离心率练习题(题型全面)答案版
求椭圆离心率范围的常见题型与解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1已知椭圆22 2 2 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围. 例2已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12 (,0),(,0) F c F c -,若椭圆上存 在一点P使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为() 21,1 -.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2 Ｃ．(0,2 Ｄ．2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点B 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在 椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22 =+ b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA （O 为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围； 解 设椭圆方程为x 2 a 2＋y 2 b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2 ＝m 2 ＋n 2 －2mncos 60°＝(m ＋n)2 －3mn ＝4a 2 －3mn≥4a 2 －3·?? ? ?m ＋n 22 ＝4a 2－3a 2＝a 2 (当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2 a 2≥14，即e≥1 2 .
离心率的五种求法专题
离心率的求法 椭圆的离心率10<
曲线的离心率求法
圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式：c e a = （其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+， （2）双曲线：222c b a =+ 3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3）利用三角形的相似关系 （4）利用点线距离关系 4、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题 例1（1）：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）
离心率及范围计算
1．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ， 2F ，过2F 的直线 与椭圆交于A ，B 两点，若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 63- B. 23- C. 52- D. 2 2 【答案】A 2．椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分 别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________． 【答案】 14 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上的一 点，若， ，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 4．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线 段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若 122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ） A. 2 B. 212 C. 322+51 + 【答案】D
5．已知F 1,F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，且 ，线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的 面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】由题意设 与四边形 的面积之比为 与 的面 积 之 比 为 又 ，即 将 和 代入椭圆方程得 即 解得 故选 C 6．若12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点， O 为坐标原点， 点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足1 FO PM =， 11OF OM OP OF OM λ?? ?=+ ??? (0)λ>，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法
椭圆离心率的三种求法： (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝c a 或利用 22 1a b e -=直接求解. (2)求椭圆的离心率时，若不能直接求得c a 的值，通常由已知寻求a ， b ， c 的关系式，再与a 2 ＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围. 1. 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点??? ??0,2b 分成5∶3 的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.1617 B.41717 C.45 D.25 5 解析 依题意，得c ＋b 2c －b 2 ＝5 3，∴c ＝2b ，∴a ＝ b 2＋ c 2＝5b ，∴e ＝ 2b 5b ＝255. 答案D 点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率. 2. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°， 求椭圆离心率的取值范围. 分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1 2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝|PF 1||PF 2|.② ①式平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2.③ 由②③，得|PF 1||PF 2|＝4b 2 3 .④
求圆锥曲线中离心率取值范围方法举例
圆锥曲线中离心率取值范围的求解 范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义 例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞ 【解析】Ｂ 22033352022 a ex a e a a a e e c -=?->+?-->， 2e ∴>或13 e <-（舍去），(2,)e ∴∈+∞． 例2双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ． Ｂ．)+∞ Ｃ．1]+ Ｄ．1,)++∞ 【解析】Ｃ 222 000(1)(1),a a a ex a x e x a a e a c c c -=+?-=+?+≥- 2111121011a e e e e c e ∴-≤+=+?--≤?≤≤+ 而双曲线的离心率1e >，1],e ∴∈故选Ｃ. 【点评】例1、例2均是利用第二定义及焦半径公式列出方程．例1根据题设列出不等式；例 2是根据0x 的范围将等式转化为不等式，从而求解．这种利用、x y 的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法． 策略二：利用曲线的几何性质 例已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2 Ｃ． Ｄ． 【解析】Ｃ 由题，M 的轨迹为以焦距为直径的圆，由M 总在椭圆内部，知： 2222212c b c b a c e >时M 点有4个在椭圆上；c b =时M 有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点． 例4已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ Ｄ．(2,)+∞
圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到c a 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221a b a c e -==；双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22 22100x y a b a b -=＞，＞相交于 D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率. 解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得
13222121==--=a b x x y y k BD ，解得322 =a b ，所以231122=+=+=a b e . 方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22 a b 的值，从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+， 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22 a b 的值，最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率2 1 -=k ，求椭圆的离心率. 3.（母题）已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21， 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ，比较可得32=a b ，则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案：设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠
高考数学专题——离心率的值或范围问题
【高考数学专题】 求离心率的值或取值范围 一．方法综述 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： ①根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义椭圆2222 222e ===1()c a b b a a a -- 双曲线2222 222e ===1()c a b b a a a ++直接求解； ②由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于椭圆222b a c ＝－、双曲线 222b c a ＝－消去b ，构造,a c 的齐次式，求出e ； ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解； ④根据圆锥曲线的统一定义求解． 解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标 0a x a -≤≤等． 二．解题策略 类型一 直接求出c a ,或求出a 与b 的比值，以求解e 【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线 的右焦点为抛物线 的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为 ，若点在该双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．
【答案】B 【解析】 设，则，所以抛物线的方程为. 因为点到双曲线的一条渐近线的距离为， 不妨设这条渐近线的方程为，即，则， 又点在双曲线上，所以，解得， 故，即. 故选B. 【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围． 【举一反三】 1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 因为抛物线，所以，准线为， 将代入得，不妨设为右支上的点， 则， 因为是等边三角形，则，即，
椭圆离心率求法总结
椭圆离心率的解法 一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜ ｜PD ｜② e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、 F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三
角形的两边，则椭圆的离心率e ？ 思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正 三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一 点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜= b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b a 又 ∵b= a2-c2 ∴a2=5c2 e= 55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ ABF=90°，求e? 解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5 2 (舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个 顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e= 5-1 2 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的
求离心率的取值范围方法总结
求离心率的取值范围 求离心率的取值范围 椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离 心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P， 使，求离心率e的取值范围。 例2．已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA， 求椭圆的离心率e的取值范围。二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例1．已知 12 、 F F 是椭圆的两个焦点，满足的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ． 1 (0,] 2 Ｃ． Ｄ． 例2．直线L 过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 例3. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。 例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )． A ． 2 ? ? ?? B ． 2 ? ?? ?? C ． ? +∞?? ?? D ． ? +∞?? ?? 例5.过双曲线的左焦点 1 F且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得0 90 ACB ∠=，双曲线的离心率e的取值范围为_______________
离心率的五种求法
离心率的五种求法 椭圆的离心率10<
离心率的取值范围的求法
离心率的取值范围的求法 舒云水 求椭圆、双曲线的离心率的取值范围，是高考的一个热点，也是一个难点，难在关于 a 、b 、c 的不等式的建立，下面从三个方面谈不等式的建立 一、 根据已知条件建立不等式 例1 已知1F 、2F 分别是双曲线22 221(0x y a a b -=>，0)b >的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ?为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围 ﹒ 解析：由已知条件易求21b AF a =，2 212112tan 22b AF b a AF F F F c ac ∠===，由于2ABF ?为锐角三角形，故只需2AF B ∠为锐角即可，则有 2 21tan 2b AF F ac ∠=tan 451?<=，整理得：22b ac <，所以2220c a ac --<，两边同时除以2a 得：2120e e --< ，求得：11e -<<(1,)e ∈+∞， 故(1,1e ∈+﹒ 点评：根据2AF B ∠为锐角知21AF F ∠45?<，通过tan 21AF F ∠45?<＝１建立a 、b 、c 的不等式，本题不等式的建立思路比较明确自然，难度不大﹒ 二、 根据相关线段的取值范围建立不等式 例2 已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的左、右焦点分别为1F
（－ｃ,0)，2(,0)F c ﹒若双曲线上存在点P 使 c a F PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ﹒ 解析：依题意及正弦定理得112 <=c a PF PF ，因此点P 位于双曲线的右支上，且点P 不与21F F 共线，所以有 c a a PF PF =+222，即c a PF a =+122﹒ 又a c a c a PF a -<-=2122，得2)1(2<-e ，即1221+<<-e ﹒ 又),1(+∞∈e ，故)21,1(+∈e ﹒ 点评：本题难度比较大，不等式的建立比较隐蔽，利用隐含条件P 建立不等式是解决本题的关键 三、 根据变量x ，y 的取值范围建立不等式 例3. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为1F （－ｃ,0)，2(,0)F c ，M 是椭圆上一点，满足021=?F F ，则离心率e 的取值范围是 . 解析：设点M 的坐标为),(y x ，则),(1y c x F +=，),(2y c x F -=﹒由021=?F F ，得0222=-+c y x ，即222x c y -=﹒ （※） 又由点M 在椭圆上得??? ? ??-=22221a x b y ，代入（※）得222221x c a x b -=???? ??-，所以??? ? ??-=22 222c a a x ﹒ ∵220a x ≤≤，∴222220a c a a ≤??? ? ??-≤，即12022≤-≤c a ，11202≤-≤e ，解得122≤≤e ，又∵10< 离心率的五种求法 Revised at 2 pm on December 25, 2020. 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 求离心率的范围问题 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1.利用曲线的范围建立不等关系。 2.利用线段长度的大小建立不等关系。F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意 一点，PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]；F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点， |PF 1|≥c －a . 3.利用角度长度的大小建立不等关系。 4.利用题目不等关系建立不等关系。 5. 利用判别式建立不等关系。 6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。 7.利用基本不等式，建立不等关系。 二、函数法： 1. 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2.通过确定函数的定义域； 3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围. 练习 利用曲线的范围建立不等关系 1.F 1，F 2是椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，求椭圆的离心率的 取值范围. 2.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OPA = , 则椭圆离心率的范 围是_________. 3.设12,F F 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得 212||||2PF PF c ?=,则椭圆的离心率的最小值为（ ） A ． 12 B ．1 3 C ．2 D ．3 2 π 圆锥曲线中的离心率问题 离心率两大考点：求值、求范围 求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 2. 几何法 3. 与其它知识点结合 求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解. 2. 运用数形结合建立a c 、不等关系求解 3. 利用曲线的范围，建立不等关系 4. 运用函数思想求解离心率 5. 运用判别式建立不等关系求解离心率 一、求离心率的值 1. 利用a与c的关系式（或齐次式） 题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为． 题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 6 2 题3：设双曲线()222200x y a b a b －＝1＞，＞的渐近线与抛物线2 1y ＝x ＋相切，则该双曲线的 离心率等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6 解：由题双曲线()22 2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程 整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即 5522=?=e a c ，故选择C 。 题4：(2009浙江理) 过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该 直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12 AB BC u u u r u u u r =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 2. 几何法 题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是 11211,2,3,31MF F F MF e ====- 圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =； 圆锥曲线中离心率及其范围 题型一 求离心率 1．椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ ） A ．312+ B ．31- C ．4(23)- D ．324 + 2过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若 12AB BC = ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 3过椭圆2222 1x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 2 B ．3 3 C ．12 D ．13 4双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3 C ．2 D ．33 5若双曲线122 22=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ） （A ）3 （B ）5 （C ） 3 （D ）5 6在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） 椭圆离心率的三种求法: (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2, b2,求a, c的值，利用公式e= ￡或 a 利用e ⑵ 求椭圆的离心率时，若不能直接求得§的值，通常由已知寻求a, b, c的关系式，再与a2= b2+c2组成方程组，消去b得只含a, c的方程，再化成关于e的方程求解. (3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a, b, c的不等式，消去 b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围. 1.若椭圆a^+ / 1(a> b>0)的左、右焦点分别为F l, F2，线段F1F2被点；,0分成 5:3的两段，则此椭圆的离心率为() c+ ? .厂 解析依题意,得------ =3，.，? c= 2b, a=V b2+ c2 = gb, .. e=~j^ = ^^. 答 V5b c-2 a=\b2+ c2 = c= 2b, 点评本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率 2 2 2.设P是椭圆§+合=1(a>b> 0)上的一点，F i, F2是其左，右焦点.已知Z F i PF =60°,求椭圆离心率的取值范围. 分析本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解方法一根据椭圆的定义，有| PF i| +| PF| = 2a.① 在^ F i PF中，由余弦定理，得 。_ |PF i|2+|PF|2—|吓|21 C0S 60—2|PR||PR| — 2， 即|PE|2+ |P8|2—4C2= | PF|| PF|.② ①式平方，得|PF|2+|PFf+ 2|PF|| PF| = 4a2.③ 由②③，得| PR|| PF = 4b■.④ 3 由①和④运用基本不等式，得 | PF|| PR| < | PFl | 2 |PF2 | ，即4b< a2. C 1 2 2 2 4, 2 2、 2 由b = a —C,得3（a —C） < a,解得e= a> 2.离心率的五种求法
求离心率的范围问题整理分类
离心率的求法情况总结[精]
圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
离心率及其范围题型归纳
椭圆离心率的三种求法中点弦方程三种求法