G)展开法求解非线性偏微分方程精确解
关于一类五阶非线性发展方程的新精确解
’ 一 ， 、
Ｕ＋ ｆ Ｕ 一Ｊ ｘ默一 ＇ 勰 ＋ ［ Ｕ ｔ Ｕ ｕ
＝０ ・
（ １
其 中 ， ， 为 常数 ，Ｓ １ ＝± ．方程 （ ） １ 是许 多 类似 方程 的一 般 形式 ：当 Ｓ ， ：３ ＝２ ＝１ ０， ０，
中图分类号 ：Ｏ１５２ ７．
文献标识码 ：Ａ
Ｎｅ Ｅｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｏ ｅＦｉｔ ・ ｒ ｅ ｏ ｌｎ ａ ｕ ｔｏ ｗ ａ ｔＳ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒＳ ｍ ｆｈ ｏ ｄ ｒＮ ｎ ｉ ｅ ｒＥｑ ａ ｉ ｎｓ
ＺＨＡＮＧ ｉ ｇ Ｐｎ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ＆Ｐ ｙ ｉｓ Ｗｕ ｉ ｎｖ ｒｉ ， ｉｎ ｍｅ ２ ０ ０ Ｃ ｉ ａ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍａｉ ｏ Ｍａ ｃ ｈ ｓｃ ， ｙ Ｕ ｉｅｓｔ Ｊａ ｇ ｎ５ ９ ２ ， ｈ ｎ ） ｙ
维普资讯
第２ ２卷 第 １ 期
２０ ０８笠
五 邑 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ 、 ＵＹＩ ＵＮⅣ Ｅ Ｉ ＲＳ ｅ ｉｏ ） ｉ
、 ．２ Ｎｏ １ ｂｉ ２ ． Ｆ ｂ ｅ． ２０ ０ ８
ｓ ｌ ｉｎ ， ｒａ ｇ ａ ｅｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｎ Ｏｏ 、 ｏｕｔｏ ｓ ｔｉ ｎ ｕｌｒｐ ｉ ｄｃ ｓ ｌ ｔｏ ｓａ ｄ Ｓ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆｆｈ ｏ ｄ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｐ ｒｉ ｌｄｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ； ａ ｏ ｉｅ ｌｐ ｉ ｕｎ ｔｏ ｓ ｏｉａ ｖ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ － ｒ ｅ ｏ ｌｎ ａ ａｔａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓ Ｊ ｃ ｂ ｌｉ ｔｃｆ ｃｉ ｎ ；ｓ ｌｔ ｒ ｗａ ｅ ｔ ｆ ｙ
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
(1+1)维混合KdV方程的精确解
第39卷第1期 注 為 科 修 Vol. 39 No. 12021 年 2 月JIANGXI SCIENCE Fl. 2021doi ：10.13990/j. it y l001 -3679.2021.01.005(1+1)维混合KdV 方程的精确解翟子璇，李琪8(东华理工大学理学院,330013,南昌)摘要：讨论一类混合KdV 方程，通过F-展开法及辅助常微分方程,成功得到该方程的精确解。
关键词:F-展开法；混合KdV 方程;精确解中图分类号：0175.29文献标识码:A 文章编号：1001 -3679(2021)01 -022-03Exact Solutions of Mixed (1+1) - Dimensional KdV EquationZHAI Zixuan, LI Qi **收稿日期:2020 -12 -10；修订日期:2021 -01 -12作者简介:翟子璇(1996—),男，硕士研究生，研究方向为非线性可积系统及应用。
基金项目：国家自然科学基金(11561002、11861006)；江西省教育厅科技项目(GJJ191419)。
*通信作者:李 琪(1973—)，女，博士，教授，研究方向为非线性可积系统及应用。
E - mail :qli@ ecut. edu. cn 。
( School of Science , East China University of Technology, 330013 , Nanchang )Abstract : The exact solution' of mixed ( 1 + 1) - dimensional KdV equation are obtained by using F- expansion method and auxiliaie ordinary dVTerentiaO equation .Key words : F 一 expansion method ； mixed ( 1 + 1) 一 dimensional KdV equation ； exact solutions0引言随着人们对自然界更加深入的研究,许多非 线性现象逐渐进入研究者的视野,而非线性发展方程则是对这些现象进行客观描述的有力工具。
应用(G'G2 )展开法求解含三阶色散项的薛定谔方程
u (ξ )= ϕ (ξ ) e (
其中 k , ω 分别表述波速和相速度， c 是包络速度。
i kx −ωt )
, ξ= x − ct
(10)
214
张艳妮 等
将方程(9)转化成如下形式：
i γ 1ϕ ′′′ − 3γ 1k 2ϕ ′ + γ 2ϕ 2ϕ ′ + 2γ 3ϕ 2ϕ ′ − cϕ ′ + 2kϕ ′
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2017, 6(2), 212-217 Published Online March 2017 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2017.62024
Open Access
1. 引言
随着科学技术的不断发展，非线性发展方程应用的领域的和其作用已经变得越来越广泛。非线性薛 定谔方程(NLSE)
iut + 1 2 0. u xx + u u = 2
是一种描述光波在弱非线性色散介质中传播的方程，近年来被广泛的应用到通信、非线性的光学现 象以及固体中热脉冲传播等[2]领域。 但NLSE是一个理想化的方程， 它忽略了高阶的色散效应和自频移效 应等，不能很好地处理非零边界的问题，当我们必须考虑这些效应的时候，NLSE方程的可积性就被破坏 了。 最近已有多篇文献对其进行研究，在探讨波长远离零色散波长的暗孤子脉冲的传输特性中，一般认 为在零色散波长附近产生暗孤子所需要的功率可大大降低，在零色散波长附近，即使二阶色散不为零， 对三阶色散的研究也是十分重要的[3] [4]。但采用的方法大多数是数值计算。为此，科研工作者们提出了 许多有效的解析方法， 例如F-展开法[5]， 齐次平衡法[6] [7]， 雅可比椭圆函数法[8]和( G ′ G )展开法[9] [10] [11]等。本文利用( G ′ G 2 )解析展开法求解了含三阶色散的非线性薛定谔方程，得到孤子精确行波解．
物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 5
5I 5x
由此解得
p = 1, q = 0, m = 0, n = 1.
(116)
将 (116) 代入 (111) 及 (112) , 则 (111) 和 (112) 简单地具形式 (选择其中线性组合的系数为零)
I=
5f (Υ) 5t
=
f ′Υt,
(111′)
N
=
5g (Υ) 5x
=
g ′Υx ,
(112′)
(215′)
(215′) 是 X (x ) 的线性非齐次方程, 其通解为 其中: c2 是待定常数. 将 (214) 和 (216) 代入 (1113) 得
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得 (011) 和 (012) 的精确解
I= -
1 ab X
T′ +T
,
(1113)
N=
1 a
aX
X′ +T
.
(1114)
此外, 我们还可将 (011) 和 (012) 化为一个二阶方程后, 用齐次平衡方法, 仍可得到结果 (1113)
和 (1114) (见附录).
2 初值 — 边值问题
我们考虑方程组 (011) 和 (012) 的初值 — 边值问题
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 3
偏微分方程的解析方法
偏微分方程的解析方法偏微分方程（partial differential equations，简称PDEs）是数学领域中重要的研究对象，它涵盖了多个科学领域和工程应用中的问题。
解析方法是其中一种求解偏微分方程的重要工具，本文将介绍偏微分方程的解析方法及其应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有多个未知函数的方程，其数学模型常常用来描述物理现象、自然规律和工程问题。
常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程、扩散方程等。
二、解析方法的概述解析方法是指使用数学分析和函数理论等工具，通过求解偏微分方程的导数关系，寻找其解的方法。
对于一些简单的偏微分方程，解析方法可以得到精确的解析解。
三、分离变量法分离变量法是解析方法中常用的一种。
其基本思想是假设待求解函数可以表示为各个变量的乘积形式，通过将待求解方程中涉及多个变量的项分离并令其等于不同常量，得到一系列常微分方程。
进一步对这些常微分方程求解，得到原偏微分方程的解析解。
四、特征线法特征线法是解析方法的另一种重要工具。
它通过引入一组特征曲线，将偏微分方程转化为常微分方程的形式，从而求解原偏微分方程。
在特定的物理问题中，特征线法具有很高的适用性和解决效果。
五、变换方法变换方法是一种通过对偏微分方程进行合适的变量变换，将其转化为更简单的形式以便求解的方法。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，它们能够将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而得到解析解。
六、应用领域解析方法在多个科学领域和工程应用中都有重要的作用。
以物理学为例，解析方法可以用来研究电磁场、流体力学、量子力学等问题。
在工程领域，解析方法可以用于求解热传导、结构力学等方程，从而优化设计和改进工艺。
七、数值方法的补充解析方法虽然能够得到精确的解析解，但对于一些复杂的偏微分方程，其求解过程可能非常繁琐甚至无法求解。
此时，数值方法的应用就变得尤为重要。
数值方法通过离散化空间和时间，将偏微分方程转化为代数方程组，通过计算机模拟得到近似解。