求一类非线性偏微分方程解析解的一种简洁方法_谢元喜
一类非线性偏微分方程的解
（） ４
则 方 程 （）变 为 ３
ａＨ 一 ： ３ｔ
一
ａＨ ２ ＋ 上 ｄ（ ＋
． 。
）
（） ５
在下列条件 下 ：
Ｈ （ ， ）＝ ｆ （ ） ｒ０ ０ ｒ
０
（） ６ （） ７
收 稿 日期 ：０ ２ ３—０ ２ ０ —０ ７
作者 简介 ： 姜根明 （９ ３ ） 男 ， １ ６ 一 ， 陕西渭南人 ， 长安大学基础部讲 师 ， 主要从事偏微 分方程 的研究 。
一
类 非 线性 偏 微 分 方 程 的 解
姜根 明 ， 王拉省２常安 定 ，
７ ０ ５ ；． １ ０ ４ ２ 西北工程科技 学院数理 系 ， 陕西西安 ７０４ ） １ ０ ８
（． １ 长安大学基础部 ， 陕西西安
摘
要 ： 中通 过 分 析 一 类 函数 族 的 正 交 性 ， 用 分 离 变 量 法 得 到 了 一类 非 线 性 偏 微 分 方 程 的解 析 解 文 采
为 常数 ， 因而 常说 的 Ｔ为 常数 ， 实际上便是 把计 算时段 内的潜水含水 层的厚度（ 时 ， 此 将水位与厚 度看成一个概 念） 取平均值 ， 并在计算 时段内将其看成 常数。 设
Ｔ ＫＨｐ ，、 １
称为水位传导 系数 ， ［ 一］Ｈ 为含水层平均厚度 ， 量纲 Ｌ Ｔ ； 尸 量纲［ ］此时方程 （） Ｌ； １ 变为
６６
维普资讯
Ｈ（ｏｔ ｒ ，）＝ ｈ ０
该 模 型 的解 为 ［ ： ２ ］
（） ８
Ｈ（ ，）＝ ｈ ｒ ｒｆ ｏ＋ ７ ２
２
２ ，０ ｌ ，）一 （ ） （ ８ ≯ Ｆ ０ ｆ ［（ ０ ｈＦ ，出 ｌ ｆｘ ） ｏ ｌ ｏＲ 一 ］ （ ） ． （ ０ 一． （ ） ， ） ， ３ ｝
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解近年来，随着探究和解决复杂科学问题的不断深入，非线性偏微分方程的研究受到了越来越多的关注。
非线性偏微分方程是一类非常重要的数学问题，通常用于研究动力学系统和物理系统的行为特性。
这些方程在某些情况下可能没有精确解，但仍可以有很多有趣的特殊解，如非古典对称及相似解。
非古典对称及相似解是指非线性偏微分方程的解中有一些不精确的特殊解，其特点在于其存在对称性及一定的类似性，即解的形式尽可能简单、容易求解，而不用进行复杂的运算。
这些对称解和相似解可以应用于许多不同的非线性偏微分方程，尤其是一些特殊形式的非线性偏微分方程，例如具有分数阶微分算子的偏微分方程、具有分数阶断点微分算子的偏微分方程及含有椭圆形离散算子的偏微分方程。
关于非古典对称及相似解的理论研究，目前基本上主要集中在三个方面：第一，对称解的存在性和唯一性问题；第二，对称解的分析性和解析性问题；第三，对称解的数值求解问题。
首先，在存在性和唯一性方面，采用一定的条件，证明如何确定一个非线性偏微分方程中存在对称解及其唯一性；然后，在分析性和解析性方面，采用边值问题的技术和其他技术，证明在某些情况下，非线性偏微分方程的对称解是有解析表示的；最后，在数值求解方面，采用两种常用的数值方法，即格林方法和步进法，提出数值计算非线性偏微分方程的对称及相似解。
除了这些方法外，还有许多其他可以求解非线性偏微分方程的对称及相似解的方法，例如采用逆变换和积分变换的迭代方法、采用复变换的积分方法、采用分数级数展开的技术等等。
这些方法都可以用于解决非线性偏微分方程中存在的不同类型的对称及相似解问题。
总的来说，非古典对称及相似解对研究非线性偏微分方程具有重要意义，它不仅可以帮助我们更好地理解和描述非线性偏微分方程的性质，而且可以提供更多有用的解。
此外，它也可以作为非线性偏微分方程所表达的物理过程或系统的一种分析方法，可以用来识别和探究问题的可能性和导致问题发生或发展的原因等等。
非线性椭圆偏微分方程的数值方法
非线性椭圆偏微分方程的数值方法非线性椭圆偏微分方程（Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
本文将介绍非线性椭圆偏微分方程的数值解法及其应用。
一、概述非线性椭圆偏微分方程是一类形式如$F(u, \nabla u, \nabla^2u) =0$ 的方程，其中$u$是未知函数，$F$为非线性函数，$\nabla$为梯度算子，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
解决非线性椭圆偏微分方程的解析方法很难获得闭式解，因此需要采用数值方法进行近似求解。
二、常见的数值方法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法将求解区域离散化，利用差分近似替代偏微分方程中的各个项，进而转化为代数方程组求解。
该方法简单易行，适用于一维和二维情况，但对于高维情况求解效率较低。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法将求解区域分割成单元，利用试验函数展开未知函数，在每个单元上构造局部近似，并通过装配得到整体近似。
该方法适用于各种复杂几何形状和高维情况，但算法复杂度较高。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域分割成小体积元，通过对流通量进行积分得到通量差分格式，进而得到离散的代数方程组，并通过求解该方程组获得数值解。
该方法适用于守恒型方程和对流扩散型方程，且保持物理量守恒。
三、应用实例非线性椭圆偏微分方程的数值方法在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
以下举例介绍两个实际问题的数值求解方法。
1. 热传导方程（Heat Conduction Equation）热传导方程描述了材料内部的温度分布随时间的变化，其数学模型为$\frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (k \nabla u) = f$，其中$u$为温度分布，$k$为导热系数，$f$为外部热源。
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达近年来，随着科学技术的发展，人们越来越重视非线性偏微分方程在解决数学、物理和工程问题等方面的应用。
因此，有关非线性偏微分方程的精确解的研究也受到了广泛的关注。
一般来说，由于非线性偏微分方程本身的复杂性，很难求解出精确解。
幸运的是，研究人员发展了各种推导一类非线性偏微分方程精确解的方法，提出了有效的数学算法，大大简化了解非线性偏微分方程的过程。
首先，要求出一类非线性偏微分方程的精确解，需要建立起正确的方程模型。
可以通过多种方法获得正确的方程模型，其中最常见的就是参数估计法，它能够根据实际观测数据来估计适当的参数值。
一旦确定一类非线性偏微分方程的精确解，就可以采用替代求解方法，如拉格朗日法等，根据不同情况使用不同拉格朗日多项式把方程化为某种可以求解的形式，从而得到精确解。
此外，研究人员还提出了一种新的求解方法展开式求解方法，它能够通过把非线性微分方程表达为一系列无穷级数，来求解出精确解。
这种方法使用级数展开把原始方程表达为展开后的连续微分方程，再对连续微分方程进行复分，最后根据分析关系和条件得出精确解。
最后，可以采用迭代法来求解一类非线性偏微分方程的精确解。
迭代法的基本思想是：设定一个初始猜想值，然后不断迭代，每次迭代后，就可以得到越来越接近正确解的新猜想值，最终可以求得精确的解。
总之，本文从理论上讨论了求解一类非线性偏微分方程精确解的方法，介绍了参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法作为求解一类非线性偏微分方程精确解的主要方法。
这些方法是由研究人员为了进一步研究非线性偏微分方程而提出的，能够有效应对一类非线性偏微分方程的求解，为更复杂的问题的分析与解决提供了有效的数学方法支持。
综上所述，我们可以看出，求解一类非线性偏微分方程的精确解需要在正确的方程模型基础上，使用参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法等方法，以提高求解准确性和可靠性，为数学、物理和工程等问题的求解提供关键支持。
非线性偏微分方程近代分析方法
非线性偏微分方程近代分析方法近十年来，随着计算机科学和数学的发展，非线性偏微分方程的研究也取得了可喜的进步。
非线性偏微分方程是描述一类普遍存在于自然界中的复杂系统和现象的数学表达式，它们涉及各种科学领域，如物理学，力学，声学，电动力学，热力学，生物科学，气象学，海洋学，地理学，流体力学和计算生物学等。
其解决方法有多种，因而也被称为“多方法论”。
其中，近代分析方法是当前重要的一类方法。
近代分析方法是一种有效地求解非线性偏微分方程的方法, 传统的分析方法如外推法、Laplace变换、渐近方法等，依赖于特定的线性系统，只能求解线性系统的数值解。
而近代分析方法，如高斯消去法、有限差分、正则化技术、小阶次算法等，可以有效地求解复杂的非线性偏微分方程，使我们能够对它们进行数值分析。
高斯消去法是一种重要的近代分析方法，它主要用于求解非线性偏微分方程。
它是将微分方程化为一组线性方程，然后利用高斯消去法解决线性方程，最后得到非线性方程的解。
它是一种迭代分析方法，可以以极高的精度得到有限元分析模型的结果。
此外，在实际应用中，高斯消去法也可以被运用到非线性偏微分方程的多维空间的解的求解。
有限差分也是一种重要的近代分析方法，它是一种非常简单有效的数值分析方法，可以用于求解各种物理系统中出现的非线性偏微分方程。
它能够更有效地描述非线性系统的动态行为，可以精确地预测系统的行为。
同时，它还可以为非线性系统的计算提供有用的细节，从而更好地描述系统的动态行为。
正则化技术是另一种重要的近代分析方法，它主要用于解决非线性偏微分方程的正则化问题。
正则化技术可以有效地将复杂的非线性偏微分方程简化为表示形式，从而使得解的求解变得更加容易。
此外，它还可以被用来解决多维空间中复杂非线性系统的非线性问题。
小阶次算法是近代分析方法中的另一种新兴技术，它主要用于求解非线性偏微分方程。
小阶次算法以非常精确的步骤分解方程，并对计算精度进行极大的改进。
它可以运用到复杂的非线性系统中，可以更好地捕捉非线性系统的多变性，并有效解决多维空间中的非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程近代分析方法
非线性偏微分方程近代分析方法1、非线性偏微分方程的定义非线性偏微分方程是指含有非线性函数的微分方程，它是由一个或多个未知函数的一阶或多阶微分方程组成的。
它可以用来描述物理系统中的动态行为，如热传导、电磁学、流体动力学和结构力学等。
非线性偏微分方程的解决方法可以分为两类：分析方法和数值方法。
分析方法包括拉格朗日法、变分法、特征值分析法等，而数值方法包括有限差分法、有限元法、隐式格式法等。
：2、非线性偏微分方程的结构非线性偏微分方程的结构一般由两部分组成，即系数函数和右端函数。
系数函数包括一个或多个非线性函数，而右端函数则是一个或多个线性函数。
系数函数可以是任意复杂的函数，而右端函数则可以是任意简单的函数。
近代分析方法的基本原理是，通过对非线性偏微分方程的线性化处理，使其可以通过现有的数学工具来解决。
这种方法的基本思想是，将非线性偏微分方程转化为一系列线性偏微分方程，然后使用现有的数学工具来解决这些线性偏微分方程，从而解决原始非线性偏微分方程。
这种方法可以用来解决复杂的非线性偏微分方程，并且可以得到更精确的解。
：4、近代分析方法的应用近代分析方法已经被广泛应用于非线性偏微分方程的研究中，主要包括：一阶正则化法、多项式法、微分算子法、拉普拉斯变换法、变分法、积分变换法、小波变换法、线性稳定性理论等。
其中，一阶正则化法可以用来求解非线性偏微分方程的解，多项式法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，微分算子法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，拉普拉斯变换法可以用来求解非线性偏微分方程的精确解，变分法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，积分变换法可以用来求解非线性偏微分方程的解，小波变换法可以用来求解非线性偏微分方程的近似解，线性稳定性理论可以用来分析非线性偏微分方程的稳定性。
5、非线性偏微分方程的数值解法非线性偏微分方程的数值解法是指利用数值技术求解非线性偏微分方程的一种方法。
它主要包括有隐式格式的有限差分法、显式格式的有限差分法、有限元法、牛顿法等。
一类非线性偏微分方程组的直接解法
一类非线性偏微分方程组的直接解法，文章内容要写清楚。
局部最新获得台面（LNMP）定义为局部最小值问题，是指求解一类非线性偏微分方程组的最小值问题。
局部最新获得台面的一般方法是采用梯度下降（gradient descent）和拟牛顿（quasi-Newton）方法，前者被广泛使用，而后者效率更高，但是计算量更大。
近年来，出现了一种称为反射积分（reflection integral）的直接解法，该方法能有效求解局部最新获得台面，并且具有计算量少的优点。
反射积分法采用粒子跟踪技术模拟非线性偏微分方程组，算法运行步骤如下：（1）构造各类反射函数模型；（2）根据反射函数模型产生一系列粒子；（3）反复更新粒子的状态，此过程为“反射积分迭代”，直到满足一定停止准则；（4）使用最终形成的反射波来计算台面最小值。
反射积分法具有时间复杂度小、适用性广等优点。
首先，它只需要单个粒子运行，所以其计算量比现有方法小很多；其次，该算法对非线性模型很有效，可以求解多维、复杂的方程；此外，它将梯度法中的梯度信息转变为粒子的反射波，使计算更简化。
反射积分法的弱点是在反射积分迭代中，只能局部收敛，无法获得全局最小值，其研究的关键在于如何在局部收敛的情况下保证全局最优性。
总之，反射积分是一种高效、稳定的直接解法，可以有效地求解一类非线性偏微分方程组的最小值问题。
它在计算量上具有优势，被广泛应用于金融、环境等多领域。
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解
几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解非线性偏微分方程是一类重要的数学模型，广泛应用于物理、化学、天文和工程等各个领域。
它们在建模许多实际问题中都起着重要作用。
非古典对称是指一个非线性偏微分方程的解可以分解为对称和可逆的两个部分，这就是非古典对称。
而相似解则指不同的非线性偏微分方程的解可以用相同的函数描述，这就是相似解。
在研究非古典对称及相似解时，首先要明确偏微分方程的类型，这是分析、求解和计算的基础。
一般来说，非线性偏微分方程可以分为常微分方程、混合偏微分方程和无限维偏微分方程三类，每一类方程各有不同的特征和特性，也会有特定的求解方法。
接下来，要深入地分析非古典对称的形式，解释偏微分方程的解可以分解为对称和可逆的原因。
对于某些恒定系数的非线性偏微分方程，通常可以找到一组对称的和可逆的解，而某些系数可能会随时间而变化的方程，只能找到一组可逆的解，即非古典对称。
之后，就要研究非线性偏微分方程的相似解。
通常，不同的方程可以用一个相似函数描述，这就是相似解，也可以说是方程的统一解。
对于某些系数非线性变化的方程，通常可以找到一组相似的解，如渐变解法是一种求解相似解的常见方法，它将多元非线性偏微分方程转换为更加简单的线性偏微分方程求解。
最后，可以引入其他求解方法，比如变分法、正则化方法、自适应网格方法等，准备解决非古典对称及相似解的求解问题。
它们在求解复杂的非线性偏微分方程时可以起到很好的作用，从而更加准确地表达实际问题的数学模型。
总之，几个非线性偏微分方程的非古典对称及相似解在解决实际问题中扮演着重要的角色，而研究非古典对称及相似解也就变得尤为重要。
未来，我们将继续深入研究非古典对称及相似解的数学原理，并总结出更加有效的解决方案，以追求更高的精确度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( 31)
( 18)
a = 12 B,
b=-
12 A , 5 ( 32)
2
c=- A k+ B k ,
2
( 19) ( 20) ( 21)
u=
3A 425 B
2
1 + tanh
A ( kx - Xt ) 10 B k
, ( 33)
不再赘述 . 以上一些结果与文献 [ 11] 的结果完全一样 , 说 明本文的方法是可行的 .
关键词: 非线性偏微分方程 , 试探函数, 待定系数法, 解析解 PACC: 0340K, 0290 y= e
( kx- Xt )
.
( 3)
11 引
言
至于试探函数 v ( y ) 则应根据具体的方程灵活选择, 下面应用这个思想来求解几个非线性偏微分方程.
寻求非线性偏微分方程的解析解和数值解一直 是广大物理学家和数学家致力于研究的重要课题 , [1 ) 10] 目前虽然已经发展了许多比较成熟的方法 ,用 于求解非线性偏微分方程 , 但不能说解非线性偏微 分方程的任务已经完成, 依然还有很多工作要做. 本文通过引入一个变换, 只要选准试探函数, 就 可简洁地求得非线性偏微分方程的解析解.
[ 3]
[ 4]
2830
[ 9] [ 10] [ 11]
物
理
学
报
53 卷
Fu Z T et al 2003 Acta Phys . Sin . 52 2949 ( in Chinese) [ 付遵涛 等 2003 物理学报 52 2949] Cheng Y et al 2003 Chi n. Phys . 12 1 Liu S K and Liu S D 2000 N onlinear Equati ons in Physics ( Beijing: Peking University Press) p281 ) 294 ( in Chinese) [ 刘式适、 刘式 [ 12]
2 ak - X- 44 B k = 0. 联立 ( 11) , ( 12) 式解得 X = 4B k ,
3
2
( 12) ( 13)
a = 24 B k. 48 B k e 2( kx - Xt ) 1+ e
2 2( kx- Xt ) 2
利用双曲正切函数的定义, 可将( 27) 式化为 u=- A k 1+ tanh 1 ( kx - Xt ) , 2 ( 28)
3 4 2 4 6 8 2 2 4
( 2)
只要试探函数 v ( y ) 和 y ( x , t ) 选得准确 , 就可 将非线性偏微分方程 ( 1) 化为代数方程, 从而求解相 当简洁. 考虑到非线性偏微分方程一般为波动方程 , 其解含有相位因子( kx- X t ) , 因此 , 把试探函数 y ( x , t ) 选为如下形式 :
[ 1]
Zhang J F 1998 Acta Phys . Sin . 47 1416 ( in Chinese) [ 张解放 1998 物理学报 47 1416]
[ 5] [ 6] [ 7]
Zhang J F 2002 Chi n. Phys . 11 425 Tang J S et al 2003 Acta Phys . Sin. 52 522 ( in Chinese) [ 唐驾时 等 物理学报 52 522] Li D S and Zhang H Q 2003 Acta Phys . Sin. 52 1569 ( in Chinese) [ 李德生、 张鸿庆 2003 物理学报 52 1569] Li S K et al 2003 Acta Phys . Sin. 52 1842 ( in Chinese) [ 刘式适 等 2003 物理学报 52 1842]
[ 2]
Yan Z Y and Zhang H Q 1999 Acta Phys . Sin . 48 1962 ( in Chinese) [ 闫振亚、 张鸿庆 1999 物理学报 48 1962] Li H B et al 2001 Acta Phys . Sin . 50 837 ( in Chinese) [ 李华兵 等 2001 物理学报 50 837] [ 8] Liu S K et al 2001 Acta Phys . Sin. 50 2068 ( in Chinese) [ 刘式 适等 2001 物理学报 50 2068]
谢元喜
*
唐驾时
410082)
( 湖南大学工程力学系 , 长沙
( 2003 年 11 月 13 日收到 ; 2003 年 12 月 19 日收到修改稿 )
通过引入一个变换和选准试探函数 , 进行求偏导数运 算 , 将非线性偏微分方程化为 代数方程 , 然后用 待定系数 法确定相应的常数 , 最后得到其解析解 . 不难看出 , 这种方 法特别简洁 .
[ 11]
选取试探函数 v ( y ) 为 v= 其中 a 为待定常数. 由( 2) , ( 3) , ( 5) 式得 u= 9v 2 aky = 2 2, 9x ( 1+ y )
2 4 2
ay , 2 1+ y
2
( 5)
( 6) ( 7) ( 8)
9 u 4ak X( y - y ) = , 2 3 9t ( 1+ y ) 9 u = 4ak ( y - y ) , 2 3 9x ( 1+ y ) 9 u 8ak ( 2y - 22y + 22y - 2y ) 3 = 2 5 . 9x ( 1+ y )
*
( 9)
将( 6) ) ( 9) 式代入 ( 4) 式得代数方程 4B k - X y +
3 2
2 ak - X- 44 B k
2 3
3
y
3
4
+
X- 2 ak + 44 B k
2
y +
6
X- 4 B k
y = 0. ( 10)
8
湖南省自然科学基金 ( 批准号 : 01JJY2007) 资助的课题 . E_mail : xie yuan xi 88 @ 1631 com
将( 13) 式代入 ( 6) 式求得 2 2 48 B k y u= 2 2 = ( 1+ y )
.
( 14)
由( 26) 式还可求得波速为 X c= k =- A k. 3131 KdV_Burgers 方程 ( 29)
利用双曲正割函数的定义 , 可将( 14) 式化为 2 2 u = 12 B k sech ( kx - Xt ) , 由( 13) 式还可求得波速为 c= 3121 Burgers 方程 Burgers 方程的形式为 2 9u 9u 9 u + u - A 2 = 0, 9t 9x 9x 选取试探函数 v ( y ) 为 v = a ln( 1+ y ) . 由( 2) , ( 3) , ( 18) 式得 9v aky u= = , 9x 1+ y 9u ak X y =2, 9t ( 1+ y) 9 u = ak y , 2 9x ( 1+ y )
Abstract By introducing, a new transformation and selecting appropriate trial funct ions, nonlinear part ial differential equations can be converted to algebraic equat ions, and their related coefficients can be easily determined by making use of the method of undetermined coefficients. Finally, the analytical solutions to a class of nonlinear partial differential equations are successfully derived. One can easily see that this method used herein is particularly simple. Keywords: nonlinear partial differential equations, trial function, method of undetermined coefficient, analyt ical solution PACC: 0340K, 0290
Xie Yuan_Xi Tang Jia_Shi
( Department of Engineering Mechanics , Hunan University , Changsha , 410082, China ) ( Received 13 November 2003; revised manuscript received 19 December 2003)
*
Project support ed by t he Natural Science Foundat ion of Hunan Province, China( Grant N o. 01JJY 2007) .
31 应用Байду номын сангаас例
3111KdV 方程 考虑 KdV 方程 9u 9u 9 u + u + B 3 = 0, 9t 9x 9x
3
( 4)
21 基本思想
本文基于 Hopf_Cole 变换 和文献[ 12] 所提出 的/ 试探函数法0 的思想, 研究如下一类非线性偏微 分方程的解析解 : 2 3 4 9u 9u 9 u 9 u 9 u + u + A 2 + B 3 + C 4 + , = 0, 9t 9x 9x 9x 9x ( 1) 为了求解上述方程, 引入变换 9v u= , v = v( y ) , y = y ( x , t) , 9x 其中 v ( y ) 和 y ( x , t ) 为试探函数 .