5.2 样本频率的抽样分布与抽样误差
统计学中的抽样误差分布
统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。
抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。
本文将介绍统计学中的抽样误差分布。
一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。
由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。
2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。
样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。
3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。
当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。
二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。
这也是许多统计推断方法的基础。
2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。
3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。
当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。
4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。
当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。
三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。
抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。
2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。
抽样误差的分布决定了p值的计算方式。
3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。
抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。
正态分布参考值抽样误差
数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：
概率与统计抽样频率与误差分析
概率与统计抽样频率与误差分析概率和统计是数学中两个重要的分支，涵盖了许多与随机事件和数据分析相关的理论和方法。
在实际应用中，我们常常需要通过抽样来获取代表性的样本，然后利用统计方法对样本数据进行分析和推断。
而在这个过程中，抽样频率和误差分析是非常关键的概念和技术。
一、概率与统计基础在探讨抽样频率和误差分析之前，我们首先需要了解一些概率与统计的基础知识。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，统计是通过收集和分析数据得出有关总体特征的方法。
二、抽样频率抽样频率是指在多次独立抽样中，出现某一特定事件的频率。
在抽样的过程中，我们从总体中随机选择样本，通过对样本的观察和测量，得到了某种事件发生的频率。
这种频率可以用于对总体特征的推断和估计。
抽样频率的计算需要满足随机抽样和独立性的条件。
随机抽样保证了样本的代表性，使得样本能够反映总体的特征。
而独立性则保证了多次抽样之间的独立性，使得每次抽样的结果相互独立。
三、抽样误差抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于我们无法对整个总体进行观察和测量，而只能通过样本来对总体进行推断，因此样本统计量与总体参数之间必然存在一定的差异。
这种差异即抽样误差。
抽样误差的大小与样本容量、总体变异性以及抽样方法等因素密切相关。
增加样本容量可以减小抽样误差，因为样本容量越大，样本统计量越接近总体参数。
总体变异性越小，抽样误差越小。
而选择恰当的抽样方法也可以减小抽样误差，如使用分层抽样、系统抽样等方法。
四、频率与误差分析频率与误差分析是在探究抽样频率和误差的基础上进行的统计推断和分析。
通过研究抽样频率和误差的分布、置信区间、假设检验等方法，可以对总体特征进行推断和判断。
在频率与误差分析中，我们常常使用参数估计和假设检验等方法。
参数估计是通过样本统计量来估计总体参数的值，如样本均值估计总体均值。
而假设检验是用于检验某一假设是否成立的方法，如检验总体均值是否等于某一特定值。
五、实例应用为了更好地理解概率与统计抽样频率和误差分析的应用，我们举一个实例来说明。
统计学5-2
五、样本平均值之差的分布
5.3 抽样分布
设x1是独立地抽自总体x1 ~N(μ1 ,σ12 )的一个容量为n1的样本， 则有：E(x1 -x 2 )=μ1 -μ 2 σ12 σ 2 2 D(x1 -x 2 )= + , n1 n 2 两个总体均为正态分布，则(x1 -x 2 )也为正态分布， σ12 σ 2 2 其均值为μ1 -μ 2，方差为 + n1 n 2
2 2( X )
n
一、抽样分布的含义 2、抽样分布的分类 样本均值的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布 样本成数的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布
5.3 抽样分布
二、样本均值的分布
1、总体方差 已知时，抽样平均数 x 的抽样分布
2
5.3 抽样分布
从正态总体中抽样得到的 样本平均数的分布服从正态分 布，从非正态总体中抽样得到 的样本平均数的分布呢？
中心极限定理
如果一个随机变量是由大量相互独立 的随机因素的综合影响所造成，而每一个 因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正 态分布. • 该定理表明：不论总体服从什么分布，只 要数学期望和方差存在，对这一总体进行重 复抽样，当样本容量n充分大时（n≥30）， n X i 或 X 就趋于正态分布。
小结：样本均值的分布
1、总体方差
x ~ N (, 重置抽样：
已知时
2
2
X ~ N ( , 2 )
X
/ n)
X ~ N (0,1) / n
不重置抽样：
2、总体方差 未知时 （1）大样本n≥30
2
2
N n X ~ N[ , ( )] n N 1
卫生统计学七版 第五章参数估计基础电子教案
P0.05
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计 称的 为范 置围 信区C间（ I ， co用 nfidenicneterv）al
表示，其置信1度 ）为，（一般取置95信 %，度即为取 为0.05，此区
间的较小值称为 限置 ，信 较下 大值称为 限置 。信 一上 般进行双 区侧 间的估计。
卫生统计学七版 第五ຫໍສະໝຸດ 参数估 计基础第一节 抽样分布与抽样误差
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
……
x15 .55 1 sx0.9617
样本均数的标准差越，大抽样误差就越大
样本均数的标准差称标为准误
x
n
sx
s n
sx称为标准误估计值，简也称标准误
标准误与标准差成正比 ，与样本含量成反比
标准误越大，抽样误差越大。
2、正态近似法
当已知时X： u
n
当未知但n足够大时X：u0.05
s n
X1.96 s n
或：X1.96s X
例5-3(P95) 某医生于2000年在某市随机抽取90名 19岁的健康男大学生，测量了他们的身高，得样本均数 为172.2cm，标准差为4.5cm，试估计该市2000年19岁健 康男性大学生平均身高的95%置信区间 。
对任意分布，在样本含量足够大时，其样本均数的分布都 近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
总体率的标准误：
p
(1 )
n
率的标准误的估计值：
sp
p(1 p) n
标准误大抽样误差就大。
第二节 t分布
一、t分布的概念
第六章参数估计基础
1总体分布的形态和样本含量对样本均数的抽样分布会产生何种影响？
从正态分布的总体中随机抽样，样本均数呈正态分布；从非正态分布的总体中随机抽样，样本量n较小时，样本均数的分布仍呈非正态分布，当样本量n足够大时，样本均数的分布近似正态哦分布。
计算：σXbar=σ/√n.在实际应用中，总体标准差σ常常未知，需要用样本标准差S来估计。此时，均数标准误的估计值为SXbar=S/√n.由此式可见，若增加样本含量n可减小样本均数的抽样误差。
主要应用：1估计总体均数的置信区间。 2均数的假设检验。
样本频率的抽样分布和抽样误差：频率的标准误用符号σp表示，它反映了样本频率之间以及样本频率与总体概率之间的离散程度，也反映了样本频率抽样误差的大小。
1.点估计：直接用随机样本的样本均数Xbar作为总体均数μ的估计值或用样本频率p作为总体概率π的估计值的方法称为点估计。这是一种没有考虑抽样误差的简单估计方法。
2.区间估计：用已知样本统计量和标准误确定总体参数所在范围的方法称为区间估计。所估计的总体参数的范围通常称为参数的置信区间，，是一个开区间，这一估计可相信的程度称为置信度或置信水平。若标准差不变，置信度由95%提高到99%，置信区间便由窄变宽，估计的精度下降。
计算：σp=√（π(1-π)/n）。在实际应用中，总体概率π常常未知，需要用样本频率p来估计。因此频率标准误的估计值为Sp=√（p(1-p)/n-1）约等于 √（p(1-p)/n）。由此式可见，增加样本含量n可减小样本频率的抽样误差。
主要应用：1估计总体概率的置信区间 2频率指标的假设检验。
抽样误差与抽样分布概述ppt(48张)
表 4-2 样本量为 25 从 N(72.5,6.32)共随机抽取 10 个样本
样
样 样 最最抽
本
本 本 小大样
编
n=9
均 标 值值误
号
数准
差
差
1 65 68 68 76 84 6480 63 84 72.4 8.6 63 84 -0.10
2 74 61 65 75 67 78 72 70 67 69.9 5.4 61 78 -2.60
每次抽取10000个样本并计算各自的样本均 数
以10000个样本均数作为一个新的样本制作 频率密度分布图
72 74 74 73 66 67 80 73 64 75 78 69
4 74 80 76 64 66 71 82 78 67 79 56 64 6571.6 7.1 56 83-0.90
69 74 64 66 62 75 71 80 83 77 76 71
5 75 72 79 74 76 65 80 71 74 75 79 74 7373.5 4.4 65 80 1.00
72 81 60 76 77 69 73 74 76 71 76 79
10 79 82 75 64 77 74 73 67 67 84 79 78 7373.9 6.8 60 84 1.40
80 83 78 76 60 80 79 72 72 66 61 69
6
x
1 10
10 i 1
xi
1 10
7 74 67 71 77 70 61 66 70 73 69.9 4.8 61 77 -2.60
8 62 73 80 64 84 66 74 69 76 72.0 7.4 62 84 -0.50
9 73 68 62 73 73 69 76 71 68 70.3 4.1 62 76 -2.20
统计学中的抽样与抽样误差
统计学中的抽样与抽样误差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，抽样是一种常用的方法，用于从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。
抽样的目的是通过对样本的研究，对总体进行推断和估计。
然而，在抽样过程中，由于各种原因可能会引入抽样误差，这是需要注意和控制的。
一、抽样方法在统计学中，有多种抽样方法可供选择，常见的有随机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等。
不同的抽样方法适用于不同的研究目的和场景。
1. 随机抽样随机抽样是最常用的抽样方法之一。
在随机抽样中，每个个体都有相等的概率被选中为样本。
这样可以保证样本的代表性和可靠性，从而使得对总体的推断具有统计学上的意义。
2. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干相对独立的层，然后从每个层中进行随机抽样。
这种方法可以确保每个层都有足够的样本，从而提高估计的精确度。
3. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则和间隔，从总体中选取样本。
例如，每隔k个单位选择一个样本。
这种方法在样本选择过程中具有一定的规律性，适用于总体有序排列的情况。
4. 整群抽样整群抽样是将总体分为若干个群体，然后随机选择部分群体进行抽样。
这种方法在样本选择过程中可以更好地保留群体间的差异性，适用于总体分为多个独立群体的情况。
二、抽样误差抽样误差是指通过抽样所得到的样本统计量与总体参数之间的差异。
抽样误差是不可避免的，但可以通过合理的抽样设计和样本量的确定来控制和减小。
1. 随机误差随机误差是由于样本选择的随机性导致的误差。
随机误差是无法完全消除的，但可以通过增加样本量来减小其影响。
较大的样本量可以使样本统计量更加接近总体参数。
2. 非抽样误差非抽样误差是由于抽样过程以外的因素引起的误差。
例如，调查问卷的设计不当、数据记录错误等。
非抽样误差可以通过加强调查问卷的设计和培训调查员等方式进行控制。
3. 抽样偏倚抽样偏倚是指样本与总体之间存在系统性的差异。
抽样偏倚可能会导致样本的代表性不足，从而影响对总体的推断。
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第五章 参数估计基础二、样本频率的抽样分布与抽样误差
内 容
1. 样本均值抽样分布和抽样误差回顾
2. 样本频率抽样分布和抽样误差
1. 样本均值抽样分布和抽样误差 （1）正态分布总体样本均数抽样分布特点
（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律
（3）均值标准误的含义和计算
（1）正态分布总体样本均数抽样分布特点
n样本均数等于总体均数的情况极其罕见； n样本均数之间存在差异；
n样本均数围绕总体均数，呈近似正态分布； n样本均数标准误小于原始变量的标准差。
（2）非正态分布总体样本均数抽样分布规律
n虽然原分布是偏态分布，但当抽取样本量n足够大时(如 n＞30) 样本均数也近似正态分布，且样本均数的均数等 于原分布的均数。
（3）均值标准误的含义和计算
2. 样本频率的抽样分布与抽样误差 电脑摸球实验，
表
% 20 = p 时的随机抽样结果( 50 = i n )
黑球比例(%)
样本频数 样本频率(%) 8 2 2.00 10 4 4.00 12 8 8.00 14 7 7.00 16 11 11.00 18 13 13.00 20 19 19.00 22 11 11.00 24 11 11.00 26 6 6.00 28 3 3.00 30 4 4.00 32 1 1.00 合计
100
100.00
n样本频率抽样误差
n从同一总体中随机抽出观察单位相等的多个样本，样本率与总体 率及各样本率之间都存在差异，称为频率的抽样误差。
n样本频率的标准误
n表示样本频率抽样误差大小的指标即为频率的标准误。
小 结
1. 样本均值抽样分布和抽样误差知识回顾
2. 样本频率抽样分布和抽样误差
n样本频率分布规律
n频率标准误含义和计算。