北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元综合检测题新及答案

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新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末复习题含答案解析 (50)

一、选择题1.已知菱形ABCD，E，F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120∘，若AF=1，则GFEG= ( )A．13B．4C．12D．12.已知3a=4b，则下列各式成立的是( )A．ab =34B．ab=43C．a−bb=14D．aa+b=373.如图，四个三角形的顶点都在方格的格点上，下列两个三角形中相似的是( )A．①④B．①③C．②③D．②④4.如图，有三个矩形，其中是相似形的是( )A．甲与乙B．甲与丙C．乙与丙D．以上都不对5.如图，CB=CA，∠ACB=90∘，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：① AC=FG；② S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③ ∠ABC=∠ABF；④ AD2=FQ⋅AC，其中正确的结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4BC，DF=15，则DE等于( )6.如图，l1∥l2∥13，若AB=23A．5B．6C．7D．97.如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：① ∠AME=90∘；② ∠BAF=∠EDB；③ MD=2AM=4EM；MF．④ AM=23其中正确结论的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点Pʹ．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCPʹ为菱形，则t的值为A．√2B．2C．2√2D．39.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90∘，∠AFB=2∠DAE=72∘，则甲、乙、丙三个三角形中相似的是( )A．只有甲与乙B．只有乙与丙C．只有甲与丙D．甲与乙与丙10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D．若AC=2，则AD的长是( )A．√5−1B．√3−1C．√5−2D．32二、填空题11.在△ABC中，AB=6，AC=9，点D是AB边所在直线上的一点，且AD=2，过点D作DE∥BC，交AC边所在直线于点E，则CE=．12.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘C，AC=4，BC=3，点D是AB边上一点（不与A，B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．13.正方形ABCD的边长AB=2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为．14.在直角△ABC中，∠C=90∘，CB=2√3，AC=4，点D为直线AB上一点，∠BCD=30∘，则线段BD=．15.如图，已知△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，D是线段AC上一点（不与A，C重合），连接BD，将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若△BEF是直角三角形，则AF的长为．16.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为平方米．17.如果xx+y =25，那么xy=．三、解答题18.如图，在△ABC中，∠ABC=80∘，∠BAC=40∘，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E．(1) 尺规作图作出AB的垂直平分线DE，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；(2) 证明：△ABC∽△BDC．19.如图，一路灯在距地面6.4m的G点，身高1.6m的小方从距离灯的底部（点O）5m的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3m．求：(1) 小方在A处时的影子AB的长；(2) 小方行走的路程AC．20.如图，点P在平行四边形ABCD的边CD上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．(1) 求证：△DQP∽△CBP．(2) 当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．21.已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120∘，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G．(1) 如图1，当AE⊥BC时，求线段BE，CG的长度；(2) 如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值？若是请求出定值，若不是请说明理由；(3) 如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．22.已知△ABC∽△AʹBʹCʹ，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△AʹBʹCʹ的最长边长为6cm，求△AʹBʹCʹ的最短边的长．23.如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC=50∘，∠BAC=60∘，求∠AED的度数．24.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=6．BC=3，DE⊥AB于E，AC交DE于F．(1) 求AE⋅AB的值；(2) 若CD=4，求AF的值；FC的值．(3) 若CD=6，过A点作AM∥CD交CE的延长线于M，求MEEC25.如图所示，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S△DCE=S△FBE．(1) 求证：△DCE≌△FBE．(2) 若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6cm，求DC+AD+AB的长．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】过点E作EM∥BC交AC于点M，∵∠BAD=120∘，∴∠B=60∘，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵EM∥BC，∴△AEM是等边三角形，∴EM=AE=3，∵AF∥EM，∴GFEG =AFEM=13．【知识点】平行线分线段成比例定理2. 【答案】B【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算3. 【答案】B【解析】三角形①的边长分别为√10，√5，5；三角形②的边长分别为√5，2√2，√17；三角形③的边长分别为2，√2，√10；三角形④的边长分别为3，√2，√5．三边成比例的是①和③．故选B．【知识点】两边成比例且夹角相等4. 【答案】B【知识点】相似图形的定义5. 【答案】D【解析】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90∘，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90∘，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90∘，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，{∠G=∠C,∠AFG=∠CAD, AF=AD,∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90∘，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90∘，S△FAB=12FB⋅FG=12S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90∘，∴∠ABC=∠ABF=45∘，③正确；∵四边形ADEF为正方形，∴∠ADE=∠QBD=∠E=90∘，∴∠ADC+∠QDB=90∘，∵∠QDB+∠DQB=90∘，∴∠FQE=∠DQB=∠ADC，∵∠E=∠C=90∘，∴△ACD∽△FEQ，∴AC:AD=FE:FQ，∴AD⋅FE=AD2=FQ⋅AC，④正确；或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC=FQ×AB=FQ×GF=△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）=△AFQ 面积的2倍（AF为底，AD为高）=正方形的面积，∴结论4是对的．【知识点】正方形的性质、两角分别相等6. 【答案】B【解析】因为l1∥l2∥13，AB:BC=2:3，所以DEEF =ABBC=23，所以DE=6．【知识点】平行线分线段成比例定理7. 【答案】B【解析】（1）因为四边形 ABCD 为正方形，所以 AD =AB =BC ，∠DAE =∠ABF =90∘，因为 E ，F 分别为正方形 ABCD 的边 AB ，BC 的中点，所以 AE =12AB ，BF =12BC ，所以 AE =BF ，所以 △DAE ≌△ABF (SAS )，所以 ∠BAF =∠ADE ，因为 ∠BAF =∠ADE ，所以 ∠BAF +∠DAM =90∘，所以 ∠ADE +∠DAM =90∘，所以 ∠AME =∠ADE +∠DAM =90∘，故①正确．（2）设 AF 与 BD 交于点 N ，正方形 ABCD 的边长为 4，则 AE =BE =BF =2，所以 DE =AF =√42+22=2√5，因为 AD ∥BF ，所以 △BFN ∽△DAN ，所以 BFAD =FNAN =12，所以 FN =2√53，AN =4√53，因为 S △AED =12AD ⋅AE =12DE ⋅AM ，所以 AM =AD⋅AE DE=2√5=4√55，所以 MN =AF −AM −FN =8√55，所以 AM ≠MN ，若 ∠BAF =∠EDB ，则 ∠ADE =∠EDB ．又因为 DM =DM ，∠DMA =∠DMN =90∘，所以 △DAM ≌△DNM (ASA )，所以 AM =MN ，不符合题意，故②错误．（3）由（1）知，∠BAF =∠ADE ，又因为 ∠AME =∠EAD =∠AMD =90∘，所以 △AME ∽△DMA ∽△DAE ，所以 EMAM =AMDM =AEAD =12，所以 AM =2EM ，DM =2AM ，所以 MD =2AM =4EM ，故③正确．（4）由（2）知，AM =4√55，MN =8√515，FN =2√53，所以 MF =MN +FN =8√515+2√53=6√55，所以 AMMF =23，故④正确．【知识点】两角分别相等、正方形的性质、基本定理8. 【答案】B【解析】连接 PPʹ 交 BC 于 O ． ∵ 四边形 QPCPʹ 为菱形， ∴PPʹ⊥QC ， ∴∠POQ =90∘． ∵∠ACB =90∘， ∴PO ∥AC ， ∴PB AB =BOBC ．设点 Q 的运动时间为 t 秒，则 AP =√2t ，QB =t ， ∴QC =6−t ， ∴CO =3−t2，∵AC =CB =6，∠ACB =90∘， ∴AB =6√2， ∴√2−√2t 6√2=6−(3−t 2)6，解得 t =2．【知识点】平行线分线段成比例定理、菱形9. 【答案】D【解析】在矩形ABCD中，∵∠AFB=2∠DAE=72∘，∴∠DAE=36∘，∠BAF=18∘，∴∠EAF=36∘，∠AED=54∘，又∠AEF=90∘，∴∠FEC=36∘，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF=36∘，又∠D=∠AEF=∠C=90∘，∴甲、乙、丙三个三角形相似，应选D．【知识点】两角分别相等10. 【答案】A【解析】∵AB=AC，∠A=36∘，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−36∘)=72∘，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36∘，∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠C=72∘，∴DA=DB=BC，∵∠A=∠BDC，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CDBC =BCAC，即2−ADAD=AD2，整理得AD2+2AD−4=0，解得AD1=√5−1，AD2=−√5−1（舍去）．【知识点】两角分别相等二、填空题11. 【答案】6或12【知识点】平行线分线段成比例定理12. 【答案】103或54或83【解析】Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，所以AB=√32+42=5，所以△ABC的周长为3+4+5=12，设AD=x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE=6−x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以AD:AB=AE:AC，即x:5=(6−x):4，解得x=103；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD=5−x，BF=6−(5−x)=1+x，因为DF∥AC，所以△BDF∽△BAC，所以BD:BA=BF:BC，即(5−x):5=(1+x):3，解得x=54；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG=6−x，因为∠DAG=∠CAB，∠ADG=∠C=90∘，所以Rt△ADG∽Rt△ACB，所以AD:AC=AG:AB，即x:4=(6−x):5，解得x=83，综上所述，AD的长为103或54或83．【知识点】基本定理、两角分别相等13. 【答案】4√515【解析】∵BF∥AD，∴△BNF∽△DNA，∴BFAD =FNAN，而BF=12BC=1，AF=√5，∴AN=2√53，又∵△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠AED=∠BFA，∴△AME∽△ABF，∴AMAB =AEAF，即：AM2=√5，∴AM=2√55，∴MN=AN−AM=2√53−2√55=4√515．【知识点】两角分别相等14. 【答案】23√7或2√7【知识点】两角分别相等、解直角三角形15. 【答案】4√2或4√2−4【解析】①当∠E=90∘时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90∘，如图所示．在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，∴∠ABC=∠BAC=12(180∘−∠C)=67.5∘．∵∠BDC=90∘，∠C=45∘，∴△BCD为等腰直角三角形．∴CD=√22BC=2√2，∠DBC=45∘．∴∠EBA=∠DBA=∠ABC−∠DBC=67.5∘−45∘=22.5∘．∴∠EBF=45∘．∴∠F=90∘−45∘=45∘．∴△ADF为等腰直角三角形．∴AF=√2AD=√2(CA−CD)=√2(4−2√2)=4√2−4．②当∠EBF=90∘时，如图所示，由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45∘，∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB．∴ABAC =ADAB．由情况①中的AD=4−2√2，BD=2√2，可得AB=√AD2+BD2=4√2−√2．∴AD=AB2AC =32−16√24=8−4√2．∴CD=AC−AD=4−(8−4√2)=4√2−4．∵∠DBC=∠ABC−∠ABD=22.8∘，∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5∘，∴∠F=22.5∘=∠DBC．∴EF∥BC．∴△ADF∽△CDB．∴ADCD =AFBC．∴AF=AD⋅BCCD =√2)×44√2−4=4√2．∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45∘+67.5∘−∠ABD=112.5∘−∠ABD,∠EBF=2∠ABD，∴∠E+∠EBF=112.5∘+∠ABD>90∘．∴∠F不可能为直角．综上所述，AF的长为4√2或4√2−4．【知识点】两角分别相等、图形成轴对称、基本定理16. 【答案】0.81π【解析】设影子所在圆的半径为R米，根据题意，得2:3=0.6:R，解得R=0.9，所以阴影部分的面积为0.81π平方米．【知识点】相似三角形的应用、中心投影中影子的变化17. 【答案】23【解析】∵xx+y =25，∴x+yx =52，1+yx=52，yx=32，∴xy =23．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算三、解答题18. 【答案】(1) 如图，DE为所求．(2) ∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD，∴∠ABD=∠A=40∘，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=80∘−40∘=40∘，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC．【知识点】两角分别相等、作线段的垂直平分线19. 【答案】(1) 因为AE⊥OD，OG⊥OD，所以△AEB∽△OGB，所以AEOG =ABBO，即 1.66.4=ABAB+5，解得AB=53m．答：小方在A处时的影子AB的长为53m．(2) 因为沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3m，所以DC=(3+53)m，同理可得△DFC∽△DGO，所以FCOG =CDDO，即 1.66.4=3+53AC+5+3+53，解得AC=9m．答：小方行走的路程AC为9m．【知识点】相似三角形的应用20. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC．∴∠QDP=∠BCP．又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP．(2) ∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=12CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=8．∴DP=12CD=4．【知识点】两角分别相等、平行四边形及其性质21. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAD+∠B=180∘，∵∠BAD=120∘，∴∠B=60∘，∵AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠BAE=30∘，AB=6，∴BE=3，AE=3√3，∵EF⊥AB，∴∠BFE=90∘，在Rt△BEF中，∠BEF=30∘，∴BF=12BE=32，EF=3√32，∵S平行四边形ABCD=BC×AE=AB×FG，∴10×3√3=6FG，∴FG=5√3，∴EG=FG−EF=7√32．(2) 如图2，过点A作AH⊥BC于H，∵∠B=60∘，∴BH=3，AH=3√3，∵∠AHB=∠BFE=90∘，∠B=∠B，∴△ABH∽△EBF，∴ABBE =BHBF=AHEF，设BE=a，∴6a =3BF=3√3EF，∴BF=12a，EF=√32a，∵AB∥CD，∴△BEF∽△CEG，∴BFCG =BECE=EFEG，∴12aCG=a10−a=√32aEG，∴CG=12(10−a)，EG=√32(10−a)，∴C△BEF+C△CEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+12a+√32a+10−a+12(10−a)+√32(10−a)=10+5+5√3 =15+5√3.(3) 同（2）的方法得，EF=√32x，CG=12(10−x)，∴DG=CD+CG=6+5−12x=11−12x，∴S△DEF=12EF×DG=12×√32x×(11−12x)=−√38x2+11√34(0<x<10).【知识点】两角分别相等、平行四边形及其性质、解析式法22. 【答案】2cm．【知识点】相似三角形的性质23. 【答案】∵∠ABC=50∘，∠BAC=60∘，∴∠ACB=180∘−∠ABC−∠BAC=70∘，∵△ABD∽△ACE，∴ABAC =ADAE，∠BAD=∠CAE，∴ABAD =ACAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB，∴∠AED=70∘．【知识点】两边成比例且夹角相等24. 【答案】(1) 过点B作BH⊥AD于H，如图1，则有∠AHB=∠BHD=90∘，∵AD∥BC，∠BCD=90∘，∴∠ADC=180∘−∠BCD=90∘，∴∠BHD=∠HDC=∠BCD=90∘，∴四边形BCDH是矩形，∴HD=BC=3，∴AH=AD−HD=6−3=3，∵DE⊥AB即∠AED=90∘，∴∠AED=∠AHB，又∵∠EAD=∠HAB，∴△AED∽△AHB，∴AEAH =ADAB，∴AE⋅AB=AH⋅AD=3×6=18．(2) 延长DE，CB交于点G，如图2，由（1）得：AH=3，AE⋅AB=18，四边形BCDH是矩形，则有BH=CD=4，AB=√AH2+BH2=5，∴AE=18AB =185，EB=5−185=75，∵AD∥GC，∴△AED∽△BEG，∴ADBG =AEEB，∴6BG =187，∴BG=73，∴GC=73+3=163，∵AD∥GC，∴△AFD∽△CFG，∴AFCF =ADCG=6163=98．(3) 延长AB，DC交于点N，如图3，∵AD∥BC，∴△NBC∽△NAD，∴NCND =BCAD，∴NCNC+6=36=12，解得NC=6，∴DN=12，∴AN=√AD2+DN2=6√5，∴DE=AD⋅DNAN =6√5=12√55，∴AE=√AD2−DE2=6√55，∴EN=AN−AE=6√5−6√55=24√55，∴AEEN =14，∵AM∥CD，∴△AEM∽△NEC，∴MECE =AENE=14．【知识点】基本定理、两角分别相等、勾股定理、矩形的判定25. 【答案】(1) ∵AB∥DC，∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB，∴△DCE:△FBE，∴S△DCES△FBE =(DCFB)2．∵S△DCE=S△FBE，∴(DCFB )2=1，∴DC=FB，∴△DCE≌△FBE．(2) ∵BE是△ADF的中位线，∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．∵AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵BE+FB=6，∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2(BE+FB)=12（厘米）．【知识点】一组对边平行且相等、两角分别相等21。

九年级上册数学单元测试卷-第四章图形的相似-北师大版(含答案)

九年级上册数学单元测试卷-第四章图形的相似-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，若A,B,C,P,Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（）．A.丁B.丙C.乙D.甲2、如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A.如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB.如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC.如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD.如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE3、如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽ADE的是（）A.∠B＝∠DB.∠C＝∠EC.D.4、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A.6B.8C.10D.125、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小李从点A处沿AO所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（）A.变长3.5米B.变长2.5米C.变短3.5米D.变短2.5米6、如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）A.2.5B.C.D.37、如图，与交于点，则（）A.2B.3C.3.5D.48、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC= ，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）.A. B. C. D.9、如果点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A.AD：DB=AE：ECB.BD：AB=CE：ACC.DE：BC=AD：ABD.AB：AC=AD：AE10、下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。

新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (30)

一、选择题1.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC等于( )A．√5−1B．3−√5C．√5−12D．√5−1或3−√52.下列命题：如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF=BE，CE，BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：① BF⊥CE；② OM=ON；③ OH=12CN；④√2OH+BH=CH．其中正确的命题有( )A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④3.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB =12，则下列结论中正确的是( )A．AEAC =12B．DEBC=12C．△ADE的周长△ABC的周长=13D．△ADE的面积△ABC的面积=134.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ACD=∠B，AD=2，BD=4，则边AC长为( )A．2B．3C．2√2D．2√35.在△ABC中，点D，E分别在边BA，CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为( )A．BCDE =ABADB．ACAD=ABAEC．ACCE=ABBDD．ACAB=BDCE6.已知a2=b3(a≠0,b≠0)，下列变形正确的是( )A．ba =23B．2a=3bC．a3=b2D．a3=2b7.若5:x=3:2，则x的值是( )A．152B．215C．310D．1038.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于( )A．2√53B．23C．12D．139.若a2=b3，则a+ba=( )A．32B．52C．23D．5310.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．二、填空题11.如图，△ABC中，D，M分别在AB，AC上，∠AMD=∠B．如果AM=2，S△ADM=1，S四边形BCMD=8，则AB=．12.已知线段a=4cm，b=9cm，那么线段a，b的比例中项等于cm．13.小莉身高1.50m，在阳光下的影子长为1.20m，在同一时刻站在阳光下，小林的影子长比小莉长0.2m，则小林的身高为m．14.如图，某时刻量得一棵树AB在地面上的影长BE=30米，同时测得在BE方向上竖起的一根与地面垂直的标杆CD的影长DF为3米，已知标杆高DC=2米，则树AB的高度是．15.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙 1.6m，梯上点D距墙 1.4m，BD长0.55m，则梯子长为m．16.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=cm．17.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD=4，CD=2，那么AF=．三、解答题18.如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE．19.如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE:EG:GA=3:4:5，求EF和GH的长．20.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，动点E在边BC上，连接DE，过点A做DE的垂线AF，交直线DC于点F，设EC=x，DF=y．(1) 求 y 关于 x 的函数关系式． (2) 当 FC =2 时，求 EC 的长．(3) 若直线 AF 与线段 BC 延长线交于点 G ，当 △DEB ∽△GFD 时，求 DF 的长．21. 如图，在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，且 AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，DE =3.2．(1) 求 BC 的长；(2) 连接 DC ，如果 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用 a 、 b ⃗ 表示向量 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ADCD =CDBD ，求 ∠ACB 的大小．23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB =3，AD =4，点 E 是 AC 上一点，AE:EC =1:3，延长BE 交 AD 于 F ，交 CD 延长线于 G ，求 AF 和 DG ．24. 已知 ∠AEF =∠B ，S △AEF :S △ACB =4:25，求 AF:AC 的值．25.如图是一张矩形纸片，其中AB=1，BC=2，怎样折叠这张纸片，才能找到AB边上的黄金分割．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC=√5−12AB，而AB=2，∴AC=√5−1．【知识点】黄金分割2. 【答案】B【解析】∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90∘，∴△ABF≌△BEC，∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，∴△BEH∽△ABF，∴∠BAF=∠BHE=90∘，即BF⊥EC，①正确；∵四边形是正方形，∴BO⊥AC，BO=OC，由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所证∠BCE=∠ABF，∴∠ECO=∠FBO，∴△OBM≌△ONC，∴ON=OM，即②正确；③ ∵△OBM≌△ONC，∴BM=CN，∵∠BOM=90∘，∴当H为BM中点时，OH=12BM=12CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），因此只有当H为BM的中点时，OH=12CN，故③错误；④过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，在△OGC与△OHB中，{∠OCN=∠OBH, OC=OB,∠HON=∠GOC,故△OGC≌△OHB，∵OH⊥OG，∴△OHG是等腰直角三角形，按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在证明证明三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，∴④式成立．综上所述，①②④正确．【知识点】两角分别相等3. 【答案】C【解析】因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得△ADE∽△ABC，又因为ADDB =12，所以两个三角形的相似比为ADAB =11+2=13．A项，AEAC =13，故A错误；B项，DEBC =13，故B错误；C项，△ADE的周长△ABC的周长=13，故C正确；D项，△ADE的面积△ABC的面积=(13)2=19，故D错误．故本题正确答案为C．【知识点】对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、两角分别相等4. 【答案】D【解析】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD⋅AB，∵AD=2，BD=4，∴AB=2+4=6，∴AC2=2×6=12，∴AC=√12=2√3．【知识点】相似三角形的性质、两角分别相等5. 【答案】C【知识点】平行线分线段成比例定理6. 【答案】B【解析】A．由ba =23得：2a=3b，故选项A不正确；B．由ba =32得：3a=2b，故选项B正确；C．由a3=b2得：2a=3b，故选项C不正确；D．由a3=2b得：ab=6，故选项D不正确．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算7. 【答案】D【解析】由比例的基本性质，得3x=10，解得x=103．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算8. 【答案】C【解析】因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BAD=90∘，所以∠DAO+∠EAO=90∘，因为E为AB的中点，所以AE=12AB=12AD，因为AF⊥DE，所以∠AOE=∠DOA=90∘，所以∠DAO+∠ADO=90∘，所以∠EAO=∠ADO，所以△AOE∽△DOA，所以AODO =AEAD=12．【知识点】两角分别相等9. 【答案】B【解析】∵a2=b3，∴ba =32，∴a+ba =2+32=52，故选：B．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】B【解析】设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为√2，2√2，√10．A．三角形三边2，√10，3√2，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B．三角形三边2，4，2√5，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C．三角形三边2，3，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D．三角形三边√5，4，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．【知识点】三边成比例二、填空题11. 【答案】6【知识点】两角分别相等12. 【答案】6【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算13. 【答案】1.75【解析】设小林身高为x，则 1.51.2=x1.2+0.2，∴x=1.75．故答案为：1.75．【知识点】相似三角形的应用14. 【答案】20米【知识点】相似三角形的应用15. 【答案】4.4【知识点】相似三角形的应用16. 【答案】12【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D.∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴ABBC =ADDE，即4BC=26，∴BC=12cm．【知识点】平行线分线段成比例定理17. 【答案】143【解析】∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD=4，CD=2，∴AB=AC=6，∠B=∠C=∠ADF=60∘，∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠CDF=120∘，∴∠BAD=∠CDF，∴△ABD∽△DCF，∴CFBD =CDBA，即CF4=26，解得CF=43，∴AF=AC−CF=6−43=143．【知识点】两角分别相等三、解答题18. 【答案】∵AB=3AC，BD=3AE，∴ABAC =BDAE，∵BD∥AC，∴∠B=∠EAC，∴△ABD∽△CAE．【知识点】两边成比例且夹角相等19. 【答案】7.5；9.5．【知识点】平行线分线段成比例定理20. 【答案】(1) 如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=3，∠ADC=∠BCD=90∘．又∵AF⊥DE，∴∠ADF=∠DCE=90∘，∠DAF=∠EDC=90∘−∠DFA，∴△ADF∽△DCE，∴ADDC =DFCE，∴63=yx，即y=2x．∵点E在线段BC上，∴0≤x≤6，∴y=2x(0≤x≤6)．(2) ①当点F线段DC上时，∵CF=2，∴DF=x=3−2=1，此时CE=y=12x=12；②当点F线段DC延长线上时，∵CF=2，∴DF=x=3+2=5，此时CE=y=12x=52．∴当CF=2时，EC的长为12或52．(3) 如图2中．∵△DEB∽△GFD，∴DEBE =FGDF，∴FG=DE⋅DFBE =√9+x2⋅2x6−x，∵△ADF∽△GCF，∴FGAF =CFDF，∴FG=3−2xx⋅√9+x2，∴√9+x2⋅2x6−x =3−2xx⋅√9+x2，解得x=65，∴DF=2x=125．【知识点】对应边成比例、矩形的性质、两角分别相等21. 【答案】(1) ∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴AD DB =12，AE EC =12． ∴AD DB =AE EC .∴DE ∥BC ．∴AD AB =DE BC ．又 ∵AB =6，DE =3.2，∴26=3.2BC ．∴BC =9.6．(2) ∵DE ∥BC ，∴AD AB =DE BC ．∴DE BC =13． ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ．∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a ．∵BD BA =23， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ． ∵CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a +23b ⃗ ．【知识点】平行线分线段成比例定理、平面向量的线性运算22. 【答案】 ∵CD 是边 AB 上的高，∴CD ⊥AB ，∴∠CDA =∠BDC =90∘，又 AD CD =CD BD ，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠A =∠DCB ，又 ∠A +∠ACD =90∘，∴∠DCB +∠ACD =90∘，即 ∠ACB =90∘．【知识点】两边成比例且夹角相等23. 【答案】在平行四边形 ABCD 中，AD =BC =4，AB ∥DC ，AB =DC =3，AD ∥BC ，∵AF ∥BC ，∴AE EC =AF BC ，∵AE:EC =1:3，∴13=AF 4，∴AF =43，∴DF =AD −AF =4−43=83，∵AB ∥DG ，∴AB DG =AF DF ，∴3DG =4383，∴DG =6．【知识点】平行四边形及其性质、平行线分线段成比例定理24. 【答案】 2:5．【知识点】两角分别相等25. 【答案】如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD ，在 DB 上截取 DE =DC =1．取 BE 中点 F ，在 BA 上截取 BG =BF ，则点 G 就是线段 AB 的黄金分割点．理由如下：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠BCD =90∘，BD =√BC 2+CD 2=√12+22=√5．因为 DE =DC =1，所以 BF =EF =√5−12．所以 BG =√5−12，即 BG =√5−12AB ．所以点 G 就是线段 AB 的黄金分割点．【知识点】黄金分割、矩形的性质。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元综合测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元综合测试题（附答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M2．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：163．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝（）A．B．C．D．4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③6．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：27．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA：OA′＝1：3，则S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´＝（）A．1：9B．1：3C．1：4D．1：58．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m9．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分）11．若，则＝．12．如果＝＝＝k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（b+d+f），那么k＝．13．已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k＝．14．在△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，另一个与它相似的△A′B′C′的周长为18cm，则△A′B′C各边长分别为．15．如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为．16．如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．18．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC＝2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是．三、解答题（共66分）19．已知线段a，b，c，d成比例，且a＝6dm，b＝3dm，d＝dm，求线段c的长度．20．若＝，求的值．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．22．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．24．某小区居民筹集资金1600元，计划在两底分别为10m、20m梯形空地上种植种植花木，如图：（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，计算种满△BMC地带所需费用．（2）若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选哪种花木，刚好用完所筹资金？25．如图，已知在△ABC和△EBD中，．（1）若△ABC与△EBD的周长之差为60cm，求这两个三角形的周长．（2）若△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，求这两个三角形的面积．26．某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、、，只能F是M或N 时，其各边是6、2，2．与△ABC各边对应成比例，故选C．2．解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．3．解：∵DE∥BC，∴＝＝，故选：C．4．解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，则A′B′＝C′D′＝3+2＝5，A′D′＝B′C′＝5+2＝7，∴，，∴，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．5．解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠P AC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．6．解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE＝AD，∴＝．故选：D．7．解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴AD∥A′D′，∴△OAD∽△OA′D′，∴OA：O′A′＝AD：A′D′＝1：3，∴S四边形ABCD：S四边形A´B´C´D´＝1：9．故选：A．8．解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：＝，解得x＝2.2，2.2﹣1.7＝0.5m，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m．故选：A．9．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵＝，∵＝，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，＝（）2＝，故C选项正确，D选项错误．故选：C．10．解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴＝，＝，∴+＝+＝＝1．∵AB＝1，CD＝3，∴+＝1，∴EF＝．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．解：∵，∴﹣2＝，＝2+＝，∴+1＝+1，即＝．故答案为：．12．解：∵a+c+e＝3（b+d+f），由等比性质，得k＝＝＝3，故答案为：3．13．解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k＝＝．故答案为：．14．解：∵△A′B′C′∽△ABC，∴△A′B′C′的周长：△ABC的周长＝A′B′：AB，∵在△ABC中，AB＝12cm，BC＝18cm，AC＝24cm，∴△ABC的周长为：54cm，∵△A′B′C′的周长为18cm，∴A′B′：AB＝A′C′：AC＝B′C′：BC＝，∴A′B′＝4cm，B′C′＝6cm，A′C′＝8cm．故答案为：4cm，6cm，8cm．15．解：如图所示，延长AC交x轴于B′．则点B、B′关于y轴对称，CB＝CB′．作AD⊥x轴于D点．则AD＝3，DB′＝3+1＝4．∴AB′＝AC+CB′＝AC+CB＝5．即光线从点A到点B经过的路径长为5．16．解：∵EF是△ODB的中位线，∴DB＝2EF＝2×2＝4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴＝，即＝，解得AC＝．故答案为：．17．解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵＝，∴＝（）2＝，，∴S△ABC＝18，故答案为：18．18．解：设CE＝x，S△BEF＝a，∵CE＝x，BE：CE＝2：1，∴BE＝2x，AD＝BC＝CD＝AD＝3x；∵BC∥AD∴∠EBF＝∠ADF，又∵∠BFE＝∠DF A；∴△EBF∽△ADF∴S△BEF：S△ADF＝＝＝，那么S△ADF＝a．∵S△BCD﹣S△BEF＝S四边形EFDC＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF，∴x2﹣a＝9x2﹣×3x•2x﹣，化简可求出x2＝；∴S△AFD：S四边形DFEC＝：＝：＝9：11，故答案为9：11．三、解答题（共66分）19．解：∵线段a，b，c，d成比例，∴cd＝ab，即c＝6×3，解得c＝12；综上，线段c的长度为12dm．20．解：∵＝，∴8x﹣6y＝x﹣y，x＝，∴＝＝．21．解：令＝k．∴a+4＝3k，b+3＝2k，c+8＝4k，∴a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8．又∵a+b+c＝12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）＝12，∴k＝3．∴a＝5，b＝3，c＝4．∴△ABC是直角三角形．22．（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵＝．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．23．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝ED，∴，∵DF＝DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF＝DC，正方形的边长为4，∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC+CG＝10．24．解：（1）∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴∠MAD＝∠MCB，∠MDA＝∠MBC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMD：S△BMC＝（10：20 ）2＝1：4．∵种植△AMD地带花费160元，单价为8元/m2，∴S△AMD＝20m2，∴S△CMB＝80m2，∴△BMC地带所需的费用为8×80＝640（元）；（2）设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h．∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4，∵S△BCM＝×20h2＝80，∴h2＝8，∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•h＝×（10+20）×（4+8）＝180．∴S△AMB+S△DMC＝180﹣20﹣80＝80（m2），∵160+640+80×12＝1760（元），160+640+80×10＝1600（元），∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．25．解：（1）∵，∴△ABC∽△DBE，∴△ABC的周长：△EBD的周长＝，设△ABC的周长为5k，△EBD的周长为2k，∴5k﹣2k＝60，∴k＝20，∴△ABC的周长＝100cm，△EBD的周长＝40cm；（2）∵，∴△ABC∽△DBE，∴＝（）2＝，∵△ABC与△EBD的面积之和为812cm2，∴S△ABC＝812×＝700，S△EBD＝812×＝112．26．解：由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴＝，∴＝，解得BD＝13.6．答：河宽BD是13.6米．。

新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末复习题含答案解析 (13)

一、选择题1.如图，DE∥BC，若S ADE:S ABC=4:25，AD=4，则BD的值为( )A．5B．6C．7D．82.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为( )A．α=30∘，β=30∘B．α=105∘，β=30∘C．α=30∘，β=105∘D．α=105∘，β=45∘4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CB=7，AC=9，以C为圆心、3为半径作⊙C，PAP+BP的最小值为( )为⊙C上一动点，连接AP，BP，则13A．7B．5√2C．4+√10D．2√135.如图，在△ABC中，AC和AB上的高BD，CE交于点O，下列结论错误的是( )A．CO⋅CE=CD⋅CA B．OE⋅OC=OD⋅OBC．AD⋅AC=AE⋅AB D．CO⋅DO=BO⋅EO6.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为A．(√2,0)B．(32,32)C．(√2,√2)D．(2,2)7.如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C；直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若ABBC =23,,则DEDF=( )A．23B．25C．35D．328.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿岀随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示，已知小丽同学的身高是 1.54m，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于( )A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m9.下列四条线段中，不能成比例的是( )A．a=4，b=8，c=5，d=10B．a=2，b=2√5，c=√5，d=5C．a=1，b=2，c=3，d=4D．a=1，b=2，c=2，d=410.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于( )A．4B．165C．245D．5二、填空题11.相似多边形的对应边，对应角．12.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形的面积之和为．13.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是mm．14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长为．AB，延长CD到F，使DF=DC，15.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE=12连接EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是．16.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12．在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放，则最多能叠放个．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4√5，D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为．三、解答题18.某矩形场地长20m，宽16m．(1) 如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有x m宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？(2) 如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗？(3) 如果变化如图③所示，它们能相似吗？若能相似，求x，y满足的关系；(4) 如果变化如图④所示，矩形ABCD与矩形ADEF能否相似？若能相似，求x的值（其中a>b）．19.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点．(1) 求证：AC2=AB⋅AD．(2) 求证：CE∥AD．的值．(3) 若AD=4，AB=6，求ACAF20.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．(1) 求证：四边形EFDG是菱形；GF⋅AF；(2) 求证：EG2=12(3) 若AG=6，EG=2√5，求BE的长．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=4，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，5∠EDA=∠B，AE∥BC．(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明；(2) 设CD=x，AE=y, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．22.如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(3,4)，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 求点B的坐标；AC时，求t的值；(2) 当MN=12(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．23.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AAʹ，BBʹ，∵AO=AʹO，BO=BʹO，∴AOBO =AʹOBʹO．又∠1=∠2，∴△AAʹO∽△BBʹO，有AOBO =AAʹBBʹ，∵AO=1.25，BO=16.5，AAʹ=0.85，∴1.2516.5=0.85BBʹ，解得BBʹ=11.22，即长臂端点B升高了11.22m．”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．24.如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．(1) 求证：△AEF∽△DCE．(2) 若AB=3，AE=4，DE=6，求线段BF的长．25.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于O．(1) 求证：△COM∽△CBA；(2) 求线段OM的长度．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=425，∴ADAB =25，∵AD=4，∴AB=10，∴BD=AB−AD=10−4=6．【知识点】相似三角形的性质2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等【知识点】相似三角形的性质4. 【答案】B【解析】如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM，∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC2=CM⋅CA，∴PCCA =CMCP，∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA =PCAC=13，∴PM=13PA，∴13AP+BP=PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM=90∘，CM=1，BC=7，∴BM=√12+72=5√2，∴13AP+BP≥5√2，∴13AP+BP的最小值为5√2．故选：B．【知识点】两边成比例且夹角相等【知识点】两角分别相等6. 【答案】C【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，∴OA:OD=1:√2．∵点A的坐标为(1,0)，即OA=1，∴OD=√2．∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√2．∴E点的坐标为(√2,√2)．【知识点】位似7. 【答案】B【解析】因为ABBC =23，所以ABAC =25，因为a∥b∥c，所以DEDF =ABAC=25．【知识点】平行线分线段成比例定理8. 【答案】B【解析】由题意可知AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，∴△ABC∽△EDC，∴ABED =BDDC，即 1.5ED=0.54，∴DE=12m．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【解析】A、4×10=5×8，能成比例；B、2×5=2√5×√5，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】C【解析】如图，延长CE交AD于F，连接BD．∵∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵∠ACB=90∘，CE为中线，∴CE=AE=BE=2.5，∴∠ACF=∠BAC，又∵∠AFC=∠BCA=90∘，∴△ABC∽△CAF，∴CFAC =ACBA，即CF4=45，∴CF=3.2，∴EF=CF−CE=0.7，由折叠可得，AC=DC，AE=DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD=2EF=1.4，∵AE=BE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180∘，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90∘，∴Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√52−1⋅42=245．【知识点】三角形的中位线、两角分别相等、勾股定理、轴对称的性质、对应边成比例二、填空题11. 【答案】成比例；相等【知识点】相似图形的性质12. 【答案】10.5【知识点】两角分别相等、面积比等于相似比的平方13. 【答案】(240√3−360)【解析】如图，作△ABC的高AD，交PN于点E．因为三角形ABC为正三角形，所以BD=12BC=60mm，由勾股定理得AD=√AB2−BD2=√1202−602=60√3(mm)．设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，所以AE=AD−ED=(60√3−x)mm，因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以PNBC =AEAD，即x120=√3−x60√3，解得x=240√3−360，所以加工成的正方形零件的边长是(240√3−360)mm．【知识点】基本定理14. 【答案】√10【解析】因为BC的垂直平分线MN交AB于点D，所以CD=BD=3，所以∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以ACAB =ADAC，所以AC2=AD×AB=2×5=10，所以AC=√10．【知识点】对应边成比例、垂直平分线的性质、两角分别相等15. 【答案】1:16【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△BEG∽△CFG，∴S△BEGS△CFG =(BECF)2，∵BE=12AB，CF=2CD=2AB，∴BECF =14，∴S△BEGS△CFG =116．【知识点】基本定理、面积比等于相似比的平方、平行四边形及其性质16. 【答案】22【解析】作CD⊥AB，垂足为D．∵AC=5，BC=12，∠ACB=90∘．∴AB=13．∴CD=12×5÷13=6013≈4.6．∴可以放4层．由题意结合相似三角形的性质得，第一层可放13×(6013−1)÷6013≈10（个）（取整数部分），第二层可放13×(6013−2)÷6013≈7（个）（取整数部分），第三层可放13×(6013−3)÷6013≈4（个）（取整数部分），第四层可放13×(6013−4)÷6013≈1（个）（取整数部分），故一共可放10+7+4+1=22（个）．【知识点】用代数式表示规律、相似三角形的性质17. 【答案】8【知识点】两角分别相等、二次函数的最值三、解答题18. 【答案】(1) ∵AB=CD=20，AD=BC=16，EF=GH=20−2x，EH=FG=16−2x，∴EFAB =20−2x20=1−x10，EHAD=16−2x16=1−x8．∵1−x10≠1−x8，∴EFAB ≠EHAD．∴小路内外边缘所成的矩形不相似．(2) ∵20>16，∴20−x>16−x，∴EF>FG．如果两个矩形相似，那么有EFAB =FGBC，即20−x20=16−x16，解得x=0，不符合题意．∴两个矩形不相似．(3) 能．当20−x20=16−y16时，解得x=54y(0<y<16)．当20−x16=16−y20时，解得y=54x−9(7.2<x<20)．∴当x=54y(0<y<16)或y=54x−9(7.2<x<20)时，两个矩形相似．(4) 假设矩形ABCD与矩形ADEF相似，则DEBC =ADAB，即a−xb=ba，解得x=a2−b2a．∴矩形ABCD与矩形ADEF能相似，x=a2−b2a．【知识点】相似图形的性质、相似图形的定义19. 【答案】(1) ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90∘，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC=AC:AB，∴AC2=AB⋅AD．(2) ∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD．(3) ∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF，∵CE=12AB，∴CE=12×6=3，∵AD=4，∴43=AFCF，∴ACAF =74．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、基本定理20. 【答案】(1) ∵EG∥DC，∴∠DFA=∠EGF，又∵∠EFA=∠DFA，EG=GD，DF=EF，∴∠EFA=∠EGF，∴EF=EG=FD=GD，∴四边形EFDG是菱形．(2) 连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH=12GF，∴∠FEH+∠EFH=90∘，∵∠EAF+∠EFA=90∘，∴∠EAF=∠FEH．又∵∠EFH=∠AFE，∴△FEH∽△FAE，∴EFAF =FHEF，即EF2=FH⋅AF，∴EG2=12GF⋅AF．(3) ∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴(2√5)2=12GF(6+GF)，∴GF=4，AF=10．∵DF=EG=2√5，∴AD=BC=√AF2−DF2=4√5，DE=2EH=√EG2−(12GF)2=8，∵∠CDE+∠DFA=90∘，∠DAF+∠DFA=90∘，∴∠CDE=∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴ECDF =DEAF，即2√5=810，∴EC=8√55，∴BE=BC−EC=12√55．【知识点】两角分别相等21. 【答案】(1) △ADE∽△DBA．(2) y=x2+16x+3（x>0）．(3) 4或256．【知识点】两角分别相等22. 【答案】(1) 过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：∵C(3,4)，∴CH=4，OH=3，∴OC=√42+32=5，∵四边形OABC是菱形，∴CB=OC=5，5+3=8，∴点B的坐标为(8,4)．(2) 分两种情况：①当0≤t≤5时，如图2所示：∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．∵MN∥AC，∴△OMN∽△OAC，∴MNAC =OMOA．∵MN=12AC，∴OM =12OA ∴OM =52，∴t =52．②当 5≤t ≤10 时，如图 3 所示：设直线 MN 与 OA 交于点 E ，同①可得 AM =52．∵OC ∥AB ，MN ∥AC ，∴∠COA =∠MAE ，∠CAO =∠MEA ， ∴△AEM ∽△OAC ． ∴AE OA=AM OC．∵OC =OA ， ∴AM =AE ， ∴OE =152，∴t =152．综上所述：t =52 或 t =152．(3) 分两种情况：①当 0≤t <5 时（如图 1），S △OAC =12OA ⋅CH =10． ∵△OMN ∽△OAC ， ∴S △OMN S △OAC=(OM OA)2，即S △OMN 10=(t 5)2，∴S =25t 2(0≤t <5)；②当 5≤t ≤10 时，过点 M 作 MT ⊥x 轴于 T ，如图 4 所示：由 △BMN ∽△AME 可知，MT =45(t −5)，∴S △OMN =S △ONE −S △OME =−25(t −5)2+10．综上所述：S ={25t 2,0≤t <5−25(t −5)2+10,5≤t ≤10．∴ 当 t =5 时，S 最大值=10．【知识点】两角分别相等、菱形的性质、二次函数的最值、面积比等于相似比的平方、基本定理、平面直角坐标系及点的坐标、对应边成比例23. 【答案】不正确，作AʹC⊥AB，BʹD⊥AB，∴∠AʹCO=∠BʹDO=90∘．又∠1=∠2，∴△OCAʹ∽△ODBʹ，∴AʹCBʹD =AʹOBʹO．∵AʹO=AO=1.25(m)，BʹO=BO=16.5，AʹC=0.85，∴0.85BʹD =1.2516.5，解得BʹD=11.22(m)，即长臂端点B升高了11.22m．【知识点】相似三角形的应用24. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠F=90∘∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF=180∘−90∘=90∘，∴∠CED=∠F，又∵∠A=∠D=90∘，∴△AFE∽△DEC．(2) ∵△AFE∽△DEC，∴AEDC =AFED，∵AB=CD=3，AE=4，DE=6，∴43=3+BF6，解得BF=5．答：线段BF的长为5．【知识点】两角分别相等、矩形的性质、对应边成比例25. 【答案】(1) ∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90∘，在矩形ABCD中，∠B=90∘，∴∠COM=∠B，又∵∠MCO=∠ACB，∴△COM∽△CBA．(2) ∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10，∴OC=5，∵△COM∽△CBA，∴OCBC =OMAB，即58=OM6，∴OM=154．【知识点】两角分别相等、对应边成比例。

九年级数学上册单元清五检测内容第四章图形的相似新版北师大版(含参考答案)

九年级数学上册：检测内容：第四章图形的相似得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面不是相似图形的是( A ),A),B) ,C),D)2．已知b a ＝513，则a －ba ＋b 的值是( D )A.23B.32C.94D.493．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，点O 为位似中心，若OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB 为( D )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶1,第3题图) ,第4题图),第5题图) ,第6题图)4．如图，P 是△ABC 的AC 边上一点，连接BP ，以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是( B )A ．AB 2＝AP ·AC B ．AC ·BC ＝AB ·BP C ．∠ABP ＝∠C D ．∠APB ＝∠ABC5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝35，则S △ADES 梯形DBCE的值是( B )A.35B.916C.53D.16256．为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A ，再在河的这一边选两点点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后再在河岸上选一点E ，使得EC ⊥BC ，设BC 与AE 交于点D ，如图所示，测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，那么这条河的大致宽度是( C )A ．75米B ．25米C ．100米D ．120米7．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于( B )A ．1B ．2C ．3D ．4,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)8．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ，下列结论错误的是( C )A ．∠C ＝2∠AB ．AD 2＝DC ·AB C ．△BCD ∽△ABD D ．BD ＝AD ＝BC9．如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG的值为( B )A.23B.712C.12D.51210．(2018·梧州)如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( D ) A ．3∶2 B ．4∶3 C ．6∶5 D ．8∶5 二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需要添加一个条件是∠A ＝∠D .(写出一种情况即可)12．如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，OA ＝4，OB ＝6，OD ＝6，则OC ＝9.,第12题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图)13．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，已知S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝2∶3.14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，4)，B(－4，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是(－1，2) .15．(2018·上海)如图，已知正方形DEFG 的顶点D ，E 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB ，AC 上．如果BC ＝4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是 .16．如图是一山谷的横断面的示意图，宽AA ′为15 m ，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA ＝5 m ，OB ＝10 m ，O ′A ′＝3 m ，O ′B ′＝12 m(A ，O ，O ′，A ′在同一条水平线上)，则该山谷的深h 为20 m.,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，n 个全等三角形排列在一条直线BC 上，P n 为A n C n 的中点，若BP n 交A 1C 1于Q ，则C 1Q 与A 1Q 的等量关系为A 1Q ＝(2n －1)C 1Q.18．在Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，点D ，E 分别是线段AB ，AC 上的两个动点(不与点A ，B ，C 重合)．沿DE 翻折△ADE ，使得点A 的对应点F 恰好落在直线BC 上，当DF 与Rt △ABC 的一条边垂直时，线段AD 的长为__________．三、解答题(共66分)19．(7分)如图，△ABC 在方格中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系xOy ，使A(2，3)，C(6，2)，并写出点B 的坐标； (2)在(1)的条件下，以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的△A ′B ′C ′.解：(1)B (2，1) (2)画图略20．(8分)如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm ，球目前在E 点位置，AE ＝60 cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)证明：由对称性可知∠EFG ＝∠DFG ，又∵GF ⊥BC ，∴∠EFB ＝∠DFC.又∵在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)由(1)可知△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，∴70130＝260－CFCF，∴CF ＝169 cm21．(9分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF(2)由(1)知△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF .又∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DEEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC22．(9分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在BC 和AC 边上，点G 是BE 上的一点，且∠BAD ＝∠BGD ＝∠C ，连接AD ，AG ，DG.求证：(1)BD ·BC ＝BG ·BE ； (2)∠BGA ＝∠BAC.证明：(1)∵∠BGD ＝∠C ，∠GBD ＝∠CBE ，∴△BDG ∽△BEC ，∴BD BE ＝BG BC ，∴BD ·BC ＝BG ·BE(2)∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BD AB ＝AB BC，∴AB 2＝BD ·BC.又由(1)知BD ·BC ＝BG ·BE ，∴AB 2＝BG ·BE ，∴BG AB ＝AB BE.又∵∠GBA ＝∠ABE ，∴△GBA ∽△ABE ，∴∠BGA ＝∠BAC23．(9分)如图，为测量山峰AB 的高度，在相距50 m 的D 处和F 处分别竖立高均为2 m 的标杆DC 和FE ，且AB ，CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后2 m 到G 处可以看到山峰A 和标杆顶点C 在同一直线上，从标杆FE 退后4 m 到H 处可以看到山峰A 和标杆顶点E 在同一直线上，求山峰AB 的高度及山峰与标杆CD 之间的水平距离BD 的长．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD .又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ，∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ，∴22＋BD ＝44＋50＋BD ，解得BD ＝50 m ，∴2AB ＝22＋50，解得AB ＝52 m24．(11分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．(1)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的“完美分割线”，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(2)如图②，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的“完美分割线”，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求“完美分割线”CD 的长．解：(1)∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°.①当AD ＝CD 时，∠ACD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时，∠ADC ＝∠A ＝48°＝∠BCD ，这与∠ADC ＝∠BCD ＋∠B 相矛盾，舍去．∴∠ACB ＝96°或114°(2)由已知可知AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ，∴BC BA ＝BD BC ＝CD AC .设BD ＝x ，∴(2)2＝x (x＋2)，解得x ＝3－1或x ＝－3－1(舍去)．∴CD AC ＝3－12，∴CD ＝3－12×2＝6－225．(13分)在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上的一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB.(1)若四边形ABCD 为正方形，①如图①，请直接写出AE 与DF 之间的数量关系：DF ＝2AE ；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到如图②所示的位置，连接AE ，DF ，猜想AE 与DF 之间的数量关系，并说明理由；(2)如图③，若四边形ABCD 为矩形，BC ＝mAB ，其他条件都不变，将△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，连接AE ′，DF ′，请在图③中画出草图，并直接写出AE ′与DF ′之间的数量关系．解：(1)①点拨：∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BD ＝2AB. ∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2BE ，∴BD －BF ＝2AB －2BE ，即DF ＝2AE ，故答案为DF ＝2AE②DF ＝2AE ，理由如下：由题意可知∠ABE ＝∠DBF ，∵BF BE ＝2，BD AB ＝2，∴BF BE ＝BDAB，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF AE ＝BFBE ＝2，故DF ＝2AE(2)如图③，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝1＋m 2AB.∵EF⊥AB ，∴EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴BE BA ＝BF BD ，∴BF BE ＝BD BA＝1＋m 2.∵△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴BF′BE′＝BDBA＝1＋m 2，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴DF′AE′＝BD BA＝1＋m 2，即DF ′＝1＋m 2AE ′单元清五1．A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10．D 11.∠A ＝∠D(答案不唯一) 12.9 13.2∶314．(－1，2)或(1，－2) 15.127 16.20 m17．A 1Q ＝(2n －1)C 1Q 18.209或 20719．解：(1)B(2，1) (2)画图略20．解：(1)证明：由对称性可知∠EFG ＝∠DFG ，又∵GF ⊥BC ，故∠EFB ＝∠DFC.又∵在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)由(1)可知△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，∴70130＝260－CFCF，∴CF ＝169 cm21．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF(2)由(1)知△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF .又∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DEEF.又∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC22．证明：(1)∵∠BGD ＝∠C ，∠GBD ＝∠CBE ，∴△BDG ∽△BEC ，∴BD BE ＝BGBC，∴BD ·BC＝BG ·BE(2)∵∠BAD ＝∠C ，∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴BD AB ＝AB BC，∴AB 2＝BD ·BC.又由(1)知BD ·BC ＝BG ·BE ，∴AB 2＝BG ·BE ，∴BG AB ＝AB BE.又∵∠GBA ＝∠ABE ，∴△GBA ∽△ABE ，∴∠BGA ＝∠BAC23．解：∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，∴CD AB ＝DG DG ＋BD ，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD .又∵CD ＝DG ＝EF ＝2 m ，DF ＝50 m ，FH ＝ 4 m ，∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝450＋4＋BD ，∴22＋BD ＝44＋50＋BD ，解得BD ＝50 m ，∴2AB ＝22＋50，解得AB ＝52 m 24．解：(1)∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°.①当AD ＝CD 时，∠ACD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时，∠ADC ＝∠A ＝48°＝∠BCD ，这与∠ADC ＝∠BCD ＋∠B 相矛盾，舍弃．∴∠ACB ＝96°或114°(2)由已知可知AC ＝AD ＝2，∵△BCD ∽△BAC ，∴BC BA ＝BD BC ＝CD AC .设BD ＝x ，∴(2)2＝x(x＋2)，解得x ＝3－1或x ＝－3－1(舍去)．∴CD AC ＝3－12，∴CD ＝3－12×2＝6－ 225．解：(1)①DF ＝2AE 点拨：∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BD ＝2AB.∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，∴BF ＝2BE ，∴BD －BF ＝2AB －2BE ，即DF ＝2AE ，故答案为DF ＝2AE②DF ＝2AE ，理由如下：由题意可知∠ABE ＝∠DBF ，∵BF BE ＝2，BD AB ＝2，∴BF BE ＝BDAB，∴△ABE ∽△DBF ，∴DF AE ＝BFBE＝2，故DF ＝2AE(2)如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝1＋m 2AB.∵EF⊥AB ，∴EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴BE BA ＝BF BD ，∴BF BE ＝BD BA＝1＋m 2.∵△EBF 绕点B 顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E ′BF ′，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴BF′BE′＝BD BA ＝1＋m 2，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴DF′AE′＝BD BA ＝1＋m 2，即DF ′＝1＋m 2AE ′。

(北师大版)长春市九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．点B把线段AC分成两部分，如果BC ABAB AC=＝k，那么k的值为（）A．512+B．512-C．5＋1 D．5－12．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC BC>，则下列各式中不正确的是（）A．512AC AB+=B．352BC AB-=C．512AB AC+=D．::AB AC AC BC=3．如图，在Rt ABC中，90C∠=︒，3AC=，4BC=，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将BDP△沿DP所在的直线翻折后，点B落在1B处，若1B D BC⊥，则点P与点B之间的距离为（）A．1或5 B．1或3 C．54或3 D．54或54．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（540）cm B．（540）cmC．（120﹣5cm D．（5160）cm5．如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①12DEAB=；②14CD CE DEAC BC AB++=++；③CD EFCA FA=；④13FDECDESS=△△．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．若三条线段a 、b 、c 的长满足512a b b c +==，则将这三条线段首尾顺次相连（）A ．能围成锐角三角形B ．能围成直角三角形C ．能围成钝角三角形D ．不能围成三角形7．如图，在△ABC 中，EF //BC ，EG //AB ，则下列式子一定正确的是（）A ．AE EF EC CD = B ．EF EG CD AB = C ．CG AF BC AD = D ．AF BG DF GC= 8． OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A 的坐标为()3,33，OAB 与OA B ''△关于点О成位似图形，且在点О的同一侧，OAB 与OA B ''△的位似比为1：2，则点A 的对应点A '的坐标是（）A ．(6,63-B ．(6,63-C ．(3,33--D ．(6,63 9．如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AC ．下列比例式中，正确的是（）A ．AD DE BD BC =B ．DF DE AC BC = C ．AD DE AB BC = D ．AE BF EC FC = 10．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（）A ．14B ．9C ．425D ．36511．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DC AB AC= D ．2AC BC CD =⋅ 12．正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为（）A ．556B ．25-33C ．4515D ．33二、填空题13．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小红在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，此时恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小红又在点1C 处直立高3m 的竹竿11C D ，然后退到点1E 处，此时恰好看到竹竿顶端1D 与电线杆顶端B 重合．小红的眼睛离地面高度 1.5EF m =，量得2CE m =，18EC m =，114C E m =，则电线杆AB 的高度为______m ．14．若ABC DEF ∽△△，且相似比为2:1，ABC 的面积为20，则DEF 的面积为______．15．如图，正方形ABCD 和正方形EFOG 是位似图形，其中点A 与点E 对应，点A 的坐标为()4,2-，点E 的坐标为()1,1-，则这两个正方形位似中心的坐标为______．16．如图，小明在A 时测得某树的影长为1.5m ，B 时又测得该树的影长为6m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m ．17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，已知斜边DF 保持水平并且边DE 与点B 在同一直线上，若DE ＝40cm ，EF ＝20cm ．DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝8m ，则树的高度AB ＝________米．18．给出下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②一条线段只有两个黄金分割点；③两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长；④所有六边形都相似，其中正确的是_____．（填序号）19．如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若:3:5DE AC =，则AD AB的值为________．20．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =．P 为边BC 上的一个动点，点D 在边AC 上，且始终保持APD B ∠=∠，若PCD 为直角三角形，则线段BP 的长为__________．三、解答题21．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，若∠A ＝35°，∠C ＝85°，∠ADE ＝60°．（1）请说明：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD ＝4，AE ＝3，BE ＝5，求AC 的长．22．体验：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点M 在BC 边上，当∠AMD＝90°时，可知△ABM △MCD （不要求证明）．探究：如图2，在四边形ABCD 中，点M 在BC 上，当∠B ＝∠C ＝∠AMD 时，求证：△ABM ∽△MCD ．拓展：如图3，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠B ＝∠C ＝∠DME ＝45°，BC ＝82，CE ＝6，求DE 的长．23．如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于点E ，已知D DCE ∠=∠．（1）求证：ADF ECF ∽△△；（2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．24．如图，已知CD 是Rt ABC 斜边上的中线，过D 作AC 的平行线，过点C 作CD 垂线，两线相交于点E ．（1）求证：ACB DCE △△；（2）若3,4CE CD ==，求线段CB 的长．25．如图1，在等边ABC 中，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EDF=60．（1）求证：BDE CFD △∽△；（2）若点D 移至BC 的中点，如图2，求证：FD 平分EFC ∠．26．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使CE BC =，连接DE ，连接AE 交BD 于点G ，交CD 于点H ．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）求证：2DG FG BG =⋅；（3）若10AB =，12BC =，求线段GH 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>， ∴15k -±=负值舍去)， ∴51k -= 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．2．A解析：A【分析】由黄金分割点的定义得AC=51-AB ，AB ：AC=AC ：BC ，则AB=51+AC ，BC=AB-AC=352AB ，即可得出结论．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴AC=512-AB ，AB ：AC=AC ：BC ， ∴AB=512+AC ，BC=AB-AC=352AB ，故选项A 符合题意，选项B 、C 、D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．3．D解析：D【分析】分点B 1在BC 左侧，点B 1在BC 右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线可证△BED ∽△BCA ，可得12BD BE DE AB BC AC ===，可求BE ，DE 的长，由勾股定理可求PB 的长．【详解】解：如图，若点B 1在BC 左侧，B 1D 交BC 于E ，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴225AC BC +，∵点D 是AB 的中点，∴BD=12BA=52，∵B 1D ⊥BC ，∠C=90°，∴B 1D ∥AC ，∴∠BDE=∠A ，∠EBD=∠CBA ，∴△BED ∽△BCA ， ∴12BD BE DE AB BC AC ===， ∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32， ∵折叠， ∴B 1D=BD=52，B 1P=BP ， ∴B 1E=B 1D-DE=1， ∴在Rt △B 1PE 中，B 1P 2=B 1E 2+PE 2，∴BP 2=1+（2-BP ）2，∴BP=54，如图，若点B 1在BC 右侧，延长B 1D 交BC 与E ，∵B 1D ⊥BC ，∠C=90°，∴B 1D ∥AC ，∴∠BDE=∠A ，∠EBD=∠CBA ，∴△BED ∽△BCA ，∴12BD BE DE AB BC AC ===， ∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32， ∵折叠， ∴B 1D=BD=52，B 1P=BP ， ∵B 1E=DE+B 1D=32+52， ∴B 1E=4，在Rt △EB 1P 中，B 1P 2=B 1E 2+EP 2，∴BP 2=16+（BP-2）2，∴BP=5，则点P 与点B 之间的距离为54或5．故选择：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．4．D解析：D【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC ＝BD ＝40，进而得出答案．【详解】解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝80=40， ∴CD ＝BD ﹣（AB ﹣BD ）＝2BD ﹣AB ＝160，故选：D ．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较叫做黄金比． 5．C解析：C【分析】根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：在△ABC 中，中线AE 、BD 相交于点F ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE AB ＝12，故①正确； ∴△CDE ∽△CAB ， ∴12CD DE CA AB ==，12CD CE DE DE AC BC AB AB ++==++，故②错误； ∵DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴12EF DE AF BA ==，∴CD EF CA FA =，故③正确； ∵CD ＝DA，12EF AF =， ∴S △CDE ＝S △ADE ，13DEF ADE S S ∆∆=， ∴FDE CDE S S ∆∆＝13，故④正确；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．D解析：D【分析】根据比例线段和三角形三边关系解答即可．【详解】解：∵三条线段a 、b 、c 的长满足51a b b c +==， ∴设(51)a k =+，2b k =，则(51)c k =-∵(5+1)(51)2k k k =-+∴不能围成三角形，故选：D ．【点睛】此题考查了比例线段，关键是根据比例线段和三角形三边关系解答．7．D解析：D【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可．【详解】∵EG //AB ，EF //BC ，∴AE AF AC FD=，∵AC≠EC ∴AE EF EC CD=不成立， ∴选项A 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴EF AE CD AC =，EG EC AB AC=， ∵AE≠EC ， ∴EF EG CD AB=不成立， ∴选项B 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴CG CE CB CA =DF DA=， ∵DF≠AF ∴CG AF BC AD=不成立， ∴选项C 错误；∵EG //AB ，EF //BC ， ∴AF AE DF EC =，AE BG EC GC =， ∴AF BG DF GC=， ∴选项D 正确；故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据位似图形的性质和△OAB 和△OA B ''的位似比为1:2，即可求出两三角形的相似比为1:2，即可根据点A 的坐标求出点A '的坐标；【详解】如图所示：作AC ⊥OB 于点C ，∵A(3，33，AC ⊥OB ，∴ OC=3， AC=33 ∴ 229276OA OC AC =+=+=，∵ △AOB 和△OA B ''的位似比为1:2，∴ OA '=2OA=12，即△AOB 和△OA B ''的相似比为1:2，∴ A '(6，3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似图形与位似图形的性质，正确理解位似图形是解题的关键． 9．C解析：C【分析】利用平行线分线段成比例以及相似三角形的性质一一判断即可．【详解】解： ∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △△∽， ∴AD DE AB BC=，故选项A 错误，选项C 正确， ∵DF ∥AC ， ∴BDF BAC △∽△， ∴BD DF AB AC =， ∴DF DE AC BC≠，故选项B 错误， ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴AD AE BD EC =，AD FC BD BF =， ∴AE FC EC BF=，故选项D 错误，∴故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握相关知识点并能准确判断对应的比例线段．10．C解析：C【分析】连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ∽△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝6，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝6，再根据勾股定理求得AC =，BC =125CJ =，进而可求得CR 的长．【详解】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =，∴655a =（舍负） ∴65AC =，1255BC =， ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ∴65125125565CJ ⨯==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425，故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 11．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；②AD DC AB AC=；故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．12．C解析：C【分析】首先过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，于是得到FH ＝AB ＝2，根据勾股定理求得AF ，根据平行线分线段成比例定理求得OH ，由相似三角形的性质求得AM 与AN 的长，即可得到结论．【详解】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，则FH ＝AB ＝2，∵BF ＝FC ，BC ＝AD ＝2，∴BF ＝AH ＝1，FC ＝HD ＝1，∴AF 222221FH AH =++5 ∵OH ∥AE ， ∴12HO DH AE AD ==， ∴OH ＝12AE ＝12， ∴OF ＝FH−OH ＝2−12＝32， ∵AE ∥FO ， ∴△AME ∽△FMO ， ∴23AM AE FM OF ==， ∴AM ＝25AF 25， ∵AD ∥BF ，∴△AND ∽△FNB ， ∴AN AD FN BF=＝2， ∴AN ＝2NF ＝253， ∴MN ＝AN−AM 25−2545．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN 与AM 的长是解题的关键．二、填空题13．5【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式求得BG 的长加上15即为AB 的高【详解】解：∵DC ⊥AE ⊥AEBA ⊥AE ∴DC ∥∥BA ∴∴∵DC ∥BA ∴△FDM ∽△FBG ∴∵N=DM ∴即∴解析：5【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得BG 的长，加上1.5即为AB 的高．【详解】解：∵DC ⊥AE ，11D C ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴DC ∥11D C ∥BA ，∴111F D N F BG ∽, ∴111D N F N BG F G=． ∵DC ∥BA ，∴△FDM ∽△FBG ． ∴DM FM BG FG=． ∵1D N=DM ， ∴11F N FM F G FG =，即 42142GM GM =++． ∴GM=10m ． ∵111D N F N BG F G=， ∴1.5424BG =． ∴BG=9m ． ∴AB=BG+GA=10.5（m ）．故答案是：10.5．【点睛】本题考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．14．5【分析】根据相似三角形的性质计算即可；【详解】∵相似比为2:1∴∵的面积为20∴故答案是5【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质准确分析计算是解题的关键解析：5【分析】根据相似三角形的性质计算即可；【详解】∵ABC DEF ∽△△，相似比为2:1，∴△ABC △:4:1DEF S S =，∵ABC 的面积为20，∴△2045DEF S =÷=，故答案是5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．15．【分析】连接AE 并延长交x 轴于H 求AE 解析式即可【详解】解：∵点与点对应∴点B 与点F 对应BF 都在x 轴上连接AE 并延长交x 轴于H 则点H 为位似中心∵点A 的坐标为（﹣42）点E 的坐标为（﹣11）设AE 的解解析：()2,0【分析】连接AE 并延长交x 轴于H ，求AE 解析式即可．【详解】解：∵点A 与点E 对应，∴点B 与点F 对应，B 、F 都在x 轴上，连接AE 并延长交x 轴于H ，则点H 为位似中心，∵点A 的坐标为（﹣4，2）点E 的坐标为（﹣1，1），设AE 的解析式为y=kx+b ，把（﹣4，2），（﹣1，1）代入得，421k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得，1323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AE 的解析式为1233y x =-+，当y=0时，x=2，H 点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、待定系数法求一次函数解析式，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心是解题的关键．16．3【分析】根据题意画出示意图根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图则∵∴∴∵∴∴∴∴∴即树的高度为3m 故答案是3【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点准确分析计算解析：3【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可；【详解】根据题意做出示意图，则CD EF ⊥，EC CF ⊥，DE 1.5m =，6DF m =，∵CD EF ⊥，∴90EDC CDF ∠=∠=︒，∴90E ECD ∠+∠=︒，∵90ECD DCF ∠+∠=︒，∴E DCF ∠=∠，∴△△EDC CDF ， ∴ED DC DC FD =， ∴29DC ED FD ==，∴3DC m =，即树的高度为3m ．故答案是3．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键． 17．5【分析】根据可得可求得BC 的长树高即可求出树高【详解】故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的应用熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键解析：5【分析】根据DEF DCB ∽△△可得DE EF DC BC =，可求得BC 的长，树高AB BC AC =+即可求出树高．【详解】 400.4DE cm m ==，200.2EF cm m ==，8CD m =90DEF DCB ∠=∠=︒，EDF CDB ∠=∠，∴DEF DCB ∽△△∴DE EF DC BC= ∴0.40.28BC= ∴4BC =， 1.5AC =∴4 1.5 5.5AB BC AC =+=+=故答案为：5.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 18．①②③【分析】根据矩形的判定黄金分割点的定义相似图形的性质判断命题的正确性【详解】对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定之一故①正确；如图则点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点一条线段只有两个黄金分割解析：①②③【分析】根据矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质判断命题的正确性．【详解】对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定之一，故①正确；如图，512AD BC AB AB -==，则点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，一条线段只有两个黄金分割点，故②正确；如图，CG DH ≠，但是EG HF =，两根长度不同的木棍，在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长，故③正确；并不是所有六边形都相似，故④错误．故答案是：①②③．【点睛】本题考查矩形的判定，黄金分割点的定义，相似图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．19．【分析】首先设AE 与CD 相交于F 根据折叠的性质可得△ACF △DEF 是等腰三角形继而证得△ACF ∽△EDF 然后由相似三角形的对应边成比例求得DF ：FC ＝3：5再设DF ＝3xFC ＝5x 即可求得AB 继而求解析：12【分析】首先设AE 与CD 相交于F ，根据折叠的性质可得△ACF 、△DEF 是等腰三角形，继而证得△ACF ∽△EDF ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DF ：FC ＝3：5，再设DF ＝3x ，FC ＝5x ，即可求得AB ，继而求得答案．【详解】∵矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，∴BAC EAC ∠=∠，AE AB CD ==，∵矩形ABCD 的对边//AB CD ，∴DCA BAC ∠=∠，∴EAC DCA ∠=∠，如图，设AE 与CD 相交于点F ，则AF CF =，∴AE AF CD CF -=-，即DF EF =，∴DF EF FC AF=，又∵EFD AFC ∠=∠，∴EDF ACF △△，∵:3:5DE AC = ∴35DF DE CF CA ==， ∴设3DF x =，5FC x =，则5AF x =，在Rt ADF 中，2222(5)(3)4AD AF DF x x x =-=-=，又∵358AB CD DF FC x x x ==+=+=，∴4182AD x AB x ==．故答案为：12 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．20．8或【分析】因为∠C 为定角DP 为动点所以△PCD 为直角三角形有两种情况：∠PDC=90°时△PCD 为直角三角形如详解图根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；当∠DPC=90°时△PCD 为直角三角解析：8或252【分析】因为∠C 为定角，D 、P 为动点，所以△PCD 为直角三角形有两种情况： ①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，作AF BC ⊥，根据△BFA ∽△BAP 求出BP 的长．【详解】分两种情况:①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图：∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠APD=∠B∴∠APD=∠C∵90C DPC ∠+∠=︒∴90APD DPC ∠+∠=︒AP BC ∴⊥∴点P 为BC 中点 ∴12BP BC = 16BC =11682BP ∴=⨯= ②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图，作AF BC ⊥，10,16AB AC BC ===，AF BC ⊥90AFB ∴∠=︒∴点F 为BC 中点1116822BF BC ∴==⨯= ∵∠APD=∠B ，∠DPC=9090APB APD ∴∠+∠=∠︒90APB B ∴∠+∠=︒90BAP ∴∠=︒BFA BAP ∴△∽△AB BF BP AB∴= 10810BP ∴= 252BP ∴=故答案为：8或252．【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据∠A＝35°，∠C＝85°利用三角形内角和定理求得∠B＝60°，再根据∠A是公共角即可求证△ADE∽△ABC；（2）根据△ADE∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例，将已知条件代入即可得出答案．【详解】解：（1）∵∠A＝35°，∠C＝85°∴∠B＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）由相似知：AD AE AB AC=，∵AD＝4，AE＝3，BE＝5，∴AB＝8∴438AC=，∴AC＝6．【点睛】此题主要考查三角形内角和定理和相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，比较简单，要求学生应熟练掌握．22．体验：∽；探究：△ABM∽△MCD；拓展：DE＝10 3【分析】体验：根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC，根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明；拓展：根据相似三角形的性质求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：体验：∵∠AMD＝90°，∴∠AMB+∠DMC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠AMB+∠BAM＝90°，∴∠BAM＝∠DMC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABM ∽△MCD ，故答案为：∽；探究：∵∠AMC ＝∠BAM +∠B ，∠AMC ＝∠AMD +∠CMD ，∴∠BAM +∠B ＝∠AMD +∠CMD ．∵∠B ＝∠AMD ，∴∠BAM ＝∠CMD ，∵∠B ＝∠C ，∴△ABM ∽△MCD ；拓展：同探究的方法得出，△BDM ∽△CME ， ∴BD CM ＝BM CE， ∵点M 是边BC 的中点，∴BM ＝CM ＝，∵CE ＝6，∴＝6，解得，BD ＝163， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，∴AC ＝AB ＝2BC ＝8， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝8﹣163＝83，AE ＝AC ﹣CE ＝2，在Rt △ADE 中，DE 103．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出△ABM ∽△MCD ．23．（1）见详解；（2）2【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；（2）先证明AD ∥BE ，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．【详解】（1）证明：∵D DCE ∠=∠，∠AFD=∠EFC ，∴ADF ECF ∽△△；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BE ，AB ＝CD ＝6，∴AF ：EF ＝DF ：CF ，又∵EF ＝2AF ，∴DF ：CF ＝1：2，即DF ＝13DC ＝2．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 24．（1）见解析；（2）245【分析】（1）根据//AC DE 得到ACD CDE ∠=∠，再根据CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，得出A CDE ∠=∠，即可证明；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可；【详解】（1）∵//AC DE ，∴ACD CDE ∠=∠，∵CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，∴AD CD =， ∴A ACD ∠=∠（等边对等角）；∴A CDE ∠=∠，又∵CE CD ⊥，∴90DCE ∠=︒，在ACB ∆和DCE ∆中，A CDE ∠=∠；90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB DCE ∆∆；（2）∵3CE =，4CD =， 90DCE ∠=︒，由勾股定理得，2222435DE CD CE +=+=，∵CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，∴28AB CD ==，∵ACBDCE ∆∆， ∴AB BC DE EC=，即853BC =，∴245BC =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合勾股定理和直角三角形的性质计算是解题的关键．25．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF ，于是得到△BDE ∽△CFD ；（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD 平分∠EFC ．【详解】解：（1）∵AB=AC=BC ，∴∠B=∠C=60°，∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE ，∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE ，∴∠BED=∠CDF ，∴△BDE ∽△CFD ；（2）∵△BDE ∽△CFD ， ∴BD DE CF DF=， ∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD ， ∴CD DE CF DF= ∵∠EDF=∠C=60°，∴△DEF ∽△CDF ，∴∠DFE=∠CFD ，∴FD 平分∠EFC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）133【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得ADG EBG ∆∆∽，AGF EGD ∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得到2DG FG BG =⋅；（3）由已知可得到DH ，AH 的长，又因为ADG EBG ∆∆∽，从而求得AG 的长，则根据GH AH AG =-就得到了线段GH 的长度．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，AD BC =，延长BC 到点E ，使CE BC =，//AD CE ∴，AD CE =，∴四边形ACED 是平行四边形；（2）证明：ABCD 是矩形，且//AD BC ，ADG EBG ∽， ∴DG AG BG GE=，四边形ACED 是平行四边形，//AC DE ∴，AGF EGD ∽， ∴AG FG EG DG ， ∴DG FG BG DG=， 2DG FG BG ；（3）解：四边形ACED 为平行四边形，AE ，CD 相交点H ， 11522DH DC AB ，12AD CE ==，在Rt ADH ∆中，222AH AD DH =+13AH，在Rt ABE ∆中，222AE AB BE =+，2100576AE ， 26AE， ADG BGE ∽， ∴12AG AD EG BE ， 12AG GE ， 2GEAG ， 12633AGAE ， 26131333GH AH AG．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．。

新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (4)

一、选择题1.下列各组线段中，不能构成比例线段的是( )A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，b=√2，c=√6，d=√3 C．a=0.1，b=0.2，c=1，d=0.5D．a=4，b=6，c=5，d=102.若ab =37，则a+bb=( )A．107B．47C．310D．7103.若ab =34，则a+bb=( )A．2B．74C．54D．324.《九章算术》是中国古代的数学专著．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”大致意思：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME=80步，NF=245步，则正方形的边长为( )A．280步B．140步C．300步D．150步5.若5:x=3:2，则x的值是( )A．152B．215C．310D．1036.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，已知DF=4，则AC的长为( )A．23B．43C．83D．1637.如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=2，OB=OD=3，OC=4.5，下列结论中，正确的是( )A．∠OAD=∠OBC B．ABCD =12C．S△AOBS△COD =12D．S△AODS△BOC=198.中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF．观测者的眼睛（图中用点C表示）与B，F在同一水平线上，则下列结论中，正确的是( )A．EFAB =CFFBB．EFAB=CFCBC．CECA=CFFBD．CEEA=CFCB9.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A．∠ABD=∠ACB B．∠ABD=∠ABCC．AB2=AD⋅AC D．ADAB =ABBC10.下列多边形一定相似的是( )A．两个平行四边形B．两个菱形C．两个矩形D．两个正方形二、填空题11.如图所示，AN:AC=AM:AB=1:3，则MN:BC=．12.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数√5−1（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩2形ABCD为黄金矩形，宽AD=√5−1，则长AB为．13.如图，已知∠ADE=∠B，则△AED∼．14.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=8cm，AE=6cm，CE=3cm，那么DB=cm．15.已知线段a=3，b=6，那么线段a，b的比例中项等于．16.如果点D，E分别在△ABC的边BC，CA上，DE∥AB，CD=2，BD=3，CE=1.2，那么CA=．17.如果x:y=1:2，那么x+yy=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在边BC上，过点D作DE⊥AD交AB于点E，且DE=BE．(1) 求证：△ABC∽△DAC；(2) 若AD2=AC⋅AE，求证：BD=2CD．19.如图，E是△ABC边AC上的中点，且ED⊥AB，垂足为D，AD=2DE，ABAC =√52．(1) 求证：△ABC∽△AED；(2) 若BD=6，求四边形BCED的面积．20.如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长为3米，落在地面上的影子DH的长为5米．根据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1) 该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；(2) 试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．21.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于点E．求证：OC2=OA⋅OE．22.强强为了装饰自己的房间，想制作两个三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2．你认为他可以如何选料使这两个三角形相似？23.已知k=a+bc =b+ca=c+ab，求k的值．24.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=20 cm，AC=15 cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E，H分别在边AB，AC上．(1) 求BC边上的高．(2) 求正方形EFGH的边长．25.如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD=2，DB=3，AE=4，求AC的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】∵4×10≠5×6，∴D中的四条线段不能构成比例线段．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算2. 【答案】A【解析】由ab =37，得a+bb =3+77=107．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算3. 【答案】B【解析】∵ab =34，∴设a=3k，b=4k，∴a+bb =3k+4k4k=74．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算4. 【答案】A【解析】设正方形的边长为x步，∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，∴AM=12AD，AN=12AB，∴AM=AN，由题意，得Rt△AEM∽Rt△FAN，∴MENA =AMFN，∴AM2=80×245=19600，∴AM=140步，∴AD=2AM=280步．【知识点】两角分别相等5. 【答案】D【解析】由比例的基本性质，得3x=10，解得x=103．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算6. 【答案】C【解析】∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2:3，∴AC:DF=2:3，∴AC:4=2:3，则AC=83．【知识点】位似7. 【答案】A【解析】∵OA=2，OB=OD=3，OC=4.5，∴OAOB =ODOC=23，∵∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OBC，∴∠OAD=∠OBC，S△AODS△BOC =49，同理可得△AOB∽△DOC，∴ABCD =AOOD=23，S△AOBS△COD=49，故B，C，D选项不正确．【知识点】两边成比例且夹角相等8. 【答案】B【解析】∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =CFCB=CECA，故选B．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】D【知识点】两边成比例且夹角相等10. 【答案】D【解析】要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A，B，C错误；而两个正方形，对应角都是90∘，对应边的比也都相当，故一定相似，D正确．【知识点】相似图形的定义二、填空题11. 【答案】1:3【知识点】平行线分线段成比例定理12. 【答案】2【解析】∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD=√5−1，∴ADAB =√5−12，√5−1 AB =√5−12，∴AB=2．【知识点】黄金分割13. 【答案】△ACB【知识点】两角分别相等14. 【答案】4【知识点】平行线分线段成比例定理15. 【答案】3√2【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算16. 【答案】3【知识点】对应边成比例、两角分别相等17. 【答案】32【解析】xy +1=12+1，即x+yy=32．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算三、解答题18. 【答案】(1) 略．(2) 略．【知识点】两角分别相等、两边成比例且夹角相等19. 【答案】(1) 易得AEAD =√52，于是AEAD=ABAC，又∠A=∠A，所以△ABC∽△AED．(2) 16．设DE=x，则AD=2x，AE=CE=√5x，于是：2√5x =√52，解得x=2．【知识点】相似三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理20. 【答案】(1) 平行(2) 如图，连接CG，AE，过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N，则MB=EF=2米，ND=GH=3米，ME=BF=10米，NG=DH=5米，所以AM=10−2=8米．由平行投影可知AMME =CNNG，即810=CD−35，解得CD=7米，即电线杆的高度为7米．【知识点】相似三角形的应用、平行投影的相关概念21. 【答案】OCOA =OBOD，OEOC=OBOD．【知识点】平行线分线段成比例定理22. 【答案】要使这两个三角形相似，只要它们的三边对应成比例．设另两边分别为x，y(x<y)，则：① 24=x5=y6，解得x=2.5，y=3；② 25=x4=y6，解得x=1.6，y=2.4；③ 26=x4=y5，解得x=43，y=53．【知识点】三边成比例23. 【答案】k=2或k=−1．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算24. 【答案】(1) 作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=20 cm，AC=15 cm，∴BC=√202+152=25(cm)，∵12BC×AD=12AB×AC，∴AD=AB×ACBC =20×1525=12(cm)．即BC边上的高为12 cm．(2) 设正方形EFGH的边长为x cm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．∴AOAD =EHBC，即12−x12=x25，解得：x=30037，即正方形EFGH的边长为30037cm．【知识点】相似三角形的应用、正方形的性质、勾股定理25. 【答案】∵DE∥BC，∴ADDB =AEEC，即23=4EC，∴EC=6．∴AC=AE+EC=10．【知识点】平行线分线段成比例定理11。

北师大九年级上册数学《第四章图形的相似》检测卷含答案

第四章检测卷时间：120分钟满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．观察下列每组图形，相似图形是（）2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16 3．若x y ＝13，则x ＋y y＝（）A ．4∶3B ．1∶4C ．2∶3D ．4∶14．在比例尺为1∶10000的地图上，相距4cm 的A 、B 两地的实际距离是（） A ．400m B ．400dm C ．400cm D ．400km5．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)（）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m第5题图第6题图6．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是（）A.83B.203C ．6D ．10 7．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（） A ．8和12 B ．9和11 C ．7和13 D ．6和148．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（）A ．4B ．7C ．3D ．12第8题图9. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为（）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)第9题图第10题图第11题图10．如图，已知矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝BE ，那么BC 与AB 的比值是（） A.1＋22 B.1＋32 C.1＋52 D.1＋6211．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（） A ．∠ABP ＝∠C B ．∠APB ＝∠ABC C.AP AB ＝AB AC D.AB BP ＝AC CB12．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE 、BD 交于F ，若S △DEF ∶S △ABF ＝1∶9，则DE ∶EC ＝（） A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶9 D ．2∶1第12题图第13题图第14题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AC ＝AE AB ＝12，∠BAC 的平分线分别交DE ，BC 于点N ，M .则ENBM的值为（）A.12B.13C.25D.3514．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ，使斜边DE 所在的直线经过点A .测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m.已知DF ＝1.5m ，EF ＝0.6m ，那么树AB 的高度等于（）A ．4mB ．4.5mC ．4.6mD ．4.8m15．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB.其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个第15题图第16题图二、填空题(每小题5分，共25分)16．已知图中的两个三角形相似，则x ＝ .17．如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为 .第17题图18．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于厘米．19．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为 .第19题图第20题图20．如图，在三角形ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝12，在AB 上取一点E ，使以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ .三、解答题(共80分)21．(8分)已知a b ＝15，求2b －a 3a 的值．22．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F的度数；(2)如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；(2)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；(3)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标．24．(12分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．25．(12分)如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．26．(14分)如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连接BD 并延长交CE 于点E . (1)求证：△ABD ∽△CED ；(2)若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．27．(16分)如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ，交CD 于F ，作CG ∥AE ，交BF 于G .求证：(1)CG ＝BH ； (2)FC 2＝BF ·GF ；(3)FC 2AB 2＝GF GB.上册第四章检测卷1．D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9．A 10.C 11.D 12.A 13.A 14.A15．B 解析：∵BE ，CD 是△ABC 的中线，即D ，E 是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB .∴S △DOE S △COB ＝⎝⎛⎭⎫DE BC 2＝14，OE OB ＝DE BC ＝AD AB ＝12，可知①正确，②错误，③正确．故选B.16．22 17.9518.(105－10) 19.5.1m20．16或9 解析：∠A 是公共角，△AED 与△ABC 相似分两种情况：①AD 与AC 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AB ＝AD AC ，即AE 24＝1218，解得AE ＝16；②AD 与AB 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AC ＝AD AB ，即AE 18＝1224，解得AE ＝9，∴AE ＝16或9.21．解：∵a b ＝15，∴b ＝5a ，(3分)则2b －a 3a ＝2×5a －a 3a＝3.(8分)22．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1，∠D 和∠D 1，∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.(3分)由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(5分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15 cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)23．解：(1)如图所示，C 1(3，2)；(3分)(2)如图所示，C 2(－6，4)；(6分) (3)D 2的坐标是(2a ，2b )．(10分)24．(1)证明：∵∠EFG ＝∠DFG ，∠BFG ＝∠CFG ＝90°，∴∠EFB ＝∠DFC .(3分)∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF ；(5分)(2)解：∵△BEF ∽△CDF ，∴BE DC ＝FB FC .(7分)设CF ＝x cm ，则105140＝280－xx ，解得x ＝160.(11分)∴CF 的长为160cm.(12分) 25．解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝48＝12，(3分)∴DE ＝12EF ＝6；(5分) (2)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝23，(8分)∴BC ＝32AB ＝32×6＝9，(10分)∴AC ＝AB ＋BC ＝6＋9＝15.(12分)26．(1)证明：在等边△ABC 中，∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°.∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF＝60°，∴∠A ＝∠ACE .(4分)又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；(6分)(2)解：∵△ABD ∽△CED ，AD ＝2CD ，∴AB CE ＝AD CD ＝2，∴CE ＝12AB ＝3.(8分)如图，过E 作EG ⊥BF 交BF 于点G ，在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，CE ＝3，∴CG ＝32，由勾股定理得EG ＝332.(11分)在Rt △BEG 中，BG ＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝⎝⎛⎭⎫1522＋⎝⎛⎭⎫3232＝63＝37.(14分)27．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AE ，∴AB ＝BC ，∠ABH ＋∠BAH ＝∠ABH ＋∠GBC ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG .(3分)∵CG ∥AE ，∴∠AHB ＝∠BGC ＝90°，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH ；(6分)(2)∵△BCF 是直角三角形，CG ⊥BF ，∠CFG ＝∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ，(8分)∴CF BF ＝FGFC ，∴FC 2＝BF ·GF ；(10分)(3)∵∠BGC ＝∠BCF ＝90°，∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC .(12分)∴BC BF ＝BGBC ，即BC 2＝BG ·BF .(14分)由(2)得FC 2＝BF ·GF ，∴FC 2AB 2＝FC 2BC 2＝BF ·GF BG ·BF ＝GFBG.(16分。

(北师大版)厦门市九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(含答案解析)

3．C
解析：C
【分析】
根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、
【详解】
解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；
②一元二次方程x2-3x-4=0
（x-4）（x+，故②正确；
③两个相似三角形的周长的比为，则它们的面积的比为，故③正确；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；
19．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
20．如图，矩形中，，，为的三等分点，连接、交于点，过点作于点，则 ____．
三、解答题
21．如图，在矩形中，，点为边上一点，过点作，且，交于点，连接．
∴EF=6-2x，
∵∠E=∠A，∠FBE=∠ABC，
∴△EBF∽△ABC，
∴ ，
∵AC=6，BE= AB，
∴ ，
∴EF=6-2x=2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．
7．B
解析：B
【分析】
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．
故选：C
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，

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1 第四章单元测试卷 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 已知2x＝3y，则下列比例式成立的是(C)

A.x2＝3y B.x＋yy＝43 C.x3＝y2 D.x＋yx＝35

2. 如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F.已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，则DEEF的值为(A)

A.23 B.32 C.25 D.35

,第2题图) ,第3题图) ,第5题图) ,第6题图) 3. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B) A．6 B．12 C．18 D．24

4. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(A) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1

5. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(A) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9

6. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B) A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m 7. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B) A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)

,第7题图) ,第8题图) , 2

第9题图) ,第10题图) 8. 如图，P为△ABC边AB上一点且AP∶BP＝1∶2，E，F分别是PB，PC的中点，△ABC，△PEF的面积分别为S和S1，则S和S1的关系式(D)

A．S1＝13S B．S1＝14S C．S1＝23S D．S1＝16S

9. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是(C) A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC

C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点

10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11. 若1，2，3，x是成比例线段，则x＝6.

12. 若xy＝mn＝45(y≠n)，则x－my－n＝45.

13. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，ADAB＝13，则AD＋DE＋AEAB＋BC＋AC

＝13.

,第13题图) ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) 14. 如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC或∠BFD＝∠A，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个) 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF

＝125. 16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为22.5米．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分) 3

17. 如图，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，APBP＝AQBQ＝32，求线段PQ的长．

解：设AP＝3x，BP＝2x.∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10.∴x＝2.∴AP＝6，BP＝4.∵AQBQ＝32，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y.∴10＋yy＝32.解得y＝20.∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24

18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝36，a3＝b4＝c5，求△ABC三边的长．解：设a3＝b4＝c5＝k(k≠0)，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a＋b＋c＝36，∴3k＋4k＋5k＝36，∴k＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15

19. 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．

解：在△ABD和△ACB中，∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴ABAC＝ADAB，∵AB＝6，AD＝4，∴AC＝AB2AD＝364＝9，则CD＝AC－AD＝9－4＝5

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分) 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)． (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1； (2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.

解：(1)(2)如图所示 4

21. 如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好看到树尖A；第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好看到树尖A，已知小明眼睛距地面1.6 m，量得CC′＝7 m，CF＝2 m，C′F′＝3 m，求这棵古松树AB的高．

解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC，△AC′B∽△E′C′F′，设AB＝x，BC＝y，则1.6x＝2y，1.6x＝37＋y，解得x＝11.2，y＝14.答：这棵古松的高约为11.2 m 22. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G. (1)求证：GD·AB＝DF·BG； (2)连接CF，求证：∠CFB＝45°.

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴BGDG＝BCDF，∴DG·BC＝DF·BG，

∵AB＝BC，∴DG·AB＝DF·BG (2)连接BD，CF，∵△BGC∽△DGF，∴BGDG＝CGFG，∴BGCG＝DGFG，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠BDG＝12∠ADC＝45°，∴∠CFB＝45° 五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 23. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE. (1)求证：△ABC∽△BGA； (2)若AF＝5，AB＝8，求FG的长；

(3)当AB＝BC，∠DBC＝30°时，求DEBD的值．

解：(1)∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝12AC＝AF，∴∠FAB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA 5

(2)∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴ABAC＝BGAB，∴BG＝AB2AC＝8210＝325，∴FG＝BG－BF＝325－5＝75 (3)延长ED交BC于H，则DH⊥BC，∴∠DHC＝90°，∵AB＝AC，F为AC的中点，∴∠C＝45°，∠CBF＝45°，∴△DHC，△BEH是等腰直角三角形，∴DH＝HC，EH＝BH，设DH＝HC＝a，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2a，BH＝3a，∴EH＝3a，∴DE＝(3

－1)a，∴DEBD＝3－12 24. 如图①，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M. (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； (3)如图②，若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP·BP＝BF·CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵AB＝2CD，点E是AB的中点，∴DC＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴ED∥BC.∴∠EDB＝∠FBM.又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM

(2)∵△EDM∽△FBM，∴DMBM＝DEBF，∵F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF，∴DM＝2BM，∴DB

＝DM＋BM＝3BM，∵DB＝12，∴BM＝13DB＝13×12＝4 (3)存在，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵DP·BP＝BF·CD，∴PDBF

＝CDBP，∴△PDC∽△FBP，∴∠BPF＝∠PCD，∵∠DPC＋∠CPF＋∠BPF＝180°，∠DPC＋∠PDC＋∠PCD＝180°，∴∠PDC＝∠CPF，∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠EDB＝∠PDC＝30°，∴∠CPF＝30°

25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.

(1)如图①，当CEEB＝13时，求S△CEFS△CDF的值；

(2)如图②，当CEEB＝1m时，求AF与OA的比值(用含m的代数式表示)； (3)如图③，当CEEB＝1m时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．