新苏科版八年级数学上册《勾股定理 小结与思考》学习案
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新苏科版八年级数学上册《勾股定理小结与思考》学习案
预习目标
1.体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题.
2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
知识梳理
例题精讲
例1 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,
DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交BC于点E,连接AE,则
△ACE的周长为( )
A.16 B.15
C.14 D.13
提示:先根据所给条件求出特殊三角形的三边长,再根据线段垂直平分线的性质将已求的线段转化到须求的三角形中.在Rt△ABC中,根据∠BAC=90°,AB=8,AC=6,可求得BC=10.再由DE是AB边的垂直平分线,可知AE=BE.所以△ACE的周长为AC+CE+EA=AC+CE+BE=AC+BC=16.
解答:A.
点评:本题考查了勾股定理和线段的垂直平分线的性质,求解这类题目的关键是根据已知条件寻求条件之间的关系.
例2 如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC的中点,BE与DF、DC分别交于点G、H,∠ABE=∠CBE.求证:
(1)BH=CA.
(2)BG2-GE2=EA2.
提示:(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=
∠DCA,推出DB=CD,根据“ASA”证出△DBH≌△DCA即可.(2)连接CG,
根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据
BE⊥AC和∠ABE=∠CBE,得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可证得结论.
点评:本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质的应用,同时也考查了同学们综合运用定理进行推理的能力,例3某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造,测得两直角边长分别为6m、8 m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边长的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的面积.
提示:本题没有给出图形,要根据题意画出符合题意的图形,发现符合题意的图形有三种,即本题实际上应分三种情况讨论.
点评:对于无图的几何问题,往往需要根据题意画出图形,结合已知条件及图形分析求解,这样便于寻找解题思路.在运用勾股定理时,若已知两边长,则可直接求出第三边长;若只知一边长,则往往先设未知数,再利用列方程求解.
热身练习
1.下列各组数为勾股数的是 ( )
A .6,12,13
B .3,4,7
C .4,7. 5,8.5
D .8,15,16
2.平地上有一架靠墙的梯子,梯子底端离墙5m ,梯子顶端离地面12 m ,则梯子的长度为
( )
A .12m
B .13m
C .14m
D .15 m
3.直角三角形两直角边的长分别为6 cm 和8 cm ,则连接这两条直角边中点的线段长为
( )
A .10 cm
B .3 cm
C .4 cm
D .5 cm
4.若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍,则斜边扩大为原来的 ( )
A .2倍
B .3倍
C .4倍
D .5倍
5.下列说法中,不正确的是 ( )
A .三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B .三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C .三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D .三边长度之比为9:40:41的三角形是直角三角形
6.三角形的三边长满足关系(a +b)2=c 2+2ab ,则这个三角形是 ( )
A .钝角三角形
B .直角三角形
C .锐角三角形
D .等边三角形
7.某直角三角形的周长为30,且一条直角边长为5,则另一条直角边长为 ( )
A .3
B .4
C .12
D .13
8.若三角形的三边长满足a 2=b 2+c 2,则这个三角形是_______三角形,它的最长边是_______.
9.在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =24,CA =7,AB =_______.
10.在△ABC 中,若三条边的长度分别为9,12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是_______.
11.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm ,正方形A 、B 、C 的面积分别是8 cm 2、10 cm 2、14 cm 2,则正方形D 的面积是_______cm 2.
12.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =60 cm ,CA =80 cm ,一只蜗牛从点C 出发,以每分钟20 cm 的速度沿CA →AB →BC 的路径爬行了一周,用了_______分钟.
13.已知x 、y 为正数,且()2
22416x y -+-,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为_______.
14.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上(设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上),小虎应把梯子的底端至多放在距离墙_______米处.
15.如图,将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米,高为8厘米的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为_______厘米.
16.如图,一个机器人从点A出发,拐了几个直角弯后到达点B,根据图中的数据,点A 和点B的距离是_______.
17.一个三角形三条边长的比为5:12:13,且周长为60 cm,求它的面积.
18.如图,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60 m,BC=84 m,AE=100 m,则这条小路的面积是多少?
19.如图,在△ABC中,AB=AC=25,点D在BC上,AD=24,BD=7.AD平分∠BAC吗?请说明理由.
20.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,如图是由弦图变化得到的图形,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若S1+S2+S3=10,求S2的值.