《1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)》课件5-优质公开课-北师大必修4精品
函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
函数y=Asin(ωx+φ)图像(北师大版)
法一：
y sin x
22
图像上各点纵坐标
缩短为本来的一半
y
1 2
sin
图像上各点横坐标
x
y
伸长为本来的2倍
1 2
sin
1 2
x
法二：
图像上各点横坐标
y sin x
伸长为本来的2倍
y
sin
1 2
x
图像上各点纵坐标 缩短为本来的一半
y
1 sin 2
1 2
x
y
1
O
2
3
4
x
1
例4 作函数y sin(2x ) 及y sin(2x )的图像。
最小值为-A.
A叫振幅，这种 变换叫振幅变换
思考：函数y f (x)与函数y Af (x)的图像有何关系？
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1)
y
3 2
sin
x
(2)
y
1 3
sin
x
例2 作函数y sin(x ) 及y sin(x )的图像。
3
4
x
5
34 64
43
移|φ|个单位而得到的。
相位变换, φ叫初
相, x+φ叫相位
思考：函数y f (x）与y f (x b)的图像有何关系？
课堂练习
1、为得到ｙ＝４sin(2x+ )，x∈ R，的
图像，只需将函数ｙ＝2s3in(2x+ )，
3
x∈ R的图像上所有点( C ) (A)横坐标变为本来的２倍，纵坐标不变
3 (3) y 1 sin 1 x
22
(3) y 1 sin 1 x的图像与y sin x的图像的关系：
北师大版高中数学必修四§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)课时目标 1．会用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像．2．明确函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)中常数A 、ω、φ的物理意义．理解振幅、频率、相位、初相的概念．3．了解函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的对称性(如对称轴，对称中心)．1．简谐振动简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，____叫做振幅，周期T ＝________，频率f ＝________，相位是________，初相是____．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R值域周期性 T ＝__________奇偶性 φ＝________________时是奇函数；φ＝______________时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是__________函数单调性 单调增区间可由____________________________________得到，单调减区间可由____________________________________得到一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z )2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．下列函数中，图像的一部分如下图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π64．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．函数y ＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π46．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．12二、填空题7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图像如下图所示，则φ＝________．9．函数y ＝sin 2x 的图像向右平移φ个单位(φ>0)得到的图像恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题 ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；③y ＝f (x )图像关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图像关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 三、解答题11．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2． (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图像．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图像关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．能力提升13．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图像．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变14．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A ． 2B ．－ 2C ．1D ．－11．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A |．(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时取得最小值．§8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二) 答案知识梳理 1．A 2πω ω2π ωx ＋φ φ 2．[－A ，A ] 2π|ω|k π (k ∈Z )π2＋k π (k ∈Z ) 非奇非偶 2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )作业设计 1．B2．A [T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12．∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6．]3．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2． 又x ＝π12时，y ＝1．]4．D [由图像知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2．且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6．]5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ω×1＋φ＝π2ω×3＋φ＝π，解得⎩⎨⎧ω＝π4φ＝π4．]6．B [对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2．∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2．]7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6．8．9π10解析 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45． ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10．9．5π12解析 y ＝sin 2x 向右平移φ个单位得 f (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．由f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝±1， ∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴2φ＝－k π－π6，令k ＝－1，得2φ＝56π，∴φ＝512π或作出y ＝sin 2x 的图像观察易知φ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝512π． 10．②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得：f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6． ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π， ∴x ＝k 2π－π6，∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，∴x ＝π12＋k π2．∴④错．11．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4． ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)列出x 、y 的对应值表：x －π8 π8 38π 58π78π 2x ＋π4 0 π2 π 32π2π y 0 2 0 －2描点，连线，如图所示：12．解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2．由图像关于M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称可知，sin ⎝⎛⎭⎫34πω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z ． 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π， ∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2．13．A [由图像可知A ＝1，T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2．∵图像过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ．∴y ＝sin(2x ＋π3＋2k π)＝sin(2x ＋π3)．故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图像．]14．D [方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0) ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝sin 0＋a cos 0． ∴a ＝－1．方法二 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－π8－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ， 令x ＝π8，有f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f (0)，即－1＝a ．]。
高中数学 1.8函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质多媒体教学优质课件2北师大版必修4
第四页，共24页。
例4：画出函数y 3sin(2x ) 1的简图. 6
分析：本题(běntí)可以利用“五点法”来作函 数图像，也可以利用图像变换法作图.
第五页，共24页。
方法1:先平移后伸缩
（1）向左平移
函数(hánshù) y=sinx
3
3
所以,函数y = 2sin( 1 x -π)的递增区间是 23
[4kπ-π,4kπ+ 5π](k ∈Z).
3
3
第十六页，共24页。
(2) 设u = 4x + 5π. 6
因为函数cos u的递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z),由
2kπ≤ 4x + 5π≤ 2kπ+π(k∈Z),即 6
1 2
（振幅A，值域A b,A b）.
思考2：还有其他的变换(biànhuàn)方 法吗？
第九页，共24页。
方法2:先伸缩后平移
（1）横坐标缩短到原来的 1 倍
函数(hánshù) y=sinx
2
像
纵坐标不变
y=sin2x的图
（2）向左平移 12 个单位长度
y=sin(2x+ xiànɡ)
6) 的图像(tú
（4）向上（b>0）或向下（b<0）
平移| b |个单位长度
y=Asin(x+)+b的图像
第八页，共24页。
思考(sīkǎo)1： A, , ,b对图像的 影决响定. 了函数y Asin(x ) b的周期（周期T 2）;
决定了函数y Asin(x ) b的初相（初相）;
A和b决定了函数y Asin(x ) b的值域和振幅
演示文稿高中数学第一章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)课件北师大版必修420
第二十二页，共48页。
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 －ωφ，0 作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝
；π 2
“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
第二十九页，共48页。
解答
反思与感悟
有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注
意整体代换思想.
第三十页，共48页。
跟踪训练3 设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图像的一条对
称轴是直线x＝ . π 8
(1)求φ的值；
解 由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
第二页，共48页。
内容索引
第三页，共48页。
问题导学 题型探究
当堂训练
第四页，共48页。
问题导学
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
思考1
用“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次
取哪几个值？
π
3π
答案 依次为0， ，2 π， ，22π.
函数在ωx＋φ＝ ＋2π2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝
＋2kπ3(πk∈Z)时取得最 2
小值.
第四十七页，共48页。
第四十八页，共48页。
本课结束
第一页，共48页。
第一章 三角函数
§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ )图像与性质(二)
学习目标
第1部分第一章§8第二课时函数y=asin(ωxφ)的性质(精)PPT课件
问题3：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像是否有对称性？ 提示：有，既是中心对称又是轴对称．
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域 值域
周期性
R
[－A，A]
2π T＝ |ω|
奇偶性 φ＝ kπ(k∈Z) 时是奇函数；φ＝π2＋kπ(k∈Z) 时是 偶函数；当 φ≠k2π(k∈Z)时是 非奇非偶 函数
[精解详析] ∵0≤x≤π2，∴0≤2x≤π. ∴π4≤2x＋π4≤54π. ∴－ 22≤sin2x＋π4≤1. ∴－1≤ 2sin2x＋π4≤ 2，即－1≤y≤ 2. 所以函数 y＝ 2sin2x＋π4，x∈0，π2的值域为[－1， 2]．
[一点通] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的 值域的步骤：
函数的图像
()
A．关于点π3，0对称
B．关于直线 x＝π4对称
C．关于点π4，0对称
D．关于直线 x＝π3对称
解析：由题意知 ω＝2，所以 f(x)＝sin2x＋π3，经验证可 知它的一个对称中心为π3，0. 答案：A
[例 3] (12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图像关于点 M(34π，0)对称，且在区 间[0，π2]上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
(3 分) (7 分)
又 f(x)在[0，π2]上是单调函数，
所以 T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2.又 ω>0， (10 分)
∴当 k＝1 时，ω＝23；
当 k＝2 时，ω＝2.
∴φ＝π2，ω＝2 或23
(12 分)
5．已知 f(x)＝sin(ωx＋π3)(0<ω<5)，f(π6)＝f(π3)，且 f(x)在区间 (π6，π3)上有最小值，则 ω＝________.
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)》精品课件 公开课课件
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f：
讲授新课 y tan x 3
函数y Asin(x )，x [0,)(其中 A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时：
f ： f 1 单位时间内往返振动 T 2
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
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附赠 中高考状元学习方法
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
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北京市文科状元 阳光女孩--何旋
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来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
高中数学 1.8.2 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件 北师大
【思路探究】 由已知信息，结合图像确定 ω，A 和 φ 的值，然后视 ωx＋φ 为一体求出单调区间．
【自主解答】 (1)由题意T4＝32π－π2＝π，T＝4π＝2ωπ， ∴ω＝12，A＝ 2，∴y＝ 2sin(2x＋φ)， 当 x＝π2，y＝ 2时，即 2＝ 2sin(π2×12＋φ)． ∴π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)， ∵φ∈(－2π，π2)，∴φ＝π4.∴y＝ 2sin(2x＋4π)；
§8 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性及最值问题的 求法，理解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．
2．过程与方法 通过利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像研究其性质，使学 生掌握数形结合的思想方法，提高学生分析、解决问题的能 力． 3．情感、态度与价值观 通过对三角函数图像的分析和性质的研究，使学生体会 数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣．
求下列函数的周期：
(1)y＝3sin(2x＋π3)＋1； (2)y＝4sin(15x－π4)－1； (3)y＝|sin x|. 【思路探究】 (1)(2)用 T＝2ωπ求周期；(3)利用函数的图 像来求周期．
【自主解答】 (1)∵ω＝2，∴T＝2ωπ＝22π＝π. (2)∵ω＝15，∴T＝21π＝10π.
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 中影响最值的量是 A 的符号， b 的大小以及 x 的范围．
求y＝Asin(ωx＋φ)的最值
已知函数 y＝a－bcos(2x＋π6)(b>0)的最大值为32， 最小值为－12.
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
3.求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y=asinx+b(或y=acosx+b)的函数的最值 或值域问题时,利用正、余弦函数的有界性(-1≤sinx (cosx)≤1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的 集合时,要注意考虑三角函数的周期性.
(2)求解形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+ c),x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=sinx (或cosx),将原函数转化为关于t的二次函数,利用配 方法求值域、最值即可.求解过程中要注意t=sinx(或 cosx)的有界性.
【解析】1.选B.由图象可知，A 2，1 T 5 , 4 12 6 4
T ， 2，因为| | ,所以2 ，所以 ，
2
6
2
6
所以2 sin B 4,所以B 2. 2
2.由题意得 2 ，则 2.
所以f x 2sin(2x ),
又因为图象过点( , 2), 12
2
为偶函数;对于函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z) 时为偶函数,当φ=kπ± (k∈Z)时为奇函数.
2
2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的 方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ看作一个整 体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asinz的单调区间而 求出函数的单调区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将 x的系数转变为正数,再求单调区间.
【核心素养培优区】 【易错案例】求三角函数的解析式 【典例】如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<π)的图象,则该函数的解析式为 _y___5_si_n_( _23_x__23__)_或__y__5_s_in_(_23_x___3_)__
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奇偶性
单调性
π π 单调增区间可由 2kπ－2≤ωx＋φ≤2kπ＋2(k∈Z)得到， π 3π 单调减区间可由 2kπ＋2≤ωx＋φ≤2kπ＋ 2 (k∈Z)得到 π 令 ωx＋φ＝kπ＋2，k∈Z π kπ－φ 求得 x＝ ＋ ，k∈Z 2ω ω 令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z
kπ－φ 求得 ， 0 (k∈Z) ω
kπ－φ π π 令 ωx＋φ＝kπ＋ 得 ＋ (k∈Z) ， 0 2 2ω ω
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2.对于性质要注意的几点问题 (1)若 A 的正负不确定，则值域应为[－|A|，|A|]． (2)若 ω＜0，先用诱导公式化为 ω＞0. (3)A＞0(A＜0)时，所列不等式与 y＝sin x(x∈R)、y＝cos x(x∈ R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反)． (4)求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解． (5)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性除利用 定义和有关结论外， 也可以通过图像直观判断， 但不能忽视“定 义域关于原点对称”这一前提条件．
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【训练 1】 设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图像的 π 一条对称轴是直线 x＝ ，求 φ. 8 解 法一 π ∵x＝ 是函数 y＝f(x)图像的一条对称轴， 8
π π π ∴sin 2×8＋φ ＝± 1，∴4＋φ＝kπ±2，k∈Z.
对称轴 方程 对称中 心
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：函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)的对称轴，对称中 心与 y 取最大值，最小值及 y＝b，有什么关系？ 提示 由图像可知，对称轴处 y 取最大值 A＋b 或最小值－A＋ b，对称中心处 y＝b.
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名师点睛 1．函数 y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
－
关于直线x＝a对称 (5)y＝f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y＝f(2a－x)． 关于点a，0对称 (6)y＝f(x) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y＝－f(2a－x).
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题型一 三角函数的对称性 【例 1】 如果函数
4π y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点 3 ，0中心对
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3．函数图像的对称变换 一个函数的图像经过适当的变换 (例如对称、平移、伸缩等 )得 到有关函数的图像，叫做函数的初等变换． 前面的平移、伸缩变换均属初等变换． 对称变换主要指下面几种，在此也一并整理，以便同学们系统 掌握．
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(1)函数 y＝－f(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 x 轴对称． (2)函数 y＝f(－x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 y 轴对称． (3)函数 y＝－f(－x)的图像与 y＝f(x)的图像关于原点对称． (4)函数 y＝f 1(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于直线 y＝x 的对称．
《1.8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)》课件5
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【课标要求】 1．掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的值域及相关知识． 2．掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的递增、递减区间的求法． 【核心扫描】 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的最大值、最小值．(重点) 2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的单调性．(难点) 3．三角函数的图像变换．(疑点)
称，那么|φ|的最小值为( π A.6 [思路探索] π B.4
4π 把 3 ，0代入
)． π C.3 π D.2
y＝3cos(2x＋φ)中即可解得 φ.
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解析 由题意，得
2π 4π 3cos2× 3 ＋φ＝3cos 3 ＋φ＝0，
3π ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ 4 .
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π 法二 ∵x＝ 是函数 y＝f(x)图像的一条对称轴． 8 ∴对任意 x 有 取 x＝0，则 ∴sin
π π f(x)＝f2×8－x＝f4－x，
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自学导引 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 定义域 值域 周期性 R [－A，A] 2π T＝ |ω| π φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； φ＝ ＋kπ(k∈Z)时是偶函数； 2 kπ 当 φ≠ (k∈Z)时是非奇非偶函数 2
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2π π π 所以 3 ＋φ＝2＋kπ，所以 φ＝－6＋kπ，k∈Z. π 取 k＝0，得|φ|的最小值为6，故选 A. 答案 A
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规律方法 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于直线 x＝xk(其中 ωxk＋ π φ＝kπ＋ ，k∈Z)成轴对称图形，即过波峰或波谷处且与 x 轴垂 2 直的直线为其对称轴，而 y＝Acos(ωx＋φ)的图像关于直线 x＝ xi(其中 ωxi＋φ＝kπ，k∈Z)成轴对称图形． (2)y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(xj,0)(其中 ωxj＋φ＝kπ，k∈Z) 成中心对称图形．y＝Acos(ωx＋φ)的图像关于点(xm,0)(其中 ωxm π ＋φ＝kπ＋ ，k∈Z)成中心对称图形． 2 (3)y＝Atan(ωx＋φ)的图像不是轴对称图形， 其对称中心为(xn,0)， kπ 其中 ωxn＋φ＝ 2 ，k∈Z.
定义域 值域 周期性
R [－A，A] 2π T＝ |ω|
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φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数 奇偶性 π φ＝kπ±2(k∈Z)时为奇函数 单调增区间可由 2kπ≤ωx＋φ≤2kπ＋π，(k∈Z) 单调性 得到，单调减区间可由 2kπ＋π≤ωx＋φ≤2kπ ＋2π(k∈Z)得到： 对称轴 对称中心 kπ φ 令 ωx＋φ＝kπ 得 x＝ ω ＋ω(k∈Z)