职高数学公式大全

职高数学公式及知识点速记

一、集合

（1）集合中的元素有三个特征：

a.确定性（集合中的元素必须是确定的）

b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a 不能等于1）

c.无序性（集合中的元素没有先后之分。）

*A A ∪B ，B A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪=A,A ∪B=B ∪A *若A ∪B=B ，则A B ，反之也成立.

（2）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 性质： *A ∩B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A

*若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立。

（3）全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 （4）补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作：A u C 即：A u C ={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示：

性质：

U A A u =?）（C =?A

)(C A u ? A

)(=A C C u u u C ? =U

()()()

u u u C A B C A C B ?=?

()()()

u u u C A B C A C B ?=?

命题、充要条件（箭头指向范围大的）

充要条件（记p 表示条件，q 表示结论） （1）充分条件：若

p q ?，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

二、函数

1、函数的单调性

(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数；简记“大的越大，小的越小” ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数。简记“大的反而小，小的反而大”

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

单调性解法：

方法一：设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

方法三：

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

注：0)(=x f （或y=0）为既是奇函数又是偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

常考隐含问题：若)(x f 是定义域在R 上的奇函数，则0)0(=f ，（必过原点）。

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也可能偶函数） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇偶性解法：

（1）前提条件下（定义域必须关于原点对称）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；

如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （2）定义法：()()f x f x -=-，则()f x 就是奇函数；

()()f x f x -=，则()f x 就是偶函数。

函数的周期性：

定义：对函数()f x ，若存在T ≠0，使得()()f x T f x +=，则就叫()f x 是周期函数。

1、同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin . 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；

απ

π±+

2

k 的正弦、余弦，等于α的异名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

()()1sin 2sin k παα+=， ()cos 2cos k παα+=， ()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-， ()cos cos παα+=-， ()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-， ()cos cos αα-=， ()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-， ()tan tan παα-=-．

以上口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

．

()6sin cos 2π

αα??

+=

???

，cos sin 2παα??

+=-

???

． 以上口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

互余的两个角 sin

值等于cos 值

3、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

.

4、二倍角公式

αααcos sin 22sin =.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan α

αα

=

-. 公式变形： ,2cos 1sin 2,

2cos 1cos 22

2αααα-=+= 2

2cos 1sin 2

2cos 1cos 22αα-=

+= 5、函数C )sin(++=?ωx A y 的图象变换（上加下减，左加右减，伸长缩小）

注： 根据图像求)sin(?ω+=x A y 的解析式的方法

①最值求A ②周期求ω ③点代入求?

另外：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期2||

T π

ω=，最大值为|A|；

函数tan()y A x ω?=+（2

x k π

π≠+）的周期||T πω=.

A

6

R R

,2x x k k ππ??

≠+∈Z ????

7、辅助角公式

)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y 其中a

b =

?tan

8、正弦定理 ：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

9、余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

10、三角形面积公式

（1）111

222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

（3）设），（中，△11AB AB C y x =，)(22y x AC ，=，则丨丨12212

1

S y x y x -=

（4）海伦定理：))((S c p b p a p p ---=）（

其中分别为三角形的边长、、c b a ， )(2

1

c b a p ++=

11、内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?=-222()C A B π?=-+

sin()sin A B C +=； cos()cos A B C +=-；

sin()cos 22A B C +=； cos()sin 22

A B C +=

12、与的数量积(或内积)

θcos ||||?=?

13、平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--=B-A

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212x x y y +. (6)设a =),(y x ，则22y x a +=

14、两向量的夹角公式

设=11(,)x y ,=22(,)x y ，且≠，则12cos ||||

a b

a b x θ?==

?+15、向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0

//?λ= 12210x y x y ?-=. 交叉相乘差为零

)0(≠⊥a b a ?0=?12120x x y y ?+=. 对应相乘和为零 三、数列

16、数列的通项公式与前n 项的和的关系

11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

17、等差数列的通项公式 *

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

18、等差数列其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-. 等差数列常用性质：

（1）、若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a +=+ （3）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（4）、{}n a 为等差数列，m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m 项的和，

则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（5）、若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。

注意：已知S n 求a 1和公差d ：S 1=a 1 求出a 1再S 2=a 1+a 2 求出a 2然后d=a 2-a 1

19、等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈； 20、等比数列前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

等比数列常用性质：

①等比中项：2

n b =11n n b b -+?； ②若m+n=p+q ，则m n b b ?=p q b b ?；

③{}n a 为等差数列，m S ，2m S ，3m S 分别为前m ，前2m ，前3m 项的和， 则m S ，2m S -m S ，3m S -2m S 成等比数列。

四、不等式

21、xy y

x ≥+2

。必须满足一正（y x ,都是正数）、二定（xy 是定值或者y x +是定值）、三相等（y x =时等号成立）才可以使用该不等式）

①若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； ②若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值

24

1s . （1）,a b R ∈?2

2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈

?

2

a b

+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）333

3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>

（4）b a b a b a +≤+≤-

（5

）22ab a b a b +≤≤≤

+当且仅当a ＝b 时取“=”号) （6）a =(0)0(0)(0)a a a a a a a a =>??

==??=-

一元二次不等式y=2

ax bx c ++的解

○1当）

＞，△＞（0402

ac b a -=时 （图像与X 轴相交） 20ax bx c ++<的解12x x x << 12()x x < 记作：开口向上，小于零取中间 20ax bx c ++>的解12,x x x x <>或 12()x x < 记作：开口向上，大于零取两边

○2当），△＞（0402

=-=ac b a 时 （图像与X 轴

相切）

20ax bx c ++<的解?（无解） 记作：开口向上相切时，x 轴下方图像的没有

20ax bx c ++>的解2b

x a

≠- 记作：开口向上相切时，x 轴上方图像除了切点全是

○3当）＜，△＞（0402

ac b a -=时 （图像与X 轴

相离）

20ax bx c ++<的解?（无解） 记作：开口向上相离时，x 轴下方没有 20ax bx c ++>的解全体实数 记作：开口向上相离时，x 轴上方全是

注：当0a <时，两边乘以-1即可。解一元二次不等式的时候画出

函数图像更直观！！！

含有绝对值的不等式 ：当0a >时，有

22x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-. （大于取两边）

五、解析几何

22、直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

化为斜截式： B A k -= A

C

b -=

23、两条直线的平行和垂直

若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-.

小技巧：对于两条直线

0A :L 0

A :L 22221111=++=++C y

B x

C y B x 与011

1=++C y B x A 垂直的直线为

1、若

2121

21C A A C

B B == 则重合 0A 211=+-

C y x B 2、若2121

21C A A C

B B ≠= 则平行 与0111=++

C y B x A 平行的直线为 3、若2

12

1

21C A A C

B B ≠≠ 则相交 0B 311=++

C y x A 24、平面两点间的距离公式

,A B d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

25、点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

26、 圆的三种方程

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

2

0x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

圆心为（2D -,2

E

-），半径2

r =

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ

=+??

=+?.

* 点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若

2202

0)(r b y a x =-+-）（，则P 在圆上 若

22020)(r b y a x >-+-）（，则P 在圆外 若

22020)(r b y a x <-+-）（，则P 在圆内 27、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0d r >???相离方程组无解：

0d r =???=相切方程组有唯一解：；

0d r 相交方程组有两个解：. 弦长=222d r -

其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

28、椭圆的标准方程、图象及几何性质：

椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；

3．常用结论：（1）椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的

周长=

（2）设椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

29、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）

的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

2

（1）双曲线的渐近线：

若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.

任何情况下，焦点到渐近线的距离等于b

（2）等轴双曲线为2

22t y x =-，其离心率为2

（3）常用结论：（1）双曲线)0,0(12

222

>>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两

点，则2ABF ?的周长=

（4）设双曲线)0,0(12

222

>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

30、抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。

过抛物线焦点的弦长p x x p

x p x AB ++=+++

=21212

2. 抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p

弦长公式： |

|14)(1||1||2212212212a k x x x x k x x k AB ??

+=-+?+=-+= 其中：a ，?分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程根的判别式和2x

的系数

另外： 21221214)(x x x x x x -+=-

韦达定理 ： a

b x x -

=+21 a

c x =

21x

弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程

,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出A

B

x x -

=+21；（3）设中点),(00y x M ，由中点坐标公式得2

2

10x x x +=

；再把0x x =代入直线方程求出0y y =。 法（二）：用点差法，设),(11y x A ，),(22y x B ，中点),(00y x M ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,y x 。

六、立体几何

31、空间点、直线、平面之间的位置关系

①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理1的作用：判断直线是否在平面内

②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理2的作用：确定一个平面的依据。

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。 公理2 推论3：两条平行直线确定一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据

32、空间中直线与直线之间的位置关系 ①空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内；没有公共点；

异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥

b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

注意点： 1.两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；

2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；

3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 33、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线在平面外 直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

直线在平面平行 —— 没有公共点

注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

C ·

B

· A · α P · α L

β 共面直线

?a ∥c 2

π

a α a∩α=A a∥α

34、直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a α

b β a∥α

a∥b

35、平面与平面平行的判定

①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

②判断两平面平行的方法有三种：

（1）判定定理；

（2）平行于同一平面的两个平面平行；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

36、直线与平面、平面与平面平行的性质

①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，

那么它们的交线平行。符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。

37、直线与平面垂直的判定

①定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α。 l 如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 α p

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

38、平面与平面垂直的判定

①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 39、直线与平面、平面与平面垂直的性质

①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

②性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

40、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=rl π2h

C =底面， 表面积=rl r ππ22S 2S 2+=+侧底

圆椎侧面积=rl π， 表面积=

2r rl ππ+

rl 2

1

S =扇形 或20

0360S r n π=扇形（其中r 为扇形半径，l 为扇形的弧长） 弧长公式00180r n l π= 或r l 丨丨α=

2

00360S r n π=扇形 弧度数r l

=丨丨α

1

3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

1

3

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

球的半径是R ，则其体积343

V R π=,其表面积2

4S R π=．

41、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

第18页（共20页）

第19页（共20页）

七、概率统计

42、平均数、方差、标准差的计算

平均数:n x x x x n ++=

21 方差:])()()[(11222212

x x x x x x n s n -+-+--=

标准差:])()()[(1

1

22221x x x x x x n s n -+-+--=

方差（或标准差）越小数据越稳定

43.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 44.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =???.

45.排列数公式 m

n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m ≤n)．

46.组合数公式 m n C =m m

m n P P =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N *

，且m ≤n).

47.组合数的两个性质：

(1) m

n C =m n n

C - ; n n n )1(321!-?????= 1!0= (2) m n C +1

-m n

C =m

n C 1+ 1C n =o 1C n

n =

（3）1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .

48.排列数与组合数的关系是：m

n m n C m ?=!P

49. (1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.

(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.

对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

50.重点公式

(1)如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生（即A 、B 中有一个发生）的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），推广:P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）.

(2)对立事件的概率和等于1.

P(P)+P(A )=P （A+A ）=1.

你的一生，我只送一程，不忍离别，但车已到站，你远走高飞，我原路返回，再见。