函数图象关于点对称性
函数关于某点对称的问题
函数关于某点对称的问题函数关于某点对称的问题是数学中的一个重要概念。
在平面上，两点关于某点对称指的是，以这个点为对称中心，将一个点关于这个点对称后，会得到另一个点。
在函数中，如果一个函数的图像关于某点对称，意味着将函数图像以这个点为对称中心进行对称操作后，会得到与原函数图像完全一致的图像。
这是一种特殊的对称性，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
首先，我们来考虑一些基本的函数关于原点（0,0）的对称性。
对于奇函数来说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，则函数关于原点对称。
奇函数一般表现为关于原点对称的图像，比如函数y=x，y=|x|等。
对于偶函数来说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则函数关于原点对称。
偶函数一般表现为关于y轴对称的图像，比如函数y=x²，y=|x|等。
其次，我们来考虑一些函数关于其他点对称的情况。
假设我们有一个函数f(x)，图像关于点（a,b）对称，即对于任意x，有f(x)=2b-f(x-a)。
其中，a表示点的横坐标偏移量，b表示点的纵坐标偏移量。
这种情况下，我们可以通过将函数图像以点（a,b）为对称中心进行对称操作，从而得到与原函数图像完全一致的图像。
这种对称性在函数的图像研究中非常有用，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
函数关于某点对称的性质可以帮助我们进行函数图像的描绘和分析。
首先，我们可以利用对称性来确定函数的图像在某一区间的性质。
比如，在一个函数关于原点对称的情况下，如果我们知道函数在区间[0,+∞)上是递增的，那么根据对称性，我们可以得出函数在区间(-∞,0]上也是递增的。
这样，我们就可以通过研究函数在非负半轴上的变化情况，来推断整个函数图像的性质。
其次，函数关于某点对称的性质也可以帮助我们求解函数方程和函数不等式。
比如，如果一个函数满足f(x)=f(2a-x)，即关于点(a,f(a))对称，那么我们可以通过这个对称性来简化函数方程的求解。
函数图像的对称性与单调性的研究与应用
函数图像的对称性与单调性的研究与应用函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
而函数图像的对称性与单调性是研究函数特性的重要内容。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数图像的对称性与单调性。
一、对称性的研究与应用1.1 点对称性在函数图像中，如果存在一点P，对于图像上任意一点Q，都有关于点P对称的点R，那么称函数图像具有点对称性。
点对称轴就是过点P的垂直线。
点对称性在数学中有广泛的应用，如求解方程、证明等。
例如，对于函数y = x^2，其图像关于y轴对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值相等，这种对称性可以简化计算。
1.2 奇偶对称性函数图像的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。
如果函数满足f(-x) =f(x)，则称其为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性在函数的积分计算、函数的性质证明等方面有重要应用。
例如，函数y = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值的正负相等。
二、单调性的研究与应用2.1 单调递增性函数图像的单调递增性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)。
单调递增性在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = x^2，在定义域上是单调递增的，这意味着当x1 < x2时，x1^2 ≤ x2^2。
2.2 单调递减性函数图像的单调递减性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)。
单调递减性也在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = -x^2，在定义域上是单调递减的，这意味着当x1 < x2时，-x1^2 ≥ -x2^2。
三、对称性与单调性的应用举例3.1 函数图像的变换对称性与单调性的研究可以帮助我们理解函数图像的变换规律。
例如，对于函数y = x^2，我们知道它关于y轴对称，那么当我们对其进行平移、缩放等变换时，可以利用对称性来简化计算。
函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数图像分析：分析函数图像
函数图像分析：分析函数图像函数图像是数学中一个重要的概念，通过分析函数图像，我们可以深入理解函数的性质和特点。
本文将从图像的对称性、增减性、极值点、拐点以及特殊函数的图像等角度，进行函数图像的详细分析。
一、图像的对称性函数图像的对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质。
主要有以下几种对称性：1. 奇对称：函数图像关于坐标原点对称。
例如，y = sin(x)函数的图像就是奇对称的，即在原点处对称。
2. 偶对称：函数图像关于y轴对称。
例如，y = x^2函数的图像是偶对称的，即在y轴上对称。
3. 平移对称：函数图像在某一平移变换下保持不变。
例如，y = 2^x 中的图像在平移变换2单位向上后保持不变。
二、图像的增减性通过观察函数图像的增减性，我们可以了解函数在不同区间内的增减趋势。
主要有以下几种情况：1. 递增：函数图像在某一区间上单调递增。
例如，y = x函数在整个定义域上都是递增的。
2. 递减：函数图像在某一区间上单调递减。
例如，y = -x函数在整个定义域上都是递减的。
3. 局部极值点：函数图像在某一区间上有极大值或极小值。
通过求导可确定函数图像的极值点。
三、图像的极值点函数图像的极值点反映了函数的最值情况。
可以通过求导数的方式来确定函数图像的极值点。
1. 极大值点：函数图像在该点附近局部最大。
求导数后，导数为0，且由正变负。
2. 极小值点：函数图像在该点附近局部最小。
求导数后，导数为0，且由负变正。
四、图像的拐点函数图像的拐点是指函数曲线的凹凸性发生改变的点。
可以通过求导数的二阶导数来确定函数图像的拐点。
1. 凹点：函数图像在该点附近向下凹陷。
求二阶导数后，导数大于0。
2. 凸点：函数图像在该点附近向上凸起。
求二阶导数后，导数小于0。
五、特殊函数的图像1. 幂函数：幂函数的图像可以分为几种情况。
当指数n为正数时，幂函数图像随着自变量的增大而增大；当指数n为负数时，幂函数图像随着自变量的增大而减小。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
偶函数关于原点对称。
偶函数关于原点对称。
偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
具体来说，如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，那么我们称该函数为偶函数。
以下是对偶函数的相关内容进行详细阐述：一、定义和性质：偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2就是一个典型的偶函数，因为f(x) = f(-x) = x^2。
1. 对称性质：偶函数的特点就是关于原点对称，即函数图像关于y轴对称。
这意味着如果(x, y)在图像上，则(-x, y)也在图像上。
例如，当x=2时，f(2)=4，而当x=-2时，f(-2)=4，这两个点在函数图像上对称。
2. 奇偶关系：偶函数和奇函数是互补的概念。
如果一个函数既是偶函数又是奇函数，那么它必须是常值函数，即f(x) = 0。
因为偶函数要求f(x) = f(-x)，而奇函数要求f(x) = -f(-x)，两者同时满足只能是0。
3. 基本偶函数：一些常见的偶函数包括指数函数、幂函数、三角函数等。
例如，f(x) = e^x，f(x) = x^2，f(x) = cos(x)等都是偶函数。
这些函数的特点就是对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
二、偶函数的图像和性质：1. 对称性：偶函数的图像关于y轴对称。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x>0时，y=x^2是一个上升的抛物线，而当x<0时，y=(-x)^2也是一个上升的抛物线，它们的图像关于y轴对称。
2. 奇偶点：偶函数的图像上的任意两个对称点的函数值相等。
例如，对于f(x) = x^2的图像，当x=2时，y=4；而当x=-2时，y=(-2)^2 = 4，这两个点在图像上是对称的，它们的函数值相等。
3. 零点：偶函数图像上的零点一定是对称的。
如果f(a) = 0，那么f(-a) = 0。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x=0时，f(0) = 0，而当x=-0时，f(-0) = 0，这两个点在图像上是对称的。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
抽象函数图像对称性问题
函数图像对称性得问题一、函数自身得对称性得问题函数就是中学数学教学得主线,就是中学数学得核心内容,也就是一个高中数学得基础。
函数得性质就是高考得重点与热点,函数得对称性就是函数得一个基本性质,也就是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身得对称性与不同函数之间得对称性这两个方面来探讨函数与对称有关得性质得一些思考。
例题1. 函数y = f(x)得图像关于点Ａ(ａ,b)对称得充要条件就是ｆ(x) + f (2ａ—ｘ) = 2b证明:(必要性)设点Ｐ(x,y)就是y＝ f (ｘ)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a,b)得对称点Ｐ‘(2ａ-x,2b—y)也在y= f (x)图像上,∴2b—y = f(２a—x)即y＋ f (2ａ—ｘ)＝２ｂ故f (ｘ) + ｆ(2a－x)= ２b,必要性得证。
(充分性)设点P(x０,y0)就是y = ｆ(x)图像上任一点,则y0 = f (x0)∵ｆ(x) + f (2a－ｘ) ＝2b∴f(ｘ０) +ｆ(2a－x0) =２b,即2ｂ－ｙ０= f (2a-x0) 。
故点P‘(２a－x０,2b-y0)也在ｙ= f (ｘ) 图像上,而点P与点Ｐ‘关于点A(a ,b)对称,充分性得征。
例题２①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,ｃ)与点B (ｂ,ｃ)成中心对(a≠ｂ),则y = ｆ(ｘ)就是周期函数,且2|ａ－ｂ｜就是其一个周期。
②若函数y =ｆ(x) 图像同时关于直线ｘ=ａ与直线x = b成轴对称(a≠b),则y =f(x)就是周期函数,且２｜ａ—b｜就是其一个周期、③若函数y =ｆ(ｘ)图像既关于点A(a ,ｃ) 成中心对称又关于直线ｘ＝ｂ成轴对称(a≠b),则y = f(x)就是周期函数,且4｜ａ-b|就是其一个周期。
①②得证明留给读者,以下给出③得证明:∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c)成中心对称,∴f(x) ＋f(2a—ｘ) =2ｃ,用2b-ｘ代x得:f(2b－x) ＋f ［2a-(２b－ｘ) ] =２c………………(*)又∵函数y ＝ f (x)图像直线ｘ=b成轴对称,∴ f (２ｂ-x) = f (x)代入(*)得:ｆ (ｘ) = 2c —f ［2(a －b) + x ］…………(**),用2(ａ—ｂ)-ｘ代x 得f [2 (a-b)+ x ］ = ２c-f [４(a-b) ＋ x ］代入(＊＊)得:f (x) = ｆ ［4(a －b) + x ］,故ｙ = ｆ (ｘ)就是周期函数,且4｜ a-b ｜就是其一个周期、二、 不同函数对称性得问题数与形这两个基本概念,就是数学得两块基石、全部数学大体上都就是围绕这两个概念得提炼、演变、发展而展开得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。
对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。
本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性 命题1：函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(或者
)
证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点
的对称点
也在
图像上，∴，即
故
，必要性得证。
（充分性）设点
是图像上任一点，则
，∵，∴，即
，故点也在
图像上，而点与点
关于点
对称，充分性得证。
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有0)()(=-+x f x f ，由命题1可得
函数
图像关于源点
对称。
推论2：如果函数
满足
,则函数
图象关于
点对称。
（证明略） 推论3：函数的图像关于点。
证明：∵，
，
∴
由命题1有函数的图像关于点对称。
例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负
分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。
在区间上单调递增，在区间上也单调递增。
我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。
解：∵且在区间上单调递增，
∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A
例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）
如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）
例3 定义在上的函数满足，
则
解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对
称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是
.
例 4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，
则的值为（）。
A. 2
B. -1
C. 0
D. 1
解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴;令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数，则，，∴
==1.
例 4 函数的图象关于点成中心对称，则实数.
解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以
，即.
例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.
A. 2
B. 3
C. -2
D. -4
由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，
所以点点关于直线,即.
II.不同函数关于点对称性
命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。
证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,因为点在函数的图象上，所以函数与的图像关于点成中心对称。
命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切,均有 b.
证明：（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,且.所以,即点是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图
象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。
(2) 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点关于点的对称点在函数图象上，
∴,即，也即对一切,均有
.
由（1）（2）证明可知：命题2成立。
推论1:设均为常数，则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
证明：令,
则,对均成立。
∴对均成立.
∴由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
例1 已知函数是定义在上的函数，那么与的图象( )
A.关于直线对称.
B.关于直线对称.
C.关于点对称.
D.关于点对称。
简解：令,则对均成立。
∴,由：命题2可知选D。