椭圆离心率题型-总结
的离心率;
【答案】2
4、（ 06山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为
,2，焦点到相应准线距离为 1,则该椭圆的离心
率为 _________ 。
占=1 （ a > b > 0）的左、右顶点分别是 AB 左、右焦点分别是 F 1, F 2。若|AF | , | F 1F 2I , | RB|
利用椭圆及等比数列的性质解题
.由椭圆的性质可知：
AF 」=a —c , RF 2 =2c , F 1B =
椭圆离心率题型:
b 2 2
a
一）求离心率
1）用定义（求出 a,c
2
x
1、已知椭圆C ：
a
或找到c/a ）求离心率 2
y 2
= 1,（a b 0）的两个焦点分别为 F i （-1,0）, F 2（1,0）,且椭圆C 经过点
【答案】解：2a =PF i + PF 2 =
4
1^ 1 2
3
3
所以，a =::貶.
c
又由已知，c = 1,所以椭圆C 的离心率e 二上
a
-2 y 2
3a
2、（12）
设F 1F 2是椭圆E : —^ 2
~ 1（a b 0）的左、右焦点，P 为直线-
上一
点，
丄F 2PF 1是底
角为30；的等腰三角形，则 E 的离心率为（
）【解析】选C
(B)
I
(C)-
4
(D)-
.
A
解：.■: F 2PF 1是底角为30的等腰三角形
3 c
n PF 2 = F 2F 1 = 2(_ a — c) = 2c= e = _
2 a
3、 （ 12辽理）已知点（2，3）在双曲线 C ：
2 2
計i 0，?）上，C 的焦距为4，
则它的离心率为
2b 2
［解法一］:通径：仝- a
=、2①
根据焦准距有 椭圆的第二定义
［解法二］：（老手的方法）e =
2/2
| AD| 1
|AF2|_ X 2 5、（江西）椭圆飞
a 2 b
成等比数列，则此椭圆的离心率为 .13.辽
5
=a c .又已知AF 1 ,
b 2
一 =1②；①式除以②式，得
c
F 1F 2 , F i B 成等比数列，故（a —c ）（a+c ） =（2c ）2
，即 a 2
—c 2
=4c 2
，则 a 2
=5c 2
.故 ^-=—.即椭圆的离
a 5
心率为上5
.
5
2）、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。 ma 2
+ nac+ pc 2
= 0 =A m + " ■- + p （E ）2
= 0 m
a a
1、（ 10广文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
藝：设长鞘为加，遇轴为2几焦距为k,则2
-F a + e = (u+c);
= 45:
=4(d -c 2
)
整垂碍：5c : + 2ac~3a* =0 ? 药％: + k-d 二0 no =【或* =-1 洁丿，选 B
2 2
2、（ 13江苏））在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C 的标准方程为 笃?爲=1（a . 0,b 0）,右焦点为F ,右准线为丨， a b
短轴的一个端点为 B ,设原点到直线BF 的距离为d 1, F 到丨的距离为d 2,若d^ >：'6d 1,则椭圆C 的离心率为
A. 4
B. C. D.
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3、（ 05国3）设椭圆的两个焦点分别为 F 1.F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
角形，则椭圆的离心率为（）
P,若三角形F 1PF 2为等腰直角三
［解法一］解：由于 F 1PF 2为等腰直角三角形，故有 RF 2=PF 2，得2ac 二b 2=a 2-c 2即e 「2e-1 = 0,解得, 舍去 e =—1
因此 e =—1 ?
离心率的定义c
9c 椭圆的定义
［解法二］解：e
c
二刍 二
a 2a
1）、直接根据题意建立 a, c 不等关系求解? w.w .w .1、（ 07北京）椭圆
X 2 y 2 — 2 =1（a b 0）的焦点为F 1，F 2，两条准线与
X 轴的交点分别为 M ， N ，若
a b
2c
_______ 1 | PF 1 | ' | PF 2 | 2 12c 2c 2 1
）、求离心率的范围（关键是建立离心率相关不等式）
2a
弋2
MN E2RF2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）解析 由题意得 一兰27c ??? e 兰—— 故选D.
c
2
椭圆知识点总结及经典习题.docx
圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1),
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练 一．选择题（共29小题） 1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（） A． B． C． D． 3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（） A． B． C． D． 4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（） A． B． C． D． 6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（） A． B． C． D． 7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值围是（） A． B．C．D． 8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（） A． B．2﹣C．2（2﹣） D． 9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值围是（） A． B．C．D．或 10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（） A． B． C． D． 11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值围是（） A．（0，）B．（0，）C． D． 12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（） A． B． C． D．
椭圆经典练习题两套(带答案)
椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1
解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )．
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22?? ? ??? ，,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的 坐标为0,3? - ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 (1）求圆O 的方程; （2)求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题:教材P .３7 A 组.T3 T4 Ｂ组 T2 练习 1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ,则动点P 的轨迹方程是____ 练习２.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为＿＿_____＿＿__ 总结：求点轨迹方程的步骤： (1）建立直角坐标系 （2）设点:将所求点坐标设为(),x y ,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
（3）列式:从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （４）化简:将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设． (1)若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()y y k x x ； (２）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=； （３）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ,且水平线不满足条件（斜率为０),可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题:圆C 的方程为：.0222=-+y x (1)若直线过点）（4,0且与圆C 相交于Ａ，B 两点,且2=AB ,求直线方程． (2）若直线过点） （3,1且与圆C 相切,求直线方程. (3)若直线过点） （0,4且与圆C 相切,求直线方程． 附加:4)4(3:22 =-+-y x C ）（ ． 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆
最新求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离心率范围的常见题型解析 解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e 的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1已知椭圆22 22 1(0)x y a b a b +=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂 直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围. 例2 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在 一点P 使 1221 sin sin a c PF F PF F =,则该椭圆的离心率的取值范围为 ( ) 21,1-.
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足 的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是（ ） Ａ．(0,1) Ｂ． 1(0,]2 Ｃ．2 (0, )2 Ｄ．2[,1)2 x y O F 1 F 2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点B 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的一个端点，另两个顶点也在 椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=?OB OA （O 为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.求椭圆离心率的范围； 解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mncos 60°＝(m ＋n)2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·? ?? ??m ＋n 22 ＝4a 2－3a 2＝a 2 x y O A B F M C
高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
椭圆 经典题型练习 (精选题) 含答案
椭圆经典题型练习 一．选择题（共13小题） 1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（） A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且 ∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（） A．B．C．6D．3 4．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（） A．B．C．D． 5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l （l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭 圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D． 7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上 的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（） A．B．C．D． 8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x 轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B 两点，则|AF|+|BF|的值是（） A．2B．C．4D． 10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（） A．（2，4）B．C．（6，8）D．（8，12）11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异 于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（） A．B．C．D．
椭圆常见题型与典型方法归纳.
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆离心率经典题型 使用
椭圆离心率专项练习 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 222221a b a b a a c a c e -=-= == 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.若椭圆中心在原点，且焦点为)03()0,1(1， 顶点A F ,则椭圆的离心率为 3.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率是 4.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离 心率为=e 5.已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当 mn 取得最小值时，椭圆122 22=+n y m x 的 的离心率为 6.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为=e 7.P 是椭圆2 2 a x +2 2b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已 知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e 8.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 9.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点 F 到直线AB 的距离等于21 ∣AF∣，则椭圆的离心率 10.椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ，若四边形
椭圆离心率题型
椭圆离心率题型： 2 21c b e a a ==- 一）求离心率 1）用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率 1、已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41 (,)33 P .求椭圆C 的离心率; 【答案】解:2 2 2 2 124141*********a PF PF ???????? =+=++-+= ? ? ? ????????? 所以,2a = 又由已知,1c =, 所以椭圆C 的离心率2 22 c e a = == 2、（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点， ?21F PF 是底 角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）【解析】选C () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 解： ?21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224 c PF F F a c c e a ?==-=?= = 3、（12辽理）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ． 【答案】2 4、（0621，则该椭圆的离心率为 。 [解法一]：通径：222b a = 根据焦准距有21b c =②；①式除以②式，得2222b c a b =，于是2 2 e = [解法二]：（老手的方法）2||222 ||12 AF e AD = == 椭圆的第二定义 5、（江西）椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B | 成等比数列，则此椭圆的离心率为5 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，
求椭圆离心率范围的常见题型及解析(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 求椭圆离心率范围的常见题型解析 解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式. 一、利用曲线的范围，建立不等关系 例1已知椭圆22 221(0) x y a b a b +=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂 直于PA，求椭圆的离心率e的取值 范围.
例2已知椭圆 22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 12(,0),(,0)F c F c -,若椭圆上存在一点P 使 1221 sin sin a c PF F PF F = ,则该椭圆 的离心率的取值范围为 ( )21,1 -. 二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足 的点P 总在
椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（） Ａ．(0,1)Ｂ．1 (0,] 2Ｃ ． Ｄ．,1) 2
三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系 例4已知ABC ?的顶点 B 为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 短轴的一个端 点，另两个顶点也在椭圆上，若ABC ?的重心恰好为椭圆 的一个焦点F )0,(c ,求椭圆离心率的范围. 四、利用函数的值域，建立不等关系 例5椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点， 且0=?OB OA （O 为原点），若椭圆长轴长的取值范围为 []6,5，求椭圆离心率的范围. 五、利用均值不等式，建立不等关系. 例6 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2 ＝60°.求椭圆离心率的范围； 解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， x y O A B F M C
椭圆经典编辑精讲例题详细规范标准答案
椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、 题面：集合}12|),{(}4|),{(2 2 2 2 =+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）. A.A B A =I B.A B ? C.B A ? D.A ∩B = ? 答案：D. 变式一 题面： 设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( ) A ．在线段MN 的内部 B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部 C ．点N 或点M D ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解： 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 变式二 题面： 若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4 没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋ y 2 4 ＝1的交点个数为( ) A ．至多1个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 答案：B. 详解： 由题意得 4 m 2＋n 2 ＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 2 4＝1的内部． 题2、
题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。 若容器底面与桌面成角为60o ，则这个椭圆的离心率是 。 答案： 解题步骤： 由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ， 即：2,,a r b r c ===， 2 e =. 变式一 题面： 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是 以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 3－1 2 B.5－1 2 C.1＋54 D. 3＋1 4 答案：B. 详解： 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5 2. 又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－1 2 . 变式二 题面： 60o 4r 2r
椭圆知识点及经典例题汇总
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121 F F a PF PF >=+ ,这个动 点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数?? ? ?? ?==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 2 2 b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、 或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴 的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=，
41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+ y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF - =-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
椭圆离心率经典题型
椭圆离心率经典习题 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =， 22222221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(2 1F F ,则椭圆的离心率为 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过 C 、 D 两点的椭圆的离心率。
5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点 为P 满足2 1PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e 。 6..已知)0.0(121>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的的离心率为 7.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭 圆离心率的取值范围是1????? 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为
=e 22 。 9.P 是椭圆22 a x +2 2b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦 点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆 的离心率为=e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦 点，P 是椭圆上一点，若 75,151 221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的 离心率为 36 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦 点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为22 12.设椭圆2222b y a x +=1（a ＞b ＞0） 的右焦点为F 1，右准线为
高中数学-椭圆经典练习题-配答案解析
椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. 22143x y += B. 22134x y += C. 2214x y += D. 22 14 y x += ３.与椭圆9x 2+4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( B ) A 185 801452012520120 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x ４．椭圆2 2 55x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ A ） A. 1- B. 1 C. 5 D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. 12 B. C. D. 2 ６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. 221169x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 22 1254 x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A 16x 2＋9y 2＝1 B 16x 2＋12y 2＝1 C 4x 2＋3y 2＝1 D 3x 2＋4 y 2＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 22 1259 x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 2 3
椭圆离心率题型-总结
的离心率; 【答案】2 4、（ 06山东）在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ,2，焦点到相应准线距离为 1,则该椭圆的离心 率为 _________ 。 占=1 （ a > b > 0）的左、右顶点分别是 AB 左、右焦点分别是 F 1, F 2。若|AF | , | F 1F 2I , | RB| 利用椭圆及等比数列的性质解题 .由椭圆的性质可知： AF 」=a —c , RF 2 =2c , F 1B = 椭圆离心率题型: b 2 2 a 一）求离心率 1）用定义（求出 a,c 2 x 1、已知椭圆C ： a 或找到c/a ）求离心率 2 y 2 = 1,（a b 0）的两个焦点分别为 F i （-1,0）, F 2（1,0）,且椭圆C 经过点 【答案】解：2a =PF i + PF 2 = 4 1^ 1 2 3 3 所以，a =::貶. c 又由已知，c = 1,所以椭圆C 的离心率e 二上 a -2 y 2 3a 2、（12） 设F 1F 2是椭圆E : —^ 2 ~ 1（a b 0）的左、右焦点，P 为直线- 上一 点， 丄F 2PF 1是底 角为30；的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ）【解析】选C (B) I (C)- 4 (D)- . A 解：.■: F 2PF 1是底角为30的等腰三角形 3 c n PF 2 = F 2F 1 = 2(_ a — c) = 2c= e = _ 2 a 3、 （ 12辽理）已知点（2，3）在双曲线 C ： 2 2 計i 0，?）上，C 的焦距为4， 则它的离心率为 2b 2 ［解法一］:通径：仝- a =、2① 根据焦准距有 椭圆的第二定义 ［解法二］：（老手的方法）e = 2/2 | AD| 1 |AF2|_ X 2 5、（江西）椭圆飞 a 2 b 成等比数列，则此椭圆的离心率为 .13.辽 5 =a c .又已知AF 1 , b 2 一 =1②；①式除以②式，得 c
求椭圆的离心率习题专题
圆锥曲线的离心率问题的求解 离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数． 椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据； 双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据； 而抛物线的离心率是1. 圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型. 求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法: １.利用曲线定义。圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题． ２.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题． ３.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题． ４.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径． 5.联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解． 6.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解． 7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解 8.构造关于e 的方程求解. 9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。 圆锥曲线的离心率练习题 1、已知椭圆的方程22 221(0)x y a b a b +=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。 2、已知椭圆的方程22 221(0)x y a b a b +=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123F PF π ∠=，求椭圆离心率的取值范围。
(完整)椭圆经典基础题型(适合初学者)
椭圆经典基础题型（适合初学者） 一、选择题： 1、已知F 1, F 2是定点，| F 1F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）直线（C ）圆（D ）线段2、过椭圆12422y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构 成2ABF ，那么2ABF 的周长是（） A. 22 B. 2 C. 2 D. 1 3、方程m y x 16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 关于椭圆离心率 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭 圆上存在点P ，使∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由∠=?F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥?≥=-2 2 2 2 演练 一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e 。 在椭圆中，a c e =，22 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2 2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为 2 2 3.若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ,则椭圆的离心率为 2 1 4.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12 。 5.若椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆 的离心率为= e 2 2 。 6..已知)0.0(12 1>>=+n m n m 则当mn 取得最小值时，椭圆1 2222=+n y m x 的的离心率为23 7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点 分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是 1? ?? ?? 8.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为= e 2 2 。 9.P 是椭圆22a x +22 b y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知 ,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为= e 13- 10.已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若 οο75,151221=∠=∠F PF F PF ， 则椭圆的离心率为 3 6 11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 2 2高中数学椭圆离心率求法专题(供参考)