课时跟踪检测 (四十九) 抛物线
课时跟踪检测(六十) 抛物线
课时跟踪检测（六十） 抛物线A 级——保大分专练1．(2018·永州三模)已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A ．92B ．32C ．118D ．16解析：选D 由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D. 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43y B ．y 2＝92x 或x 2＝43y C ．y 2＝92x 或x 2＝－43y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y 解析：选A 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 3．(2019·龙岩质检)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.4．(2018·齐齐哈尔八中三模)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2C ．4D ．±4解析：选D 由y ＝x 28，得抛物线的准线为y ＝－2，由抛物线的几何意义可知，|AF |＝2y 0＝2＋y 0，得y 0＝2，所以x 0＝±4，故选D.5．(2019·湖北五校联考)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B.6．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A ．14B ．12C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4. 7．抛物线x 2＝－10y 的焦点在直线2mx ＋my ＋1＝0上，则m ＝________.解析：抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫0，－52，代入直线方程2mx ＋my ＋1＝0，可得m ＝25. 答案：258．(2019·沈阳质检)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，∵点A 在抛物线y 2＝3x 上，∴14a 2＝3×32a ，∴a ＝6 3. 答案：6 39．(2018·广州一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2. 答案：－2 210．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：211．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∵F (1,0)，∴k FA ＝43， ∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34. ∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2. 由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.B 级——创高分自选1．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与准线l 相切于点Q ，Q 点的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴不同于F 的另一个交点，则p ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F⎝⎛⎭⎫p 2，0，由Q 点的纵坐标为3p 知M 点的纵坐标为3p ，则M 点的横坐标x ＝3p 2，即M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p .由题意知点M 是线段EF 的垂直平分线上的点，3p 2＝5－p 22＋p 2，解得p ＝2.故选B. 2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |) ＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0，∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0， 整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2. 答案：23．(2019·洛阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2，∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.其中A ⎝⎛⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p . 又x 2＝2py ，∴y ′＝x p .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．。
课时跟踪检测(五十) 抛物线
课时跟踪检测(五十) 抛物线 (分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.142．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12D.143．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 4．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．325．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.7．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值； (2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线F A ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x－3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(2－2k )，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k 2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x .答案：y ＝x6．解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p2， 准线l 为y ＝－p 2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2， 所以|AB |＝12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p12＋p 2＝32，解得p ＝6. 答案：67．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0， 从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4.直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)，即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为F A ―→·FB ―→＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0， 7x ＋3y －3＝0.设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )， 则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为 M ⎝⎛⎭⎫0，19.8．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎨⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)， BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为 y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)． 故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)·(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明：设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2.∴直线l过定点(2,0)．∴若OA·OB＝－4，则直线l必过一定点(2,0)．2．解：(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x＞0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝(x0－1)2＋y20，则|TS|＝2r2－d2＝2y20－2x0＋1，因为点M在曲线C上，所以x0＝y20，2所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，14m ，线段MF 的中点 N ⎝⎛⎭⎫1，18m －14在抛物线C 上， ∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0， ∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k (x －2)，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0， Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0， ∴k ＜2－62或k ＞2＋62由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 1x 24－1(x 1＋x 2)x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列， 此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
高中数学(文)统考版 复习 课时作业 49抛物线
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.故选C.答案：C5．[2020·云南昆明调研]设点M 为抛物线C ：y 2＝4x 的准线上一点(不同于准线与x 轴的交点)，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，设MA ，MF ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1＋k 3k 2的值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：不妨设点A 在x 轴上方，如图，由题意知，抛物线C 的准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．将x ＝1代入抛物线C 的方程得y ＝±2，所以A (1,2)，B (1，－2)．设点M 的坐标为(－1，y 0)，则k 1＝2－y 02，k 2＝－y 02，k 3＝－2－y 02，所以k 1＋k 3k 2＝2.故选A.答案：A 二、填空题6．[2020·长沙模拟]已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (3,0)，P 1，P 2，…，P 2017是抛物线C 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x 2 017，若x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝2 017，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 017F |＝________.解析：因为抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (3,0)，所以抛物线C 的方程为y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－3.由抛物线的定义可得|P i F |＝x i ＋3(i ＝1,2，…，2 017)，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 2 017F |＝(x 1＋3)＋(x 2＋3)＋…＋(x 2 017＋3)＝x 1＋x 2＋…＋x 2 017＋3×2 017＝8 068.答案：8 0687．[2020·宝安，潮阳，桂城八校联考]过抛物线y2＝4x的焦点F 的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：解法一由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为22，即A(2,22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)．由⎩⎨⎧y＝22(x－1)，y2＝4x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝－2或⎩⎨⎧x＝2，y＝2 2.所以点B的横坐标为12，所以|BF|＝32.解法二如图，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(x A，y A)，B(x B，y B)，则由抛物线的定义知x A＋1＝2＋3cosθ＝3，解得cosθ＝13.又|BF|＝x B＋1＝1－|BF|cosθ＋1＝2－13|BF|，所以|BF|＝32.答案：328．[2019·河北六校模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的方程为________．解析：设圆的圆心为M(x M，y M)，根据题意可知圆心M在抛物线C上．又圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF|＝x M＋p2＝6，即x M＝6－p2，又由题意可知x M＝p4，∴p4＝6－p2，解得p＝8，∴抛物线坐标为(2,2)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4，又点A 在抛物线C 上，代入抛物线C的方程可得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选B.答案：B12．[2020·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|NR |＝( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3 解析：如图，连接MF ，QF ，设准线l 与x 轴交于H ，∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，∴|FH |＝2，|PF |＝|PQ |，∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，∴MN ∥QF ，∵PQ 垂直l 于点Q ，∴PQ ∥OR ，∵|PQ |＝|PF |，∠NFR ＝60°，∴△PQF 为等边三角形，∴MF ⊥PQ ，∴F 为HR 的中点，∴|FR |＝|FH |＝2，∴|NR |＝2.故选A.答案：A13．[2020·郑州入学测试]抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点A (6,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长的最小值为________．解析：由题意得抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.∵|AF |＝(6－2)2＋32＝5，∴求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值．设点P在准线上的射影为D，如图，连接PD，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|，∴|P A|＋|PF|的最小值，即|P A|＋|PD|的最小值．根据平面几何的知识，可得当D，P，A三点共线时|P A|＋|PD|取得最小值，∴|P A|＋|PF|的最小值为x A－(－2)＝8，∴△P AF周长的最小值为8＋5＝13.答案：13。
新教材高考数学一轮复习课时质量评价49抛物线含解析新人教A版
课时质量评价(四十九)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．(2020·银川一中高三模拟)若抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516B 〖解 析〗由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516. 2．(多选题)已知点F (0,2)为圆锥曲线Ω的焦点，则Ω的方程可能为(BC) A ．y 2＝8x B ．x 2＝8yC ．x 2m －4＋y 2m ＝1(0＜m ＜4)D ．x 24－m －y 2m＝1(0＜m ＜4)3．(2020·湖北十堰第二中学二诊)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 1与抛物线C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线l 2与x 轴交于点P .若|PF |＝6，则|MN |＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16B 〖解 析〗设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由题意知直线MN ：y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2.设线段MN 的中点为A (x 0，y 0)，则y 1＋y 22＝p ＝y 0，代入y ＝x －p 2中，解得x 0＝32p ，故直线l 2：y －p ＝－⎝⎛⎭⎫x －3p 2.令y ＝0，得x ＝5p2，故|PF |＝2p ＝6，则y 1＋y 2＝6，y 1y 2＝－9，则|MN |＝2|y 1－y 2|＝2×62＝12.4．(2020·绵阳市高三三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过抛物线的焦点作x 轴的垂线，与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标为(－2,0)，且△ABM 为直角三角形，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4xB 〖解 析〗设点A 位于第一象限，直线AB 的方程为x ＝p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝p 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝±p ，所以点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p .因为△ABM 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性可得出|AM |＝|BM |，所以直线AM 的斜率为1，即k AM ＝p p2＋2＝1，解得p ＝4.因此，以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x .5．(多选题)(2020·济宁市高三一模)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点．若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则( )A ．抛物线C 的方程是y 2＝－8xB ．抛物线的准线方程是y ＝2C ．直线MN 的方程是x －y ＋2＝0D ．△MON 的面积是82AD 〖解 析〗设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16.又MN 的中点到y 轴的距离为6，所以－x 1＋x 22＝6，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，故A 项正确． 抛物线C 的准线方程是x ＝2，故B 项错误．设直线l 的方程是x ＝my －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－8x ，x ＝my －2，消去x 得y 2＋8my －16＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16， 所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1. 故直线l 的方程是x －y ＋2＝0或x ＋y ＋2＝0，故C 项错误． S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝64＋64＝82，故D 项正确．6．(2020·池州市高三一模)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，P 是抛物线C 在x 轴上方一点，以P 为圆心，3为半径的圆过点F ，且被y 轴截得的弦长为25，则抛物线C的方程为____________．y 2＝4x 〖解 析〗设P (x 0，y 0)，由抛物线的定义知|PF |＝p2＋x 0＝3，则点P 到y 轴的距离为x 0＝3－p2>0，由垂径定理知，5＋⎝⎛⎭⎫3－p 22＝9，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 7．(2020·宜宾高三月考)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.6 〖解 析〗如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ．由抛物线的解析式可得准线方程为x ＝－2，则|AN |＝2，|FF ′|＝4.在直角梯形ANFF ′中，|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝3.由抛物线的定义有|MF |＝|MB |＝3.结合题意，有|MN |＝|MF |＝3，故|FN |＝|FM |＋|NM |＝3＋3＝6.8．(2020·西安中学高三模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 斜率为3的直线l ′与抛物线C 交于点M (M 在x 轴的上方)，过M 作MN ⊥l 于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则|NQ ||QF |＝________.2 〖解 析〗由抛物线定义可得|MF |＝|MN |，又斜率为3的直线l ′倾斜角为π3，MN ⊥l ，所以∠NMF ＝π3，即△MNF 为正三角形．因此NF 的倾斜角为2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －p 2，解得x ＝p 6或x ＝3p 2(舍)，即x Q ＝p 6，|NQ ||QF |＝p 6－⎝⎛⎭⎫－p 2p 2－p6＝2. 9．设抛物线抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，M (p ，p －1)是C 上的点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且|AF ||BF |＝13，求k 的值． 解：(1)因为M (p ，p －1)是C 上的点， 所以p 2＝2p (p －1)． 因为p >0，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝16k 2＋32>0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－8.由抛物线的定义知，|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，则|AF ||BF |＝(y 1＋1)·(y 2＋1)＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝4k 2＋9＝13，解得k ＝±1.B 组 新高考培优练10．(2020·邯郸一模)抛物线y 2＝8x 的焦点为F .设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A ．π3 B ．3π4 C ．5π6 D ．2π3D 〖解 析〗设|AF |＝m ，|BF |＝n . 因为|AF |＋|BF |＝233|AB |， 所以233|AB |≥2mn ，所以mn ≤13|AB |2，当且仅当m ＝n 时等号成立．在△AFB 中，由余弦定理得 cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn＝(m ＋n )2－2mn －|AB |22mn＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，所以∠AFB 的最大值为2π3.11．(2020·福建质量检测)设抛物线E ：y 2＝6x 的弦AB 过焦点F ，|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A ′，B ′，则四边形AA ′B ′B 的面积等于( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．323C 〖解 析〗(方法一)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以可设直线AB 的方程x ＝my ＋32.代入E 的方程，整理得y 2－6my －9＝0，故y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－9，不妨设y 1>y 2.因为|AF |＝3|BF |，所以y 1＝－3y 2，解得y 1＝33，y 2＝－3，m ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫92，33，B ⎝⎛⎭⎫12，－3.故|AA ′|＝92＋32＝6，|BB ′|＝12＋32＝2，|A ′B ′|＝|y 1－y 2|＝43，故四边形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法二)设弦AB 与x 轴的夹角为θ，则有|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ＝31＋cos θ，所以31－cos θ＝3×31＋cos θ，所以cos θ＝12，故θ＝60°.故|AA ′|＝|AF |＝6，|BB ′|＝|BF |＝2，|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝43，所直角梯形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.(方法三)如图所示，作BG ⊥AA ′，垂足为G ，连接A ′F .设|BF |＝m ，则|AF |＝3m . 由抛物线的定义知|AA ′|＝3m ， |A ′G |＝|BB ′|＝|BF |＝m ， 所以|AB |＝4m ，|AG |＝2m ， 所以∠BAA ′＝60°，即△F AA ′为正三角形，故∠B ′A ′F ＝30°，故|AA ′|＝|A ′F |＝2p ＝6＝3m ，解得m ＝2.故|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，|A ′B ′|＝43，所以四边形AA ′B ′B 的面积为12(|AA ′|＋|BB ′|)·|A ′B ′|＝12×(6＋2)×43＝16 3.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A ．14B ．2C ．4D ．8B 〖解 析〗过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x .令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1,0)，则p ＝2×1＝2.故选B ．13．已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________．655－1 〖解 析〗如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1.连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1.由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.14．设抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1,1)．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)若B ，C 为抛物线E 上的两个动点(异于点A )，且BA ⊥BC ，求点C 的横坐标的取值范围．解：(1)依题意得F ⎝⎛⎭⎫0，p2，设A (x 0，y 0)． 由AF 的中点坐标为(1,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝x 02，1＝y 0＋p22，即x 0＝2，y 0＝2－p2，所以4＝2p ⎝⎛⎭⎫2－p 2， 得p 2－4p ＋4＝0，解得p ＝2. 所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y . (2)由题意知A (2,1)． 设B ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， 则k BA ＝x 214－1x 1－2＝14(x 1＋2)．因为x 1≠－2，所以k BC ＝－4x 1＋2，所以BC 所在直线方程为y －x 214＝－4x 1＋2·(x －x 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x 214＝－4x 1＋2(x －x 1)，x 2＝4y .因为x ≠x 1，得(x ＋x 1)(x 1＋2)＋16＝0， 即x 21＋(x ＋2)x 1＋2x ＋16＝0. 因为Δ＝(x ＋2)2－4(2x ＋16)≥0， 即x 2－4x －60≥0， 故x ≥10或x ≤－6.经检验，当x ＝－6时，不满足题意．所以点C 的横坐标的取值范围是(－∞，－6)∪〖10，＋∞)．15．(2020·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在抛物线C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C的方程．(2)设直线l与抛物线C交于点P，Q.若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．解：(1)因为点A在抛物线C上，|AO|＝|AF|＝32，所以点A的纵坐标为p4.所以p4＋p2＝32.所以p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)由题意知直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b.因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0.所以0<b≤1.所以S△OPQ＝12b|x1－x2|＝12b(x1＋x2)2－4x1x2＝12b16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0<b≤1)．设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b>0，函数单调递增，所以b＝1时，△OPQ的面积最大，最大值为2.。
课时跟踪检测49讲解
课时跟踪检测(四十九)[高考基础题型得分练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14 B ．12 C ．2 D ．4答案：A解析：由题意知，a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，∴1m ＝4，∴m ＝14.2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306 B ．7 C.306或7 D ．56或7答案：C解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列， 所以可得m 2＝36， 解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1， 所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5. 所以离心率e ＝ca ＝56＝306.当曲线是双曲线时可求得离心率为7.3．[2017·河北邯郸一模]椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案：A解析：设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|且OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴， ∴PF 1⊥x 轴，∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32B ．332C.94 D ．154答案：B解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ. 由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半， 即|AF 2|＝b 2a ＝32， 则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ， 于是F 1P →·F 2A →要取得最大值， 只需F 1P →在F 2A →上的投影值最大， 易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点， 所以F 1P →·F 2A →＝32×|F 1P →|cos θ≤332. 故选B.5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1 D ．x 24＋y 2＝1答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1，故选C.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22 B ．32 C.23 D ．33答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )， 由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴aba 2＋b 2＝63c ， ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.7．[2017·江西师大附中模拟]椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( )A.32B ．233C.932 D ．2327答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， ∴b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1， ∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B.8．[2017·山东青岛模拟]设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为_______．答案：x 216＋y 212＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴m 2－n 2＝4，① e ＝12＝2m ，∴m ＝4， 代入①得，n 2＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案：3－1解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ， 该椭圆的离心率是 e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________． 答案：54解析：sin A ＋sin C sin B＝|BC |＋|BA ||AC |＝2a 2c ＝a c ＝54. 11．[2017·山东三校联考]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．答案：3－1解析：不妨取双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线的方程为y ＝3x ，记椭圆C 的左焦点为F 1，由题意得|OA |＝|OB |＝|OF |＝|OF 1|＝c ， ∴四边形AFBF 1为矩形，△AFO 是正三角形， ∴|AF |＝c ，|AF 1|＝3c ， ∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2c2a ＝|FF 1||AF |＋|AF 1|＝2cc ＋3c ＝3－1.12．已知椭圆的左焦点为F 1，右焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 2的中点，则该椭圆的离心率为________．答案：53解析：因为线段PF 2相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 2的中点M ，则OM ∥PF 1，OM ⊥PF 2，∴PF 1⊥PF 2. 设|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2|OM |＝2b ， 由椭圆的定义，得|PF 2|＝2a －2b . 由勾股定理，得4b 2＋(2a －2b )2＝4c 2， 解得b ＝23a ，c ＝53a ， 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2．[2017·河北唐山模拟]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线 3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12 B ．3－12 C.32 D ．3－1答案：D解析：解法一：设A (m ，n )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c×(－3)＝－1，3×m －c2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1， ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0， ∴e 2＝4±23， ∵0<e <1，∴e ＝3－1.解法二：借助于椭圆的定义，本题还有如下简捷解法： 设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°，∵|FF ′|＝2c ，∴|AF |＝3c ，|AF ′|＝c ，∴e ＝2c 2a ＝|FF ′||AF |＋|AF ′|＝2cc ＋3c＝3－1，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案：3解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.4．[2017·河北保定一模]与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案：x 225＋y 216＝1解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.5．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1,2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，解得a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 可得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， ∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．[2017·湖南四校联考]在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，且过点(0，3)，椭圆C 的长轴的两端点为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的动点，定直线x ＝4与直线P A ，PB 分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆？若存在，求定点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)⎩⎨⎧ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，b 2＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， k 1k 2＝y 20x 20－4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝3×4－x 204x 20－4＝－34， 由l P A ：y ＝k 1(x ＋2)知M (4,6k 1)，由l PB ：y ＝k 2(x －2)知N (4,2k 2)，∴MN 的中点G (4,3k 1＋k 2)，∴以MN 为直径的圆的方程为(x －4)2＋(y －3k 1－k 2)2＝14(6k 1－2k 2)2＝(3k 1－k 2)2，令y ＝0，得x 2－8x ＋16＋9k 21＋6k 1k 2＋k 22＝9k 21－6k 1k 2＋k 22，∴x 2－8x ＋16＋12k 1k 2＝0，∴x 2－8x ＋16＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝0， 即x 2－8x ＋7＝0，解得x ＝7或x ＝1，∴存在定点(1,0)，(7,0)经过以MN 为直径的圆．。
课时跟踪检测(四十六) 抛物线
课时跟踪检测（四十六） 抛物线一、基础练——练手感熟练度1．(2021·武汉模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，所以p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点到准线的最小距离为3，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(3，0)B ．(0，3)C ．(23，0)D ．(0,23)解析：选A 抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点到准线的最小距离为3，就是顶点到焦点的距离是3，即p2＝3，则抛物线的焦点坐标为(3，0)．故选A.3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D 依题意，△OFM 的外接圆半径为6，△OFM 的外接圆圆心应位于OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离为6，即p 4＋p2＝6，解得p ＝8，故选D.4．若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5解析：选A 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 在y 轴上的投影为点E ，则|PF |－|PE |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝8x ，所以抛物线的准线方程为x ＝－2，因为P 在y 轴上的投影为点E ，所以|PE |即为点P 到x ＝－2的距离减去2，因为点P 在该抛物线上，故点P 到x ＝－2的距离等于|PF |，所以|PE |＝|PF |－2，故|PF |－|PE |＝2，故选B.6．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)． 又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． 答案：(1,0)二、综合练——练思维敏锐度1．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8xD ．y 2＝10x解析：选C ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p 2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4，∴⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4. ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.故选A.3．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316 B ．38C.163D ．83解析：选A ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴双曲线中c ＝1，又e ＝2，∴1m＝2，∴m ＝14，∴n ＝34，∴mn ＝316.4．已知点A (0,2)，抛物线C 1：y 2＝ax (a ＞0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为( )A.14 B ．12C ．1D ．4解析：选D 依题意，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，如图，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，|KM |∶|MN |＝1∶5，则|KN |∶|KM |＝2∶1.∵k FN ＝0－2a 4－0＝－8a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，∴8a ＝2，解得a ＝4.5．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP解析：选B 连接PF ，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△AOB 的面积为4，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：选D 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，F (1,0)．当AB ⊥x 轴时，|AB |＝4，S △AOB ＝12|OF |·|AB |＝2，不成立，所以y 2y 224－1＝y 1y 214－1⇒y 1y 2＝－4.由△AOB 的面积为4，得12|y 1－y 2|×1＝4，所以y 21＋y 22＝56，因此|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝y 21＋y 224＋2＝16. 7．(2021年1月新高考八省联考卷)已知抛物线y 2＝2px 上三点A (2,2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0解析：选B 把A (2,2)代入y 2＝2px 得p ＝1， 又直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线， 易得AB 方程为y －2＝3(x －2)， AC 方程为y －2＝－3(x －2)，联立AB 方程和抛物线方程得B ⎝⎛⎭⎫83－43，23－2， 同理：C ⎝⎛⎭⎫83＋43，－23－2，由B ，C 两点坐标可得直线BC 的方程为3x ＋6y ＋4＝0，所以选B.8．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：选ACD ∵以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .9．(2021·海口调研)若抛物线y 2＝8x 上一点P (m ，n )到其焦点的距离为8m ，则m ＝______. 解析：由题意得，抛物线的准线方程为x ＝－2， 又点P (m ，n ) 到焦点的距离为8m ， 所以|PF |＝m ＋2＝8m ，解得m ＝27.答案：2710．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝⎛⎭⎫p 2，0，B ⎝⎛⎭⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴ AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254，BM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254.又∠AMB ＝90°，∴AM ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫x －p 2·⎝⎛⎭⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0， 即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0，∴Δ≥0， 即1502－4×25×(625－4p 2)≥0， 解得p ≥10，或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞)11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝OA ―→＋λOB ―→＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当直线l 的倾斜角为45°时，l 的斜率为1， ∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴l 的方程为y ＝x －p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， ∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝16，p ＝4， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)假设满足题意的点P 存在． 设P (a,0)，由(1)知F (2,0)，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4.Δ＝[－(4k 2＋8)]2－4·k 2·4k 2＝64k 2＋64>0， ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴k PM ＋k PN ＝0，又k PM ＝k (x 1－2)x 1－a ，k PN ＝k (x 2－2)x 2－a，∴k (x 1－2)(x 2－a )＋k (x 2－2)(x 1－a )＝k [2x 1x 2－(a ＋2)(x 1＋x 2)＋4a ]＝－8(a ＋2)k ＝0，∴a ＝－2，此时P (－2,0)．②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可．综上，存在唯一的点P (－2,0)，使直线PM ，PN 关于x 轴对称．三、自选练——练高考区分度1．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经过抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A.7112＋26 B ．9＋10 C.8312＋26 D ．9＋26解析：选D 对于y 2＝4x ，令y ＝1，得x ＝14，即A ⎝⎛⎭⎫14，1，结合抛物线的光学性质，得AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立可得，k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，据此可得x A x B ＝1，∴x B ＝1x A＝4.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254.将x ＝4代入y 2＝4x 可得y ＝±4，故B (4，－4)， ∴|MB |＝(4－3)2＋(－4－1)2＝26.∴△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14＋254＋26＝9＋26.故选D. 2．(多选)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |≥4 B ．|OA |＋|OB |>8C ．若点P (2,2)，则|PA |＋|AF |的最小值是3D ．△OAB 的面积的最小值是2解析：选ACD F (1,0)，如图，不妨设A 在第一象限．(1)若直线l 斜率不存在，则A (1,2)，B (1，－2)，则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝25，S △OAB ＝12×4×1＝2，显然B 错误；(2)若直线l 斜率存在，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，显然k ≠0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2>4，原点O 到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，∴S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×⎝⎛⎭⎫4＋4k 2×|k |k 2＋1＝21＋1k2>2. 综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确．过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|PA |＋|AF |＝|PA |＋|AN |，又P (2,2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|PA |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．故选A 、C 、D.3．(多选)已知过抛物线C ：y 2＝4x 焦点的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆x 2＋y 2－2x ＝0于M ，N 两点，其中P , M 位于第一象限，则1|PM |＋4|QN |的值可能为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选BCD 如图所示，可设||PF ＝m ，||QF ＝n ，则||PM ＝m －1，||QN ＝n －1，∵y 2＝4x ，∴p ＝2，根据抛物线的常用结论，有1m ＋1n ＝2p ＝1，∴m ＋n mn＝1，则m ＋n ＝mn ， ∴1|PM |＋4|QN |＝1m －1＋4n －1＝4m ＋n －5mn －(m ＋n )＋1＝4m ＋n －5， 又∵(4m ＋n )·1＝(4m ＋n )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝4＋4m n ＋n m＋1≥5＋2 4m n ·n m ＝9，得4m ＋n ≥9，∴4m ＋n －5≥4，则1|PM |＋4|QN |的值不可能为3.。
2019年高考数学(文)一轮复习第八章 解析几何跟踪检测 (四十九)抛物线及答案
课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )A．2 B．1 2C．32D．52解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32．3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C 的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |，又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD―→的最大值等于( ) A ．－4 B ．－16 C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB―→＝－(4k 2＋4)． 同FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
课时跟踪检测(四十七) 抛物线
课时跟踪检测（四十七） 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为________．解析：由准线x ＝1知，抛物线方程为：y 2＝－2px (p >0)且p 2＝1，p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x2．(2016·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p 2＝4，即p ＝8.答案：83．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，AB ＝4，则AB 中点C 的横坐标是________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：324．(2016·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p 2＝－1，p ＝2， 所以焦点坐标为()1，0.答案：()1，05．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2.答案：26．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6,23)．所以|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3. 答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是________．解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎫0，116a . 答案：⎝⎛⎭⎫0，116a 2．(2016·天星湖中学检测)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________．解析：设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，或x 2＝2ay (a ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF BF＝________. 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p 24＝0， 解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6， 所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p 6＝3. 答案：34．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则PA ＋PM 的最小值是________．解析：依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)． 则PF ＝PH ，PM ＝PF －12， PM ＋PA ＝PF ＋PA －12， 即求PF ＋PA 的最小值．因为PF ＋PA ≥FA ，又FA ＝ 62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10. 所以PM ＋PA ≥10－12＝192. 答案：1925.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程为________．解析：如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF ＝a ，则BC ＝2a ，由定义得：BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为AF ＝3，AC ＝3＋3a ，所以2AE ＝AC ，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，因为BD ∥FG ，所以1p ＝23， 求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x . 答案：y 2＝3x6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ， 所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：67．(2017·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且PA ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为PA ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6.所以水位下降1米后，水面宽为26米．答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，所以p ＝2. 所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)因为点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又因为F (1,0)，所以k FA ＝43， 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34. 又FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34x ，② 联立①②，解得x ＝85，y ＝45， 所以N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.10．(2017·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2.所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)．又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2.所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4. 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－162.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
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课时跟踪检测 (四十九) 抛物线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D 由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x ，故选D ．2．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B ．12C ．32D ．52解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32． 3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －(－1)＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2． 答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标 1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C ．⎝⎛⎭⎫0，116a D ．⎝⎛⎭⎫116a ，0解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，所以选C ．2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y 解析：选A 由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p ，－p2， ∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2. 得：x 2－5p 3x ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192 C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ． 6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2．又因为点B 在双曲线上， 故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4． 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于( )A ．－4B ．－16C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4． 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16． 当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ． 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。