100726.0,15.0,0525.0,0,0369.0,15.0,0649.0,0-??----=δ
单元1的单元应力：MPa x 7000.5=σ MPa y 3332.2=σ
MPa
xy 3245.0=τ 单元2的单元应力：
MPa x 9505.4=σ
MPa y 1648.0-=σ
MPa
xy 2583.0-=τ
长方形薄板内应力的精确解为：拉应力MPa 5，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。
3.17 验证三角形单元的位移差值函数满足
()
,
i j j ij
N x yδ
=
及
1
i j m
N N N
++=
。
解：平面三角形形函数为：
() 12
i i i
i
N A a b x c y
=++
，其中，
11
22
33
1
21
1
x y
A x y
x y
=
，
11,122,233,3,
,;,;,
a b c a b c a b c
分别是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代数余子式。行列式中，任一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行的元素与其它行对应元素的代数余子式乘积之和为零，故有：
当
()()()
11111111
,121
N x y a b x c y
=?++=
，同时有，
()()()
()()()
22222222
33333333
,120
,120
N x y a b x c y
N x y a b x c y
=?++=
??
?
=?++=
??
同理也有：
()()()
()()()
211222233
311322333
,0,,0,,0
,0,,0,,0,
N x y N x y N x y
N x y N x y N x y
===
===
()()()
123
,,,1
N x y N x y N x y
∴++=
，即
1
i j m
N N N
++=
。
3.18 推导如图所示的9节点矩形单元的形函数。
解:三维杆单元的形状函数，
()()
()()
()()
()()
()()
()()
231312
121321233132
152
,,
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x
N N N
------
------
===
①
在局部坐标系中令节点1,5,2所对应的123
0,/2,
x x a x a
===
带入①式得到节点1,5,2仅在x方向上的形函数：
()()
()()
()()
2
/22
10/20
x a x a x a x a
x a a a
N--
??--
??
--
??
??
==
②
同理可得：
()()
()()
()
2
5/20/2/4
x x a x x a
x a a a a
N---
--
????-
????
==
由
123
,,y y y ，即节点2,6,3，可得到沿着全局坐标系y 轴的形状函数(通过变量轮换)，节点1的形函数
即x ，y 方向的乘积：
(
)()()()
22
221
11x a x a y b y b x y a b N N N ----==
由此可得：
()()()()
()()972
595725y y
y y
y b y b y y y y y b N ------==
()()()
22
422555x x a b y y b x y a b N N N ---∴==-
同理可整理得：
()()()
22
22222x x a y b y b x y a b N N N ---==
()()
22
223x x a y y b a b
N --=
，
(
)()()
22
224x a x a y b a b
N y
---=，
()()
22
426xy x a y b a b N --=-
， ()()
22
427xy x a y b a b
N --=-
，
()()()
22
428y x a x a y b a b
N ---=-
，
()()
22
169xy x a y b a b N --=
，
3.19 如图所示为一个桁架单元，端点力为[U1，U2]，端点位移为[u1，u2]，设内部任一点的轴向位
移u 是坐标x 的线性函数：
12u a a x
=+
推导其形函数矩阵N 。
解：轴向位移u 是坐标x 的线性函数，12u a a x =+，写成向量形式为
()[]121a u x x a ??
=??
??，设两个节点的坐标为
,i j
x x ，代入向量形式的位移函数解
12
,a a 得：
1
1211i i j j x u a x u a -????
??=????????????
则由位移函数()[]1
111i i j j x u u x x x u -????
=????????可得形函数为：
[]1
111111i
j
i j i j i i
j x j j i j i x x x x
x x N x x x x x N N x x x
x x -??
-??
-????==--==????????--??
?
???
4.1 答：轴对称三角形环单元不是常应变单元，如果弹性体的几何形状、约束条件及载荷都对称于
某一轴，则所有的位移应变及应力也是对称于此轴，这样问题称为轴对称。轴对称三角形环单
ia ia r l z ==0ja ja r z l ==00
ma ma r z ==2110
1
111102
221100
ia
ia
a ja ja ma
ma
r z l
r z l l r z ?=
==11
()33
a ia ja ma z z z z l
=++=11()33a ia ja ma r r r r l
=++=0ja ja ia ja ma ma ja ma
ma
r z a r z r z r z =
=-=11ja ia ja ma ma
z b z z l z =-
=-=1()01ja ia ja ma ma
r c r r r =
=--=0
ma ma ja ma ia ia ma ia
ia
r z a r z r z r z =
=-=10
1
ma ja ma ia ia
z b z z z =-
=-=1()1ma ja ma ia ia
r c r r l
r =
=--=2ia ia
ma
ia ja ja ia ja ja r z a r z r z l r z ==-=11ia
ma ia ja ja
z b z z l
z =-=-=-1()1ia ma
ia ja ja
r c r r l r ==--=-元与平面常应变单元是不同的，轴对称三角形环单元的应变不是常数矩阵，其应变矩阵B=[B i
B j B m ],其中B i =
]0
0[21i
i i i i b c c f b ?，r
z c b r a f i i i i ++=（i,j,m ）。应变分量r ε，z ε，rz γ都是常量，但环向应变θε不是常量，它与i f ，j f ，m f 中的r 和z 有关。
4.2 答：轴对称问题中，刚度自由度：环向位移，径向位移，轴向位移。以三角环单元平均半径、
平均高度进行计算的单元刚度矩阵，配合以精确积分所得的等效结点载荷矩阵，计算的结果还是不错的！
4.3 轴对称问题的两个单元a 和b ，设材料的弹性模量为E ，泊松比为μ = 0.15，试手算这两个单元的
刚度矩阵。
解：对于a 单元，由题可知：
单元a 的截面面积为
有限元分析试题(同济)
同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期 一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分）
有限元填空选择题及答案
1有限元是近似求解_一般连续_场问题的数值方法 2有限元法将连续的求解域离散为若干个子域_,得到有限个单元,单元和单元之间用节点相连 3从选择未知量的角度来看,有限元法分为三类位移法. 力法混合法 4以_节点位移_为基本未知量的求解方法称为位移法. 5以_节点力_为基本未知量的求解方法称为力法. 6一部分以__节点位移__,另一部分以_节点力_为基本未知量的求解方法称为混合法. 7直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力_和_弯矩_两个. 8平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力_ 、剪力_和弯矩. 9进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 10平面刚架结构中,已知单元e的坐标变换矩阵[T e ]和在局 部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵[K’]e ，则单元在真体坐标 系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]e = [T e ] T [K’] e [T e ] 13弹性力学问题的方程个数有15个,未知量的个数有15个. 14弹性力学平面问题的方程个数有8_个,未知量个数有8_个15几何方程是研究__应变___和_位移之间关系的方程 16物理方程是描述_应力_和_应变_关系的方程 17平衡方程反映了_应力__和_位移_之间关系的 18把经过物体内任意一点各个_ 截面上的应力状况叫做__该点_的应力状态 19形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 20 形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性位移_函数,他反映了单元的_位移_状态 21在进行节点编号时,要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小,以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储,提高计算效率. 22三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 23矩形单元的位移模式为__线性位移模式_ 24在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 25单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 26在选择多项式作为单元的位移模式时,多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,即要满足单元的_完备性和协调性要求27三节点三角形单元内的应力和应变是_常数,四节点矩形单元内的应力和应变是线性_变化的 28在矩形单元的边界上,位移是线性_变化的 29整体刚度是一个呈_ 狭长的带状_分布的稀疏矩阵 30整体刚度[K]是一个奇异阵,在排除刚体位移_后,它正义阵1从选择未知量的角度来看,有限元法可分为三类(力法,位移法,混合法) 2下列哪有限元特点的描述中,哪种说法是错误的(D需要使用于整个结构的插值函数) 3几何方程研究的是(A应变和位移)之间关系的方程式 4物理方程是描述(D应力和应变)关系的方程 5平衡方程研究的是(C应力和位移)之间关系的方程式 6在划分单元时,下列哪种说话是错误的(A一般首选矩形单元) 7下列哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分才能得到(D矩形单元) 8单元的刚度矩阵不取决于下列哪种因素(B单元位置) 9可以证明,在给定载荷的作用下,有限元计算模型的变形与实际结构变形之间的关系为(B前者小于后者) 10ANSYS按功能作用可分为若干个处理器,其中(B求解器)用于施加载荷和边界条件 11下列有关有限元分析法的描述中,哪种说话是错误的(B单元之间通过其边界连接成组合体) 12下列关于等参数单元的描述中,哪些说话是错误的(C将规则单元变换为不规则单元后,易于构造位移模式) 13从选择未知量的角度来看,有限元可以分为三类,混合法的未知量是(C节点力和节点位移) 14下列对有限元特点的描述中,哪种说话是错误的(B对有限元求解域问题没有较好的处理方法) 15在划分单元时,下列哪种说话错误(D自由端不能取为节点) 16对于平面问题,选择单元一般首选(D三角形单元或等参单元) 17下列哪种说法不是形函数的性质(C三角形单元任一条边上的形函数,与三角形的三个节点坐标都有关) 18下列四种假设中,哪种分析不属于分析弹性力学的基本假设(C大变形假设) 19下列四种假设中,哪种不属于分析弹性力学的基本假设(B 有限变形假设) 20下列关于三角形单元说法中哪种是错误的(C在单元的公共边上应力和应变的值是连续的) 21下列关于矩形单元的说法哪项是错误的(D其形函数是线形的) 22应用圣维南原理简化边界条件时,静力等效是指前后的力系的(D主矢量相同,对于同一点的主矩也相同) 24描述同一点的应力状态需要的应力分量是(C6个) 25在选择多项式作为单元的位移模式时.多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,哪种说法不是单元必须满足的要求(D 对称性)
有限元试题
一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同 相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数 单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次 次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整 体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题 共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性 奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设
华科大有限元分析题及大作业题答案——船海专业(DOC)
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有限元分析及应用作业报告 一、问题描述 图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较： 1)分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算； 2)分别采用不同数量的三节点常应变单元计算； 3)当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
二、几何建模与分析 图1-2力学模型 由于大坝长度>>横截面尺寸，且横截面沿长度方向保持不变，因此可将大坝看作无限长的实体模型，满足平面应变问题的几何条件；对截面进行受力分析，作用于大坝上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力，满足平面应变问题的载荷条件。因此该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图1-2所示，建立几何模型，进行求解。 假设大坝的材料为钢，则其材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3 三、第1问的有限元建模 本题将分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算。 1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences为Structural 2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是PLANE42（Quad 4node42），该单元属于是四节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为三节点单元；六节点三角形单元选择的类型是PLANE183（Quad 8node183），该单元属于是八节点单元类型，在网格划分时可以对节点数目控制使其蜕化为六节点单元。因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。 3）定义材料参数 4）生成几何模 a. 生成特征点 b.生成坝体截面 5）网格化分：划分网格时，拾取所有线段设定input NDIV 为10，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到200个单元。 6)模型施加约束： 约束采用的是对底面BC全约束。 大坝所受载荷形式为Pressure，作用在AB面上，分析时施加在L AB上，方向水平向右，载荷大小沿L AB由小到大均匀分布（见图1-2）。以B为坐标原点，BA方向为纵轴y，则沿着y方向的受力大小可表示为： ρ（1） = gh P- =ρ g = - 10 {* } 98000 98000 (Y ) y
北京科技大学有限元试题及答案
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
西工大-有限元试题(附答案)
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
有限元复习试题库
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必 考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题 （1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可
轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边 ε是与r有关。界是一回转面；应变不是常量。在轴对称问题中，周向应变分量 θ板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。板壳问题的弹性体受垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 线性问题/非线性问题 线性问题：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系方程、平衡方程都是线性的。
有限元法课后习题答案
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法 2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接 3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个. 4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩. 5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。 7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。 8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。 9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。 10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程 11、物理方程是描述应力和应变关系的方程 12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的 13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态 14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态 16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小. 17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_
19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 21、矩形单元边界上位移是连续变化的 1.诉述有限元法的定义 答： 有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2.有限元法的基本思想是什么 答： 首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3.有限元法的分类和基本步骤有哪些 答： 分类： 位移法、力法、混合法；步骤： 结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4.有限元法有哪些优缺点 答： 优点：
有限元复习题答案
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型
有限元试题及答案
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
有限元试题总结
一、简答题（40分，每小题5分） 1、 分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度 及其相对应的节点力列阵？ (1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角 ??? ??? ?y x y x w θ θ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移 {}i yi xi i i x w y w w w d ?? ??? ? ??????????-??=??????????????=θθ ()4,1K =i 同理,相应的结点力 {}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的 绕竖向力 x y M y M x ??? ???????????=yi xi i i M M f F (2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},T i i u v ,对应节点力{},T xi yi f f 2、 欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应 如何构造？ 答：* {(;,)()}b a I F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-? 3、 欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+??约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极 值，新泛函应如何构造？ 答：()()* {(;,)[,,']}b a I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-? 4、 满足()f g g f ds L ''+=??条件下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值求解应如何构造新泛函？
西工大有限元试题附答案68872
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
有限元分析大作业试题
有限元分析习题及大作业试题 要求：1）个人按上机指南步骤至少选择习题中3个习题独立完成，并将计算结果上交； 2）以小组为单位完成有限元分析计算； 3）以小组为单位编写计算分析报告； 4）计算分析报告应包括以下部分： A、问题描述及数学建模； B、有限元建模（单元选择、结点布置及规模、网格划分方 案、载荷及边界条件处理、求解控制） C、计算结果及结果分析（位移分析、应力分析、正确性分 析评判） D、多方案计算比较（结点规模增减对精度的影响分析、单 元改变对精度的影响分析、不同网格划分方案对结果的 影响分析等） E、建议与体会 4）11月1日前必须完成，并递交计算分析报告（报告要求打印）。
习题及上机指南：（试题见上机指南） 例题1 坝体的有限元建模与受力分析 例题2 平板的有限元建模与变形分析 例题1：平板的有限元建模与变形分析 计算分析模型如图1-1 所示, 习题文件名: plane 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m 板承受均布载荷：1.0e 5 P a 图1－1 受均布载荷作用的平板计算分析模型 1.1 进入ANSYS 程序 →ANSYSED 6.1 →Interactive →change the working directory into yours →input Initial jobname: plane →Run 1.2设置计算类型 ANSYS Main Menu : Preferences →select Structural → OK 1.3选择单元类型 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Element T ype →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK (back to Element T ypes window) → Options… →select K3: Plane stress w/thk →OK →Close (the Element T ype window) 1.4定义材料参数 ANSYS Main Menu : Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX:2.1e11, PRXY :0.3 → OK 1.5定义实常数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constant s… →Add … →select T ype 1→ OK →input THK:1 →OK →Close (the Real Constants Window)
最新有限元法基础试题
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元分析及其应用思考题附答案2012
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
有限单元法部分课后题答案
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？ （1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。 （2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。 （3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？ (1)在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？ 等效积分形式通过分部积分，称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。 区别：弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？ 只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？ （1）在 Ritz 法中，N 决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。 （2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。 （3）Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？ 形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一
有限元考试试题及答案
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和