第九章 非线性偏微分方程

第九章 非线性偏微分方程前面几章索研究的偏微分方程都是线性的，但在实际工程级数及自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的，在有些情况下，人们为了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。

在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。

§9.1 极小曲面问题在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应的一个泛函的最小值（当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题的弱解）。

其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下一个变分问题的解必满足一个微分方程。

在这一节内，我们以极小曲面问题为例说明这个事实。

设Ω是平面上有界区域，它的边界∂Ω是充分光滑的，其方程为：(),(),x x s y y s ==00s s ≤≤ 其中00(0)(),(0)()x x s y y s ==即∂Ω是一条闭曲线。

现在在∂Ω上给定一条空间曲线l （即作一条空间曲线l ，使它到Ω所在平面的投影为∂Ω）：0(),:(),0,(),x x s l y y s s s u s ϕ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩（9.1） 这里0(0)()s ϕϕ=。

所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在Ω上的曲面S ，使得（1）S 以l 为周界；（2）S 的表面积在所有以l 为周界的曲面中是最小的。

假定空间曲面的方程为(,)v v x y =则由微积分学可知，这个曲面的表面积为()J v =⎰⎰（9.2） 于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u ，使得（1）由(,)u u x y =所表示的曲面以l 为周界，即1(),u C u ϕ∂Ω∈Ω=，或者说，u M ϕ∈，其中M ϕ由（8.7）给出；（2）()min ()v M J u J v ϕ∈= （9.3） 这是一个变分问题。

如何求出变分问题（9.3）的解？我们先来看看假若u M ϕ∈是（9.3）的解，那么u 必需满足什么样的条件。

为此，在0M 任取一个元素v ，即任取0v M ∈，即1(),0v C v ∂Ω∈Ω=。

对任意(,),u v M ϕεε∈-∞+∞+∈，记()()j J u v εε=+ （9.4）其中()J u 由（9.2）确定，从（9.2）可知()j ε是定义在R 上的一个可微函数，由于u 是（9.3）的解，所以对任意R ε∈处取得最小值，故(0)0j '= （9.5）不难看出()()()u v v u v v j εεε+++'=⎰⎰代入（9.5）得]0x y u dxdy Ω=⎰⎰假若u 具有更好的光滑性，例如2()u C ∈Ω，由格林公式可得{0u vdxdy x y Ω∂∂-++=∂∂⎰⎰⎰ 由于0v M ∈，即0v ∂Ω=，因此上式左端第二项为零，再由v 的任意性及被积函数的连续性可知0u x y ∂∂+=∂∂ （9.6） 这个方程称为变分问题（9.3）的Euler 方程。

上面的推导说明，如果u 是（9.3）的解，且2()u C ∈Ω，则u 必满足（9.6），当然还满足边界条件u ϕ∂Ω= （9.7）因此定义在Ω上且以空间曲线l 为周界的极小曲面(,)u u x y =必定在Ω内适合方程（9.6）和在∂Ω上满足边界条件（9.7）。

方程（9.6）可以改写成22(1)2(1)0y xx x y xy x yy u u u u u u u +-++= （9.8）这个方程通常称为极小曲面方程。

它有什么特点？它关于二阶导数,xx xy u u 及yy u 是线性的，但它们前面的系数分别含有2yu ，x y u u 及2x u ，所以对x u ，y u 来说它不是线性关系，特别是，如果把x u ，y u ，,xx xy u u 及yy u 同等看待，这个方程对它们不少线性方程，故它是一个非线性方程。

§9.2 非线性偏微分方程举例在上一节内，我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程（9.8），其实，在力学、物理学及几何学中都有大量的非线性偏微分方程。

例如，在热传导问题（第一章第一节例4）中，如果热传导系数k 不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为(())(())(())u u u u k u k u k u t x x y y z z∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （9.9） 这也是一个非线性方程。

在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的Navier-Stokes 方程，其形式为31()0i i iu t x ρρ=∂∂+=∂∂∑ （连续性方程） 1ij i j i jdu p dt x x τρ∂∂=-+∂∂∑ （动量方程） 211()()2p i ij j i j j d u T p C T u dt x x tλτρρ∂∂∂+=++∂∂∂∑∑（能量方程） 其中,2()3i i ij i l ij ij l j i l d u p R T dt t x u u u x x x ρτηδ∂∂=+=∂∂∂∂∂=+-∂∂∂∑∑ （9.11）这里ρ是流体密度，123(,,)u u u u =是流速，T 是温度，η、ξ是粘性系数，λ是传热系数，p 是压强，p C 是定压比热，R 是气体常数，ij τ表示粘滞力的张量，ij δ是Kronecker 记号，即1,0,ij i j i jδ=⎧=⎨≠⎩当流体为不可压缩时，ρ是长和数；又若不计温度的变化，这（9.10）化为不可压缩流体的Navier-Stockes 方程10,i i i i i i u du p u x dt x ηρρ∂∂==-+∆∂∂∑ （9.12） 取1ρ≡，并利用（9.11），这上述方程组为31310,1,2,30i i i j j j ii i i u u p u u i t x x u x η==∂∂∂-∆++==∂∂∂∂=∂∑∑ （9.13）这是关于123,,,p u u u 的非线性方程组。

在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得(,,)u f x u u ∆=∇ （9.14）在微分几何中，若要求出中曲率κ为已知的曲面时，就需要求解下列方程：2(,,,,)rt s f x y u p q -= （9.15）其中,,,,x y x x x y y y p u q u r u s u t u =====。

这个方程称为蒙日－安培尔（Monge-Ampere ）方程。

上面我们已经从不同的问题引入了一些非线性方程或方程组，现在再对它们作一些比较。

方程（9.14）中的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性得，它的非线性只出现在函数u 及其一阶导数项，这样的方程称为半线性方程，方程组（9.13）也是半线性的；方程（9.8）对最高阶导数（二阶导数项）来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数（那里是一阶导数），这样的方程称为拟线性的；方程（9.15）的特点是对最高阶导数（二阶导数）也是非线性的，这样的方程称为完全非线性（或真正非线性）方程。

显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线性方程的非线性程度介于两者之间。

对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式，只能求其近似解。

但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程，下面举例说明。

例1 在流体力学中有一个很重要的比尔吉斯（Burgers ）方程t x xx u uu u λ+= （9.16）这是一个二阶偏微分方程，为了解这个方程，令x u v =，再对x 积分一次可得212t x xx v v v λ+= 再令2ln v λψ=-则得t xx ψλψ=这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第二、三中的方法求出它的解，有了ψ之后可以求出u 。

例2 在微分几何中遇到如下Liouville 方程u u e x y∂=∂∂ （9.17） 这是一个半线性的二阶方程。

若令u '是0u x y'∂=∂∂ （9.18） 的解，再构造一个偏微分方程组1()21()22u u u u u u e x x u u e yy ββ'+'-⎧'∂∂=-⎪∂∂⎪⎨'∂∂⎪=--⎪∂∂⎩ （9.19） 其中β是常数。

通过计算可以验证：若u 是（9.19）的解，则u 必是（9.17）的解。

有第三章已知，（9.18）的解总可以写成(,)()()u x y f x g y '=+其中,f g 是任意可微函数。

有了u '再解（9.19），最后可得（9.17）的通解exp[(()())2]2ln exp ()exp(())2f x g y u f x dx g y dy β⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦⎰ 与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在，也不一定对所有的时间0t ≥都存在（当然假定方程中含有时间变量t ），而只是再某个有限时间内存在，见下例 例3 考虑Riccati 方程的初值问题200,0(0)()dv v t dtv v v ⎧=>⎪⎨⎪=⎩是常数 （8.20） 容易求出它的解00()1v v t v =- 显然，若00v <，则（9.20）的解对所有0t ≥都存在，简称整体存在；若00v >，则当01t v →时，()v t →+∞，这时解在时刻001t v =产生破裂，所以（9.20）只在01[0,)v 内有解，简称解是局部存在的。

§9.3 单个守恒律 激波在这一节内，我们将研究形如()0t x u f u += （9.21）的一阶非线性双曲型方程初值问题。

由于方程（9.21）左端是散度形式，通常将它称为守恒律。

我们将要指出这个方程的解可能产生间断，并着重介绍激波的概念。

先看一个特例，即考虑Burgers 方程的初值问题0,0,, (9.22)(,0)(),, (9.23)t x u uu t x u x x x ϕ+=>-∞<<+∞⎧⎨=-∞<<+∞⎩ 在这个问题古典解（1C 类解）存在的范围内，可由(,)dx u x t dt= （9.24） 定义其特征线。

显然，沿着特征线有0du dt= 即u 在每一条特征线上取常数值。

由（9.24）知特征线是直线，通过点0(,0)x 的特征线为00()x x t x ϕ=+ （9.25）在其上0()u x ϕ= （9.26）设()x ϕ的1C 模有界（即sup ()sup ()x x M ϕϕ'+≤），且t 较小，则有00()10x t x ϕ∂'=+>∂ 故由（9.25）可得0(,)x x t ψ=代入（9.26）即得问题（9.22），（9.23）的解为((,))u x t ϕψ=这说明，这个问题总存在惟一的局部古典解。